2024-2025学年高中数学 第2章 平面向量章末综合提升（教师用书）教案 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第2章平面向量章末综合提升（教师用书）教案北师大版必修4主备人备课成员教学内容本节课的教学内容来自于北师大版高中数学必修4第2章“平面向量”的章末综合提升部分。本节课主要包括以下几个方面：

1.向量的概念及其运算：复习平面向量的定义、表示方法以及向量的加法、减法、数乘运算。

2.向量的数量积：复习向量的数量积的定义、计算公式及其性质，如分配律、交换律、结合律等。

3.向量的坐标运算：复习坐标表示下的向量加法、减法、数乘运算以及数量积的计算。

4.向量的垂直与平行：复习向量的垂直与平行的判定方法，如数量积为零的向量垂直，数量积为正的向量平行等。

5.向量的应用：复习向量在几何中的应用，如求解几何图形中的角度、距离等问题。

6.综合训练：进行一些有关平面向量的综合练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。通过学习平面向量的概念、运算和应用，学生能够理解向量的抽象意义，运用逻辑推理得出向量运算的性质，建立向量与几何问题的联系，并运用数学运算解决实际问题。通过本节课的学习，学生将能够提高在数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算方面的能力。教学难点与重点1.教学重点

-向量的概念及其运算：理解平面向量的定义、表示方法以及向量的加法、减法、数乘运算。

-向量的数量积：掌握向量的数量积的定义、计算公式及其性质，如分配律、交换律、结合律等。

-向量的坐标运算：熟练进行坐标表示下的向量加法、减法、数乘运算以及数量积的计算。

-向量的垂直与平行：理解向量的垂直与平行的判定方法，如数量积为零的向量垂直，数量积为正的向量平行等。

-向量的应用：能够将向量知识应用于解决几何问题，如求解几何图形中的角度、距离等问题。

2.教学难点

-向量的抽象意义：理解向量作为矢量的抽象表示，以及在几何中的作用。

-向量运算的逻辑推理：推导向量加法、减法、数乘运算的性质，如结合律、交换律等。

-向量的坐标运算：掌握坐标表示下的向量运算规律，解决复杂坐标系中的向量问题。

-向量应用的建模：将向量知识与实际问题结合，建立向量与几何问题的联系，解决实际问题。

-数量积的应用：理解并应用数量积判断向量的垂直与平行关系，解决相关问题。

教学过程中，教师需针对以上重点内容进行详细讲解和强调，通过示例和练习帮助学生掌握。同时，针对难点内容，教师应采取有效的教学方法，如图形演示、逻辑推理引导、实际问题解决等，帮助学生突破难点，提高理解透彻度和应用能力。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来理解和掌握向量的概念、运算和应用。例如，在讲解向量的加法时，可以提出一个问题，如在平面直角坐标系中，两个向量相加后的结果是什么，让学生通过计算和推理来解决问题。

2.利用多媒体教学辅助工具，如PPT、动画等，直观地展示向量的图形表示和运算过程，帮助学生形象地理解向量的概念和运算规律。同时，可以通过交互式教学，让学生参与进来，例如在讲解向量的数量积时，可以让学生通过拖动图形来观察和理解数量积的变化。

3.设计一些实际案例和练习题，让学生将所学的向量知识应用到实际问题中，培养学生的应用能力和解决问题的能力。例如，在讲解向量的应用时，可以提出一个几何问题，如在平面直角坐标系中，两个向量是否垂直，让学生通过计算和推理来解决问题。

4.组织学生进行小组讨论和合作学习，鼓励学生分享自己的理解和思路，培养学生的交流能力和团队合作能力。例如，在讲解向量的平行与垂直时，可以让学生分组讨论和总结判定方法，并分享给其他小组。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对平面向量的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道平面向量是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于向量的图片或视频片段，让学生初步感受向量的魅力或特点。

简短介绍平面向量的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.平面向量基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解平面向量的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解平面向量的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍平面向量的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

通过实例或案例，让学生更好地理解平面向量的实际应用或作用。

3.平面向量案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解平面向量的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的平面向量案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解平面向量的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用平面向量解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与平面向量相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对平面向量的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调平面向量的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括平面向量的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调平面向量在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用平面向量。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于平面向量的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理1.平面向量的定义与表示

-向量的定义：向量是具有大小和方向的量。

-向量的表示：向量可以用箭头表示，也可以用粗体字母表示。

-向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量可以用两个坐标值（x,y）表示，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。

2.平面向量的加法与减法

-向量加法：两个向量相加，就是将它们的对应分量相加。

-向量减法：向量减法可以看作是向量加法的特例，即加上一个向量的相反向量。

3.平面向量的数乘

-数乘向量：将一个实数与一个向量相乘，相当于对向量的每个分量进行数乘。

-数乘的性质：数乘向量满足交换律、结合律和分配律。

4.平面向量的数量积

-数量积的定义：两个向量的数量积，等于它们对应分量的乘积之和。

-数量积的计算公式：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y\)

-数量积的性质：满足交换律、结合律和分配律，以及\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)、\(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)等。

5.平面向量的坐标运算

-坐标加法：两个向量的坐标相加，就是将它们的对应坐标相加。

-坐标减法：向量的坐标减法，就是将一个向量的坐标与另一个向量的坐标相减。

-坐标数乘：将一个向量的坐标与一个实数相乘，得到的新向量的坐标就是原坐标的数乘结果。

6.平面向量的垂直与平行

-垂直的判定：两个向量的数量积为零，则它们垂直。

-平行的判定：两个向量的方向相同或相反，则它们平行。

7.平面向量的应用

-几何应用：求解几何图形中的角度、距离等问题。

-物理应用：描述物体的位移、速度、加速度等。

8.向量的模和平行四边形法则

-向量的模：向量的模，即向量的大小，等于向量的数量积与向量长度的平方根的乘积。

-平行四边形法则：两个向量的和向量，等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量。内容逻辑关系重点知识点：向量的定义、向量的表示方法、向量的坐标表示。

板书设计：

①向量定义：具有大小和方向的量。

②向量表示：箭头表示、粗体字母表示。

③坐标表示：\(\vec{a}=(a_x,a_y)\)。

2.向量的加法与减法

重点知识点：向量加法、向量减法、数乘向量。

板书设计：

①向量加法：\(\vec{a}+\vec{b}=(\vec{a}_x+\vec{b}_x,\vec{a}_y+\vec{b}_y)\)。

②向量减法：\(\vec{a}-\vec{b}=(\vec{a}_x-\vec{b}_x,\vec{a}_y-\vec{b}_y)\)。

③数乘向量：\(k\vec{a}=(ka_x,ka_y)\)。

3.向量的数量积

重点知识点：数量积的定义、计算公式、数量积的性质。

板书设计：

①数量积定义：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y\)。

②数量积性质：交换律、结合律、分配律。

③数量积计算：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)。

4.向量的坐标运算

重点知识点：坐标加法、坐标减法、坐标数乘。

板书设计：

①坐标加法：\((\vec{a}_x+\vec{b}_x,\vec{a}_y+\vec{b}_y)\)。

②坐标减法：\((\vec{a}_x-\vec{b}_x,\vec{a}_y-\vec{b}_y)\)。

③坐标数乘：\(k\vec{a}=(ka_x,ka_y)\)。

5.向量的垂直与平行

重点知识点：垂直与平行的判定方法、数量积的应用。

板书设计：

①垂直判定：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)时，\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)垂直。

②平行判定：方向相同或相反的向量平行。

③数量积应用：利用数量积判断向量的垂直与平行关系。

6.向量的应用

重点知识点：向量在几何中的应用、向量在物理中的应用。

板书设计：

①几何应用：求解角度、距离等问题。

②物理应用：描述物体的位移、速度、加速度等。

7.向量的模和平行四边形法则

重点知识点：向量的模、平行四边形法则。

板书设计：

①向量模：\(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)。

②平行四边形法则：以\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)为邻边的平行四边形的对角线向量。教学反思与改进1.加强向量的直观教学，利用图形、动画等工具帮助学生形象地理解向量的概念和运算。例如，在讲解向量的加法时，可以利用动画展示两个向量相加的过程，让学生直观地看到向量的合成。

2.增加实例和案例的引入，让学生通过实际问题来学习和应用向量知识。例如，在讲解向量的应用时，可以提出一些几何问题，让学生运用向量知识来解决，如求解两点间的距离、计算角度等。

3.加强学生的动手操作能力，通过实验、练习等环节，让学生亲自体验向量的运算和应用。例如，在讲解向量的坐标运算时，可以让学生使用坐标纸进行实际操作，计算向量的加法、减法和数乘。

4.增加小组讨论和合作学习的环节，鼓励学生分享自己的理解和思路，培养学生的交流能力和团队合作能力。例如，在讲解向量的垂直与平行时，可以让学生分组讨论和总结判定方法，并分享给其他小组。

5.加强学生的反馈和评价，及时了解学生的学习情况和问题，给予针对性的指导和帮助。例如，在讲解向量的数量积时，可以让学生进行一些练习题，然后进行反馈和评价，指出学生的错误和不足之处，帮助他们改进和提高。

6.增加课后作业的辅导和指导，帮助学生巩固所学知识，提高应用能力。例如，在讲解向量的应用时，可以布置一些与实际问题相关的作业，让学生运用向量知识来解决，然后进行辅导和指导，帮助学生掌握解题方法和技巧。重点题型整理1.向量的坐标表示：

-题目：给定两个向量\(\vec{a}=(a_x,a_y)\)和\(\vec{b}=(b_x,b_y)\)，求向量\(\vec{a}+\vec{b}\)的坐标表示。

-解答：向量\(\vec{a}+\vec{b}\)的坐标表示为\((a_x+b_x,a_y+b_y)\)。

2.向量的数量积计算：

-题目：给定两个向量\(\vec{a}=(a_x,a_y)\)和\(\vec{b}=(b_x,b_y)\)，求向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的数量积。

-解答：向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的数量积为\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y\)。

3.向量的垂直与平行判定：

-题目：给定两个向量\(\vec{a}=(a_x,a_y)\)和\(\vec{b}=(b_x,b_y)\)，判断\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)是否垂直或平行。

-解答：如果\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)垂直；如果\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的方向相同或相反，则\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)平行。

4.向量的模计算：

-题目：给定一个向量\(\vec{a}=(a_x,a_y)\)，求向量\(\vec{a}\)的模。

-解答：向量\(\vec{a}\)的模为\(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)。

5.向量在几何中的应用：

-题目：给定一个三角形\(ABC\)，求解角\(A\)的度数。

-解答：设\(\vec{a}\)为向量\(AB\)，\(\vec{b}\)为向量\(AC\)，则角\(A\)的余弦值为\(\cosA=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)。根据向量数量积的性质，可以求出角\(A\)的度数。课堂小结，当堂检测本节课我们学习了平面向量的基本概念、运算和应用。首先，我们定义了平面向量并了解了其表示方法，包括箭头表示和坐标表示。然后，我们学习了向量的加法、减法和数乘运算，以及向量的坐标运算。接着，我们学习了向量的数量积，包括其定义、计算公式和性质。此外，我们学习了向量的垂直与平行判定方法，以及向量的应用。最后，我们通过案例分析和小组讨论，进一步加深了对平面向量知识的理解。

2.当堂检测

（1）请写出向量\(\vec{a}=(3,2)\)与向量\(\vec{b}=(1,4)\)的数量积。

答案：向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)的数量积为\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times1+2\times4=3+8=11\)。

（2）请判断向量\(\vec{a}=(1,-1)\)与向量\(\vec{b}=(2,3)\)是否垂直。

答案：因为\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+(-1)\times3=2-3=-1\)，而\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)时，向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)垂直，所以向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)垂直。