人教版初中八年级数学上册同步讲义-分式的运算与化简求值（30题）（解析版）

专题提升01分式的运算与化简求值

—.解答题(共30小题)

1.(2023秋•潍城区期中)计算：

(I)--------^-；

a-ba+b

2

⑵一一2,x-4x+4l-x

2

x-1'x-l晨-2

【分析】(1)利用异分母分式加减法法则进行计算，即可解答;

(2)先计算分式的除法，再算分式的加法，即可解答.

【解答】解：(1)———2-

a-ba+b

_a(4+b)-b(a-b)

(a-b)(a+b)

22

—a+ab-ab+b

(a+b)(a-b)

2

(2)x-2.x-4x+4l-x

2+

x-1'x-lx-2

=x-2.(x+1)(x-1)+l-x

x-1(x-2)2x-2

—x+l+1-X

x-2x-2

=x+l+lr

x-2

=2

x-2

2.(2023秋•莱西市期中)分式计算：

x"-2xx-4x+4x

⑵—(1-4-).

x2-y2x+y

【分析】(1)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可;

(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可.

x+2x-l、.x-4

【解答】解：(1)(-

x2-2xx、4x+4

(x+2)(x-2)-x(x-1).x

x(x-2)*2*4x-

=x4~~x+x.x

x(x-2)2，-4

_x-4,x

X(X-2)2X-4

_1

(x-2)21

yx+y-x

（x+y）（x-y）x+y

_y.x+y

（x+y）（x-y）y

=1

x-y

3.（2023秋•东阿县期中）计算：

八、2mn6mn

3m25n，

（2）5x-5y9xy2

22~~F

39xyx-y

32

⑶（^^）2.（号尸；

zx2

（4）4.2y2.4x±+4xy+y2工2xy（2x-y）

2x+y2x+y4x2-y2

【分析】（1）将分子分母约分即可；

（2）先将分式分解因式，然后约分即可；

（3）先算乘方，再约分即可；

（4）先分解因式，同时将除法转化为乘法，再约分即可.

【解答】解：（1）2吗•空巴

3m25n

=12m2n2

151112n

=生.

~5~,

(2)5x-5y9xy2

二5(x-y).9xy：

2

3xy(x+y)(x-y)

_15y

x(x+y)'

32

⑶心上)2.(X1)3

,74

LV

(4)4x2y2.4x2+4xy+y2,2xy(2x-y)

2x+y2x+y4x2-y2

=4x2y2.(2x+y)2.(2x⑺(2x-y)

2x+y2x+y2xy(2x-y)

=2xy(2x+y)

=4x2y+2xy2.

2q2

4.(2023秋•潍坊期中)(1)(――).xy；

4

-2yx

⑵a2L^.,2a.

a2-2a+la2+a

【分析】（1）直接根据分式的乘法法则计算即可；

（2）先把分子与分母因式分解，再约分即可得到结果；

（3）先将括号内的分式通分，并根据分式的加法运算法则计算，再计算除法即可得到结果.

【解答】解：（1）（工~）•吗

-2yv4

a2-2a+la2+a

—(a+1)(a-1).2a

(a-1)2a(a+l)

a-l

x3.x-2

x-2(x+3)(x-3)

=1

7^3-

5.(2023秋•巨野县期中)计算:

(1、36x+5

AxAX-X

(2)x_y.*2_y22y

x+3y'x2+6xy+9y2x+y'

【分析】(l)先通分，再把分子相加减即可;

(2)先算除法，再算减法即可.

【解答】解：(1)3二——普

*2

X1-Xx-x

=3+上-x+5

XX-1X(X-1)

=3(x-l)+6x_x+5

x(x-1)x(x-1)x(x-1)

=3x-3+6xr-5

X(x-1)

8x-8

X(x-1)

-8(x-l)

X(x-1)

=_8.

X

(2)x-y.*2_y2_2y

22x+

x+的'x+6xy+9yV

—x-y.(x+3y)2_2y

x+3y(x+y)(x-y)x+y

_x+3y_2y

x+yx+y

x+3y-2y

x+y

x+y

x+y

=1.

6.（2023秋•宁阳县期中）计算：

（1）互+上；

2x-yy-2x

22

（2）1-x-y工X-y

*122

x+2yx+4xy+4y

【分析】（1）利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答；

（2）先算分式的除法，再算加减，即可解答.

【解答】解：（1）_^+」一

2x-yy-2x

=2x_y

2x-y2x-y

_2x-y

2x-y

=1；

⑵x2-y2

x+2yx2+4xy+4y2

=1_x-y.（x+2y）2

x+2y（x+y）（x-y）

=1.，+2y

x+y

x+y-（x+2y）

x+y

=_y

x+y

7.（2023秋•延庆区期中）计算：

（1）

a-bb-a

2

（2）m-4.m-2.m+2

4+4m+m2-2m-2m-1

【分析】（1）根据分式的减法法则计算，再约分即可；

（2）将原式每项分式中的分母和分子进行因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可.

【解答】解：(1)原式=———L

a-ba-b

=a-b

a-b

=1；

(2)原式一(m+2)(m-2).m+2

(m+2)2m-2m-1

=2.

8.(2023秋•涟源市月考)计算：

⑴2X+3_X+2.

x+1x+1'

(2)-^1----2a_.

a2-2a+la2+a

【分析】(1)先利用同分母分式的减法法则计算，再约分；

(2)把分式的分子分母先因式分解，再按分式的乘法法则计算.

【解答】解：(1)空§*=2X+3-X-2

x+1x+1x+1

_x+1

x+1

=1.

(2)-3—1^-.-^—.

a2-2a+la2+a

—(a+1)(a-1).2a

(a-1)2a(a+l)

=2

a-l

9.(2022秋•浦东新区校级期末)计算：

(］)aa-1.a2-6a+5.

a+1a2+5aa2+6a+5

(2)9(2-x)且.

X2-36X+6X-6

【分析】(1)将除法转化为乘法，再约分即可；

(2)先通分，再计算加减即可.

［解答］解：(1)原式=」一•、•匕+1)

a+1a(a+5)(a-l)(a-5)

_1

a-5

(2)原式=,1浒*xj'x-x2辞+18

(x+6)(x-6)(x+6)(x-6)(x+6)(x-6)

—2x(x-6)

(x+6)(x-6)

_2x

"x+6,

10.(2023春•民乐县校级期中)计算下列各式

⑴小。理；

yy2

m+nm-n

【分析】(1)根据分式的除法法则进行计算即可；

(2)先通分，再把分子相加减即可.

【解答】解：(1)原式=(x+1)(X-1).工

yx+1

=y(x-1)；

2

(2)原式=_m(m-n)+n(m+n)_2m

(m+n)(m-n)(m+n)(m-n)(mtn)(m-n)

222

_m-mn+im+n-2m

(m+n)(m-n)

(m+n)(m-n)

=-1.

11.(2023春•海州区期中)计算化简

⑴2a+3bb.

a+ba+b

o

(2)/24.x.&

AYx2+,x

a-1a

(4)—)4--^-.

x-33-x*2-9

【分析】(1)先计算减法，再约分即可；

(2)把除法变为乘法，再约分即可；

(3)先计算括号内的，再计算乘法即可；

(4)将计算小括号内的，然后算括号外面的除法.

【解答】解：（1）原式=组生

a+b

_2（a+b）

a+b

=2；

（2）原式=三2・x(x+1)

(x+2)(x-2)

=x+1.

(3)原式(a+D(a-1)

a-la

=q+l；

（4）原式=包・（x+3）（x-3）

x-3x+1

=x+3.

12.（2023春•乐平市期末）分式的计算:

（1）i+，+H

x-3x-3

（2）3-5-4^-.

a-3a+3_g

【分析】（1）先通分，再把分子相加减即可;

（2）先通分，再把分子相加减即可.

【解答】解：(1)原式=三§+，+上工

x-3x-3x-3

x-3+l+l-x

x-3

__1.

x-3

(2)原式=,a)；3)a-R'a/?6a

(a+3)(a~3)(a+3)(a~3)(a+3)(a-3)

-a：+3a-(a2-3@-4+3)-6a

(a+3)(a-3)

_a：+3a-a：+4a-3-6a

(a+3)(a-3)

______a-3____

(a+3)(a-3)

二1

a+3

13.（2023春•沙坪坝区校级期末）化简:

24x+4

(1)x+2+x+2

2l-2x

-x+1),

x-1

【分析】（1）利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答;

（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.

9

X4x+4

【解答】解：⑴x+2+x+2

_X2+4X+4

x+2

-(x+2)2

x+2

=x+2；

2l-2x

(2)-x+1)

X2-2X+1x-1

=J_#-2x_

(x-1)2I

=X。,1-2X-(X-1)2

(x-1)2，一1

2x2

=x—~

(x-1)2

X2.X-1

(X-1)2-x2

=_1

14.（2023春•北陪区期末）计算:

⑴2居“琮）2嗑

99

【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答;

（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.

【解答】解：（1）2a2b-（4

2b4bz

2

a

=2a2b-^-———,

4b24b2

=2a2Z?,A^—•-a

2

a24，b

=2ab；

(2)卢J+3反,a2+9

-3)

a-3a2-9

a：+3a-3(a-3).(a+3)(a-3)

a-3a2+9

_a2+9.(a+3)(a-3)

a-3a2+9

=a+3.

15.(2023春•南岸区期末)计算:

,2,

⑴a-b,a-ab

«a+b0a3-abi2

(2)(-2L).X2-3X

“-3xX2+6X+9

【分析】(1)直接将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案;

(2)直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案.

【解答】解：(i)原式=空也•坐i二@

a+ba(a-b)

=a-b.(a+b)(a-b)

a+ba-b

=a-b；

(2)原式=2x-(x-3).x(x-3)

2

x(x-3)(x+3)

=x+3.x(x-3)

2

x(x-3)(x+3)

=1

7^3'

16.(2023秋•渝中区校级期中)先化简,再求值：

x+1.x、-4x+4_x-1工x、-2x+l其中X是满足条件-1WxW3的整数.

x-2xx

【分析】先计算分式的乘除法，再算减法，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答.

22

[解答]解：包•三二丝足-旦+X-2x+l

x-2J-]xx

=x+1.(x-2)/_x-1,x

x-2(x+1)(x-1)x(x-l)2

=x-2_]

x-1x-1

_x-2-l

X-1

_x-3

x-1

・・・x是满足条件-的整数，

-1,0,1,2,3,

Vx-2T^0,xWO,f-iwo,

XWO,XW±1,

当x=3时，原式=3」=0.

3-1

2

17.(2023秋•冷水滩区校级期中)先化简，再求值：:一,，其中。从7、1、-2、

a+1a2+2a+l

2中取一个你认为合适的数代入求值.

【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把。的值代入化简后的式子进行

计算，即可解答.

【解答】解：£_a+l)+a~4

a+1a2+2a+l

=[2-(a-1)]•(a,)2

a+1(a+2)(a-2)

二3一(a4一1).(a+1)2

a+1(a+2)(a-2)

「4-a、.(a+1)2

a+1(a+2)(a-2)

一(2+a)(2-a).(a+1)2

a+1(a+2)(a-2)

=-(〃+l)

=-a-1,

•:Q+IWO,〃+2W0,a-2^0,

・・aW-1jaW-2,〃W2,

，当a=\时，原式=-1-1=-2.

2_i1

18.（2023•沐阳县二模）先化简,再求值：:一1，其中X」

X-*•o/oAn

X+xX+2x+l乙

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.

2(x+1)之

【解答】解:原式=上一

x2工+x(x+1)(x-1)

—X

X-1'

当x=1•时，

2

_1_

原式=M~2=-1.

F

19.（2023秋•卢龙县期中）有这样一道题“求2二^一」11—.三工的值，其中〃=2018”.“小马虎”

a?-la，2a+la+^

不小心把。=2018错抄成。=2008,但他的计算结果却是正确的，请说明原因.

【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再分析即可.

［解答］解：&+1彳匕

/-Ia^+2a+l"I

—a（a+l）_a+1.a+1

（a-1）（a+1）（@+1）2a-1

=a_］

a-1a-1

_a-l

a-1

=1,

则原式的值与。的值无关，

J“小马虎”不小心把。=2018错抄成。=2008,但他的计算结果却是正确的.

22

20.（2023秋•蓬莱区期中）（1）先化简，再求值：」+三二妊t生J".£其中了=-2.

x-1x2-lx+1

2

（2）先化简，再求值：（_"-2+a）j曳+2吐L,从-2W.W1中选出合适的最大整数值代入求值.

a+2a+2

【分析】（1）先算分式的除法，再算加法，然后把X的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；

（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把。的值代入化简后的式子进行计算,

即可解答.

22

【解答】解：(1)二一+三生+工二红

x-1x+1

=1+(乂-2)*.x+1

x-1(x+1)(x-1)x(x-2)

=]+x-2

x-1x(x-1)

-x+x-2

X(x-1)

,2x-2

X(x-1)

-2(x-1)

X(x-1)

_2

——,

X

当x=-2时，原式=¥-=-1；

-2

=[-^—+(a-2)]•———

a+2(a+1)2

一3+(a-2)(a+2).a+2

a+2(a+1)2

—3+a，-4.a+2

a+2(a+1产

a?-].a+2

a+2(a+1)2

=(a+1)(a-1).a+2

a+2(a+1)2

—a-l

一M'

,・Z+2W0,a+IWO,

••aW-2,aW-1,

・・・-2WaWl,且a取最大整数，

.,.当a=l时，原式=1」=0.

1+1

21.(2023秋•桥西区校级期中)先化简，再求值：(1上上)。(.2y_其中卜-3|+后工=0.

x422

Vx+2xy+y

【分析】先化简代数式，再求得X,y的值，最后将X,y的值代入进行计算.

【解答】解：（1上匕）+~7）

22

x+Vx+2xy+y

=（x+y_x-y）-2y

x+yx+y-（x+y）2

2

-2y,（X4y）

x+y2y

—x+y,

v|x-3|+Vy+1=0,

.*.x-3=0y+l=0

解得x=3,y=-1,

，原式=3-1=2.

22.（2023秋•通州区期中）先化简，再求值：（1」-）小一冬K，其中。-6=6.

【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把6

=6代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=（1-」_）•（a+b）（a-b）

a+b3a

=a.（a+b）（a-b）

a+b3a

_-a--,b

3

当a-6=6时，原式=2.

2」

23.（2023•新邵县校级一模）先化简，再求值：（_2__x+l）+———,再从7、0、1三个数中选择

x+1X2+2X+1

一个你认为合适的数作为X的值代入求值.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最

简结果，把X的值代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=［上-（x+1）（x-1）］.（x+l）2

x+1x+1X-l

-1.（x+1）2

x+1X-l

_x+1

X-l'

要使分式有意义，X不能取-1,1,

则当x=0时，原式=曲=-1.

0-1

2

24.（2023春•甘州区校级期末）先化简（1」一）.立丝LL,然后在0,1,2中选一个你喜欢的x值，

2

x-2x-4

代入求值.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最

简结果，把x=0代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=/工・（x+2）（x：2）=与义

2

x-2（x-i）x-1

当x=0时，原式=-2.

2

25.（2023•利川市模拟）先化简，后求值：（上一x-1）+•二处+4，然后在0,1，2三个数中选一个适

x-lx-l

合的数，代入求值.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将使分式有意义的X的值代入计算即可.

【解答】解：原式=（_5_-/二1）+（X-2）2

X-1X-lX-l

4-J-（x-2）2

x-1x-l

一（2+x）（2-x）.x-1

x-1（2-x）2

=2+x

2^,

IWO且X-2W0,

.•.xWl且

.'.x=0,

则原式=1.

2

26.（2023春♦于洪区期末）先化简，再求值：（1+工）..Tip,其中加为满足3W/"<6的整数.

m-4m2-16

【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把〃，的值代入化简后的式子，进

行计算即可解答.

【解答】解：（1+工-）尸-31n

m-4_16

=nr4+4.（m+4）（irr4）

m-4

=m.（m+4）（m-4）

m-4m（m-3）

_m+4

m-3

*•m为满足3W次V6的整数，

*.m=3或4或5,

Vm2-16T^0,m-3T^0,

，MW±4,冽W3,

当冽=5时，原式=5+4.=旦.

5-32

27.(2023秋•临湘市期中)先化简，再求值：(考+得以一，其中-1W%<2且％为整数.请

x-1%-1x-2x+l

你选一个合适的X值代入求值.

【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后根据-lWx<2且X为整数，选出一个使得原分式

有意义的值代入化简后的式子计算即可.

［解答］解：(一芬1•+•J)..-卢也一

x-1x-2x+l

「x+l+x(x+1).(x-l),

(x+1)(x-1)x+1

2

x+l+X+x•乂-1

x+1x+1

(x+1)2,X-1

x+1