人教版九年级数学上册 圆 专项训练题

第24章圆的培优

1.如图，为。。的直径，C。是弦，ABJ_C。于点E,。歹，AC于点尸，BE=OF.

(1)求证：AAF0段ACEB；

(2)若BE=4,CD=8R,求:

①。。的半径；

②求图中阴影部分的面积.

2.如图，是。。的直径，AC是弦，交AC于点若NA=30°,0D=2.求

CD的长.

B

3.如图，45是O。的直径，ACLAB,E为。。上的一点，AC=EC,延长CE交A8的延

长线于点。.

(1)求证：CE为。。的切线；

(2)若OF_LAE,OF=1,ZOAF=30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留IT)

4.如图，在△ABC中，分别以A,8为圆心，AC,BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE,

扇形CB。，且点E,C,。在同一条直线上，底=60°,cr=90°-

(/)求NACB的度数.

(2)若AC=2,BC=4,求点A,8到直线即的距离的和.

5.如图，在Rt^ABC中，ZA=90°,。是BC边上一点，以。为圆心的半圆与A也边相

切于点。，与AC、BC边分别交于点£、F、G,连接O。，已知BO=2,AE=3,tanZ

2

BOD=—.

3

(1)求证：AE是。的切线；

(2)求图中两部分阴影面积的和.

BFG

6.已知：如图，在OO中，直径8c=8,M为AB的中点，NABC=30°,点E时圆上任

意一点，MF_LME交BC于F.

(1)求劣弧AC的长；

(2)当时，求ME的长.

7.一条排水管的截面如右图所示，截面中有水部分弓形的弦AB为12灰。"，弓形的高为

6cm.

(1)求截面。。的半径.

(2)求截面中的劣弧A8的长.

8.如图，在△ABC中，AB=AC,是△ABC的外接圆，。为弧AC的中点，E是延

长线上一点，ZDAE=105°.

(I)求/。AC的度数;

(2)若。。的半径为3,求弧8C的长.

B

9.AB是。。的直径，出切。0于点A,P。交。0于点C,连接BC,若/尸=30°.

(1)求的度数；

(2)若PC=2,求BC的长.

10.如图，点/是△ABC的内心，8/的延长线与"BC的外接圆。。交于点2与AC交于

点、E,延长C。、BA相交于点F/A。尸的平分线交于点G.

(1)求证：DG//CA；

(2)求证：AD=1D；

(3)若DE=4,BE=5,求2/的长.

11.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是AC上一点，过B,C,。三点的。。交AB

于点E,连，接E。，EC,点尸是线段AE上的一点，连接ED,其中NFDE=NDCE.

(1)求证：DF是。0的切线.

(2)若。是AC的中点，ZA=30°,BC=4,求。尸的长.

12.如图，AB是。。的直径，C4与。。相切于点A,且CA=BA.连接0C,过点A作AD

_LOC于点瓦交。。于点。，连接

（1）求证：/\ACE^/\BAD-

（2）连接CB交。。于点"，交AD于点、N.若AO=4,求的长.

13.如图，ZVIBC中，ZC=90°,/ABC=2/A,点。在AC上，OA=OB,以。为圆心,

0c为半径作圆.

（1）求证：A8是。。的切线；

（2）若BC=3,求图中阴影部分的面积.

14.如图，M,N是以AB为直径的。。上的点,且U=众，弦交于点C,8M平

分/ABD,于点E

（1）求证：M歹是。。的切线;

(2)若CN=3,BN=4,求CM的长.

D

oiCB

15.如图，"BC内接于O。，AB^AC,8。的延长线交AC于点。，S.ZDOC=ZDCO,

E是弧AC上的一点，过点C作交AE的延长线于点下，连接。4

(1)求证：AOLBC-

(2)若3/CAF=2/ABC,求证：C尸是。。的切线；

(3)若。。的半径为1,求C。的长.

参考答案

1.(1)证明：U：AB为。。的直径，ABA.CD,

:・BC=BD,

：.ZA=ZDCB,

：.OFLAC,

：./AFO=/CEB,

•：BE=OF,

：.AAFO^ACEB(A4S).

(2)@-：AB为。。的直径，AB_LCD,

设OC=r,贝！JOE=r-4,

r2—(r-4)2+(4。^)2

r=8.

②连结OD.

・・•。石=4=工0。，

2

：,/OCE=30°,ZCOB=60°,

・・・NCOO=120°,

:△A尸性△CEB,

•c—c

△AFO屋BCE，

•c—c_c

阴扇形0C。0OCD

=120•兀・82上

3602

粤n-16y

o

2.解：连接5C,如图，

,?ODLAB,

：.ZAOD=90°,

VZA=30°,

：.AD=2OD=4,04=/。0=2差,

9：AB是。。的直径，

AZACB=90°,

・・・4。=阮。=2/X吏=6,

・・・CQ=AC-AO=6-4=2.

3.(1)证明：连接。区

*：AC=EC,OA=OE,

：.ZCAE=ZCEAfNFAO=/FEO,

VACXAB,

：.ZCAD=90°,

：.ZCAE+ZEAO^90°,

：.ZCEA-^-ZAEO=90o,

即/。石0=90。，

：.OE_LCD,

・・・C5为。。的切线;

(2)解：VZOAF=30°,OF=1

：.AO=2；

灰即AE=2灰；

••SABJWWSXI得嚼

VZAOE^120°,AO=2；

.120XTCX44H

,・3扇形EAO-360

•,S阴影3ru

c

BD

4.解：(1)・・,在△ABC中，分别以A,5为圆心，AC,5c为半径在△A8C的外侧构造扇

形CAE,扇形C5。，且点E,C,。在同一条直线上，cJ=60°,底=90°,

AZEAC=60°,NCBD=90°,AE=AC,BC=BD,

：.ZAEC=ZACE=—X(180°-ZEAC)=60°,ZBCD=ZBDC=—X(180°-

22

/CBD)=45。,

AZACB=180°-ZACE-ZBCD=1SO°-60°-45°=75°；

过A作AQJ_£C于。，■过5作出LLC。于忆则NAQC=N5=90°,

VZACE=60°,ZBCD=45°,

：.ZQAC=30°,NFBC=/BCD=45°,

VAC=2,BC=4,

CQ=—AC=^~X2=1,

22

由勾股定理得：42=62_]2=正，28卢=42,

解得：BF=2近,

AQ+BF=g2后

所以点A,B到直线ED的距离的和是遂+2/.

5.(1)证明：连接。E.

•.•A8与圆。相切,

：.OD_LAB.

RD9

•・•在RtzXBDO中，BD=2,^nZBOD=—^

OD3f

・・・00=3.

VZA=90°,OD_LABf

：.AE//OD,

♦：0D=AE=3,AE//ODf

・・・四边形AEOO为平行四边形,

：.AD//EO.

DALAE,

：.OELAC.

又TOE为圆的半径,

・・・AC为圆。的切线.

(2)解：-：OD//ACf

.BD_0D

*'BA'CA

nn2_3

即2+3-AC'

：.AC=7.5,

：.EC^AC-AE=7.5-3=4.5,

••S阴影=SABDO+S&OEC~(S扇形F。。-S扇形EOG)

90九X史

=yX2X3+yX3X4.5360~

0279兀39-971

=3+--=^~

6.解：（1）连接AO,

•.•直径BC=8,

；.AO=4,

VZABC=30°,

：.ZAOC=60°,

＜

劣弧AC的长=6。•需

(2)连接AC,

,:BC是。。的直径，

AZCAB=90°,

:.AB=*BC=4g

为AB的中点，

：.BM=~AB=1J2,

2

"MFLME,

：.FM=—BM=[2,BF=3,

2

延长EM交O。于N,过。作。H_LEN于”，连接ON,

则OH=PM=EHM=OF=4-3=1,

2=22=,

NH=HE=VON-OHSV4-(V3)^1S

：.EM=EH--1.

7.解：（1）设。。半径为r,作。C_LAB于C点，交弧AB于。点

：A8=129，

.*.AC=BC=^AB=6证,

；CD=6,

2=(r-6)2+(W^)4

解得：r—12(cm)

答：截面。。的半径为12cm.

(2)连接A，

■:AD=VAC2+CD2=762+(W3)2=15

：.AD=OA=OD

是等边三角形，

：.ZAOD=60°同理/BOD=60°

，NAOB=120°

兀

弧长AB-142010c,1u2=8兀(cm).

1oU

答：截面中有水部分弓形的弧AB的长为81K7”.

8.解：⑴-：AB=AC,

AE=AG

，ZABC=ZACB,

为菽的中点，

・•・AT=C。

：.ZCAD=ZACD,

・•・AE=2M，

/ACB=2/ACD,

又・・・ND4E=105°,

AZBCD=105°,

AZACZ)=—X105°=35°,

3

：.ZCAD=35°；

(2)VZDAE^105°,NCAO=35

・・・NR4C=40°,

连接03,oc,

：.ZBOC=SO°,

：.0A_LPA,

・・・NP=30°,

/.ZPOA=60°,

ZB=—ZPOA=-X600=30°,

22

（2）如图，连接AC,

.,.ZACB=90°且/B=30°,

：.BC=y/jAC,

设0A=08=0C=x,

在RtZXAO尸中，ZP=30°,

：.PO=2OA,

2+x=2xfx=2.即04=03=2.

又在RtZXABC中，ZB=30°,

/.AC=—AB=—X4=2,

22

.\BC=tan60°・AC=V^AC=2吏.

10.(1)证明：•・,点/是△ABC的内心,

・・・N2=N7,

•・・0G平分NAO尸，

：.Zl=­ZADF

2f

,?ZADF=ZABC,

・・・N1=N2,

•・・N3=N2,

・・・N1=N3,

：.DG//AC；

(2)证明：・・•点/是AA5c的内•心，

・・・N5=N6,

•・・N4=N7+N5=N3+N6,

即N4=ND4/,

：.DA=DI；

(3)解：・.・N3=N7,NAED=/BAD,

：.△DAEs^DBA,

：.AD：DB=DE：DA,BPAD：9=4：AD,

.\AD=6,

：.DI=6,

:・BI=BD-DI=9-6=3.

11.解：(1)VZACB=90°，点、B,。在O。上,

：.BD是。。的直径，ZBCE=/BDE,

VZFDE=ZDCE,/BCE+NDCE=NACB=90°,

ZBDE+ZFDE=90°,

即NBZ)歹=90°,

：.DF±BD,

又，；BD是的直径，

尸是。。的切线.

(2)如图，VZACB=90°,ZA=30°,BC=4,

.*.AB=2BC=2X4=8,

AC=7AB2-BC2=782-42=4VS>

•..点。是AC的中点，

.••AD=CD=yAC=2Vs-

；BD是的直径，

:.NDEB=9Q°,

AZ£)£A=180°-ZDEB=9Q°,

/.DE=yAD=yX2V3=VS'

在RtABCD中，BD=VBC2+CD2=V42+(2V3)2=)

2=

在RtZkB即中，BE=7BD-DE'V(2V?)2-(6).，

ZFDE=ZDCE,ZDCE=ZDBE,

：.ZFDE=ZDBE,

•：NDEF=NBED=90°,

△FDEsdDBE,

...里理即里至

BD~BE，

12.(1)证明：•.NB是O。的直径,

ZADB=90°,

\'AD±OC,

；./AEC=90°,

ZADB=ZAEC,

•；C4是O。的切线，

：.ZCAO=90°,

ZACE=ZBAD,

在△ACE和△BA。中，

，ZAEC=ZBDA

■ZACE=ZBAE.

CA=AB

.♦.△ACE经ABA。(A4S)；

(2)解：连接AM,如图,

•：AD±OC,AD=4,

：.AE=DE=—AD=2,

2

VAACE^ABAD,

：.BD=AE=2,CE=AD=4,

在RrAABD中，48=4&2+802=2避,

在RtAABC中，BC=7AB2+AC2=2而，

"?ZCEN=ZBDN=90Q,ZCNE=ZBND,

：./\CEN^^BDN,

.CNCE_r

••丽江-"

：.BN=—BC=

33

〈AB是。。的直径，

AZAMB=90°,即AM_LC5,

*：CA=BAfZCAB=90°,

：.MN=BM-

3

13.(1)证明：作0DLA8,垂足为，如图，

VZC=90°,ZABC=2ZAf

：.ZA=30°,ZABC=60°,

*：OA=OB,

：.ZOBA=ZA=30°,

：.ZOBC=30°,

：.ZOBA=ZOBCf

：.OD=OC

・・・AB是。。的切线；

(2)解:VZ'A=30°,BC=3

：.ZAOD=60°,AB=2BC=6,AC=y[^BC=3正,

9

：AD=BD=—AB=3f

2

：.OD=y[i，

*.*OD=O"E,

：.ZDOE=60°,

:.s=SAOD-S"xUX3一史上曲=/』=听冗

阴影部分△AOD扇形2360222

14.证明：（1）连接。

V

D

*：OM=OB,

：・/OMB=/OBM,

平分NA5O,

・・・ZOBM=ZMBF,

：・NOMB=/MBF,

J.OM//BF,

9

\MF±BDf

：.OM±MF,即NOM方=90°,

・,・M/是®。的切线；

(2)如图，连接AN,ON

;AK=BN

:・AN=BN=4

t•AB是直径,