结构力学数值方法：迭代法：数值分析基础

结构力学数值方法：迭代法：数值分析基础1绪论1.1数值分析在结构力学中的应用数值分析是结构力学中不可或缺的一部分，尤其是在处理复杂结构的分析与设计时。传统的解析解法往往受限于结构的几何形状、材料性质或边界条件的复杂性，而数值方法则能通过计算机模拟，对这些复杂问题提供近似但实用的解决方案。在结构力学中，数值分析主要应用于以下几个方面：线性和非线性结构分析：通过数值方法，可以解决结构在不同载荷下的变形、应力和应变问题，包括线性弹性分析、塑性分析、大变形分析等。动力学分析：数值方法在结构的动力学分析中也扮演着重要角色，如地震响应分析、风荷载分析、爆炸冲击分析等。优化设计：在结构设计阶段，数值分析可以帮助工程师找到最优的结构参数，以满足强度、刚度和稳定性等要求，同时最小化成本或重量。断裂和损伤分析：通过数值模拟，可以预测结构在特定载荷下的损伤和断裂行为，这对于提高结构的安全性和可靠性至关重要。1.2迭代法的基本概念迭代法是一种在数值分析中广泛使用的求解方法，尤其适用于大型线性或非线性方程组的求解。其基本思想是通过一系列逐步逼近的过程，从一个初始猜测值开始，逐步修正，直到达到满意的精度或满足收敛条件。迭代法的关键在于选择合适的迭代公式和判断收敛的标准。1.2.1原理迭代法的原理可以概括为以下步骤：初始化：选择一个初始猜测值。迭代公式：基于问题的数学模型，设计一个迭代公式，该公式将当前的猜测值映射到下一个猜测值。收敛性判断：定义一个收敛标准，如猜测值的变化量小于某个阈值，或迭代次数达到预设的最大值。迭代过程：重复应用迭代公式，直到满足收敛标准。1.2.2例子：高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法。假设我们有如下线性方程组：3我们可以将其重写为迭代公式的形式：x其中，xk,yk,zkPython代码示例defgauss_seidel(A,b,x0,max_iter=100,tol=1e-6):

"""

高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组Ax=b

:paramA:系数矩阵

:paramb:常数向量

:paramx0:初始猜测值向量

:parammax_iter:最大迭代次数

:paramtol:收敛容差

:return:迭代解向量

"""

x=x0.copy()

forkinrange(max_iter):

x_new=x.copy()

foriinrange(len(x)):

s1=sum(A[i][j]*x_new[j]forjinrange(i))

s2=sum(A[i][j]*x[j]forjinrange(i+1,len(x)))

x_new[i]=(b[i]-s1-s2)/A[i][i]

ifmax(abs(x_new-x))<tol:

returnx_new

x=x_new

returnx

#系数矩阵A和常数向量b

A=[[3,2,-1],

[2,-8,4],

[-1,1,12]]

b=[1,11,10]

#初始猜测值

x0=[0,0,0]

#运行高斯-赛德尔迭代法

solution=gauss_seidel(A,b,x0)

print("Solution:",solution)1.2.3解释在上述代码中，我们定义了一个gauss_seidel函数，它接受系数矩阵A、常数向量b、初始猜测值向量x0以及迭代的参数（最大迭代次数和收敛容差）。函数内部，我们通过迭代公式更新x通过数值分析和迭代法，结构力学中的复杂问题可以被有效地解决，为工程设计和分析提供了强大的工具。2线性方程组的迭代解法在结构力学的数值分析中，解决大型线性方程组是常见的任务。迭代法提供了一种有效途径，尤其适用于稀疏矩阵。下面，我们将深入探讨三种迭代解法：雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和SOR超松弛迭代法。2.1雅可比迭代法雅可比迭代法是一种基本的迭代解法，适用于求解线性方程组。其核心思想是将方程组的系数矩阵分解为对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，然后利用对角矩阵的逆来迭代求解未知数。2.1.1原理考虑线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量。雅可比迭代法将A分解为A=D+L+U，其中x2.1.2示例假设我们有以下线性方程组：4使用雅可比迭代法求解，首先将方程组写成迭代形式：x2.1.3代码示例importnumpyasnp

#系数矩阵A和常数向量b

A=np.array([[4,-1,1],

[-1,4,-1],

[1,-1,4]])

b=np.array([3,-1,7])

#初始猜测值

x=np.zeros(3)

#迭代次数

iterations=25

#雅可比迭代法

foriinrange(iterations):

x_new=np.zeros(3)

forjinrange(3):

s1=np.dot(A[j,:j],x[:j])

s2=np.dot(A[j,j+1:],x[j+1:])

x_new[j]=(b[j]-s1-s2)/A[j,j]

x=x_new

print("雅可比迭代法解：",x)2.2高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版，它在每次迭代中使用了最新的解来更新未知数，从而通常能更快收敛。2.2.1原理高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：x2.2.2示例使用与雅可比迭代法相同的线性方程组，但这次在迭代过程中，一旦计算出新的xi2.2.3代码示例#高斯-赛德尔迭代法

foriinrange(iterations):

forjinrange(3):

s1=np.dot(A[j,:j],x[:j])

s2=np.dot(A[j,j+1:],x[j+1:])

x[j]=(b[j]-s1-s2)/A[j,j]

print("高斯-赛德尔迭代法解：",x)2.3SOR超松弛迭代法SOR（SuccessiveOver-Relaxation）超松弛迭代法是高斯-赛德尔迭代法的进一步改进，通过引入一个松弛因子ω来加速收敛。2.3.1原理SOR迭代公式为：x2.3.2示例继续使用上述线性方程组，但这次引入松弛因子ω，假设ω=2.3.3代码示例#SOR超松弛迭代法

omega=1.5

foriinrange(iterations):

forjinrange(3):

s1=np.dot(A[j,:j],x[:j])

s2=np.dot(A[j,j+1:],x[j+1:])

x[j]=x[j]+omega*((b[j]-s1-s2)/A[j,j]-x[j])

print("SOR超松弛迭代法解：",x)以上三种迭代方法在结构力学的数值分析中都有广泛应用，选择哪种方法取决于具体问题的性质和求解效率的需求。3非线性方程的迭代求解在结构力学的数值分析中，非线性方程的求解是一个常见且重要的问题。迭代法作为解决这类问题的有效工具，通过逐步逼近的方式找到方程的根。下面将详细介绍三种常用的迭代求解方法：牛顿-拉弗森迭代法、割线法和固定点迭代法。3.1牛顿-拉弗森迭代法牛顿-拉弗森迭代法是基于函数的泰勒展开，利用一阶导数来逼近函数的零点。对于函数fxx3.1.1示例代码假设我们有函数fxdeff(x):

"""定义非线性方程f(x)=x^3-2x-5"""

returnx**3-2*x-5

defdf(x):

"""定义f(x)的导数f'(x)=3x^2-2"""

return3*x**2-2

defnewton_raphson(f,df,x0,tol=1e-7,max_iter=100):

"""

牛顿-拉弗森迭代法求解非线性方程f(x)的根。

参数:

f:函数

df:函数的导数

x0:初始猜测值

tol:容忍误差

max_iter:最大迭代次数

"""

x=x0

foriinrange(max_iter):

x_new=x-f(x)/df(x)

ifabs(x_new-x)<tol:

returnx_new

x=x_new

returnNone

#初始猜测值

x0=2.0

#运行牛顿-拉弗森迭代法

root=newton_raphson(f,df,x0)

print("牛顿-拉弗森迭代法找到的根为:",root)3.2割线法割线法是牛顿-拉弗森迭代法的一种变体，它不需要计算函数的导数，而是使用前两次迭代的函数值来估计导数。迭代公式为：x3.2.1示例代码使用割线法求解上述函数fxdefsecant_method(f,x0,x1,tol=1e-7,max_iter=100):

"""

割线法求解非线性方程f(x)的根。

参数:

f:函数

x0,x1:初始猜测值

tol:容忍误差

max_iter:最大迭代次数

"""

foriinrange(max_iter):

ifabs(f(x1))<tol:

returnx1

x_new=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))

x0=x1

x1=x_new

returnNone

#初始猜测值

x0=1.0

x1=2.0

#运行割线法

root=secant_method(f,x0,x1)

print("割线法找到的根为:",root)3.3固定点迭代法固定点迭代法是通过将方程fx=0转换为xx选择gx的策略是关键，通常需要gx在根附近满足3.3.1示例代码假设我们有函数fx=xdefg(x):

"""定义固定点迭代函数g(x)=(2x+5)^(1/3)"""

return(2*x+5)**(1/3)

deffixed_point_iteration(g,x0,tol=1e-7,max_iter=100):

"""

固定点迭代法求解非线性方程f(x)的根。

参数:

g:固定点迭代函数

x0:初始猜测值

tol:容忍误差

max_iter:最大迭代次数

"""

x=x0

foriinrange(max_iter):

x_new=g(x)

ifabs(x_new-x)<tol:

returnx_new

x=x_new

returnNone

#初始猜测值

x0=2.0

#运行固定点迭代法

root=fixed_point_iteration(g,x0)

print("固定点迭代法找到的根为:",root)以上三种方法都是解决非线性方程的有效迭代技术，在结构力学的数值分析中有着广泛的应用。选择哪种方法取决于具体问题的性质和计算资源的限制。4迭代法的收敛性分析4.1收敛性的定义在结构力学的数值分析中，迭代法是一种常用的技术，用于求解线性和非线性方程组。迭代法的收敛性是指随着迭代次数的增加，迭代结果逐渐接近真实解的过程。如果一个迭代过程能够保证每次迭代后，解的误差逐渐减小直至满足预设的精度要求，那么我们称这个迭代过程是收敛的。4.1.1定义设迭代公式为xk+1=Φxk，其中xk是第k次迭代的解向量，Φ是迭代函数。如果存在一个解4.2收敛条件与判据4.2.1收敛条件迭代法的收敛性依赖于迭代函数Φ的性质。对于线性迭代法，收敛条件通常与迭代矩阵的谱半径有关。如果迭代矩阵的谱半径小于1，迭代过程将收敛。4.2.2收敛判据Cauchy收敛准则：如果序列{xk}满足对于任意的ϵ>0，存在N误差收敛准则：设定一个误差阈值ϵ，如果xk4.3加速收敛的技巧4.3.1技巧1：松弛因子在迭代过程中引入松弛因子ω，可以加速收敛。松弛因子的选择依赖于具体问题，通常ω∈4.3.2技巧2：预条件预条件是一种通过变换矩阵来改善迭代矩阵谱半径的技术，从而加速收敛。预条件矩阵的选择需要考虑原问题的性质和计算效率。4.3.3技巧3：混合迭代结合不同的迭代方法，如高斯-赛德尔迭代和雅可比迭代，通过混合使用这些方法，可以找到更有效的迭代路径，加速收敛。4.3.4代码示例：使用松弛因子加速迭代法假设我们有如下线性方程组：A其中，A使用高斯-赛德尔迭代法求解，并引入松弛因子ω。importnumpyasnp

#定义矩阵A和向量b

A=np.array([[4,1],[1,3]])

b=np.array([1,2])

#定义迭代函数

defgauss_seidel(A,b,x,omega):

n=len(b)

x_new=np.zeros(n)

foriinrange(n):

s1=np.dot(A[i,:i],x_new[:i])

s2=np.dot(A[i,i+1:],x[i+1:])

x_new[i]=(b[i]-s1-s2)/A[i,i]

x_new[i]=omega*x_new[i]+(1-omega)*x[i]

returnx_new

#初始解向量和松弛因子

x=np.array([0,0])

omega=1.2

#迭代求解

forkinrange(100):

x=gauss_seidel(A,b,x,omega)

ifnp.linalg.norm(np.dot(A,x)-b)<1e-6:

break

print("迭代次数:",k+1)

print("解向量:",x)4.3.5解释在上述代码中，我们定义了一个高斯-赛德尔迭代函数gauss_seidel，并引入了松弛因子ω。通过迭代求解，直到满足误差收敛准则，即Ax−b4.3.6技巧4：使用最优松弛因子最优松弛因子ωo4.3.7技巧5：自适应松弛因子在迭代过程中动态调整松弛因子，根据当前迭代的收敛情况自动选择最合适的ω，可以进一步提高收敛速度。4.3.8技巧6：多级网格方法在求解大规模问题时，可以先在较粗的网格上进行迭代，得到初步解，然后在更细的网格上继续迭代，这种方法可以显著减少迭代次数，加速收敛。通过上述技巧的运用，可以有效提高迭代法在结构力学数值分析中的效率和精度。在实际应用中，选择合适的加速收敛技巧需要根据具体问题的性质和计算资源进行综合考虑。5结构力学中的迭代法应用5.1结构静力分析的迭代求解5.1.1原理在结构静力分析中，迭代法主要用于求解非线性问题。非线性问题的出现可能源于材料的非线性、几何的非线性或边界条件的非线性。迭代法通过逐步逼近的方式，将非线性问题转化为一系列线性问题进行求解，直至满足收敛准则。5.1.2内容迭代求解过程通常包括以下步骤：初始化：设定初始条件，如初始位移或应力。线性化：在当前解的基础上，将非线性方程线性化，形成线性方程组。求解：使用直接法或迭代法求解线性方程组，得到新的解。收敛检查：比较新旧解的差异，如果满足收敛准则，则迭代结束；否则，返回步骤2继续迭代。示例：Newton-Raphson方法Newton-Raphson方法是一种常用的迭代求解非线性方程的方法。在结构静力分析中，可以用于求解非线性平衡方程。#Newton-Raphson迭代法求解非线性结构静力问题示例

defnewton_raphson(displacement,force,stiffness,tangent_stiffness,tolerance=1e-6,max_iterations=100):

"""

Newton-Raphson迭代法求解非线性结构静力问题

参数:

displacement(numpy.array):初始位移向量

force(numpy.array):外力向量

stiffness(function):刚度矩阵计算函数

tangent_stiffness(function):切线刚度矩阵计算函数

tolerance(float):收敛容差

max_iterations(int):最大迭代次数

返回:

numpy.array:最终位移向量

"""

iteration=0

residual=force-stiffness(displacement)

whilenp.linalg.norm(residual)>toleranceanditeration<max_iterations:

delta_displacement=np.linalg.solve(tangent_stiffness(displacement),residual)

displacement+=delta_displacement

residual=force-stiffness(displacement)

iteration+=1

returndisplacement

#示例数据

importnumpyasnp

defstiffness(displacement):

#假设的刚度矩阵计算函数

returnnp.array([[100,0],[0,100]])@displacement

deftangent_stiffness(displacement):

#假设的切线刚度矩阵计算函数

returnnp.array([[100,0],[0,100]])

#外力向量

force=np.array([1000,500])

#初始位移向量

displacement=np.array([0,0])

#迭代求解

final_displacement=newton_raphson(displacement,force,stiffness,tangent_stiffness)

print("最终位移向量:",final_displacement)5.2结构动力分析的迭代方法5.2.1原理结构动力分析中的迭代法主要用于求解动力方程的数值解，特别是当结构的动力响应受到非线性因素影响时。动力方程通常为二阶微分方程，迭代法通过时间步长的推进，逐步求解结构在不同时间点的动力响应。5.2.2内容迭代求解动力方程的过程包括：时间离散：将连续的时间域离散化，设定时间步长。状态更新：在每个时间步长内，根据当前状态（位移、速度、加速度）和动力方程，预测下一时刻的状态。迭代求解：对于非线性动力方程，可能需要在每个时间步长内进行多次迭代，以确保状态预测的准确性。收敛检查：检查状态更新是否满足收敛准则，如能量守恒或位移连续性。示例：Newmark-beta方法Newmark-beta方法是一种广泛应用于结构动力分析的迭代方法，它通过设定不同的β和γ值，可以调整方法的稳定性和精度。#Newmark-beta方法求解结构动力问题示例

defnewmark_beta(displacement,velocity,acceleration,force,mass,stiffness,damping,time_step,beta=0.25,gamma=0.5,tolerance=1e-6,max_iterations=100):

"""

Newmark-beta方法求解结构动力问题

参数:

displacement(numpy.array):当前位移向量

velocity(numpy.array):当前速度向量

acceleration(numpy.array):当前加速度向量

force(function):外力计算函数

mass(numpy.array):质量矩阵

stiffness(numpy.array):刚度矩阵

damping(numpy.array):阻尼矩阵

time_step(float):时间步长

beta(float):Newmark-beta方法的β参数

gamma(float):Newmark-beta方法的γ参数

tolerance(float):收敛容差

max_iterations(int):最大迭代次数

返回:

numpy.array:下一时刻的位移向量

numpy.array:下一时刻的速度向量

numpy.array:下一时刻的加速度向量

"""

for_inrange(max_iterations):

#预测下一时刻的状态

predicted_displacement=displacement+time_step*velocity+0.5*time_step**2*(1-2*beta)*acceleration

predicted_velocity=velocity+time_step*(1-gamma)*acceleration

#计算预测状态下的加速度

predicted_acceleration=np.linalg.solve(mass+beta*time_step**2*stiffness+gamma*time_step*damping,force(predicted_displacement)-stiffness(predicted_displacement)@predicted_displacement-damping@predicted_velocity)

#更新状态

displacement=displacement+time_step*velocity+0.5*time_step**2*beta*predicted_acceleration

velocity=velocity+time_step*gamma*predicted_acceleration

acceleration=predicted_acceleration

#检查收敛性

ifnp.linalg.norm(predicted_acceleration-acceleration)<tolerance:

break

returndisplacement,velocity,acceleration

#示例数据

importnumpyasnp

#质量矩阵

mass=np.array([[1,0],[0,1]])

#刚度矩阵

stiffness=np.array([[100,0],[0,100]])

#阻尼矩阵

damping=np.array([[10,0],[0,10]])

defforce(displacement):

#假设的外力计算函数

returnnp.array([np.sin(displacement[0]),np.cos(displacement[1])])

#初始状态

displacement=np.array([0,0])

velocity=np.array([0,0])

acceleration=np.array([0,0])

#时间步长

time_step=0.01

#迭代求解

final_displacement,final_velocity,final_acceleration=newmark_beta(displacement,velocity,acceleration,force,mass,stiffness,damping,time_step)

print("最终位移向量:",final_displacement)

print("最终速度向量:",final_velocity)

print("最终加速度向量:",final_acceleration)5.3非线性结构分析的迭代策略5.3.1原理非线性结构分析的迭代策略涉及对结构的非线性行为进行逐步逼近，以求得结构在复杂载荷下的响应。这些策略通常包括增量迭代、弧长法、Riks方法等，它们通过控制载荷或位移的增量，确保迭代过程的稳定性和收敛性。5.3.2内容非线性结构分析的迭代策略包括：增量迭代：将总载荷或位移分解为多个小增量，逐步施加，每次迭代求解结构在当前增量下的响应。弧长法：在载荷-位移曲线中引入一个虚拟的弧长参数，控制载荷和位移的增量，以避免在软化阶段的迭代失败。Riks方法：结合了增量迭代和弧长法的优点，通过引入载荷因子和位移增量，控制迭代过程，适用于结构的极限承载力分析。示例：增量迭代法增量迭代法是一种基本的非线性结构分析策略，通过逐步增加载荷，求解结构在不同载荷水平下的响应。#增量迭代法求解非线性结构问题示例

defincremental_iteration(displacement,force,stiffness,tolerance=1e-6,max_iterations=100,load_increment=100):

"""

增量迭代法求解非线性结构问题

参数:

displacement(numpy.array):初始位移向量

force(numpy.array):初始外力向量

stiffness(function):刚度矩阵计算函数

tolerance(float):收敛容差

max_iterations(int):最大迭代次数

load_increment(float):载荷增量

返回:

numpy.array:最终位移向量

"""

current_load=0

whilecurrent_load<np.linalg.norm(force):

residual=force-current_load*stiffness(displacement)

for_inrange(max_iterations):

delta_displacement=np.linalg.solve(stiffness(displacement),residual)

displacement+=delta_displacement

residual=force-current_load*stiffness(displacement)

ifnp.linalg.norm(residual)<tolerance:

break

current_load+=load_increment

returndisplacement

#示例数据

importnumpyasnp

defstiffness(displacement):

#假设的刚度矩阵计算函数

returnnp.array([[100,0],[0,100]])@displacement

#外力向量

force=np.array([1000,500])

#初始位移向量

displacement=np.array([0,0])

#迭代求解

final_displacement=incremental_iteration(displacement,force,stiffness)

print("最终位移向量:",final_displacement)以上示例和方法展示了迭代法在结构静力分析、动力分析和非线性结构分析中的应用，通过逐步逼近和状态更新，可以有效地求解复杂结构的响应。6案例研究与实践6.1桥梁结构的迭代分析6.1.1原理与内容桥梁结构的迭代分析是结构力学数值方法中的一个重要应用，尤其在处理非线性问题时。迭代法通过逐步逼近的方式，解决结构在复杂载荷作用下的响应问题。在桥梁分析中，迭代法常用于考虑材料非线性、几何非线性和接触非线性等因素。材料非线性迭代分析材料非线性分析中，桥梁的材料属性（如混凝土、钢材）在不同应力状态下会发生变化，这需要通过迭代求解来更新材料的应力-应变关系。例如，混凝土在受压时可能会出现塑性变形，而在受拉时则可能开裂，这些非线性行为需要在每次迭代中重新计算。几何非线性迭代分析几何非线性分析考虑了结构变形对自身几何形状的影响，如大位移和大转动。在桥梁结构中，长跨桥梁的自重和风载荷可能导致显著的几何变形，这些变形反过来又会影响结构的内力分布，因此需要通过迭代分析来逐步修正结构的几何状态。接触非线性迭代分析接触非线性分析处理结构中不同部分之间的接触问题，如桥墩与基础之间的接触、桥面与车辆之间的接触等。接触面的非线性行为（如摩擦、间隙）需要在每次迭代中根据接触状态进行更新。6.1.2示例：Python中使用OpenSees进行桥梁结构迭代分析#导入OpenSeesPy库

importopenseespy.openseesasops

#创建OpenSees模型

ops.wipe()

ops.model('basic','-ndm',2,'-ndf',2)

#定义节点

ops.node(1,0,0)

ops.node(2,100,0)

#定义单元

ops.element('ElasticBeamColumn',1,1,2,1000,10000,1000)

#定义边界条件

ops.fix(1,1,1)

ops.fix(2,0,1)

#定义材料

ops.uniaxialMaterial('Hardening',1,10000,1000,0.001)

#定义载荷

ops.timeSeries('Linear',1)

ops.pattern('Plain',1,1)

ops.load(2,0,-1000)

#定义分析方法

ops.system('BandGeneral')

ops.numberer('RCM')

ops.constraints('Plain')

egrator('LoadControl',0.01)

ops.test('NormUnbalance',1.0e-8,10)

ops.algorithm('Newton')

ops.analysis('Static')

#进行迭代分析

whileops.analyze(1)!=0:

ops.reformTangent()

ops.analyze(1)

#输出结果

ops.reactions()此代码示例使用OpenSeesPy库创建了一个简单的桥梁模型，并通过迭代分析求解了在垂直载荷作用下的结构响应。while循环确保了分析过程中的迭代求解，直到满足收敛条件。6.2高层建筑结构的非线性迭代求解6.2.1原理与内容高层建筑结构的非线性迭代求解通常涉及地震响应分析、风载荷分析以及考虑结构材料和几何非线性的复杂问题。在地震工程中，结构的非线性行为（如塑性铰的形成）对结构的抗震性能有重大影响，需要通过迭代分析来准确预测。地震响应迭代分析地震响应分析中，高层建筑可能经历大变形和塑性铰的形成，这些非线性效应需要通过迭代求解来逐步更新结构的内力和变形。风载荷迭代分析风载荷分析考虑了风对高层建筑的动态影响，如风振效应。迭代分析可以用于求解结构在风载荷作用下的非线性响应，包括结构的自振频率和阻尼比的变化。6.2.2示例：使用Python和OpenSees进行高层建筑地震响应迭代分析#导入OpenSeesPy库

importopenseespy.openseesasops

#创建OpenSees模型

ops.wipe()

ops.model('basic','-ndm',3,'-ndf',6)

#定义节点

ops.node(1,0,0,0)

ops.node(2,0,10,0)

#定义单元

ops.element('ElasticBeamColumn',1,1,2,1000,10000,1000)

#定义边界条件

ops.fix(1,1,1,1)

ops.fix(2,0,0,0)

#定义材料

ops.uniaxialMaterial('Hardening',1,10000,1000,0.001)

#定义地震载荷

ops.timeSeries('Path',1,'-dt',0.01,'-factor',1.0,'earthquake_acceleration.txt')

ops.pattern('UniformExcitation',1,1,'-accel',1)

#定义分析方法

ops.system('BandGeneral')

ops.numberer('RCM')

ops.constraints('Transformation')

egrator('Newmark',0.5,0.25)

ops.test('NormUnbala