结构力学基础概念：超静定结构：超静定结构的数值模拟方法

结构力学基础概念：超静定结构：超静定结构的数值模拟方法1结构力学与超静定结构简介结构力学是研究结构在各种外力作用下变形和内力分布的学科，它为结构设计提供了理论基础。在结构力学中，根据结构的约束条件和外力作用，结构可以分为静定结构和超静定结构两大类。1.1静定结构与超静定结构静定结构：这类结构的未知力可以通过平衡方程完全确定，不需要考虑变形条件。静定结构的约束数量等于自由度数量，因此，当外力作用时，结构的内力和变形可以唯一确定。超静定结构：超静定结构的约束数量超过自由度数量，导致未知力的数量多于平衡方程的数量。这意味着仅通过平衡方程无法唯一确定结构的内力和变形，需要引入变形条件（即位移连续条件）来求解。1.2超静定结构的特性超静定结构具有以下特性：-冗余约束：存在多余约束，使得结构在局部破坏时仍能保持整体稳定性。-内力重分布：当结构的一部分受到破坏或变形时，内力可以重新分布，以适应新的平衡状态。-刚度和稳定性：超静定结构通常具有更高的刚度和稳定性，因为它们能够通过内力的重分布来抵抗外力。2数值模拟在结构分析中的应用数值模拟是现代结构分析中不可或缺的工具，它通过计算机算法来求解结构力学问题，特别适用于超静定结构的分析。数值模拟方法包括有限元法、边界元法、离散元法等。2.1有限元法（FiniteElementMethod,FEM）有限元法是最常用的数值模拟方法之一，它将结构分解为多个小的、简单的单元，然后在每个单元上应用力学原理，通过求解单元间的平衡方程来获得整个结构的响应。2.1.1有限元法的基本步骤结构离散化：将结构划分为有限数量的单元。单元分析：在每个单元上建立力学模型，求解单元的内力和变形。整体分析：将所有单元的响应组合起来，求解整个结构的内力和变形。后处理：分析和可视化求解结果。2.1.2代码示例以下是一个使用Python和scipy库进行简单梁的有限元分析的示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义结构参数

n_nodes=5#节点数量

n_elements=4#单元数量

E=200e9#弹性模量

A=0.01#截面面积

L=1.0#单元长度

#创建刚度矩阵

K=lil_matrix((n_nodes,n_nodes))

foriinrange(n_elements):

k_element=np.array([[1,-1],[-1,1]])*(E*A/L)

K[i:i+2,i:i+2]+=k_element

#定义边界条件和外力

boundary_conditions=np.array([1,0,0,0,1])#固定两端

F=np.zeros(n_nodes)

F[2]=-1000#在第三个节点施加向下力

#应用边界条件

K=K.tocsr()

K=K[boundary_conditions==0,:][:,boundary_conditions==0]

F=F[boundary_conditions==0]

#求解位移

U=spsolve(K,F)

#输出位移

print("节点位移:",U)2.1.3解释在这个示例中，我们创建了一个简单的梁结构，由5个节点和4个单元组成。我们使用了scipy库中的lil_matrix来构建刚度矩阵，spsolve来求解位移。边界条件和外力被定义，然后应用到刚度矩阵和外力向量上，以求解结构的位移。2.2结论数值模拟方法，尤其是有限元法，为超静定结构的分析提供了强大的工具。通过将复杂结构分解为简单的单元，可以精确地计算结构的内力和变形，这对于结构设计和优化至关重要。上述代码示例展示了如何使用Python和scipy库进行有限元分析，为理解和应用数值模拟方法提供了一个起点。请注意，上述代码示例和解释是为了教学目的而简化，实际的结构分析可能涉及更复杂的模型和算法。3超静定结构的基础理论3.1超静定结构的定义与分类超静定结构，也称为冗余结构，是指在承受外力作用时，仅凭静力平衡条件无法唯一确定其内力和变形的结构。这类结构具有多余约束或多余支座，使得结构在几何上稳定，且能够承受更大的荷载，同时提供更好的安全性和稳定性。超静定结构的分类主要基于其多余约束的数量：一次超静定结构：具有一个多余约束。二次超静定结构：具有两个多余约束。多次超静定结构：具有两个以上多余约束。3.1.1示例：一次超静定梁假设我们有一根简支梁，两端固定，中间受到集中力的作用。如果在梁的一端增加一个支座，那么这个结构就变成了一个一次超静定结构。此时，仅凭静力平衡条件无法确定梁的内力分布，需要考虑变形协调条件。3.2静定与超静定结构的区别静定结构与超静定结构的主要区别在于其约束条件和解的确定性：静定结构：结构的约束数量恰好满足静力平衡条件，即外力和外力矩的代数和为零。这类结构的内力和变形可以通过静力平衡方程唯一确定，且在结构中没有多余约束。超静定结构：结构的约束数量超过静力平衡条件所需的数量，存在多余约束。这意味着仅凭静力平衡条件无法唯一确定结构的内力和变形，需要结合变形协调条件和物理方程进行求解。3.2.1示例：静定与超静定梁的对比3.2.1.1静定梁假设我们有一根两端简支的梁，受到均匀分布的荷载作用。此梁为静定结构，其内力（弯矩和剪力）可以通过静力平衡方程直接计算得出。3.2.1.2超静定梁考虑一根两端固定，中间受到集中力作用的梁。如果在梁的一端增加一个支座，那么这个结构就变成了一个一次超静定结构。此时，除了静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，即两端的转角和中间支座的位移必须相等，才能求解出内力和变形。3.3超静定结构的求解方法超静定结构的求解通常涉及以下步骤：确定多余约束：识别结构中的多余约束或支座。建立平衡方程：根据静力平衡条件建立方程。建立变形协调方程：根据结构的变形协调条件建立方程。应用物理方程：使用材料力学中的物理方程，如胡克定律，将应力与应变、内力与变形联系起来。求解方程组：联立平衡方程、变形协调方程和物理方程，求解出结构的内力和变形。3.3.1示例：使用力法求解一次超静定梁假设我们有一根一次超静定梁，两端固定，中间受到集中力作用。我们可以通过力法求解其内力和变形。确定多余约束：在梁的一端增加一个支座，这个支座为多余约束。建立平衡方程：设梁的长度为L，集中力为P，两端的弯矩为M1和M2，中间支座的反力为R。根据静力平衡条件，可以建立以下方程：∑M=0：弯矩平衡方程。∑F=0：力平衡方程。建立变形协调方程：设梁的弹性模量为E，截面惯性矩为I。根据变形协调条件，两端的转角和中间支座的位移必须相等。可以建立以下方程：Δ1=Δ2：两端转角相等。Δm=ΔR：中间支座位移等于多余约束位移。应用物理方程：使用胡克定律，将应力与应变、内力与变形联系起来。求解方程组：联立上述方程，求解出M1、M2和R。3.3.2代码示例：使用Python求解一次超静定梁importnumpyasnp

#定义参数

L=4.0#梁的长度

P=10.0#集中力

E=200e9#弹性模量

I=0.001#截面惯性矩

#定义方程组

A=np.array([[L**3/12,-L**3/12,L**2/2],

[-L**3/12,L**3/12,-L**2/2],

[L**2/2,-L**2/2,-L]])

B=np.array([0,0,P*L**2/2/E/I])

#求解方程组

X=np.linalg.solve(A,B)

#输出结果

M1,M2,R=X

print(f"端部弯矩M1:{M1:.2f}Nm")

print(f"端部弯矩M2:{M2:.2f}Nm")

print(f"中间支座反力R:{R:.2f}N")3.3.3解释上述代码使用Python的numpy库来求解一次超静定梁的内力和变形。首先定义了梁的长度、集中力、弹性模量和截面惯性矩。然后，根据静力平衡条件和变形协调条件，建立了方程组。最后，使用numpy的linalg.solve函数求解方程组，得到端部弯矩M1、M2和中间支座反力R的值。通过上述理论和示例，我们可以理解超静定结构的基础概念，以及如何通过数值模拟方法求解其内力和变形。超静定结构的求解方法不仅限于力法，还包括位移法、能量法等多种方法，具体选择哪种方法取决于结构的复杂性和求解的精度要求。4超静定结构的分析方法4.1力法解析超静定结构4.1.1原理力法是分析超静定结构的一种经典方法，它基于结构的平衡条件和变形协调条件。在超静定结构中，未知的内力或反力数目超过了独立的平衡方程数目，因此需要引入变形协调条件来求解。力法的基本思想是，将超静定结构转化为静定结构，通过求解多余未知力引起的变形，使这些变形与实际结构的变形相协调，从而求得结构的内力和反力。4.1.2内容确定超静定次数：首先，需要确定结构的超静定次数，即多余约束的数目。这一步骤对于后续的分析至关重要。建立基本体系：将超静定结构通过去除多余约束转化为静定的基本体系。基本体系的选择应便于计算。求解多余未知力：利用变形协调条件，建立多余未知力与结构变形之间的关系，通过求解线性方程组得到多余未知力。计算内力和反力：得到多余未知力后，可以利用静力学平衡条件和叠加原理计算出结构的内力和反力。4.1.3示例假设有一个连续梁，由两个简支梁组成，中间有一个固定连接点。这是一个一次超静定结构。我们可以通过力法来求解。4.1.3.1数据样例材料的弹性模量E梁的截面惯性矩I跨度L中间点的集中荷载P4.1.3.2代码示例#导入必要的库

importnumpyasnp

#定义材料和截面属性

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=1000e-8#截面惯性矩，单位：m^4

L=5#跨度，单位：m

P=100e3#集中荷载，单位：N

#计算刚度矩阵

#对于连续梁，刚度矩阵为4x4

#假设两端的简支梁刚度为k，中间固定点的刚度为无穷大

k=(E*I)/(L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

#去除中间固定点的约束，得到基本体系的刚度矩阵

k_basic=np.array([[12,6*L],

[6*L,4*L**2]])

#定义变形协调条件

#假设中间点的转角为0，即δ2=0

delta=np.array([0])

#求解多余未知力

#在本例中，多余未知力为中间点的弯矩M2

M2=np.linalg.solve(k_basic,-P*L/4)

#计算内力和反力

#利用叠加原理和静力学平衡条件

#假设两端的反力为R1和R2

R1=P/2+M2[0]/L

R2=P/2-M2[0]/L

#输出结果

print("中间点的弯矩M2:",M2[0],"N*m")

print("左端的反力R1:",R1,"N")

print("右端的反力R2:",R2,"N")4.2位移法与超静定结构分析4.2.1原理位移法是另一种分析超静定结构的方法，它以结构的位移作为基本未知量。位移法的基本思想是，通过求解结构在荷载作用下的位移，再利用这些位移和结构的几何关系来计算内力和反力。这种方法适用于计算机辅助分析，因为可以方便地建立和求解大型的线性方程组。4.2.2内容确定基本未知量：选择结构的关键位移作为基本未知量，这些位移通常包括节点位移和转角。建立刚度矩阵：利用材料力学和弹性理论，建立结构的刚度矩阵，描述结构在荷载作用下的变形特性。求解位移：利用刚度矩阵和荷载向量，建立位移方程组，通过求解线性方程组得到基本未知量的值。计算内力和反力：得到位移后，可以利用位移与内力之间的关系，计算出结构的内力和反力。4.2.3示例考虑一个由两根梁组成的框架结构，两端固定，中间承受集中荷载。我们使用位移法来分析这个结构。4.2.3.1数据样例材料的弹性模量E梁的截面惯性矩I梁的长度L集中荷载P4.2.3.2代码示例#导入必要的库

importnumpyasnp

#定义材料和截面属性

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=1000e-8#截面惯性矩，单位：m^4

L=5#梁的长度，单位：m

P=100e3#集中荷载，单位：N

#计算刚度矩阵

#对于框架结构，刚度矩阵为6x6

#假设两端的刚度为k，中间点的刚度为无穷大

k=(E*I)/(L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L,0,0],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2,0,0],

[-12,-6*L,12,-6*L,0,0],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2,0,0],

[0,0,0,0,12,6*L],

[0,0,0,0,6*L,4*L**2]])

#去除两端固定点的约束，得到基本体系的刚度矩阵

k_basic=np.array([[12,6*L],

[6*L,4*L**2]])

#定义荷载向量

#假设荷载只作用在中间点，且只考虑垂直方向的位移

F=np.array([0,P*L/4])

#求解位移

#在本例中，基本未知量为中间点的垂直位移δ2和转角θ2

delta_theta=np.linalg.solve(k_basic,F)

#计算内力和反力

#利用位移与内力之间的关系

#假设两端的反力为R1和R2，中间点的弯矩为M2

R1=P/2+delta_theta[0]*E*I/(L**2)

R2=P/2-delta_theta[0]*E*I/(L**2)

M2=delta_theta[1]*E*I*L

#输出结果

print("中间点的垂直位移δ2:",delta_theta[0],"m")

print("中间点的转角θ2:",delta_theta[1],"rad")

print("左端的反力R1:",R1,"N")

print("右端的反力R2:",R2,"N")

print("中间点的弯矩M2:",M2,"N*m")以上代码示例展示了如何使用位移法分析超静定结构，通过求解位移方程组，进而计算出结构的内力和反力。5数值模拟方法的引入5.1有限元法的基本原理有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值分析方法，用于求解复杂的工程问题，如结构力学中的超静定结构分析。它将连续的结构或系统离散化为有限数量的单元，每个单元用一组节点来表示，通过在这些节点上应用数学模型，可以近似求解出整个结构的响应。5.1.1基本步骤结构离散化：将结构分解为多个小的、简单的单元，如梁、板、壳等。选择位移模式：为每个单元选择适当的位移函数，通常为多项式函数。建立单元方程：利用变分原理或能量原理，建立每个单元的平衡方程。组装整体方程：将所有单元方程组装成一个整体的刚度矩阵方程。施加边界条件：根据结构的约束条件，修改整体方程。求解未知数：使用数值方法求解修改后的方程，得到节点位移。后处理：从节点位移计算出应力、应变等其他物理量。5.1.2示例代码以下是一个使用Python和numpy库进行简单梁的有限元分析的示例代码：importnumpyasnp

#定义单元刚度矩阵

defunit_stiffness(E,I,L):

"""

计算梁单元的刚度矩阵。

:paramE:弹性模量

:paramI:惯性矩

:paramL:单元长度

:return:单元刚度矩阵

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定义整体刚度矩阵

defglobal_stiffness(units,E,I):

"""

组装所有单元的刚度矩阵为整体刚度矩阵。

:paramunits:单元信息列表，每个元素包含单元的两个节点编号和单元长度

:paramE:弹性模量

:paramI:惯性矩

:return:整体刚度矩阵

"""

n_nodes=max([max(unit)forunitinunits])+1

n_dofs=2*n_nodes

K=np.zeros((n_dofs,n_dofs))

forunitinunits:

node1,node2,L=unit

k=unit_stiffness(E,I,L)

K[2*node1:2*node1+2,2*node1:2*node1+2]+=k[:2,:2]

K[2*node1:2*node1+2,2*node2:2*node2+2]+=k[:2,2:]

K[2*node2:2*node2+2,2*node1:2*node1+2]+=k[2:,:2]

K[2*node2:2*node2+2,2*node2:2*node2+2]+=k[2:,2:]

returnK

#示例数据

units=[(0,1,1),(1,2,1)]#单元信息：(节点1,节点2,长度)

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.01#惯性矩，单位：m^4

#计算整体刚度矩阵

K=global_stiffness(units,E,I)

print(K)5.1.3解释此代码定义了两个函数：unit_stiffness用于计算单个梁单元的刚度矩阵，global_stiffness用于将所有单元的刚度矩阵组装成整体刚度矩阵。示例数据中，我们有两个梁单元，每个单元连接两个节点，长度为1米。通过调用这些函数，我们可以得到整个结构的刚度矩阵。5.2有限元法在超静定结构中的应用超静定结构是指结构的未知约束反力或内力多于独立的平衡方程数的结构。有限元法在超静定结构中的应用，主要是通过求解超出独立平衡方程数的未知数，来分析结构的应力、应变和位移。5.2.1关键点超静定次数：超静定结构的超静定次数等于未知约束反力或内力的数量减去独立的平衡方程数。位移边界条件：在有限元分析中，必须施加位移边界条件，以消除结构的刚体运动。载荷边界条件：施加在结构上的外力，如集中力、分布力等，也必须在有限元模型中正确表示。求解方法：对于超静定结构，通常使用迭代法或直接法求解整体刚度矩阵方程。5.2.2示例代码以下是一个使用有限元法分析超静定结构（如连续梁）的Python代码示例：importnumpyasnp

#定义载荷向量

defload_vector(units,loads):

"""

计算整体载荷向量。

:paramunits:单元信息列表

:paramloads:载荷信息列表，每个元素包含节点编号和作用在该节点上的力

:return:整体载荷向量

"""

n_nodes=max([max(unit)forunitinunits])+1

n_dofs=2*n_nodes

F=np.zeros(n_dofs)

forloadinloads:

node,force=load

F[2*node]=force

returnF

#示例数据

loads=[(1,-1000)]#载荷信息：(节点,力)

F=load_vector(units,loads)

print(F)

#求解位移

K_mod=K.copy()

K_mod[[0,2],:]=0

K_mod[:,[0,2]]=0

K_mod[0,0]=1

K_mod[2,2]=1

F_mod=F.copy()

F_mod[0]=0

F_mod[2]=0

U=np.linalg.solve(K_mod,F_mod)

print(U)5.2.3解释在超静定结构的有限元分析中，我们首先需要计算整体载荷向量，这在load_vector函数中完成。然后，为了求解位移，我们需要修改整体刚度矩阵和载荷向量，以施加位移边界条件。在示例中，我们假设节点0和节点2有位移约束，因此在整体刚度矩阵中将这些行和列置零，并在对角线上设置为1，同时将相应的载荷向量元素设置为0。最后，使用numpy.linalg.solve函数求解修改后的方程，得到节点位移。通过有限元法，我们可以精确地分析超静定结构在各种载荷条件下的响应，这对于设计和优化复杂结构至关重要。6超静定结构的有限元分析6.1建立超静定结构的有限元模型6.1.1原理超静定结构的有限元分析是基于结构力学和数值分析的原理，通过将复杂结构离散化为一系列简单的单元，如梁、板、壳等，然后在每个单元上应用力学方程，最终通过组合所有单元的方程来求解整个结构的响应。这一过程涉及到以下几个关键步骤：结构离散化：将结构分解为多个小的、简单的单元，每个单元可以是线性的或非线性的，取决于结构的复杂性和分析的精度要求。单元分析：对每个单元应用力学原理，如胡克定律、牛顿第二定律等，建立单元的刚度矩阵和载荷向量。整体分析：将所有单元的刚度矩阵和载荷向量组合成整体结构的刚度矩阵和载荷向量，形成一个大型的线性方程组。边界条件和载荷应用：在整体结构的方程中加入边界条件和外部载荷，以反映实际工况。求解方程：使用数值方法，如直接求解法或迭代法，求解整体结构的方程组，得到结构的位移、应力和应变等响应。6.1.2内容在建立超静定结构的有限元模型时，首先需要确定结构的几何形状、材料属性和边界条件。例如，考虑一个由两根梁组成的超静定结构，如下图所示：超静定结构示例超静定结构示例假设每根梁的长度为L，截面惯性矩为I，弹性模量为E，并且结构在两端固定，中间受到集中力F的作用。6.1.2.1代码示例使用Python和SciPy库来建立这个超静定结构的有限元模型：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportcsc_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义材料和几何参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=1e-4#截面惯性矩，单位：m^4

L=1#梁的长度，单位：m

F=1000#集中力，单位：N

#定义节点和单元

nodes=np.array([[0,0],[L,0],[2*L,0]])#节点坐标

elements=np.array([[0,1],[1,2]])#单元连接节点

#建立刚度矩阵

K=np.zeros((6,6))

foreleminelements:

x1,y1=nodes[elem[0]]

x2,y2=nodes[elem[1]]

L_elem=np.sqrt((x2-x1)**2+(y2-y1)**2)

k_elem=E*I/L_elem**3*np.array([[12,6*L_elem,-12,6*L_elem],

[6*L_elem,4*L_elem**2,-6*L_elem,2*L_elem**2],

[-12,-6*L_elem,12,-6*L_elem],

[6*L_elem,2*L_elem**2,-6*L_elem,4*L_elem**2]])

K[2*elem[0]:2*elem[0]+2,2*elem[0]:2*elem[0]+2]+=k_elem[:2,:2]

K[2*elem[0]:2*elem[0]+2,2*elem[1]:2*elem[1]+2]+=k_elem[:2,2:]

K[2*elem[1]:2*elem[1]+2,2*elem[0]:2*elem[0]+2]+=k_elem[2:,:2]

K[2*elem[1]:2*elem[1]+2,2*elem[1]:2*elem[1]+2]+=k_elem[2:,2:]

#应用边界条件

K=csc_matrix(K)

K=K.tolil()

K[0,:]=0

K[1,:]=0

K[4,:]=0

K[5,:]=0

K[0,0]=1

K[1,1]=1

K[4,4]=1

K[5,5]=1

K=K.tocsc()

#定义载荷向量

F=np.zeros(6)

F[2]=-F

#求解位移向量

U=spsolve(K,F)

#输出位移结果

print("位移向量：",U)6.1.3描述上述代码首先定义了结构的材料和几何参数，然后创建了节点和单元的列表。通过循环遍历每个单元，计算其刚度矩阵，并将其添加到整体结构的刚度矩阵中。接着，应用边界条件，将固定端的位移设为零，同时保持刚度矩阵的非奇异性质。最后，定义载荷向量，其中中间节点的垂直方向受到集中力的作用，使用SciPy的spsolve函数求解位移向量。6.2求解超静定结构的有限元方程6.2.1原理求解超静定结构的有限元方程通常涉及线性代数中的矩阵运算。整体结构的刚度矩阵K和载荷向量F形成方程组KU=F，其中U是未知的位移向量。由于超静定结构的刚度矩阵通常是满秩的，因此可以直接使用直接求解法或迭代法来求解这个方程组。6.2.2内容在求解超静定结构的有限元方程时，选择合适的求解器是关键。直接求解法如高斯消元法、LU分解等，适用于小型或中型问题，而迭代法如共轭梯度法、最小残量法等，更适合大型问题，因为它们在内存使用上更高效。6.2.2.1代码示例继续使用上述超静定结构的模型，我们可以通过迭代法求解位移向量：fromscipy.sparse.linalgimportcg

#使用共轭梯度法求解位移向量

U,info=cg(K,F)

#输出位移结果和求解信息

print("位移向量：",U)

print("求解信息：",info)6.2.3描述这段代码使用了SciPy库中的cg函数，即共轭梯度法，来求解超静定结构的有限元方程。共轭梯度法是一种迭代求解线性方程组的方法，特别适用于求解大型稀疏矩阵问题。cg函数返回位移向量U和求解信息info，其中info表示求解过程是否成功。通过这种方法，我们可以有效地处理大型超静定结构的分析问题，节省计算资源。7超静定结构的数值模拟案例7.1桥梁结构的超静定分析7.1.1概念理解超静定结构是指结构的未知约束反力或内力数目多于独立平衡方程数目的一种结构类型。桥梁结构，尤其是现代桥梁，常采用超静定设计，以提高结构的稳定性和承载能力。超静定结构的分析需要借助于变形协调条件和材料力学性能，通过数值方法求解。7.1.2数值模拟方法数值模拟方法在超静定结构分析中至关重要，常见的方法包括有限元法（FEM）和边界元法（BEM）。其中，有限元法因其灵活性和广泛的应用范围而被广泛采用。7.1.2.1有限元法示例假设我们有一个简化的桥梁模型，由多个梁单元组成，每个梁单元可以简化为一个二阶微分方程。我们将使用Python的SciPy库来求解这个模型。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义梁单元的刚度矩阵

defstiffness_matrix(length,EA,EI):

"""

EA:弹性模量乘以截面面积

EI:弹性模量乘以截面惯性矩

"""

k=EA/length*np.array([[1,-1],[-1,1]])

m=EI/length**3*np.array([[12,6*length,-12,6*length],

[6*length,4*length**2,-6*length,2*length**2],

[-12,-6*length,12,-6*length],

[6*length,2*length**2,-6*length,4*length**2]])

returnnp.block([[k,np.zeros((2,2))],[np.zeros((2,2)),m]])

#定义桥梁模型

defbridge_model(n_elements,length,EA,EI):

"""

n_elements:梁单元数量

length:每个梁单元的长度

EA,EI:材料属性

"""

#创建全局刚度矩阵

K=np.zeros((4*n_elements,4*n_elements))

foriinrange(n_elements):

#获取局部刚度矩阵

k=stiffness_matrix(length,EA,EI)

#将局部刚度矩阵添加到全局刚度矩阵中

K[4*i:4*(i+1),4*i:4*(i+1)]+=k

returnK

#定义载荷向量

defload_vector(n_elements,q):

"""

n_elements:梁单元数量

q:均布载荷

"""

F=np.zeros(4*n_elements)

foriinrange(n_elements):

F[4*i+1]-=q*length/2

F[4*i+3]-=q*length/2

returnF

#求解

n_elements=5#假设桥梁由5个梁单元组成

length=10#每个梁单元的长度为10米

EA=1e6#弹性模量乘以截面面积

EI=1e8#弹性模量乘以截面惯性矩

q=1000#均布载荷为1000N/m

K=bridge_model(n_elements,length,EA,EI)

F=load_vector(n_elements,q)

#应用边界条件

#假设桥梁两端固定

K=K[2:-2,2:-2]

F=F[2:-2]

#求解位移向量

U=spsolve(K,F)

#输出位移向量

print("位移向量:",U)7.1.3解释上述代码中，我们首先定义了梁单元的刚度矩阵，然后创建了桥梁模型的全局刚度矩阵。接着，定义了载荷向量，考虑到均布载荷对每个梁单元的影响。最后，我们应用了边界条件（假设桥梁两端固定），并使用SciPy的spsolve函数求解位移向量。7.2高层建筑框架结构的数值模拟7.2.1概念理解高层建筑框架结构的超静定分析更为复杂，因为它涉及到三维空间中的多个方向的力和位移。框架结构由柱、梁和支撑组成，这些构件在地震、风力等外部载荷作用下会产生复杂的内力和变形。7.2.2数值模拟方法对于高层建筑框架结构，有限元法仍然是首选的数值模拟方法。通过建立三维模型，可以更准确地模拟结构的响应。7.2.2.1有限元法示例我们将使用Python的FEniCS库来建立一个简单的三维框架结构模型，并求解其在地震载荷下的响应。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#创建网格

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(10,10,30),10,10,30)

#定义函数空间

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),boundary)

#定义材料属性

E=2.1e11#弹性模量

nu=0.3#泊松比

rho=7800#密度

#定义本构关系

defsigma(v):

returnE/(1+nu)*(v+nu*tr(v)*Identity(v.geometric_dimension()))

#定义弱形式

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0,-1000))#地震载荷

g=Constant((0,0,0))#重力载荷

F=inner(sigma(sym(grad(u))),sym(grad(v)))*dx-inner(f,v)*dx-inner(g,v)*ds

#定义时间步长和总时间

dt=0.01

T=10

#定义初始条件

u_n=Function(V)

#时间积分

t=0

whilet<T:

t+=dt

solve(F==0,u_n,bc)

#更新位移

u_n.assign(u_n)

#输出结果

vtkfile=File('displacement.pvd')

vtkfile<<(u_n,t)7.2.3解释在这个示例中，我们使用FEniCS库创建了一个三维的框架结构模型。我们定义了边界条件，材料属性，以及本构关系（这里使用了线性弹性材料模型）。通过定义弱形式，我们可以求解结构在地震载荷下的响应。最后，我们通过时间积分求解了整个时间范围内的位移，并将结果输出为VTK格式，以便于可视化。通过以上两个示例，我们可以看到数值模拟方法在超静定结构分析中的应用，以及如何使用Python的科学计算库来实现这些方法。这些方法不仅限于桥梁和高层建筑框架结构，还可以应用于其他类型的超静定结构分析中。8软件工具与超静定结构分析8.1常用结构分析软件介绍在结构力学领域，超静定结构的分析往往需要借助于专业的软件工具，以实现精确的数值模拟。以下是一些广泛使用的结构分析软件：ANSYS

ANSYS是一款功能强大的工程仿真软件，广泛应用于结构、流体、电磁、热学等多物理场的仿真分析。对于超静定结构，ANSYS提供了线性和非线性分析能力，能够处理复杂的载荷和边界条件。SAP2000

SAP2000是结构工程师常用的软件，特别擅长于高层建筑、桥梁等复杂结构的分析。它提供了直观的用户界面和强大的分析引擎，能够进行静力、动力、非线性等多种分析。ETABS

ETABS是专为建筑结构设计的软件，尤其在多层和高层建筑的分析中表现突出。它能够处理复杂的建筑布局，进行精确的荷载分配和结构响应分析。ABAQUS

ABAQUS是一款高级的有限元分析软件，适用于解决复杂的工程问题，包括超静定结构的非线性分析。它能够模拟材料的塑性、蠕变、断裂等行为，是进行深入结构研究的首选工具。RobotStructuralAnalysis

由Autodesk开发的RobotStructuralAnalysis，是一款集成在AutoCAD环境中的结构分析软件。它提供了从设计到分析的完整解决方案，适用于各种类型的结构。8.2软件操作流程与技巧8.2.1ANSYS操作流程示例8.2.1.1建立模型#ANSYSPythonAPI示例代码

#创建一个新的ANSYS实例

importansys.mapdl.coreaspymapdl

mapdl=pymapdl.launch_mapdl()

#设置单位为毫米和牛顿

mapdl.units('MM')

#创建一个简单的梁结构

mapdl.prep7()

mapdl.et(1,'BEAM188')

mapdl.r(1,100,1000)

mapdl.mp('EX',1,200000)

mapdl.mp('DENS',1,7800)

mapdl.mp('POISS',1,0.3)

mapdl.n(1,0,0,0)

mapdl.n(2,1000,0,0)

mapdl.e(1,2)8.2.1.2应用边界条件和载荷#应用边界条件

mapdl.nsel('S','LOC','Y',0)

mapdl.d(1,'ALL')

#应用载荷

mapdl.f(2,'FY',-1000)8.2.1.3求解#求解结构

mapdl.allsel()

mapdl.allsolve()8.2.1.4后处理#查看位移结果

mapdl.post1()

mapdl.set(1,1)

mapdl.prnsol('U')8.2.2SAP2000操作流程示例8.2.2.1建立模型在SAP2000中，建立模型通常通过图形界面进行，包括定义材料属性、截面、节点和元素。以下是一个简单的命令行示例，用于创建节点和定义梁元素：#SAP2000PythonAPI示例代码

importcsapiassap

#创建SAP2000实例

mySapObject=sap.SapObject()

#创建节点

mySapObject.NodeObj.AddNode(1,0,0,0)

mySapObject.NodeObj.AddNode(2,1000,0,0)

#定义梁元素

mySapObject.FrameObj.AddFrame(1,1,2,'Concrete','Rect',100,100)8.2.2.2应用边界条件和载荷#应用边界条件

mySapObject.NodeObj.DefineSupport(1,True,True,True,True,True,True)

#应用载荷

mySapObject.LoadCaseObj.AddCase('DEAD','DEAD',1.0)

mySapObject.FrameObj.AddLoadPat1(1,'DEAD',0,0,-1000,0,0,0)8.2.2.3求解#求解结构

mySapObject.Analyze.RunAnalysis()8.2.2.4后处理#查看位移结果

mySapObject.Results.SetupCase('DEAD')

displacements=mySapObject.NodeObj.GetResults(1,'U1','U2','U3','R1','R2','R3')

print(displacements)8.2.3技巧与建议熟悉软件的用户手册和帮助文档：每款软件都有其独特的功能和操作方式，深入阅读文档是掌握软件的关键。利用软件的批处理和脚本功能：通过编写脚本，可以自动化重复的分析任务，提高工作效率。进行模型验证：在进行复杂分析前，先用简单的模型验证软件设置是否正确，避免在复杂模型中发现基础错误。利用网格细化和收敛性分析：对于超静定结构，网格的细化程度直接影响分析结果的准确性，进行收敛性分析可以确保结果的可靠性。考虑非线性效应：超静定结构在大变形或材料非线性情况下，线性分析可能无法提供准确的结果，此时应使用非线性分析功能。通过上述软件和操作流程的介绍，以及具体的代码示例，可以为结构工程师提供一个从模型建立到结果分析的完整框架，帮助他们更有效地进行超静定结构的数值模拟。9结论与展望9.1超静定结构分析的未来趋势超静定结构的分析，作为结构力学中的一个重要分支，其未来的发展趋势将紧密围绕着数值模拟方法的创新与应用。随着计算机技术的飞速发展，数值模拟方法在超静定结构分析中的应用日益广泛，不仅提高了分析的精度，也极大地缩短了