2024-2025学年八年级数学上册：三角形的边 知识梳理与讲解

专题11.1三角形的边(知识梳理与考点分类讲解)

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】三角形的相关概念

(1)三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角

形.

(2)三角形的基本元素：

基本元素三个顶点三条边三个内角

方法1：线段N8、BC、AC.

点42、C必须用大写字母N4,/B,

表示方法

方法2：顶点所对的边用Q,b,c

表示ZC.

表示.

B

/、三条边48、BC、AC(或a、b、c),

图示

b

三内角N/ZBZC顶点：点/、B、C

(3)三角形的表示方法：顶点/、B、C的三角形，记作A/8C,读作“三角形/8C'

特别指出：符号“A”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示.

[例1]

1.三角形是指()

A.由三条线段所组成的封闭图形

B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形

C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形

D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形

【知识点二】三角形的分类

(1)等腰三角形

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹

角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角

(2)等边三角形

试卷第1页，共6页

三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形.

三边都不相等的三角形

（3）按边的关系底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

'锐角三角形

（4）按最大内角分类直角三角形

钝角三角形

【例2】（23-24七年级下•全国•课后作业）

2.若一个三角形三边的长度比为2:3:3,周长为32cm,则这个三角形三边的长分别

为，按边分，这个三角形是三角形.

【知识点三】三角形三边关系

图示文字语言符号语言理论依据

三角形两边之和大

Ba+b>c;b+c>a\a+c>b

于第在边

两点之间，线段

三角形两边之差小最短.

a-b<c\b-c<a;a-c<b

于第三边

【例3】（2023・江苏盐城•模拟预测）

3.如图，在四边形/BCD中，AB=6,3c=13,CD=3,AD=8,则3。的值可能是

A.8B.9C.10D.11

【知识点四】三角形的稳定性

三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.特别

指出：稳定性是三角形所持有的特征，在生产生活中有着广泛的应用，四边形不具有稳定

性.

【例4】（23-24八年级上•重庆渝中•期末）

试卷第2页，共6页

4.普通家用人字梯一般都会在两旁分别设计一根“拉杆”，这样设计是利用（）

A.两点之间，线段最短B.垂线段最短

C.三角形具有稳定性D.四边形具有不稳定性

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】构成三角形的条件

［例1］（22-23八年级上•新疆吐鲁番•阶段练习）

5.若a,b,c为。8C的三边长，且a,6满足卜-3|+修一2『=0.

（1）求c的取值范围；

（2）若第三边长c是整数，求c的值.

【举一反三】

【变式1］（2024•湖南长沙•模拟预测）

6.已知三条线段的长分别是6,m,8,若它们能构成三角形，则整数机的最小值是（）

A.2B.3C.6D.8

【变式2】（22-23八年级上•江西赣州・期中）

7.给出三条线段：①。+1、a+2、a+3（a>3）；②三边之比为2:3:4；③20cm、

8cm、10cm；④3k、4k、5k其中能组成三角形的有（填序号）.

【题型2】求等腰三角形边长或周长（分类讨论思想）

【例2】（23-24八年级下•广东茂名•阶段练习）

8.在等腰。5c中，三边长分别是a,b,c,并且满足iOa+25+J9-3）2=0,求

的周长.

【举一反三】

【变式1］（23-24八年级上•湖北武汉•阶段练习）

9.已知等腰三角形的周长为16,腰长为x,则x可能的值是（）

A.9B.3C.5D.4

试卷第3页，共6页

【变式2】

10.一个等腰三角形的两边长分别为5或6,则这个等腰三角形的周长是—.

【题型3】利用三角形三边关系化简

【例3】（23-24八年级上•河南漠河•阶段练习）

11.已知b,c是三边的长.

⑴若。，b,c满足卜-可+|6-c|=0,试判断A48c的形状；

|a+b—c|+1ci—b—c|+1c—a—h\+1b—ci-c\,

【举一反三】

【变式1］（22-23八年级上•湖北襄阳•期末）

12.已知三角形的三边长分别为2,”1,4,则化简,-3|+|“-7|的结果为（）

A.2a-10B.10-2aC.4D.-4

【变式2］（23-24七年级下•四川眉山•期中）

13.若。，b,c是Ay48c的三边，试化简：++.

【题型4】利用三角形三边关系进行证明

［例4］（22-23八年级上•山西忻州•阶段练习）

14.如图，点。是。8C的边上任意一点，求证：AB+BC+AC>1AD.

【举一反三】

【变式1］（2023八年级•全国•专题练习）

15.如图，已知点。是A48C内一点，连接8。并延长交NC于点E,求证:

AB+AC>DB+DC.

试卷第4页，共6页

【变式2】（23-24八年级上•全国•课后作业）

16.如图，已知。为AA8C内的任一点，求证:

^(AB+BC+CA)

<OA+OB+OC<AB+AC+BC

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2023・江苏盐城・中考真题）

17.下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm）,其中能搭成一个三角形的是

A.5,7,12B.1,1,15C.6,9,16D.6,8,12

【例2】（2021•黑龙江大庆•中考真题）

18.三个数3,1-。,1-2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形,

则。的取值范围为

2、拓展延伸

【例1】（21-22七年级下•江苏苏州•期末）

19.阅读下列材料：

fx-y-l=0①

解方程组：[4（­）-尸5②

解：由①得

x~y--\,

将③代入②，得

4x1-y—5,

解这个一元一次方程，得

尸-1

fx=0

从而求得,.

[y=-i

试卷第5页，共6页

这种思想被称为“整体思想”.请用“整体思想”解决下面问题:

2x-3y-2=0

⑴解方程组：彳2尤-3了+5cc；

（2）在（1）的条件下，若x,y是A48C两条边的长，且第三边的长是奇数，求A45C的周

长.

【例2】（22-23七年级下•江苏苏州•期中）

20.定义：三角形各边均为整数的三角形称为整边三角形，已知是整边三角形，三角

形的三边长分别为a,b,c,S.a<b<c,当6=7时，则符合条件的。8C有

个.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】根据三角形的定义解答即可.

【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图

形.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的定义.解题的关键是熟记三角形的定义.

2.8cm,12cm,12cm等腰

【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为2X,3X,3X,即可列方

程求解.

【详解】解：设三角形三边的长度比为2X,3X,3X,

贝（J：2x+3x+3x=32,

解得：x=4

2x=8cm,3x=12cm

故答案为：①8cm,12cm,12cm②等腰

3.D

【分析】考查了三角形的三边关系，解题的关键是分别利用三边关系确定8。的取值范围,

难度不大.

分别在两个三角形中利用三角形的三边关系得：2<8。<14、10<BD<16,从而得到

10<BD<14,找到适合的值即可.

【详解】解：在△23。中，AB=6,AD=8,

所以根据三角形的三边关系得：8-6<8D<8+6,

即：2<8。<14①，

在△3CZ）中，8c=13,CD=3,

所以根据三角形的三边关系得：13-3<BD<13+3,

即：10<3D<16②，

由①②得：10<8。<14,

只有11适合，

故选：D.

4.C

【分析】本题考查的知识点是三角形的稳定性，解题关键是熟练掌握三角形的稳定性原

答案第1页，共9页

理.

根据三角形的稳定性即可求解.

【详解】解：在人字梯的中间设计的拉杆，

可从不稳定的四边形中构成一个稳定的三角形，

从而达到稳定人字梯的作用.

故选：C.

5.(l)l<c<5

(2)c的值为2,3,4

【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解题的关键是利用非

负性求出。，6的值.

(1)利用非负性求出。，6的值，再利用三角形三边关系，即可求解；

(2)根据第三边长c是整数，求c的值即可.

【详解】(1)解：*-31+(6-2)2=0,

6Z—3=0,6—2=0,

解得。=3,b=2,

••-3-2=1,3+2=5,

•••1<c<5.

(2)解：•.<是整数，

的值为2,3,4.

6.B

【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两

边之差小于第三边.利用三角形三边关系求出加的取值范围，从中找出最小的整数即可.

【详解】解：•••三条线段的长分别是6,m,8,它们能构成三角形，

■,■8-6<m<8+6,

:.2<m<14,

整数机的最小值是3.

故选：B.

7.①②④

答案第2页，共9页

【分析】本题考查了组成三角形的条件，①。+1+。+2=20+3>。+3满足三角形三边关系,

据此可判断①是否符合题意；②可设三边长度为2左、3k、4后其中左NO,再利用三角形三

边关系进行判断，同理判断③、④，掌握三角形三边关系是解题的关键.

【详解】解：①因为。>0,。+1+。+2=2〃+3>°+3,能够组成三角形；

②设三边长度为2左、3k、4K其中kW0,2k+3k>4k,能组成三角形；

③8+10<20,不能组成三角形；

@4k+3k>5k,能组成三角形.

故答案为：①②④.

8."8C的周长是13或11

【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，等腰三角形的定义，先

利用非负数的性质求解6的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案.

【详解】解：•••/-104+25+J伍-3『=0,

.•,(«-5)2+|6-3|=0,

又-5)匕0,。-3,0,

.,.(7—5=0,6—3=0,

a=5,b=3,

又•.“，b,c分别是等腰“8C的边，

①当a=c=5时，5+3>5,符合三角形的三边关系，

・•./8C的周长是：a+b+c=5+3+5=13,

②当b=c=3时，3+3>5,符合三角形的三边关系，

的周长是：a+b+c=3+5+3=ll,

综上分析可知，的周长是13或11.

9.C

【分析】由三边关系定理，得0<16-2尤<x+x,求解即可.

【详解】解：腰长为尤，则底为16-2x,

0<16-2x<x+x

解得4Vx<8；

故选：C

【点睛】本题考查三角形三边关系定理，一元一次不等式求解；由三边关系定理构建不等式

答案第3页，共9页

是解题的关键.

10.16或17.

【详解】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分两种情况讨论：

(1)当等腰三角形的腰为5,底为6时，周长为5+5+6=16；

(2)当等腰三角形的腰为6,底为5时，周长为5+6+6=17.

二这个等腰三角形的周长是16或17.

11.(1)等边三角形

⑵2。+26

【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类；

(1)根据非负数的性质，可得出a=6=c,进而得出结论；

(2)利用三角形的三边关系得到a-b-c<0,b-c-a<Q,c-a-b<0,然后去绝对值符

号后化简即可.

【详解】⑴：］_1+0_c|=O,

〃-6=0且6-。=0,

..ci—b—c,

为等边三角形；

(2)b,。是△4BC的三边长，

:.b+c>a,a+c>b,a+b>c,

ci—b—c<0,b—a—c<0,c—a—b<0,

|tz+Z7—+—b—c|+1c—a—Z?|+1Z?—a—c\

=a+b-c-a+b+c-c+a+b-b+a+c

=2a+2b,

12.C

【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求。的

取值范围，进而得到化简结果.

【详解】解：由三角形三边关系定理得4-2<〃-1<4+2,

即3<a<7.

.,Ja-31+|-=ci-3+7-a—4.

答案第4页，共9页

故选：c.

【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，根据三角形三边关系定理列出不等式是解

本题的关键.

13.2b

【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质.根据三角形三

边关系得到a<6+c,a+b>c,然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可.解题的关键

是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边.

【详解】解：:。，b,c是的三边，

a<b+c,a+b>c,

■•■a-b-c<0,a+b-c>0,

|<7—b-c|+|<7+Z7-c|

=-[a-b-c)+a+b-c

=-a+b+c+a+b-c

=2b.

故答案为：2b.

14.见解析

【分析】分别在两个三角形中利用两边之和大于第三边的得到不等式，然后相加可得结

论.

【详解】证明：在A/AD中，AB+BD>AD,

在A/CD中，AC+CD>AD,

：.AB+BD+AC+CD>2AD,

即AB+BC+AC>2AD.

【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系得到不等关

系.

15.见解析

【分析】在中运用三角形三边关系可得+①，再根据线段的和差可得

AC=AE+EC®,①+②可得：AB+AC>BE+EC；同理可得：BE+EC>BD+DC,最

后运用等量代换即可证明结论.

【详解】证明：•••在中，al^AB+AE>BE®,AC=AE+EC®,

答案第5页，共9页

.•.①+②可得：AB+AC>BE+EC.

•在△DCE中，可得D£+EC>£>C③，BE=ED+BD®,

：.BE+EC>BD+DC,

：.AB+AC>DB+DC.

【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，找准三角形并灵活运用三角形的三边关系是解答

本题的关键.

16.见解析

【分析】对于证明线段之间不等关系的题目，常常把线段转化为一个或多个三角形的边，然

后利用三角形三边关系证明.

【详解】证明：如图，延长60交NC于点D.

•••三角形两边的和大于第三边，

：.AB+AD>BO+OD,①

DC+OD>OC,②

①+②，^AB+AD+DC+OD>BO+OD+OC,

^OB+OC<AB+AC.

同理可得O/+OC<48+3C,OA+OB<AC+BC,

：.1(OA+OB+OC)<l{AB+AC+BC),

^OA+OB+OC<AB+AC+BC.

：.OA+OB>AB,OA+OC>CA,OB+OC>BC,

：.2{OA+OB+OC)>AB+BC+CA,

即;(/B+3C+C4)<O/+O3+OC.

：X(AB+BC+CA}<OA+OB+OC<AB+AC+BC.

【点睛】本题考查三角形的三边关系.解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进

行证明.

答案第6页，共9页

17.D

【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判

断.

【详解】A、5+7=12,不能构成三角形，故此选项不合题意；

B、7+7=14<15,不能构成三角形，故此选项不合题意；

C、6+9=15<16,不能构成三角形，故此选项不合题意；

D、6+8=14>12,能构成三角形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和

能否大于第三个数.

18.-3<a<-2

【分析】根据三个数在数轴上的位置得到3<1-。<1-2%再根据三角形的三边关系得到

l-a+3>l-2a,求解不等式组即可.

【详解】解：二，1-2a在数轴上从左到右依次排列，

3<1-a<1-2a,解得a<-2,

•••这三个数为边长能构成三角形，

*,*1—a+3>l—2a,彳导a>—3,

综上所述，。的取值范围为-3<。<-2,

故答案为：-3<a<-2.

【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关

键.

19