立体几何中的动态问题-2025年高考数学一轮复习（解析版）

立体几何中的动态问题

小题型一空间位置关系的判定

［典例1］（1）（多选）如图，四边形48co为矩形，AD=2AB,E是8c的中点，将

△R4E沿4E翻折至△B4E的位置（点P中平面NEC。），设线段尸。的中点为E

则在翻折过程中，下列选项正确的是（）

A.CF〃平面NEP

B.C尸的长度恒定不变

C.AELDP

D.异面直线CF与PE所成角的大小恒定不变

（2）（多选）已知正方体48czX415C1A的棱长为2,0为空间中一点.下列叙述正

确的是（）

A.若族=：可，则异面直线8尸与GO所成角的余弦值为日

Zo

B.若前=7阮+函。©［0,1］）,三棱锥尸/出。的体积为定值

C.若丽=7就+3函（*［0，1］）,有且仅有一个点P,使得平面4510

D.若族=7丽。©［0,1］），则异面直线AP和Ci。所成角的取值范围是日，3

（l）ABD（2）ABD［（1）取Z尸中点G,连接EG,FG,如图，

因为尸为线段PD的中点，则有GF//AD,GF='D,又E是矩形ABCD边BC

的中点，则CE=%D,于是得GF〃CE,GF=CE,即有四边形CEGP

是平行四边形，则CF〃EG,而EGu平面ZEP,C/Z平面ZEP,

因此，CF〃平面AEP,A正确；

在oCEG/中，CF=EG,在△E4E中，PE=PA=AB,ZAPE=90°,即EG为已

知等腰直角三角形一腰上的中线，则EG长是定值，NPEG也是定值，

因此，C下的长度恒定不变，B正确；

由C尸〃EG知，异面直线CE与尸£所成角的大小为NPEG,D正确；

彳段设由于AE=DE=4^AB,贝U

AE2+D^=4AB2=AD2,即NELDE,

而DPCDE=D,DP,DEu平面PDE,则ZE,平面尸£(£,有AE_LPE,在折叠

前有/PE4=/BE4=45。,与4ELPE矛盾,即假设错误，C不正确.故选ABD.

(2)如图1,尸为ZQ1中点，取501的中点。，连接尸。，B0,则尸O〃CZ),所

以NAP。或其补角即为异面直线AP与C0所成的角，易得80=连，PO=42,

B0=遍,所以cos/APO=f,A正确.

6

由条件前=2或+两。6[0,1]),可知点尸的轨迹为线段3C1,因为81C1//8C,

故尸到平面Z15C的距离为定值，且△N18C面积为定值，故三棱锥尸-Z山C体积

为定值rB正确.

由前=2就+[西。G[0,1])可知点尸在线段EE上(E,F分别为BBi,CG中

点)，如图2,因为ZC平面48bo1,所以平面451尸即为平面48。],点尸即

为平面幺囱。1与直线EE交点，此交点在尸£延长线上，C错误.

图2

由了?=丸河«e[0,1])可知点尸的轨迹为线段401,以小为坐标原点建立空间

直角坐标系，如图3,Ci(2,2,0),D(0,2,2),BQ,0,2),设尸(0,a,2-

a),aG[0,2],得杀=(—2,0,2),BP=(~2,a,—a),所以cos(BP,杀〉

=总1泰=标,令2-=x可°，4

当a=2,即x=0时，cos<BP,币〉=0,此时直线AP和CM所成角是

当a#2,即xG(0,2]时，则cos<~BP,C\D>=1,令工=々||,十8),

2/_5__Z.1_i%L2/

cos(BP,杀〉=,1所以当工=♦=：即a=0时，cos<BP,杀〉取

得最大值，为坐，直线AP和C0所成角的最小值为"D正确.故选ABD.]

24

名师点评空间位置关系的动点问题的解法

(1)应用线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理进行转化；

(2)利用向量法或建立空间直角坐标系进行计算.

[跟进训练]

1.(1)(多选X2024•湖南益阳模拟)如图，矩形48CD中，E,尸分别为8C,AD

的中点，且5C=248=2,BF^AE=O,现将△4&£沿ZE向上翻折，使8点移

到尸点，则在翻折过程中，下列结论正确的是()

A.CFLOP

B.存在点P,使得PE〃CF

C.存在点P,使得PE_LED

D.三棱锥尸-ZE。的体积的最大值为当

(2)(多选)(2024•广东佛山禅城区一模)如图，在棱长为1的正方体

中，点尸满足於=7近+〃西，其中7©[0,1],〃G[0,1],则

()

A.当2=〃=1时，BPLAxD

B.当2=〃=决寸，点尸到平面2山。的距禺为F

C.当i+〃=1时，AP〃平面45。

D.当2+〃时，三棱锥出-尸5。的体积恒为七

(l)ACD(2)ACD[(1)依题意，AF//EC,AF=EC,

则四边形ZECF为平行四边形，有CF//AE,

而AF=AB=BE,ZBAF=/ABE=90°,

即有/48。=/氏4。=45°,因此AFLZE,

即OPLAE,因此CFLOP,A正确；

因为PEC4E=E,CF//AE,因此0E,CP不平行，

即不存在点P,彳更得PE〃CF,B错误；

连接尸E当尸尸=1时，因为PO=FO=4,

即PO2+FO2=1=丽，贝IPOLFO,

而EOL/E,PO^AE=O,PO,Z£u平面E4E,因此平面E4E,XO,F

分别为ZE,的中点，

即ED〃FO,于是££＞，平面刃E,而尸£u平面E4E,贝|PELE。，C正确；

在翻折过程中，令尸。与平面所成角为。，则点尸到平面4EO的距离〃=

POsin0=—sin0,

%SAAED=5D•4B=1,

因此三棱锥P-AED的体积

r_1J_V2.也

VTp-AED--CS^AED-h0^—,

36——6sin

当且仅当。=90。，即尸。，平面ZE。时取等号，

所以三棱锥P-AED的体积的最大值为遐，D正确.

6

故选ACD.

(2)当2=〃=1时，此时点尸与点G重合，由正方体可得BCiL/bD,所以AP,

A\D,A正确；

当4=〃=:时，此时点尸为5c的中点，由81c〃平面48。，得点尸到平面

的距离等于点C到平面AiBD的距离，设为d,由

11

得X

-X-V3V3

^A-i-BCD=Vc-A-tBD，32TT

当丸+〃=1时，此时尸，C,历三点共线，由平面81cA〃平面Z1RD,得DiP//

平面NiBD,C正确；

点尸在血囱。中与囱C平行的中位线JW(图略)上，易得MN〃平面4BD,点、P

到平面4AD的距离为定值，为点C到平面4BD的距离的一半，即:♦=?

,底面是边长为鱼的等边三角形NiAD,所以SMIBD=；X(V^)2X?=?,则三

棱锥A1-PBD的体积匕4]_pBD=，P-4iBD=|x-Yx=D正确.

故选ACD.]

题型二轨迹问题

[典例2](1)(多选)如图，已知正方体48ax4181cl。的棱长为4,/为。的

中点，N为48CO所在平面内一动点，则下列命题正确的是()

A.若上W与平面45CQ所成的角为，则点N的轨迹为圆

B.若MN=4,则跖V的中点尸的轨迹所围成图形的面积为2兀

C.若点N到直线A81与到直线QC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

D.若AN与48所成的角为导则点N的轨迹为双曲线

(2)如图，已知正方体48a)-48iCi£>i的棱长为2,M,N,G分别是棱44i,BC,

ZiA的中点，设0是该正方体表面上的一点，若丽=》配+丁丽(x,yGR),

则点。的轨迹围成图形的面积是.

(l)ACD(2)373[(1)如图所示，根据正方体的性质可知，平面48c

所以/MND为MN与平面ABCD所氤的鱼,所以所以DN=DM=

Q£)Z51)=1X4=2,所以点N的轨迹为以。为圆心，2为半径的圆，A正确；

在Rt^MEW中，DN=y/MN2-MD2=V42-22=2V3,取MD的中点E,MN的

中点P,连接PE,所以PE//DN,且PE=mN=W,因为DNLED,所以PELED,

即点尸在过点£且与DA垂直的平面内，又尸£=g,所以点尸的轨迹为以旧

为半径的圆，其面积为兀•(巡>=3兀，B不正确；

连接NB,因为881，平面48CD,所以BB」NB,所以点N到直线881的距离

为NB,所以点N到点5的距离等于点N到定直线CD的距离，又8不在直线

CD上，所以点N的轨迹为以8为焦点，C。为准线的抛物线，C正确；

以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标

系，

则4(4,0,0),5(4,4,0),£>i(0,0,4),设N(x,v,0),

>>

则2B=(0,4,0),D1N=(x,y,-4),

因为DiN与AB所成的角为最

所以|cos(AB,D±N)|=cos

所以/==《整理得当一弓=1所以点N的轨迹为双曲线，D正确.故

4V%2+y2+1621616

选ACD.

(2)因为丽=工而+.6丽(x,yGR),所以点0在平面MGN上，

分别取Z8,CCi,Ci。的中点£,F,O,则点。的轨迹是正六边形。用VEMG,

因为正方体48CDZ向GA的棱长为2,

所以正六边形OFNEMG的边长为鱼，

所以点Q的轨迹围成图形的面积

5=6X|xV2xV2Xsin60°=3V3.］

名师点评

解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

(1)几何法：根据平面的性质进行判定.

(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计

算.

(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.

［跟进训练］

2.⑴（多选）如图,长方体ABCCMbBCiA中，AB=2,AD=1,44户3,点河

是侧面ZDDi/i上的一个动点（含边界），尸是棱CG的中点，则下列结论正确的

是（）

0;

AB

A.当尸M长度最小时，三棱锥0的体积为]

B.当长度最大时，三棱锥M3。尸的体积为:

C.若保持尸拉=逐，则点/在侧面内运动路径的长度为兀

D.若M在平面内运动，且/MDiB=/BdhB,则点〃的轨迹为圆弧

（2）（2024•河北邢台模拟）已知正方体48czMLBCQ的棱长为2,E为CD的中

点，且点尸在四边形5CC181内部及其边界上运动,若总是保持£尸〃平面BDDM

则动点P的轨迹长度为;若总是保持AP与AB的夹角为30°,则动点P

的轨迹长度为.

（1）AC（2）2枭[⑴当尸N长度最小时，点/为线段£）»的中点，必）=打。1

o2111

=~,求得点P到平面BDM的距离为h=-7=,VM-BDP=VP-BDM=~S^BDMXh=-X-X

ZV533Z

|xV5x^=lA正确;

当H长度最大时，点M与点Z或点出重合，若点M与点Z重合，

11171

VM-BDP=VP-ABD=-SAABDXPC=-XiX2X1Xj=-,当点M与点出重合时，由于

441与平面8DP不平行且Z,小在该平面同侧，所以此时体积不为最所以B错

、口

沃；

取DD1中点O,连接尸。，OM,如图所示，易证尸。，平面4DQM1,OMu平面

ADDiAi,则尸若保持W=而，则<W=♦5-4=1,

则点M的轨迹是以1为半径的半圆弧，长度为兀XI=兀，C正确；

以点。为原点建立空间直角坐标系如图所示，

则。1(0,0,3),51(1,2,3),8(1,2,0),

设M机，°，〃)(0W加Wl,0W〃W3),

则有踮=(1,2,-3),D[B；=(1,2,0),D^M=(m,0,〃一3),

若/MDiB=/BiDiB,则有cosZMDxB=cosZB1D1B,

口cm+9—3n1+4

即，------=----------

7m2+(n—3)2,V14V5,V14,

化简得2〃2—2掰2—12〃+9加一3加〃+18=0,

即(加+2〃-6)(—2掰+〃-3)=0,

即加+2〃­6=0或一2加+“-3=0(此时〃=2加+3,m=0,77=3),

故点〃的轨迹为一段直线，D错误.故选AC.

(2)分别取8C,81cl的中点/，G,连接朋FG,EG,则BF=^BC,BiG=^BiCi,

因为BC〃BiCi,BC=BiCi,所以BF〃BiG,BF=BiG,

所以四边形AFGBi为平行四边形，所以BBJ/FG,

因为E为C。的中点，所以EF//BD,

因为EF,FGC平面BDDB,BD,BBc平面BDDM,

所以EF〃平面BDDiBi,尸G〃平面ADDS,

因为£尸0尸6=尸，所以平面EEG〃平面ADDLBI,

因为平面EFGn平面BCCiB尸FG,点、P在四边形BCCiBi内部及其边界上运动,

£尸〃平面BDDiBi,

所以点尸的轨迹是尸G,

因为FG=BBi=2,所以动点尸的轨迹长度为2.

因为48,平面8CC山1,APu平面8CC181,

所以4BLAP,

在RtZ\45尸中，AB=2,/BAP=30°,

贝ItanZBAP=—=—,

所以BP=0B=g

所以点尸的轨迹是以8为圆心，子为半径的一段弧，且圆心角为直角，所以动

点P的轨迹长度为JX2TIX竺=与.]

【教师备选资源】

（2023•广州一模）在棱长为1的正方体48czM闰GA中，点E,尸分别是棱8C,

CC1的中点，尸是侧面小上的动点，且尸C1〃平面NER则点尸的轨迹长

为，点尸到直线ZE的距离的最小值为.

yy[在正方体ZBCZMiSCQ中，连接8C1,FD1,ADi,如图，对角面

ABCxDi为矩形，

B

因为点E,尸分别是棱5C,CCi的中点，

贝UEF//BC1//ADi,而EF=,Di,

即平面ZEE截正方体所得截面为梯形4EFQ1,显然过点Ci与平面ZEE。平行

的平面交平面8CC181,平面分别于8G,MN,因此〃M〃8ci〃4Di,

连接MCi,平面BMVCi,平面ZEE。与平面ZCCiZi分别交于XCi,AF,因此

MCi//AF,而AM〃FCi,即四边形ZMCbF为平行四边形，于是三，

即点河为441的中点，同理N为小。中点，跖V=子,因为动点尸始终满足尸Ci〃

平面ZEE,

于是尸Qu平面EWCi,又尸在侧面上，所以点尸的轨迹是线段跖V,

轨迹长为日.

以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，则

M（l,0,J%,0,1）,4（1,0,0）,用0,1,号,贝丽=（-；,0,0,AM

=（0,0,I）,族=（-L,1,；）,

令加=丽=（一.，0,|t）,

则有Q=赢+加0,多），

—>—>l+3t

AP-AF=—,与岑=手=与+'于是点尸到直线4F的距离

4|AF|-26

=&2+"亡+1)2-(/+£)2

=+当且仅当f=0时取等号，所以点尸到直线4F的距离的

Y4393

最小值为亨]

II题型三最值(范围)问题

[典例3](1)如图所示，在正方体48。。-出3。1。1中，点尸是线段81D上一动

点，且4P〃平面Q5C1,则异面直线4P与8。所成角的取值范围为()

c-[ri]D-[rT]

(2)(2022•新高考I卷)已知正四棱锥的侧棱长为I,其各顶点都在同一球面上.若

该球的体积为36兀，且3W/W3K,则该正四棱锥体积的取值范围是()

A-[18,T]B,[T，引

C.丹，T]D.[18,27]

(1)C(2)C[(1)如图，以。为坐标原点，DA,DC,£)£>i所在直线分别为x轴、

y轴、2轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则。(0,0,0),

8(1,1,0),2(1,0,0),

设尸(九A,1),Ae[O,1],

：.DB=(1,1,0),AP=(A-1,A,1),

：.DB•AP=2A-1,\DB\=V2,

\AP\=y/2A2-2A+2,

设异面直线ZP与BD所成的角为仇

则cos。」丽•珂=即一”

J\DB\\AP\2加K

1

当2=5时,cos。取得最小值为0,

,1

当7=0或1时，cos。取得最大值为5,

.,.owcosew：则与wew：

2'32

(2)因为球的体积为36兀，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为2a,高为〃，

则P=2a2+h2,32=2a2+(3—A)2,

所以6fl=F,2a2=”一丸2,

所以正四棱锥的体积F=|5,//=|x4tz2XA=|x(F—今)x^-=1^Z4—

所以yWY)寸(党,

当3W/V2遍时，V>0,当2V6</<38时，V<0,

所以当/=2伤时，正四棱锥的体积厂取得最大值，最大值为又/=3时，V

=*,1=3g时，K=y,

所以正四棱锥的体积匕的最小值为二，

4

所以该正四棱锥体积的取值范围是［彳，y］.

故选C.］

名师点评在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大（小）、角的范围等问题，

有如下常用的思路.

（1）直观判断：在变化过程中判断点、线、面在什么位置时，所求的量有相应最

大值、最小值，即可求解.

（2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利

用代数方法求目标函数的最值.

［跟进训练］

3.（1）（2024•湖南长沙模拟）已知正方体48CD4SC1A的棱长为1,H为棱

幺小（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）

A.CH±BD

B.平面£>1481与平面481c的夹角为g

C.点〃到平面5S距离的取值范围是序乎］

D.若平面夕，则直线CD与平面夕所成角的正弦值的取值范围为殍，y］

（2）（2024•江苏盐城模拟）已知正四面体ABCD的棱长为3,点£满足版=筋瓦0

<2<1）,过点E作平面a平行于NC和AD,设a分别与该正四面体的棱8C,CD,

可相交于点孔G,H,则四边形斯G8的周长为,四棱锥Z-EFGH

的体积的最大值为.

(l)ACD(2)6手［(1)由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，

则£>(0,0,0),5(1,1,0),C(0,1,0),A(l,0,0),Z>i(0,0,1),Ci(0,1,

1),Bi(l,I,1),

设8(1,0,h),其中OW/zWL

CH=(1,-1,h),DB=(1,1,0),故而•丽=0,CHLBD,A正确；

函=(0,1,1),珂=(-1,0,1),AC=(-l,1,0),

设平面。14B1的法向量为阳=(x,y,z),

,(m,AB-0,(y+z—0,,

则彳___r>即|取z=l,则x=l,y=—1,

(m•AD1-0,I-%+z—0,

故阳=(1,-1,1)为平面的一个法向量.

设平面4sle的法向量为〃=(a,b,c),

(n•AB-0,(b+c—0,

则■{_>1即(取b=l,则a=l,c=—1,

tn•AC-0,I—a+b—0,

故〃=(1,1,—1)为平面481c的一个法向量.

故cos<m,〃〉=忌=*，

而平面AZBi与平面Z5C的夹角为锐角，故其余弦值为最所以平面DZ51与平

面481c的夹角不是aB错误；

瓦瓦=(1,1,0),阻=(0,1,-I),

设平面CBLDI的法向量为〃=(p,q,r),

则产.眄=0,

Ifc•%C=0,

p+q—0,,

即取q=l,则2=—1,尸=1,

q—r=0,

故力=(-1,1,1)为平面C5i功的一个法向量.

而瓦方=(0,-1,〃一1),故点〃到平面C81A的距离为|瓦司*|港，冈j=詈

=等£惇,竽］，c正确；

设