2025届高考数学试卷专项练习07数列含解析

数列一、单选题1．（2024·聊城市·山东聊城一中高三一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲､乙､丙､丁､戊五人分5钱，甲､乙两人所得之和与丙､丁､戊三人所得之和相同，且甲､乙､丙､丁､戊所得依次为等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中戊所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【答案】D【解析】由题意，设丙所得为钱，公差为，结合等差数列的性质，有求，进而求戊所得.【详解】由甲､乙､丙､丁､戊所得依次为等差数列，设丙所得为钱，公差为，则：甲､乙､丁､戊分别的，∴由题意，，得，∴戊所得为钱.故选：D.2．（2024·山东高三专题练习）随着我国新冠疫情防控形势的渐渐好转，某企业起先复工复产．经统计，年月份到月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中月份的产量为吨，月份的产量为吨，则月到月这四个月的产量之和为（）A．吨 B．吨 C．吨 D．吨【答案】C【解析】利用等差数列下标和的性质可求得结果.【详解】设年的产量为，由题意可知，数列是等差数列，则，，则月到月这四个月的产量之和为吨.故选：C.3．（2024·辽宁高三一模（理））某口罩厂的三个车间在一个小时内共生产个口罩，在出厂前要检查这批口罩的质量，确定采纳分层抽样的方法进行抽取，若从一､二､三车间抽取的口罩数分别为且构成等差数列，则其次车间生产的口罩数为（）个.A． B． C． D．【答案】C【解析】依据等差数列的性质求得的关系，结合分层抽样的定义，建立比例关系，即可求解.【详解】由题意，从一､二､三车间抽取的口罩数分别为且构成等差数列，可得，则其次车间生产的口罩数为个.故选：C.4．（2024·湖南岳阳市·高三一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2024这2024个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的依次排成一列，构成数列，则此数列全部项中，中间项的值为（）A．992 B．1022 C．1007 D．1037【答案】C【解析】由题可得，可推断共有135项，且中间项为第68项，即可求出.【详解】解：由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即，所以，当时，，当时，，故，数列共有135项，因此数列中间项为第68项，且．故中间项的值为1007．故选：C．5．（2024·山东青岛市·高三一模）在抛物线第一象限内一点处的切线与轴交点横坐标记为，其中，已知，为的前项和，若恒成立，则的最小值为（）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】D【解析】依据导数的几何意义求出切线方程，即可得到与的关系，从而推断出是以为公比的等比数列，再依据等比数列前项和公式求出，得到的范围,即可求出.【详解】因为，，，所以切线：令，，∴，，则，有．∴是以为公比的等比数列,，而，．∴恒成立,即的最小值为128.故选：D．6．（2024·广东深圳市·高三一模）在数列中，，，若，则（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】令，由可得，可得是等差数列，利用等差数列求和公式即可求解.【详解】令，由可得，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，，所以，整理可得：，解得：或（舍）故选：B.7．（2024·山东菏泽市·高三一模）在等比数列中，若则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依据的取值分类探讨，得出的范围后推断各选项．【详解】当时，，不满意题意;当时，等式左边，所以，等式右边，不满意题意，所以，，则中奇数项为正，偶数项为负．故选B.8．（2024·全国高三专题练习（文））已知等差数列中，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依据等差数列的性质计算．【详解】因为是等差数列，所以，，所以．故选：C．9．（2024·山东德州市·高三一模）英国闻名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满意，则称数列为牛顿数列．假如函数，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】得到，计算，然后计算，最终可得数列为等比数列，最终依据公式计算即可.【详解】由题可知：，所以，则两边取对数可得，即所以数列是以1为首项2为公比的等比数列，所以故选：A【点睛】关键点点睛：依据计算得到是解决本题的关键.10．（2024·全国高三专题练习（理）（文））我国古代闻名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，良马每日行的距离以及驽马每日行的距离均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为，其中，公差.驽马每日行的距离成等差数列，记为，其中，公差.设长安至齐为里，则，即，解得.故选：A.二、多选题11．（2024·湖南衡阳市·高三一模）设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“祥瑞数列”.则下列数列为“祥瑞数列”的有（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】依据求和方法对各个选项逐一求和验证即可得出结论.【详解】对于A，，，，所以不为常数，故A不正确；对于B，由并项求和法知：，，，故B正确；对于C，，，，所以，故C正确；对于D，，，，所以不为常数，故D错误；故选：BC.12．（2024·全国高三专题练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形态，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，其次层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】依据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可得，即可推断各项的正误.【详解】由题意知：，故，∴，故A错误；，故B正确；，故C正确；，，明显，故D错误；故选：BC13．（2024·山东滨州市·高三一模）已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（）A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C． D．【答案】ABD【解析】依据已知递推公式进行变形求解推断AB．求出数列前几项，验证后推断C，求出前20项和可推断D，【详解】因为，所以，又，所以是等比数列，A正确；同理，而，所以是等比数列，B正确；若，则，但，C错；由A是等比数列，且公比为2，因此数列仍旧是等比数列，公比为4，所以，D正确．故选：ABD．14．（2024·全国高三专题练习（理））已知数列的前项和为,则下列说法正确的是（）A．若则是等差数列B．若则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且则【答案】BC【解析】由求，依据通项公式可推断AB是否正确，由等差数列的性质可推断C，取时，结合等比数列求和公式作差比较与大小即可推断D.【详解】对于A选项，若，当时，，不满意，故A错误；对于B选项，若，则，由于满意，所以是等比数列，故B正确；对于C选项，若是等差数列，则，故C正确.对于D选项，当时，，故当时不等式不等式，故不成立，所以D错误.故选：BC15．（2024·辽宁铁岭市·高三一模）设数列满意，对恒成立，则下列说法正确的是（）．A． B．是递增数列C． D．【答案】ABD【解析】设，求出导数，可得在上为单调递增函数，得出，即，由此可依次推断各个选项.【详解】由，，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以，即，则，故A正确；由在上为单调递增函数，，所以是递增数列，故B正确；∵，所以，故C错误；因此，，故D正确．故选：ABD．【点睛】关键点睛：本题考查数列单调性的应用，解题的关键是构造函数，利用导数求出单调性得出.16．（2024·广东广州市·高三一模）在数学课堂上，老师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列依据同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】依据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，找寻规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时第2次得到数列1,4,3,5,2，此时第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时第次得到数列1，，2此时所以，故A项正确；结合A项中列出的数列可得：用等比数列求和可得则又所以，故B项正确；由B项分析可知即，故C项错误.，故D项正确.故选：ABD.【点睛】本题须要依据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，找寻规律，对于困难问题，闻名数学家华罗庚指出:擅长“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于困难问题我们应当先足够的退到我们最简单看清晰的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.三、填空题17．（2024·辽宁沈阳市·高三一模）在正项等比数列中，，则______．【答案】10【解析】利用等比数列性质，将，转化为求解.【详解】因为，所以，即，因为数列是正项数列，所以，故答案为：.18．（2024·河北张家口市·高三一模）写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列__________．【答案】（答案不唯一）【解析】先依据前3项之和小于第3项确定一组，进而可得.【详解】要满意“前3项之和小于第3项”，则，即则不妨设，则．故答案为：.19．（2024·河北唐山市·高三二模）设是首项为的等比数列，是其前项和．若，则__________．【答案】【解析】依据等比数列的通项公式求出公比，再依据等比数列的求和公式可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，将代入得，得，所以.故答案为：20．（2024·山东临沂市·高三其他模拟）已知数列的首项，则_________．【答案】【解析】依据题意，分别求得，得出数列是以为周期的周期数列，结合周期性，即可求解.【详解】由，则，以此类推可知，对随意的，都有，即数列是以为周期的周期数列，因为，所以.故答案为：.21．（2024·辽宁铁岭市·高三一模）赵先生打算通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款．银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清全部欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，则赵先生每个月所要还款的钱数为______元．（精确到元，参考数据）【答案】【解析】本题首先可设每一期所还款数为元，然后结合题意列出每期所还款本金，并依据贷款5000元列出方程，最终借助等比数列前项和公式进行计算即可得出结果.【详解】设每一期所还款数为元，因为贷款的月利率为，所以每期所还款本金依次为、、、、，则，即，，，，小明每个月所要还款约元，故答案为：.22．（2024·广东肇庆市·高三二模）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，许多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列满意：，，则是斐波那契数列中的第___________项.【答案】2024【解析】把1改为，然后依据递推关系变形求解．【详解】依题意，得，故答案为：202423．（2024·山东淄博市·高三一模）已知等比数列中，首项，公比是，，是函数的两个极值点，则数列的