2024年中考数学《动点综合问题》及答案

动点综合问题(33题)1.(2024·甘肃临夏·中考真题)如图1中，BDP从DD→B→CP作PQ⊥Q．设点P的运动路程为xPQ-DQ为yy与x的函数图象如图2AD的长为()42383734114A.B.C.2.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)Rt△ABC中，∠=90°AB=12EF同时从点AAB和射线ACEF也随为边向下做正方形点E运动的路程为x0<x<12和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是()A.C.B.3.(2024·四川泸州·中考真题)6的正方形EF分别是边ABBC上的动点，且满足AE=BFAF与交于点OM是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB+112FG的最小值是()A.4B.5C.8104.(2024·甘肃·中考真题)如图1点P从菱形的点AAB→BCC时停止．设点P的运动路程为xPO的长为yy与x的函数图象如图2P运动到BC中点时，PO的长为()A.2B.3C.5225.(2024·湖南长沙·中考真题)中，AB=6∠B=30°E是BCAE点A作AF⊥于点P．设=xAF=yy与x之间的函数解析式为(不考虑自变量x的取值范围)()9x12x18x36xA.y=B.y=C.y=y=6.(2024·江苏扬州·中考真题)llA是l上的定点，AB⊥l于点BCD分1212别是llAC=BD交线段AB于点EBH⊥于点H∠最大12时，sin∠的值为．27.(2024·四川广安·中考真题)▱中，AB=4AD=5∠ABC=30°M为直线BC上一MA+MD的最小值为．8.(2024·四川凉山·中考真题)如图，⊙M的圆心为M402P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作⊙MQPQ的最小值为9.(2024·黑龙江绥化·中考真题)∠AOB=50°P为∠AOBM为射线OAN为射线OB△PMN∠MPN=．10.(2024·四川成都·中考真题)xOyA3,0B0,2点B作y轴的垂线lP为直线lPOPO+的最小值为．311.(2024·四川内江·中考真题)△ABC中，∠ABC=60°BC=8E是BCBE=2I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点DP是BDPEPCPE+PC的最小值为．12.(2024·山东烟台·中考真题)▱中，∠C=120°AB=8BC=10．E为边的中点，F为边AD△沿翻折得△D接ADBD△ABD面积的最小值为．13.(2024·四川宜宾·中考真题)的边长为1MN是边BC上的动点．若∠MAN=45°MN的最小值为．14.(2024·四川宜宾·中考真题)中，AB=2AD=4EF分别是边CDAD上CE=DF．当AE+CFCE=．15.(2024·江苏苏州·中考真题)如图，△ABC中，AC=BC∠ACB=90°A-2,0C6,0ykx=k≠0,x>0的图象与AB交于点Dm,4BC交于点E．4(1)求mk的值；kx(2)点P为反比例函数y=k≠0,x>0图象上一动点(点P在DEDE重合)P作PM∥ABy轴于点M点P作PN∥xBC于点N接MN△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．16.(2024·四川自贡·中考真题)y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(-6,1)B(1,n)两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)P是直线x=-2上的一个动点，△B的面积为21点P坐标；mx(3)点Q在反比例函数y=位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21Q点坐标．17.(2024·四川泸州·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A3,0y轴交于点Bx=1对称．(1)求该抛物线的解析式；(2)当-1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t-1t的值；5(3)点CC作x轴的垂线交直线AB于点Dy轴上是否存在点EBCDE18.(2024·四川南充·中考真题)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A-1,0B3,0．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1y轴交于点CP为线段OC上一点(不与端点重合)线PB分别交抛物线S1S2于点ED△D面积为S△PBE面积为S的值；12(3)如图2K是抛物线对称轴与xK的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M，NG作直线l∥xQ是直线l上一动点．求QM+QN的最小值．19.(2024·吉林·中考真题)△ABC中，∠C=90°∠B=30°AC=3cmAD是△ABC的角平分线．动点P从点A3cm/s的速度沿折线AD-向终点B运动．过点P作PQ∥ABAC于点QPQ为边作等边三角形PQECE在PQP的运动时间为tst>0△PQE与△ABC重合部分图形的面积为Scm2．(1)当点P在线段AD△APQ的形状(不必证明)的长(用含t的代数式表示)．(2)当点E与点Ct的值．(3)求S关于tt的取值范围．20.(2024·四川德阳·中考真题)y=x2-x+c与x轴交于点A-1,0和点By轴交于点C．6(1)求抛物线的解析式；(2)当0<x≤2y=x2-x+c的函数值的取值范围；34(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点MP+55PM的最小值．21.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x2-5x-6=0从点出发以每秒个单位PO2长度的速度沿折线OA-ABQ从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB-运动，PQt秒(0<t<3.6)△OPQ的面积为S．(1)求点A的坐标；(2)求S与t的函数关系式；(3)在(2)S=63M在yNOPMN为N22.(2024·江西·中考真题)综合与实践Rt△ABCD是斜边AB上的动点(点D与点A不重合)接CD为直角边在CE的右侧构造Rt△∠DCE=90°接BE，CBCA==m．7特例感知(1)如图1m=1时，BE与AD之间的位置关系是；类比迁移(2)如图2m≠1BE与AD拓展应用(3)在(1)F与点C关于DFBF图3．已知AC=6AD=x边形的面积为y．①求y与xy的最小值；②当BF=2AD的长度．1223.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)y=x-2与x轴交于点Ay轴交于点CAC两点的抛物线y=ax2+bx+ca≠0与轴的另一个交点为点xB(-10)PP分别作x轴和yAC于点EF．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是x△是以ACD的坐标；(3)当=ACP的坐标；(4)在(3)N是yNM接NA，MPNA+MP的最小值为．24.(2024·四川广元·中考真题)在平面直角坐标系xOy中Fy=-x2+bx+c经过点A-3,-1y轴交于点B0,2．8(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C接OC交AB于点D的最大值及此时点C的坐标；(3)作抛物线F关于直线y=-1上一点的对称图象FF与F只有一个公共点E(点E在y轴右侧)G为直线AB上一点，H为抛物线FBEGH为顶点的四边形是平行四边G点坐标．25.(2024·天津·中考真题)将一个平行四边形纸片OABCO0,0A3,0，点B,COC=2,∠AOC=60°．(1)C的坐标为B的坐标为；(2)若P为xP作直线l⊥xlO的对应点落在xC的对应点为C．设OP=t．l与边CB相交于点QCQ与▱OABC重叠部分为五边形时，C与AB相交于点E．试用含有t的式子表示线段BEt的取值范围；23114②设折叠后重叠部分的面积为S≤t≤S的取值范围(直接写出结果即可)．26.(2024·湖南·中考真题)已知二次函数y=-x2+c的图像经过点A-2,5Px,yQx,y是此二2112次函数的图像上的两个动点．9(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1x轴的正半轴交于点BP在直线ABP作PC⊥x轴于S△PDQS△ADC点CAB于点D接AC,DQ,PQ．若x=x+3证的值为定值；21(3)如图2P在第二象限，x=-2xM在直线PQx-1点M作MN⊥x轴211于点NMN长度的最大值．27.(2024·广东·中考真题如图1BD是直线y=axa>0上第一象限内的两个动点>OBkx段BD为对角线作矩形ABCDAD∥x轴．反比例函数y=的图象经过点A．(1)y=的图象必经过点C．kx(2)如图2沿BDC的对应点为E．当点E落在yB的坐标为1,2k的值．(3)如图3沿BDC的对应点为E．当点EAAC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=32⊙O与△ABCk的取值范围．28.(2024·四川达州·中考真题)如图1y=ax2+kx-3与x轴交于点A-3,0和点B1,0y轴10交于点C．点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2接ACDC线AC交抛物线的对称轴于点M点P是直线ACS△PMC=2S△DMC点P的坐标；(3)若点N是抛物线对称轴上位于点DNAC为顶点的三角形是等腰三N29.(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)y=ax2+bx+ca≠0的图像经过原点和点A4,0．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B1,3y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；(2)点PP在直线ABP作PE⊥x轴于点EAB交于点D点P的横坐标为m．①m为何值时线段PD②是否存在点P得△BPD与△AOCP2330.(2024·四川广安·中考真题)y=-x2+bx+c与x轴交于ABy轴交于点CA坐标为(-1,0)B坐标为(3,0)．11(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点P是直线BCP作x轴的垂线交直线BC于点D点P作y轴的垂E2PD+PEP(3)点M∠MCB=45°M的坐标．31.(2024·山东烟台·中考真题)y1=ax2+bx+c与x轴交于ABy轴交于点COC=OAAB=4l:x=-1y绕点O旋转180°后得到新抛物线yy与y1122轴交于点DEl2．(1)分别求抛物线y和y的表达式；12(2)如图1F的坐标为-6,0点M在直线lM作MN∥x轴与直线l交于点N接12FMDN．求FM+MN+DN的最小值；(3)如图2H的坐标为0,-2点P在抛物线yP∠PEH=2∠DHE？2P32.(2024·甘肃·中考真题)如图1y=ax-h2+k交x轴于OA4,0B2,23．点C为OB的中点．12(1)求抛物线y=a(x-h)2+k的表达式；(2)过点C作CH⊥OAHE．求线段CE的长．(3)点D为线段OA上一动点(O点除外)OC右侧作平行四边形OCFD．①如图2点FF的坐标；②如图3接BDBFBD+BF的最小值．33.(2024·重庆·中考真题)在Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=BC点B作BD∥AC．(1)如图1点D在点BCD点A作AE⊥交BC于点E．若点E是BC证：AC=2BD；(2)如图2点D在点BADF是ADBF并延长交AC于点GCF．22过点F作FM⊥BG交AB于点MCN平分∠ACB交BG于点N：AM=CN+BD；(3)若点D在点BADF是ADAF=AC．点P是直线ACFPFP绕点F逆时针旋转60°得到FQ接BQR是直线ADBRQR．在点PBQ△BQR沿直线QR翻折得到△TQR接FT．在点FTCPR的最大值．13动点综合问题(33题)1.(2024·甘肃临夏·中考真题)如图1中，BDP从DD→B→CP作PQ⊥Q．设点P的运动路程为xPQ-DQ为yy与x的函数图象如图2AD的长为()42383734114A.B.C.B根据函数的图象与坐标的关系确定=2BD+BP=4时，PQ==2P在BC边上，设此时BP=aBD=4-aAD=BC=2+a，在Rt△中，BD2-BC2=2，即：4-a2-a+22=22，23解得：a=，83∴AD=a+2=故选：B．，2.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)Rt△ABC中，∠=90°AB=12EF同时从点AAB和射线ACEF也随为边向下做正方形点E运动的路程为x0<x<12和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是()1A.B.C.Ay与xHG与BCx≤4当x>4时图象的走势即可得到答案．HG与BCAE=x∴=EH=2xBE=12-x，在Rt△EHBBE2=BH2+EH2，∴2x+2x2=12-x2，∴x=4，∴当0<x≤4时，y=2x=2x2，∵2>0，∴图象为开口向上的抛物线的一部分，当HG在BCAE=x∴=2xBE=12-x，∵∠=∠B=45°∠A=∠EOB=90°,∴△∽△EOB，AExEOEBEO12-x12-x∴∴=，=，2x∴EO=，212-x∴当4<x<12时，y=2x·=12-xx=-x2+12x，2∵-1<0，∴图象为开口向下的抛物线的一部分，综上所述：A正确，故选：A．3.(2024·四川泸州·中考真题)6的正方形EF分别是边ABBC上的动点，且满足AE=BFAF与交于点OM是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB+212FG的最小值是()A.4B.5C.810B△≌△得到∠=∠∠=90°=12DFAB延长线上截取BH=BGFH△FBG≌△FBHFH=FG1得当HDF三点共线时，DF+HF+FGDH的长的一半，212求出AH=8Rt△ADHDH=AD2+AH2=10任+FG的最小值为．5∵四边形是正方形，∴AD=AB∠=∠ABC=90°，又∵AE=BF，∴△≌△，∴∠=∠，∴∠=∠ADO+∠=∠+∠O=∠B=90°，∵点M是DF的中点，1∴=DF；2AB延长线上截取BH=BGFH，∵∠FBG=∠FBH=90°FB=FBBG=BH，∴△FBG≌△FBH，∴FH=FG，12121212∴+FG=DF+HF=DF+HF，12∴当HDF三点共线时，DF+HF+FGDH的长的一半，∵AG=2GBAB=6，∴BH=BG=2，∴AH=8，在Rt△ADHDH=AD2+AH2=10，12∴+FG的最小值为5，故选：B．4.(2024·甘肃·中考真题)如图1点P从菱形的点AAB→BCC3时停止．设点P的运动路程为xPO的长为yy与x的函数图象如图2P运动到BC中点时，PO的长为()A.2B.3C.522Cx=0时，PO=AO=4P运动到点B时，PO=BO=2∠AOB=∠BOC=90°AB=BC=2+OB2=25P运动到BC中点时，PO的长为12BC=5角形的性质是解题的关键．x=0时，PO=AO=4，当点P运动到点B时，PO=BO=2，∠AOB=∠BOC=90°，故AB=BC=2+OB2=25，12当点P运动到BC中点时，PO的长为BC=5，故选C．5.(2024·湖南长沙·中考真题)中，AB=6∠B=30°E是BCAE点A作AF⊥于点P．设=xAF=yy与x之间的函数解析式为(不考虑自变量x的取值范围)()9x12x18x36xA.y=B.y=C.y=y=C30性质求解xy的关系式是解答的关键．过D作DH⊥BCBC延长线于H∠DHE=90°性质和平行线的性质得到=AD=AB=6∠ADF=∠∠DCH=∠B=30°30度角的12AFDHAD直角三角形的性质DH==3△AFD∽△DHE得到=D作DH⊥BCBC延长线于H∠DHE=90°，∵在菱形中，AB=6∠B=30°，∴AB∥CDAD∥BC=AD=AB=6，∴∠ADF=∠∠DCH=∠B=30°，412在Rt△中，DH==3，∵AF⊥，∴∠AFD=∠DHE=90°∠ADF=∠，∴△AFD∽△DHE，AFDHAD∴=，∵=xAF=y，y36x18x∴=，，∴y=故选：C．6.(2024·江苏扬州·中考真题)llA是l上的定点，AB⊥l于点BCD分1212别是llAC=BD交线段AB于点EBH⊥于点H∠最大12时，sin∠的值为．1312△ACE≌△BE=AE=ABBH⊥CD∠BHE=90°H在以BEBE的中点OO为圆心，OBH在⊙OAO当AH与⊙O相切时∠⊥AHAO=AE+OE=3OE用sin∠==OE3OE13=∵两条平行线llA是l上的定点，AB⊥l于点B，1212∴点B为定点，AB的长度为定值，∵l∥l，12∴∠ACE=∠∠CAE=∠，∵AC=BD，∴△ACE≌△，1∴BE=AE=AB，2∵BH⊥CD，∴∠BHE=90°，∴点H在以BE为直径的圆上运动，BE的中点O点O为圆心，OB为半径画圆，则点H在⊙O上运动，∴当AH与⊙O相切时∠最大，5∴⊥AH，∵AE=OB=2OE，∴AO=AE+OE=3OE，∵=OE，AOOE3OE13∴sin∠===，13故答案为：．H的运动轨迹．7.(2024·四川广安·中考真题)▱中，AB=4AD=5∠ABC=30°M为直线BC上一MA+MD的最小值为．41A关于直线BC的对称点D交BC于MAH=HAH⊥BCAM=M，当M,M重合时，MA+MDD.A关于直线BC的对称点D交BC于MAH=HAH⊥BCAM=M，∴当M,M重合时，MA+MDD，∵AB=4∠ABC=30°▱中，12∴AH=AB=2AD∥BC，∴AA=2AH=4AA⊥AD，∵AD=5，∴D=42+52=41，故答案为：41识点是解题的关键．8.(2024·四川凉山·中考真题)如图，⊙M的圆心为M402P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作⊙MQPQ的最小值为27y=x+4与xy轴分别交于点AKQMPMKMAK的坐2-QM2QM=2△OAK△PQ=PM6当PM最小时，PQP与点KPM最小值为KMPM结果．y=x+4与xy轴分别交于点AK接QMPMKM，当x=0y=4y=0x+4=0，解得：x=-4，即K(0,4)A(-40)；而M4,0，∴OA===4，∴△OAK△均是等腰直角三角形，∴∠AKO=∠MKO=45°，∴∠AKM=90°，∵QP与⊙M相切，∴∠PQM=90°，∴PQ=PM2-QM2，∵QM=2，∴当PQ最小时即PM最小，∴当PM⊥AK即点P与点KPM最小值为KM，在Rt△KM=∴PQ=32-4=27，2+2=42，∴PQ最小值为27．是解题的关键．9.(2024·黑龙江绥化·中考真题)∠AOB=50°P为∠AOBM为射线OAN为射线OB△PMN∠MPN=．80°/80度-P关于OA，OB的对称点PP．连接OPOP．则当MN是PP与OAOB的交点时，△PMN121212称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．P关于OAOB的对称点PP．连接OPOP．则当MN是PP与OAOB的交点时，121212△PMNPPPP，12∵P1关于OA对称，∴∠POP=2∠MOPOP=OPPM=PM∠OPM=∠OPM，11117同理，∠POP=2∠NOPOP=OP∠OPN=∠OPN，222∴∠POP=∠POP+∠POP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠AOB=100°OP=OP=OP，121212∴△POP是等腰三角形．12∴∠OPN=∠OPM=40°，21∴∠MPN=∠MPO+∠NPO=∠OPN+∠OPM=80°21故答案为：80°．10.(2024·四川成都·中考真题)xOyA3,0B0,2点B作y轴的垂线lP为直线lPOPO+的最小值为．5-最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线l的对称点，连O交直线l于点CAC到AC=CA⊥l当O,P,三点共线时，PO+的最小值为OO即可．A关于直线l的对称点O交直线l于点CAC，则可知AC=CA⊥l，∴PO+=PO+≥O，即当O,P,三点共线时，PO+的最小值为O，∵直线l垂直于y轴，∴A⊥x轴，∵A3,0B0,2，∴AO=3,AA=4，∴在Rt△AO中，O=2+AA2=32+42=5，故答案为：511.(2024·四川内江·中考真题)△ABC中，∠ABC=60°BC=8E是BCBE=2I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点DP是BDPEPCPE+PC的最小值为．8213AB取点FBF=BE=2PFCFF作FH⊥BC于H出∠ABD=∠CBD用证明△BFP≌△BEPPF=PEPE+PC=PF+PC≥CFC、PF三点共线时，PE+PCCF30°的直角三角形的性质求出BH出FHCF即可．AB取点FBF=BE=2PFCFF作FH⊥BC于H，∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，又BP=BP，∴△BFP≌△BEP，∴PF=PE，∴PE+PC=PF+PC≥CF，当CPF三点共线时，PE+PCCF，∵FH⊥BC∠ABC=60°，∴∠BFH=30°，1∴BH=BF=1，2∴FH=BF2-BH2=3CH=BC-BH=7，∴CF=CH2+FH2=213，∴PE+PC的最小值为213．故答案为：213．30°30°的直角三角形是解题的关键．12.(2024·山东烟台·中考真题)▱中，∠C=120°AB=8BC=10．E为边的中点，F为边AD△沿翻折得△D接ADBD△ABD面积的最小值为．203-16/-16+203=AB=8AB∥CD∠ABC=60°==4，9进而得到点在以E为圆心，4E作EM⊥AB交AB延长线于ME于到边ABM△C作CN⊥AB于N据平行线间的距离处处相等得到EM=CNCN=53即可求解．∵在▱中，∠=120°AB=8，∴=AB=8AB∥CD∠ABC=180°-∠=60°，∵E为边的中点，12∴=CE==4，∵△沿翻折得△，∴==4，∴点在以E为圆心，4E作EM⊥AB交AB延长线于ME于到边ABM△面积的最小，过C作CN⊥AB于N，∵AB∥CD，∴EM=CN，在Rt△BCN中，BC=10∠CBN=60°，32∴CN=BC⋅sin60°=10×=53，∴M=ME-=53-4，12∴△面积的最小值为×8×53-4=203-16，故答案为：203-16．的运动路线是解答的关键．13.(2024·四川宜宾·中考真题)的边长为1MN是边BC上的动点．若∠MAN=45°MN的最小值为．-2+22/22-2△ADN顺时针旋转90°得到△ABP△MAP≌△MANMN=MP=BM+BP=BM+DNCN=aCM=bMN=2-a-bCN2+CM2=MN2a2+b2=2-a-b22-a2-b=2MN=2-a-b≥-2+22-a2-b∵正方形的边长为1，∴AD=AB=BC==1∠=∠ABC=∠C=∠D=90°，将△ADN顺时针旋转90°得到△ABP△ADN≌△ABP，∴∠N=∠BAP∠D=∠ABP=90°AN=APDN=BP，∴点PBMC共线，∵∠MAN=45°，∴∠MAP=∠MAB+=∠MAB+=90°-∠MAN=45°=∠MAN，10∵AP=AN∠MAP=∠MANAM=AM，∴△MAP≌△MAN，∴MP=MN，∴MN=MP=BM+BP=BM+DN，设CN=aCM=bDN=1-aBM=1-b，∴MN=BM+DN=2-a-b，∵∠C=90°，∴CN2+CM2=MN2a2+b2=2-a-b2，整理得：2-a2-b=2，∴MN=2-a-b=-2+2-a+2-b=-2+2-a+2-b2=-2+2-a-22-a⋅2-b+2-b+22-a⋅2-b=-2+2-a-2-b+22-a2-b≥-2+22-a2-b=-2+22，当且仅当2-a=2-b2-a=2-b=2a=b=2-2时，MN取最小值-2+22，故答案为：-2+22．证明MN=BM+DN和得到2-a2-b=2是解题的关键．14.(2024·四川宜宾·中考真题)中，AB=2AD=4EF分别是边CDAD上CE=DF．当AE+CFCE=．23BC，截取CG=CDGEAG明△≌△GCECF=GEAE+EG最小时，AE+CF最AEG三点共线时，AE+EGAE+CF△AED∽△GECBCCG=CDGEAG∵四边形为平行四边形，∴AB=DC=2AD=BC=4AD∥BC，∴∠D=∠ECG，∵=CGDF=CE，∴△≌△GCE，∴CF=GE，∴AE+CF=AE+EG，∴当AE+EG最小时，AE+CF最小，11∵两点之间线段最短，∴当AEG三点共线时，AE+EGAE+CFAG的长，∵AD∥CG，∴△AED∽△GEC，ADGCCE232422-CECE∴=．=，解得CE=故答案为：．315.(2024·江苏苏州·中考真题)如图，△ABC中，AC=BC∠ACB=90°A-2,0C6,0ykx=k≠0,x>0的图象与AB交于点Dm,4BC交于点E．(1)求mk的值；kx(2)点P为反比例函数y=k≠0,x>0图象上一动点(点P在DEDE重合)P作PM∥ABy轴于点M点P作PN∥xBC于点N接MN△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．(1)m=2k=89283(2)S最大值是时P3,(1)先求出BABD的坐标代入直线AB的函数表达式求出mD的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；(2)延长NP交y轴于点QAB于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出QM=QPP的坐标为8t12t,，2<t<6S=⋅6-t⋅t(1)解：∵A-2,0C6,0，∴AC=8．又∵AC=BC，∴BC=8．∵∠ACB=90°，∴点B6,8．设直线AB的函数表达式为y=ax+b，12-2a+b=06a+b=8将A-2,0B6,8代入y=ax+ba=1，解得，b=2∴直线AB的函数表达式为y=x+2．将点Dm,4代入y=x+2m=2．∴D2,4．kx将D2,4代入y=k=8．(2)NP交y轴于点QAB于点L．∵AC=BC∠BCA=90°，∴∠=45°．∵PN∥x轴，∴∠BLN=∠=45°∠NQM=90°．∵PM∥AB，∴∠MPL=∠BLP=45°，∴∠QMP=∠QPM=45°，∴QM=QP．8t设点P的坐标为t,2<t<6PQ=tPN=6-t．∴MQ=PQ=t．12121292∴S=⋅PN⋅MQ=⋅6-t⋅t=-t-3+．9283∴当t=3时，S有最大值P3,．16.(2024·四川自贡·中考真题)y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(-6,1)B(1,n)两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)P是直线x=-2上的一个动点，△B的面积为21点P坐标；mx(3)点Q在反比例函数y=位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21Q点坐标．6x(1)y=-y=-x-5(2)点P坐标为-23或-2-9；-11+14511+145(3)Q点坐标为3-2或,-2213(1)先求出m=-6B(1,n)B(1,-6)12(2)先得出直线AB与直线x=-2的交点C×-3-p×7=21p(3)Q在点B的右边时和点Q在点Bmxm-6(1)A(-6,1)代入y=出1=解得m=-66x61把B(1,n)代入y=-n=-=-6∴B(1,-6)则把A(-6,1)和B(1,-6)分别代入y=kx+b1=-6k+b得出-6=k+bk=-1b=-5解得∴y=-x-5；(2)AB与直线x=-2的交点为C∵y=-x-5∴当x=-2y=-x-5=2-5=-3∴C-2-3∵P是直线x=-2上的一个动点，∴设点P-2p，∵△的面积为21，1212121212∴×PC×x--2+×PC×x--2=×PC×x-x=×PC×x-x=21ABABBA即×-3-p×7=21∴-3-p=6解得p=3或-9∴点P坐标为-23或-2-9；6x(3)(1)得出y=-6x∵点Q在反比例函数y=-位于第四象限的图象上，6q∴设点Q的坐标为q-q>0Q在点B的右边时∵△QAB的面积为21A(-6,1)和B(1,-6)1412126q126∴21=1+6×q+6-×1+6×1+6-×q+6×1+-×q-1×-+6q49212616整理得21=7×q+6-解得q=3(负值已舍去)-×q+6×1+-×q-1×-+6q2q经检验q=3是原方程的解，∴Q点坐标为3-2Q在点B的左边时∵△QAB的面积为21A(-6,1)和B(1,-6)6q126q12126q∴21=1+6×+1-×+1×q+6-×1+6×1+6-×1-q×-6+6q126q492126q整理得21=7×+1-×+1×q+6--×1-q×-6+-11+145-11-1452解得0<q=<1q=-11+145<02611+14511+145则-=-Q,-q222-11+14511+145综上：Q点坐标为3-2或,-．2217.(2024·四川泸州·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A3,0y轴交于点Bx=1对称．(1)求该抛物线的解析式；(2)当-1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t-1t的值；(3)点CC作x轴的垂线交直线AB于点Dy轴上是否存在点EBCDE(1)y=-x2+2x+31552(2)t=(3)存在点以BCDE32-2或2(1)待定系数法求出函数解析式即可；(2)分t≤1和t>1(3)分BD为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A3,0yBx=1轴交于点对称，b-=1a=-1b=2∴a，9a+3b+3=0∴y=-x2+2x+3；(2)∵x=1，∴∵-1≤x≤t时，0≤y≤2t-1，①当t≤1时x=t2t-1=-t2+2t+3解得：t=-2或t=2，②当t>1时x=12t-1=-12+2+3=4，52解得：t=；5故t=；2(3)存在；当y=-x2+2x+3=0x=3,x=-1x=0y=3时，，12∴A3,0B0,3，设直线AB的解析式为y=kx+3A3,0k=-1，∴y=-x+3，设Cm,-m2+2m+30<m<3：Dm,-m+3，∴=-m2+2m+3+m-3=-m2+3mBD=m2+-m+3-32=2mBC2=m2+-m2+2m2，当BCDE①当BDBD=CD-m2+3m=2m解得：m=0(舍去)或m=3-2，，此时菱形的边长为2m=32-2；②当BDBC=CD：m解得：m=2或m=0(舍去)2+-m2+2m2=-m2+3m2，此时菱形的边长为：-22+3×2=2BCDE32-2或2．；18.(2024·四川南充·中考真题)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A-1,0B3,0．16(1)求抛物线的解析式；(2)如图1y轴交于点CP为线段OC上一点(不与端点重合)线PB分别交抛物线S1S2于点ED△D面积为S△PBE面积为S的值；12(3)如图2K是抛物线对称轴与xK的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M，NG作直线l∥xQ是直线l上一动点．求QM+QN的最小值．(1)y=-x2+2x+319(2)S1=S2(3)45(1)利用待定系数法即可求解；p3(2)设P(0,p)线AP为y=kx+b出y=px+pBD为y=kx+by=-x+p1122p-33p294p3组得E3-p,-p2+4pD,-+S=S-SS=S，-S即可求解；12(3)设直线MN为y=kx+dK(1,0)得k+d=0y=kx-kMm,-m2+2m+3，y=kx-kNn,-n2+2n+3MN与抛物x2+(k-2)x-k-3=0y=-x2+2x+3可得：m+n=2-kmn=-k-3点N关于直线l的对称点NMNQM+QN=QM+QN≥MNM点作MF⊥NN于FFn,-m2+2m+3NF=m2+n2-2m+n+2FM=m-n，根据勾股定理得MN2=k4+17k2+80≥80QM+QN最小值．(1)解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A-1,0B3,0，，-1-b+c=0，-9+3b+c=0b=2解得，c=3∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；(2)设P(0,p)线AP为y=kx+bk≠0111-k+b=0b1=pk1=pb1=p11得，∴y=px+p，y=px+py=-x2+2x+3联立得，x=-1y=0x=3-p解得或，y=-p2+4p17∴E3-p,-p2+4p，设P(0,p)BD为y=kx+bk≠0222p33k+b=0b2=pk=-222，b2=pp∴y=-x+p，3p3y=-x+p联立得，y=-x2+2x+3p-3x=x=3y=03解得或，y=-294p3+p-33p294p3∴D,-+，p294p312122S1=S-SS2=S-S=AB⋅y-y=2-+-p=3p-p2，9DP=AB⋅y-y=2-p2+4p-p=23p-p2，EP19∴S1=；S2(3)设直线MN为y=kx+dk≠0K(1,0)得k+d=0，∴d=-k，∴y=kx-k，设Mm,-m2+2m+3Nn,-n2+2n+3，y=kx-k联立直线MN与抛物线，y=-x2+2x+3得x2+(k-2)x-k-3=0Δ=k-22-4-k-3=k2+16>0，，根据根与系数的关系可得：m+n=2-kmn=-k-3，作点N关于直线l的对称点NMN，由题意得直线l:y=4Nn,n2-2n+5，∴QM+QN=QM+QN≥MN，过M点作MF⊥NN于FFn,-m2+2m+3．则NF=m2+n2-2m+n+2FM=m-n，，在Rt△MFN中，MN2=MF2+NF2=(m-n)2+m2+n2-2(m+n)+22=(m+n)2-4mn+(m+n)2-2mn-2(m+n)+22=(2-k)2-4(-k-3)+(2-k)2-2(-k-3)-2(2-k)+22=k4+17k2+80≥80，即当k=0时，MN2=80MN=45，故QM+QN的最小值为45．19.(2024·吉林·中考真题)△ABC中，∠C=90°∠B=30°AC=3cmAD是△ABC的角平分线．动点P从点A3cm/s的速度沿折线AD-向终点B运动．过点P作PQ∥ABAC于18点QPQ为边作等边三角形PQECE在PQP的运动时间为tst>0△PQE与△ABC重合部分图形的面积为Scm2．(1)当点P在线段AD△APQ的形状(不必证明)的长(用含t的代数式表示)．(2)当点E与点Ct的值．(3)求S关于tt的取值范围．(1)等腰三角形，=t32(2)t=332S=t,0<t≤473923(3)S=-t2+63t-3,<t<24232S=t-1,2≤t<42(1)过点Q作QH⊥AD于点H+QA=QPQH⊥AP1232HA=AP=tRt△AHQ得到=t；32(2)由△PQE为等边三角形得到QE=QPQA=QPQE=QAAE=2=2t=3t=；1232(3)当点P在AD上E在AC△PQEP作PG⊥QE于点GPG=AP=t123432S=QE⋅PG=t20<t≤P在ADE在ACPE与AC交于点F1232时重合部分为四边形FPQC时CF=CE⋅tan∠E=32t-3S=CE⋅CF=2t-37349232可得S=S-S=-t2+63t-3<t<2P在△PQCPCtan∠PQC33时PD=3t-23PC=+PD=3t-3=3t-1QC==PC1232=t-1S=QC⋅PC=t-12≤t<4(1)Q作QH⊥AD于点HAP=3t∵∠C=90°∠B=30°，∴∠=60°，∵AD平分∠，∴∠=∠=30°，∵PQ∥AB，∴∠APQ=∠=30°，∴∠=∠APQ，19∴QA=QP，∴△APQ为等腰三角形，∵QH⊥AP，1232∴HA=AP=t，AHcos∠∴在Rt△AHQ中，==t；(2)∵△PQE为等边三角形，∴QE=QP，由(1)得QA=QP，∴QE=QA，即AE=2=2t=3，32∴t=；(3)P在AD上E在AC△PQEP作PG⊥QE于点G，∵∠=30°，1232∴PG=AP=t，∵△PQE是等边三角形，∴QE=PQ==t，1234∴S=QE⋅PG=t2，32由(2)知当点E与点C重合时，t=，3432∴S=t20<t≤；当点P在AD上E在ACPE与AC交于点FFPQC∵△PQE是等边三角形，∴∠E=60°，而CE=AE-AC=2t-3，∴CF=CE⋅tan∠E=32t-3，121232∴S=CE⋅CF=2t-3×32t-3=2t-3，343273492∴S=S-S=t2-2t-3=-t2+63t-3，ACcos∠C当点P与点DRt△ADC中，AD=∴t=2，=23=AP=3t，7349232∴S=-t2+63t-3<t<2；当点P在△PQC∵∠C=30°∠DCA=90°，由上知DC=3，∴AD=23，∴此时PD=3t-23，∴PC=+PD=3t-3=3t-1，∵△PQE是等边三角形，20∴∠PQE=60°，PCtan∠PQC33∴QC==PC=t-1，1232∴S=QC⋅PC=t-1，∵∠B=∠=30°，∴==23，∴当点P与点B重合时，3t=AD+=43，解得：t=4，32∴S=t-122≤t<4，332S=t,0<t≤473923综上所述：S=-t2+63t-3,<t<2．4232S=t-1,2≤t<4220.(2024·四川德阳·中考真题)y=x2-x+c与x轴交于点A-1,0和点By轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)当0<x≤2y=x2-x+c的函数值的取值范围；34(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点MP+55PM的最小值．(1)y=x2-x-29(2)-≤y≤0455655(3)+PM的最小值为：(1)直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；-12×112(2)求解y=x2-x-2的对称轴为直线x=-=0<x≤212(3)求解C0,-2B2,0AB=3AC为y=-2x-2M,-3M在直线AC上，1555P作PG⊥AC于GMBP作PH⊥MB于HAC=5sin∠ACO==5555明∠AMP=∠ACOPG=PM+PM=+PG=+PH≤AH可．(1)解：∵抛物线y=x2-x+c∴1+1+c=0，与xA-1,0轴交于点，21解得：c=-2，∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2；-12×112(2)解：∵y=x2-x-2的对称轴为直线x=-=0<x≤2，141294∴函数最小值为：y=当x=0时，y=-2，--2=-，当x=2时，y=4-2-2=0，94∴函数值的范围为：-≤y≤0；(3)解：∵y=x2-x-2，当x=0时，y=-2，∴C0,-2，当y=x2-x-2=0时，解得：x=-1x=2，12∴B2,0，∴AB=3，设直线AC为y=kx-2，∴-k-2=0，∴k=-2，∴直线AC为y=-2x-2，341294∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M,-，12∴M,-3，∴M在直线AC上，P作PG⊥AC于GMBP作PH⊥MB于H，∵A-1,0C0,-2，1555∴AC=5sin∠ACO==，∵对称轴与y轴平行，∴∠AMP=∠ACO，PGPM55∴sin∠AMP==，55∴PG=PM，由抛物线的对称性可得：PG=PH∠MAB=∠MBA，55∴+PM=+PG=+PH≤AH，当A,P,H三点共线时取等号，OCAC25255AHAB∴sin∠MAB====sin∠ABH=，AH3255∴=，65∴AH=，55655即+PM的最小值为：．52221.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x2-5x-6=0从点出发以每秒个单位PO2长度的速度沿折线OA-ABQ从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB-运动，PQt秒(0<t<3.6)△OPQ的面积为S．(1)求点A的坐标；(2)求S与t的函数关系式；(3)在(2)S=63M在yNOPMN为N(1)点A的坐标为A3,3333t20<t≤2232(2)S=-3t2+63t2<t≤32-3t+2733<t<3.623(3)存在，N2,4+23N2,23-4N-2,23N2,31234(1)运用因式分解法解方程求出OAOA=OB=AC=6,∠OAB=∠AOB=∠ABO=60°A作AC⊥xCAC的长即可；(2)分0<t≤22<t≤3和3<t<3.63232(3)当3t2=63时求出t=2OP=4OP为边和对角线两种情况可得点N-3t2+1563t=63和-3t+273=63时不存在以点OPMN为顶点的四边形是菱形x=6x=-12(1)解：x2-5x-6=0，12∵OA的长度是x2-5x-6=0的根，∴OA=6∵△OAB是等边三角形，∴OA=OB=AC=6,∠OAB=∠AOB=∠ABO=60°，过点A作AC⊥xC，23在Rt△AOC中，∠AOC=60°,∴∠OAC=30°,1212∴OC=OA=×6=3，∴AC=2-OC2=62-32=33∴点A的坐标为A3,33(2)0<t≤2时．过P作PD⊥xD，∴OP=2tOQ=3t，∴∠OPD=30°∴=t,∴PD=OP2-2=2t-t2=3t，1212332∴S=×OQ×PD=×3t×3t=t；当2<t≤3时Q作QE⊥OAE∵∠A=60°,∴∠=30°,又=12-3t,1232∴AE==6-t，24332QE=2-AE2=63-又OP=2t，t1233232∴S=×2t×63-t=-3t2+63t当3<t<3.6时O作⊥ABF∴PQ=18-2t+3t=18-5t，12同理可得，BF=OB=3，∴=OB2-BF2=33；12152∴S=×33×18-5t=-3t+27333t20<t≤2232综上所述S=-3t2+63t2<t≤32-3t+2733<t<3.632(3)3t2=63t=2,∴OP=2×2=4，12过点P作PG⊥x轴于点GOG=OP=2,∴PG=OP2-OG242-22=23,∴点P的坐标为2,23；当OPOP沿y轴向下平移4个单位得N2,23-4M0,-4是菱形；将OP沿y轴向上平移4个单位得N2,23+4M0,425作点P关于y轴的对称点N-2,23M0,43PMNO是菱形；当OPOP的中点为T点T作TM⊥OPy轴于点MMT到N,使TN=TM,连接,过点N作NH⊥x轴于点H∠MOT=∠NOT=∠=30°,OT=2,∴=2TN,122∴2=OT2+TN,即2=22+，43解得，=3,2∴NH=∴N2,3=2,3；32332152当-当-3t2+63t=63，t=2453t+273=63t=2<323N的坐标为N2,4+23N2,23-4N-2,23N2,3123430°角所对的直角边等22.(2024·江西·中考真题)综合与实践Rt△ABCD是斜边AB上的动点(点D与点A不重合)接CD为直角边在26CE的右侧构造Rt△∠DCE=90°接BE，CBCA==m．特例感知(1)如图1m=1时，BE与AD之间的位置关系是；类比迁移(2)如图2m≠1BE与AD拓展应用(3)在(1)F与点C关于DFBF图3．已知AC=6AD=x边形的面积为y．①求y与xy的最小值；②当BF=2AD的长度．BEAD(1)AD⊥BEAD=BE(2)BE与AD之间的位置关系是AD⊥BE=m(3)①y与x的函数表达式y=x-32+180<x≤62x=32y18时，的最小值为BF=2时，为AD22或42.(1)先证明∠=∠BCE=CECB=CA△≌△BCE可得结论；CECBCA(2)先证明∠=∠BCE∠A+∠ABC=90°==m△∽△BCE角形的性质可得结论；(3)①先证明四边形C作CH⊥AB于H得AB=AC2+BC2=62CH=AH=BH=32OC，OBOC===OE=OB得D,C,E,B,F在⊙OCF∠CBF=90°O12作⊥BC于KO作OG⊥BF于G×2102=20,结合y=2=x-322+18=20.(1)∵∠DCE=90°=∠ACB，∴∠=∠BCE∠A+∠ABC=90°，CECBCA∵==m=1，∴=CECB=CA，∴△≌△BCE；∴AD=BE∠CAD=∠CBE，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠ABC+∠CAD=90°，∴AD⊥BE，27∴BE与AD之间的位置关系是AD⊥BEAD=BE；BEAD(2)BE与AD之间的位置关系是AD⊥BE=m∵∠DCE=90°=∠ACB，∴∠=∠BCE∠A+∠ABC=90°，CECBCA∵==m，∴△∽△BCE；BEADBCAC∴==m∠CAD=∠CBE，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠ABC+∠CAD=90°，∴AD⊥BE，BEAD∴BE与AD之间的位置关系是AD⊥BE=m；(3)由(1)得：=CECB=CA∠DCE=90°=∠ACB，∴△ABC△都为等腰直角三角形；∵点F与点C关于对称，∴△DFE为等腰直角三角形；CE===DF，∴四边形为正方形，C作CH⊥AB于H，∵AC=BC=6∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=62CH=AH=BH=32，当0<x≤32时，∴DH=32-x，∴y=2=322+32-x2=x-322+18，32<x≤62时，此时DH=x-32，同理可得：y=2=x-322+18，∴y与x的函数表达式为y=x-322+180<x≤62，当x=32时，y的最小值为18；②如图，∵AD⊥BECDFEO，∴∠=∠DFE=∠=90°，连接OCOB，∴OC===OE=OB，∴D,C,E,B,F在⊙OCF为直径，∴∠CBF=90°，过O作⊥BC于KO作OG⊥BF于G，1212∴BK=BC=3BG=BF=1，∴OB=32+12=10，∴=2OB=210，1212∴正方形面积为×2102=×40=20,∴y=2=x-322+18=20，解得：x=22x=4212如图，28BF=2时，AD为22或42.适的辅助线是解本题的关键.1223.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)y=x-2与x轴交于点Ay轴交于点CAC两点的抛物线y=ax2+bx+ca≠0与轴的另一个交点为点xB(-10)PP分别作x轴和yAC于点EF．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是x△是以ACD的坐标；(3)当=ACP的坐标；(4)在(3)N是yNM接NA，MPNA+MP的最小值为．1232(1)y=x2-x-2(2)D-4,0,D4+25,0,D4-25,0312(3)P2-33132(4)(1)先根据题意确定点AC29(2)1232(3)先证明△AOC≌△EPF可得PF=OC=2Pm,m2-m-20<m<4121212Fm,m-2,可得PF=-m2+2m-m2+2m=2mP的坐标；32(4)NA向右平移单位得到MG,即四边形MNAGNA=MG,AG=MN3211232=,即G0P2-3关于对称轴x=的点P1,-3,则MP=MP1131323132PG=NA+MP=MG+MP≥PG=即可解答．1112(1)解：∵直线y=x-2与x轴交于点Ay轴交于点C，∴当y=0时，x=4A4,0x=0时，y=-2C0,-2；∵B(-10)，∴设抛物线的解析式为y=ax+1x-4a≠0，12把C0,-2代入可得：-2=a0+10-4a=，121232∴y=x+1x-4=x2-x-2，13∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2．22(2)解：∵A4,0C0,-2，∴OC=2,OA=4,∴AC=OC2+AB2=25，=AC=25,OC⊥AD，11∴=OA=4,即D-4,0；11AD2=AC=25，∴=AD-AC=25-4,即D4-25,0；222AD3=AC=25，∴=AD+AC=25+4,即D4-25,0；233D的坐标为D-4,0,D4+25,0,D4-25,0．123(3)∵PE∥x轴，∴∠PEA=∠OAC，∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠OCA，∵=AC，∴△AOC≌△EPF,∴PF=OC=2,123212∵设Pm,m2-m-20<m<4Fm,m-2,12123212∴PF=m-2-m2-m-2=-m2+2m，1∴-m2+2m=2m=2(负值舍去)，2132当m=2时，×22-×3-2=-3，2∴P2-3．301232(4)解：∵抛物线的解析式为：y=x2-x-2，32∴x=，32NA向右平移单位得到MG,∴四边形MNAG是平行四边形，32112∴NA=MG,AG=MN=,即G320,作P2-3关于对称轴x=的点11,-3,则MP=MP111231322∴G=1-+-3-02=,3132∵NA+MP=MG+MP≥PG=，113132∴NA+MP的最小值为．3132故答案为．24.(2024·四川广元·中考真题)在平面直角坐标系xOy中Fy=-x2+bx+c经过点A-3,-1y轴交于点B0,2．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C接OC交AB于点D的最大值及此时点C的坐标；(3)作抛物线F关于直线y=-1上一点的对称图象FF与F只有一个公共点E(点E在y轴右侧)G为直线AB上一点，H为抛物线FBEGH为顶点的四边形是平行四边G点坐标．(1)y=-x2-2x+2；98311(2)最大值为C的坐标为-,；24(3)点G的坐标为-2,0，2,4，4,6．(1)AB即可；(2)根据题意证明△∽△AB的解析式为y=mx+n出ABCt,-t2-2t+2Mt,t+2利用最值即可得到本题答案；(3)根据题意求出E1,-1BEBE为边时继而得到本题答案．31(1)解：A-3,-1B0,2代入y=-x2+bx+c，-9-3b+c=-1c=2b=-2c=2得：，∴抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+2．(2)1C作x轴的垂线交AB于点M．∴CM∥y轴，∴△∽△，CMOBCM2∴==，设AB的解析式为y=mx+n，把A-3,-1B0,2代入解析式得m=1-3m+n=-1n=2，解得：，n=2∴y=x+2．设Ct,-t2-2t+2Mt,t+2，32942∴CM=-t2-3t=-t++，∵-3<t<0-1<0，3294∴当t=-时，CMCM=．98311∴的最大值为C的坐标为-,．24(3)F与F的公共点E为直线y=-1与抛物线F的右交点，∴-x2-2x+2=-1，∴x=-3(舍)x=1，12∴E1,-1．∵抛物线Fy=-x2-2x+2的顶点坐标为-1,3，∴抛物线F的顶点坐标为3,-5，∴抛物线F的对称轴为直线x=3．如图2BEx-x=x-x=3，EGHB∴xG=-2，∴G-2,0．如图3BEx-x=x-x=1，HGEB32∴xG=2，∴G2,4．如图4x-x=x-x=1，GHEB∴xG=4，∴G4,6，G的坐标为-2,02,44,6．25.(2024·天津·中考真题)将一个平行四边形纸片OABCO0,0A3,0，点B,COC=2,∠AOC=60°．(1)C的坐标为B的坐标为；(2)若P为xP作直线l⊥xlO的对应点落在xC的对应点为C．设OP=t．l与边CB相交于点QCQ与▱OABC重叠部分为五边形时，33C与AB相交于点E．试用含有t的式子表示线段BEt的取值范围；23114②设折叠后重叠部分的面积为S≤t≤S的取值范围(直接写出结果即可)．(1)1,3,4,33252239534(2)①<t<≤S≤(1)OC=AB=2CB=OA=3∠B=∠AOC=60°CH=OC2-CH2=3(2)①由折叠得∠C=∠AOC=60°P=OP△A式化简，BE=AB-AE=5-2t与点AC与点Bt的取值233232MP=3t≤t<1时，1≤t≤时，<t<5252114，≤t≤(1)C作CH⊥OA∵四边形OABC是平行四边形，OC=2,∠AOC=60°A3,0∴OC=AB=2CB=OA=3∠B=∠AOC=60°，∵CH⊥OA∴∠OCH=30°1∴=OC=12∴CH=OC2-CH2=3∴C1，3∵CB=OA=3∴1+3=4∴B4，3故答案为：1，34，3(2)∵过点P作直线l⊥xlO的对应点落在x轴的正半轴上，∴∠C=∠AOC=60°P=OP，∴=2OP=2t∵A3,0∴OA=3∴=-OA=2t-3∵四边形OABC为平行四边形，∴AB=OC=2AB∥OC∠AB=∠AOC=60°∴△A是等边三角形∴AE==2t-3∵BE=AB-AE∴BE=AB-AE=2-2t-3=5-2t∴BE=-2t+5；当与点A重合时，341232此时AB与C的交点为E与A重合，OP=OA=C与点B重合时，CB+152此时AB与C的交点为E与B重合，OP==2352∴t的取值范围为<t<；2C作CH⊥OA由(1)得出C1，3∠COA=60°MPOPMPt∴tan60°=，3=∴MP=3t2312121232当≤t<1时，S=P=OP×MP=t×3t=t232∴>0t=0232∴在≤t<1时，S=t2随着t的增大而增大323932∴≤S<；3当1≤t≤235121212S=P+MC×MP=OP+CM×MP=t+t-1×33232=2t-1=3t-∴3>0S随着t的增大而增大323232332323232∴在t=时S=3×-=-=3t=1时S=3×1-=；3232∴当1≤t≤时，≤S≤3352∵当<t<E2∵由①得出△A是等边三角形，EN⊥AO121232∴AN==2t-3=t-，ENAN∴tan∠=3，3=3∴EN=3t-2-1312S=3t-=3t-××EN2332-2t-3×3t-221134=-3t2+43t-∵-3<0432×-33∴t=-=2时，S有最大值3525∴在<t<时，2-=2-222323211342∴S=-3×+43×-=33252534则在<t<时，3<S≤；52114当≤t≤32123212732S=3t--×+BC×MP=3t--×2t-3+2t-5×3=-3t+∴-3<0S随着t的增大而减小365211452114732∴在≤t≤t=t=分别代入S=-3t+52732114732334得出S=-3×+=3S=-3×+=52114334∴在≤t≤时，≤S≤3239534综上：≤S≤性质内容是解题的关键．26.(2024·湖南·中考真题)已知二次函数y=-x2+c的图像经过点A-2,5Px,yQx,y是此二2112次函数的图像上的两个动点．(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1x轴的正半轴交于点BP在直线ABP作PC⊥x轴于S△PDQS△ADC点CAB于点D接AC,DQ,PQ．若x=x+3证的值为定值；21(3)如图2P在第二象限，x=-2xM在直线PQx-1点M作MN⊥x轴2于点NMN长度的最大值．(1)y=-x2+911(2)为定值3374(3)(1)用待定系数法求解即可；(2)先求出直线AB的解析式，Px,-x2+9Qx+3,-x+32+9Dx,-x+3PD=111111SSx+2-x+3=-x+3入即可求解；1(3)设Px,-x2+9Q-2x,-4x2+9PQx=x-1代入即可求出线段MN长度11111的最大值．(1)∵二次函数y=-x2+c的图像经过点A-2,5，∴5=-4+c，∴c=9，∴y=-x2+9；37(2)当y=0时，0=-x2+9，∴x=-3,x=3，12∴B3,0，设直线AB的解析式为y=kx+b，-2k+b=5∴，3k+b=0k=-1∴，b=3∴y=-x+3，设Px,-x12+9Qx+3,-x+32+9Dx,-x+3，，1111∴PD=-x2+9--x+3=-x2+x+6=x+2-x+3=-x+3．1111111Sx+2-x+3x+3-x111=3，∴∴=SSS-x+3x+211的值为定值；(3)设Px,-x2+9Q-2x,-4x2+9，1111设直线PQ的解析式为y=mx+n，mx+n=-x2+9∴11，-2mx+n=-4x2+911m=x1n=-2x2+9∴，∴y=xx-2x2+9，11当x=x1-1时，123742y=xx-1-2x2+9=-x++，11111237∴当x=-MN长度的最大值．427.(2024·广东·中考真题如图1BD是直线y=axa>0上第一象限内的两个动点>OBkx段BD为对角线作矩形ABCDAD∥x轴．反比例函数y=的图象经过点A．(1)y=的图象必经过点C．kx(2)如图2沿BDC的对应点为E．当点E落在yB的坐标为1,2k的值．(3)如图3沿BDC的对应点为E．当点EAAC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=32⊙O与△ABCk的取值范围．38163(1)证明见解析；(2)k=(3)6≤k≤8kkamkx(1)设Bm,maAm,m,k的代数式表示出C,amy=验证即可得解；mBE(2)先由点B的坐标和k表示出DC=k-22=D作DH⊥yBk4作BF⊥y△DHE∽△EFBHF=2+HF=DC即可得解；(3)当⊙O过点BD作DH∥x轴交y轴于点Hk⊙O过点A据A，C关于直线对轴知，⊙O必过点CAOCOD作DH∥x轴交y轴于点Hk的k的取值范围．km(1)设Bm,maAm,，∵AD∥x轴，km∴D点的纵坐标为，kmkm∴将y=代入y=ax中得：=ax得，kamkammkam∴x=∴D∴C，k,，,am，kamkkx∴将x=代入y=中得出y=am，∴函数y=的图象必经过点C；x(2)∵点B1,2在直线y=ax上，∴a=2，∴y=2x，∴A点的横坐标为1C点的纵坐标为2，k∵函数y=的图象经过点AC，xk2k2∴C∴D2A1,k，k，∴DC=k-2，∵把矩形沿BDC的对应点为E，k2∴BE=BC=-1∠BED=∠=90°，39DCBCk-2BE∴==2=，k-12D作DH⊥yB作BF⊥y轴，∵AD∥x轴，∴HAD三点共线，∴∠HED+∠=90°∠+∠EBF=90°，∴∠HED=∠EBF，∵∠DHE=∠=90°，∴△DHE∽△EFB，DHHEBFBEk∴===2,∵BF=1DH=2k4∴HE=2=，k4∴HF=2+，由图知，HF=DC，k∴2+=k-2，4163∴k=；(3)∵把矩形沿BDC的对应点为EEA重合，∴AC⊥BD，∵四边形为矩形，∴四边形为正方形，∠ABP=∠=45°，APsin45°12∴AB=BC====2APAP=PC=BP=ACBP⊥AC，∵BC∥x轴，∴直线y=ax∴y=x，当⊙O过点BD作DH∥x轴交y轴于点H，∵AD∥x轴，∴HAD三点共线，∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙OOP=32，∴OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=32，∴AP=2，∴AB=AD=2AP=2BD=2AP=22BO=AC=2AP=22，∵AB∥y轴，∴△DHO∽△，HOABHO2DHADDH2DOBD22+22∴∴====，，22∴HO=HD=4，∴HA=HD-=4-2=2，∴A2,4，40∴k=2×4=8，当⊙O过点A时据AC关于直线对轴知，⊙O必过点CAOCOD作DH∥x轴交y轴于点H，∵AO=OC=AC,∴△AOC为等边三角形，∵OP⊥AC，12∴∠AOP=×60°=30°，33∴AP=tan30°×OP=×32=6=PDAC=BD=2AP=26，∴AB=AD=2AP=23=BP+PD=32+6，∵AB∥y轴，∴△DHO∽△，HOABHO23DHADDH23DOBD∴∴==，32+6==,26∴HO=HD=3+3，∴HA=HD-=3+3-23=3-3，∴A3-3,3+3，∴k=3-3×3+3=6,∴当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8．题的关键．28.(2024·四川达州·中考真题)如图1y=ax2+kx-3与x轴交于点A-3,0和点B1,0y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2接ACDC线AC交抛物线的对称轴于点M点P是直线ACS△PMC=2S△DMC点P的坐标；(3)若点N是抛物线对称轴上位于点DNAC为顶点的三角形是等腰三N41(1)y=x2+2x-3(2)P1,0或P-4,5；(3)N-1,14或-1,-14或-1-1或-1，17-3(1)(2)先求得C,M,D△S=2S出S=2MBMD交x轴于点EME=EB=2得出△MBE得S=2P与点B重合时符合题意，P1,0B作BP∥AC交抛物线于点PBP的解析式为y=-x+1(3)勾股定理求得AC,AN,CN2(1)解：∵抛物线y=ax2+kx-3与x轴交于点A-3,0和点，B1,09a-3k-3=0∴a+k-3=0a=1解得：k=2∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3；(2)由y=x2+2x-3x=0时，y=-3C0,-3∵y=x2+2x-3=x+12-4D-1,-4x=-1设直线AC的解析式为y=kx+b入A-3,0C0,-311-3k1+b=0b1=-3∴k1=-1b1=-3解得：∴直线AC的解析式为y=-x-3，当x=-1时，y=-2M-1,-2∴MC=12+-2+32=2,MD=-2--4=2,=12+-3+42=2∴MD2=MC2+2∴△是等腰三角形，12∴S=2S=2××2=2连接MBMD交x轴于点EME=EB=2∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠BME=45°BM=22，又∠DMC=45°∴BM⊥AC1212∴S=×MC×BM=×2×22=2∴点P与点B重合时符合题意，P1,0B作BP∥AC交抛物线于点P，设直线BP的解析式为y=-x+mB1,0代入得，0=-1+m解得：m=1∴直线BP的解析式为y=-x+1y=-x+1联立y=x2+2x-342x=-4x=1y=5，解