线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案

一、单项选择题(共5小题，每题2分，共计10分)

1-1X+1

1.在/(%)=1x-11展开式中，/的系数为()

x+1-11

(A)-1(B)0(C)1(D)2

2.A是mXn矩阵，«A)=心6是m阶可逆矩阵，C是m阶不可逆矩阵，且

r(C)<r,则()

(A)A4X=O的基础解系由n-m个向量组成

(B)54X=O的基础解系由n-r个向量组成

(C)C4X=O的基础解系由n-m个向量组成

(D)C4X=O的基础解系由n-r个向量组成

3.设n阶矩阵A,3有共同的特征值，且各自有n个线性无关的特征向量，则()

(A)A=B(B)4#5,但|4—闻=0

(C)AB(D)A与3不一定相似，但|A|=|M

4.设均为n阶矩阵，^AB=BC=CA=E,其中E为n阶单位阵，则

A2+B2+C2=()

(A)O(B)E(C)2E(D)3E

5.设人=,B=则A与3()

、U乙)IU31

(A)合同，且相似(B)不合同，但相似

(C)合同，但不相似(D)既不合同，又不相似

二、填空题(共二、填空题(共10小题，每题2分，共计20分)

a4C12alb]+q3q

aw0,=___________0

1.已知2b?S=加则2a2b2+c23c2

«3b3C32a3b3+c33c3

p0r

2.设,若三阶矩阵。满足AQ+石=4+0,则。的第一行的行

A—020

j01/

向量是O

3.已知夕为n维单位列向量，PT为/7的转置，若。=仍?，则

2

C=O

4.设%,%分别是属于实对称矩阵A的两个互异特征值4,冬的特征向量，则

T

"2=°

5.设A是四阶矩阵，A*为其伴随矩阵，%,%是齐次方程组AX=O的两个线

性无关解，则/(4*)=。

6.向量组％=(1,3,0,50)',%=(0,2,4,6,0尸,％=(0,3,0,6,91的线性关系

是O

%1+2X2—2X3=0

7.已知三阶非零矩阵3的每一列都是方程组仃毛一%2+丸%3=°的解，则

3毛+%一巧=0

4—__________

8.已知三维向量空间氏3的基底为4=(1,1,0尸,4=(1,0』了,4=(0,1,1尸，则向量

P=(2,0,0/在此基底下的坐标是

，2111C00、

9.设A=1210ao，则a=

12J1004,

J

10.二次型/(%15%2,%3)=+2%；+2%；+2距%2+2%自一2%2%3的秩为

2

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）

abbb

babb

1.试求行列式。=的第四行元素的代数余子式之和

bbab

1234

<100、fl00、

2.设A=020,B=010,求(A5)-l.

03)1o

<03b

20、

3.设n阶方阵A,3满足A+25=AB,已知8=-120,求矩阵A.

J0%

设二次型/(七中,二次型的

4.,x2,x3)=aX]+2xf-2%3+(Z?>0)

矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为T2.（1）求°力的值；（2）用配方法

化该二次型为标准形.

四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共30分）

1.当4为何值时，方程组

2为+一=1

<_%2+%3=2

4为+59—5%=-1

无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示

全部解.

2已知向量组%=（1,3,2,0）J12=（7,0,14,3）7,=（2,-1,0,1/,

%=（5,1,6,2尸,%=（2,—1,4,11，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个

极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.

」22、

3.已知矩阵入=212；判断A能否对角化，若可对角化，求正交

、221J

矩阵尸，使为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。

五'证明题（共2小题，每题4分，共计8分）

1.设a是n阶矩阵A的属于特征值2的特征向量.证明：。也是A5—4A3+石

的特征向量.其中E为n阶单位矩阵.

2.设n维向量组。，尸,7线性无关，向量组二，尸，3线性相关，证明：3必可

由风，,/线性表示.

《线性代数》（A卷）答案要点及评分标准

选择题（共5小题，每题2分，共计10分）

1.A；2.B；3.C；4.D；5.C.

填空题（共10小题，每题2分，共计20分）

1.6m；2.（2,0,1）；3.扉；4.0；5.0；

6.线性无关；7.1；8.1,1,-1；9.1；10.2.

4

三、计算题（一）（共4小题,每题8分，共计32分）

1、解:

abbb

babb

Al+&2+43+A44=

bbab...........4分

1111

ab-ab-ab-a

ba-b00

=(a-b)3分

b0a-b08

1000

r100Y100、'100、

2、解：方法一：AB=020010020

03八。3b«93,

2分

r100100、

(AB石)=020010

e9300

1001001001oO

1告J_

010000100Q

22

931

003010010

~2y~23>

、

100

所以(...........8分

AB)T=0—0

2

(八J----3-——1

123J

(2)方法二:

100100

」00、

(ABy1=B'A1=0100-0—0-0...........8分

22

、0-31,

c31

0c0c-10——-

<3J123J

3、解：方法一：由A+26=A5,得到A(E—5)=—23,……2分

，0-20100、

(E—B,E)=1-10010

0—200"

(1

10010

~2

1

01000..............U为

2

001002)

k

(3-20、

所以，石―8可逆,A=-2B(E-B)T=1208分

,00%

6

方法二：由A+26=AB,得至—5)=—25,2分

用初等列变换求A

'0-20、<100、

1-10010

(E-B\00-2001

1-25J-2-403-20

2-40120

、00—6)、°03,

,6分

,3-20、

所以，A=1208分

、003,

70b、

4、解：二次型的矩阵A=020根据题意得到

小0-2,

a+2+(—2)=1,—4a—2/=—12a=l,b=2...........4分

f=x；++4石七—（石+2%）2+2X,2—6七-

%=%+2%

令<y2=x2,标准形为y；+2%2-6%2............8分

,%=退

四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分）

22-1

1、解：闺=彳-11=（2-1）（52+4）由克莱姆法则

45-5

当Xwl且Xw-'时，方程组有唯一解；……2分

4

当;l=—2时

5

?<10-4-55

4

r(A,b)=——-112T——>-4-5510

/5-5-1I。。。“

有r(A)牛r(A,/?),所以方程组无解；...4分

当2=1时

，21-1」0011

r(A,Z?)=1-112T->01-1-1

I5-5、0000J

有r(A)=NAQ=2<3,方程组有无穷多组解，原方程组等价于方程组为

%1—1

<

、尤2一/=_1

取£=0，得到特解T1=(1,-1,0)^

令£=1，代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为

4=(1,0,1尸

方程组的全部解为

x=〃+kJ其中左为任意常数...10分

2、解：初等行变换矩阵(%,%,%，%，%)到行最简梯矩阵为

8

(21)

100-——

」7252、33

30-11-1n1nJ.J.

(%,a?,a3,"4,25)二f

21406433

(03121,00110

、00000,

...6分

可得向量组的秩为3,

向量组的一个极大无关组为%,%，%，且

3、解：4的特征多项式为

2-1-2-2

|2E-A|=-22-1-2=(2-5)(2+1)23分

-2-22-1

得到矩阵A的全部特征值为4=4=—I,4=5

当4=4=—1时，由(-E-A)x=O得一个基础解系

《=(TLO)T，2=(T，0,1)7

正交化,单位化用=(一d，o)j/=(一骼,一器