反比例函数与几何综合（解析版）-2024年中考数学热点题型归纳与变式演练（全国卷）

专题12反比例函数与几何综合

目录

热点题型归纳...................................................................................

题型01K的几何意义............................................................................

题型02特殊几何图形存在性问题.................................................................

题型03反比例与相似三角形综合.................................................................

中考练场.......................................................................................

热点题型归纳

题型01K的几何意义

【解题策略】

反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质,

反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质.

【典例分析】

例1.（2023•江苏宿迁・中考真题）如图，直线y=x+l、y=x-l与双曲线y=或（左＞0）分另ij相

交于点4B、C、D.若四边形ABCD的面积为4,则上的值是（）

二?D.1

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【答案】A

【分析】连接四边形A3CD的对角线AC、BD,过。作DEL*轴，过C作CF，x轴，直线

y=x-l与x轴交于点M,如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形ABCD是平行

四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定

S^COD==1=10M.(DE+CF),再求出直线y=x-l与x轴交于点”(1,0)，通过

y=x-l

联立k求出c、D纵坐标，代入方程求解即可得到答案.

ly=一X

【详解】解：连接四边形ABCZ)的对角线AC、BD,过。作DELx轴，过C作轴，

直线＞=x-l与x轴交于点如图所示：

根据直线y=x+i、＞=xT与双曲线y=：（左＞。）交点的对称性可得四边形A3CD是平行四

边形，

S^CC®=1S四边步ABCD=1=.（■DE+Cr）,

;直线y=x-l与无轴交于点M,••・当y=。时，x=l,即M（l,o）,

y=x-l与双曲线了=少＞0）分别相交于点C、D,

y=x-\----

・•.联立k,即＞='—1,则y2+y_%=0,由左＞0,解得y'T±S+4Z,

y=-y2

IX

1,1-1+Jl+4左（-1-J1+4Z丫|,nn....-,3

-xlx----------------------=1,即J4Z+1=2,解得左=^，故选：A.

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例2.（2023・四川宜宾•中考真题）如图，在平面直角坐标系无Qy中，点&、8分别在y,x轴

上，轴.点〃、N分别在线段3C、AC上，BM=CM,NC=2AN,反比例函数

y=；a>0）的图象经过“、N两点，尸为X正半轴上一点，且。尸:5P=1:4,..APN的面积

为3,则女的值为（）

D45144-72

A.—C.----D.——

482525

【答案】B

【分析】过点N作NQ_Lx轴于点。，设点A的坐标为A（0,a）（a>0）,点M的坐标为

M（5Z?,C）（ZJ>0,C>0）,点N的坐标为N（m,〃）（〃?>0,〃>0）,则C（542c）,OA=a,OB=5b,

先求出点N的坐标为N［三,生产］,再根据S谢=S梯形OAN2-SAO—SN.2=3可得

2ab+bc=9,然后将点M,N的坐标代入反比例函数的解析式可得2a=7c,从而可得6c的

值，由此即可得.

【详解】解：如图，过点N作NQLx轴于点

设点A的坐标为A（0,a）（a>0）,点加的坐标为M（56,c）（6>0,c>0）,点N的坐标为

则C（5Z?,2c）,OA=a,OB=5b,OP:BP=1:4,:.OP=b,BP=^b,

NC=2AN,AONQ\CB,

5b

5Z?-m=2（m-0）m=一

%一外235b2。+2c）

：.BQ=2OQ,解得

力一汽32a+2c

n=---------

3

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■-OQ=^,NQ==^^,.-.PQ=OQ-OP=y,

APN的面积为3,...S梯形OANQ-SAOP-SNPQ~3,即

157,2〃+2c11712Z?2〃+2cc上6e/口出一

-x-^—-—+a\--ab--^~---------=3,整理得：2ab+bc=9,将点

乙D\DJ乙乙DJ

“彳/c\J5b2。+2。)八、、k,,—5b2a+2c击后丁0,日入一

M(5/?,c),?/―,---代入)=一得ZP：k=5bc=--------,整理得：2a=7c,

133/x33

945

将2〃=7c代入2"+Z?c=9得：lbc+bc=9,解得力。=—,贝!］左=5bc=——,故选：B.

88

【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点

N的坐标是解题关键.

【变式演练】

k

1.(2024•福建泉州•模拟预测)如图，反比例函数y=-(%>0)图象经过正方形。4BC的顶点

x

A,BC边与y轴交于点。，若正方形OABC的面积为12,BD=2CD,则上的值为()

10

D.T

【答案】B

［分析］过点A作AE，x轴于点E,过点A作AG，y轴于点G,过点B作BH_LAG于点G,

过点C作CFLx轴于点足过点3作轴于点M,过点C作CN_Ly轴于点N,,根

据已知条件分别证明11AoE-OCF(AAS),54”-AOG(AAS),四边形ONB,四边形

8MG"和四边形AEOG为矩形，即可得出CN=OF=AE=OG=AH,GH=BM,OE=AG,

CNCD1

根据已知条件可以证明△CDNSABD"，得出==设点A的坐标为：

BMBD2

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k

fm,-k77>0),即可得出黑=—=得出用=3储根据勾股定理，结合正方形的

I“，BMk2

m

面积，列出加2+(，j=i2,最后将苏=3人代入求出发的值即可.

【详解】解：过点A作AE_L无轴于点E,过点A作AG，y轴于点G,过点B作防'J_AG于

点G,过点C作CTLx轴于点凡过点8作轴于点M,过点C作CN^y轴于点N,

如图所示：

:四边形。4BC为正方形，

/.AO=AB=BC=OC,ZAOC=NOCB=NOAB=NBC=90°,

轴，CF_Lx轴，

ZAEO=ZCFO=90°,

ZCOF+ZAOE=180°—90°=90°,ZCOF+ZOCF=90°,

ZAOE=ZOCF,

_AOE%OCF(AAS),

AAE^OF,OE=CF,

'：BHAG,AG_Ly轴，

ZBHA=ZAGO=90°,

ZGAO+ZBAH=90°,ZGAO+ZGOA=90°,

ZBAH=ZGOA,

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・・・BAH^AOG（AAS）,

:.OG=AH,

轴，CN，y轴，

JZCNO=ZCND=ZBMO=90°,

,/ZCDN=ZBDM,

/.ACDNsABDM,

.CNCD_1

,・威一访―5'

ZCFO=ZFON=ZCNO=90°,

・・・四边形ONC尸为矩形，

同理可得：四边形5MG"和四边形AEOG为矩形，

:.CN=OF=AE=OG=AH,GH=BM,OE=AG,

设点A的坐标为：（利,：）（根＞0）,

k

CN=OF=AE=OG=AH=—,OE=AG=m,

m

m

k_

.CN_-_1

.,加—一k-2'即2=佻，

m----

m

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:正方形Q45C的面积为12,

0A2=12,

由勾股定理得OA2=A£2+O炉，即加2+［幺］=12,

在RtzXOAE中,

把/=3%代入M+[=12得：3k+—=12,

J3k

1Q

解得：k=~.

1Q

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾

股定理，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点A的坐标（桃5］,

找出机与人的两个关系式，是解题的关键.

2.（2023•安徽・二模）如图，A,8两点分别为：）0与x轴，y轴的切点.AB=2亚,C为

优弧AB的中点，反比例函数无＞0）的图象经过点C,则上的值为（）

X

A.3+2夜B.8C.16D.32

【答案】A

【分析】连接0A。8，。。，过点C作CD^x轴于点。，延长49交。于点E,根据切线的

性质，等弧所对的圆心角相等，易得AOB.COE为等腰直角三角形，四边形为正方

形，四边形应＞£。为矩形，求出点C的坐标即可.

【详解】解：连接。4,QB,OC,过点C作CDLx轴于点。，延长4。交。于点E,

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则：OA^OB^OC,

VA,8两点分别为。。与x轴，y轴的切点，

轴，轴，

Q4〃x轴，

OALOB,

，四边形AOB尸为正方形；

AB=2。

：.OA=OB^2,

,OC=2,BF=2；

：CD_L无轴，QB_Lx轴，OA±OB,

四边形BDEO为矩形，

/.ZOEC=90°,DE=OB=2,NBOE=90°,OE=BD,

为优弧AB的中点，

/.ZAOC=N8OC=g(360°—90°)=135°,

二Z.COE=ZBOC-NBOE=45°,

/.OE=CE=—OC=s/2,

2

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CD=CE+DE=2+y[2,DF=BF+BD=2+42,

：.C（2+A/2,2+V2）,

2%=（2+可,

■'-k=3+2y/2,

故选A.

【点睛】本题考查求反比例函数的左值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定

和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理.解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图

形.本题的综合性较强，难度较大.

3.（2023・安徽•模拟预测）如图，等腰ABC的顶点分别在反比例函数芳=?化＞。）和

%=+化＞0）的图象上，AC=BC=^-AB.若AB〃，轴，点8的横坐标为3,贝U

k、+k?~.

【分析】本题考查反比例函数的图象与几何综合，勾股定理，以及等腰三角形的性质，过点

C作CD,四于点。.设AB=2a,则AC=BC=氐，AD=a,CD=2a.设点5的纵坐

标为"，表示出A,8,C,D的坐标，根据反比例函数关系式，推出匕，心含。的表达式，再

求其和，即可解题.

【详解】解：过点C作CD，AB于点。.

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设AB=2a,贝UAC=BC=非a,AD=a,

:.CD=YJAC2-AD2=2a-

设点5的纵坐标为〃，

/.B（3,n）,Z）（3,〃+a）,A（3,〃+2。），C（3-2a,几+a）.

点B,C都在%=幺的图象上，

X

:.k2=3〃=（3-2a）（〃+a）,

3

n=—a,

2

9

鼠=3n=—3a.

-2

点A在必=4的图象上，

X

99

/.kx=3（〃+2〃）=3n+6a=--3a+6a=—+3a,

99

k[+Z=—F3d4-----3a=9.

1222

故答案为：9.

3

4.（2023・四川成都•模拟预测）如图，直线>=-^X+3的图象与>轴交于点A,直线

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3Q

”出出＞。）与X轴交于点8,与一“+3的图象交于点〃，与的图象交

于点C.当=5：3时，k=

【分析】如图所示，过点A作AELBC于点E,可求出器=2,如图所示，过点"作

轴于点尸，过点C作CGIx轴于点G,根据两直线的交点，直线与反比例函数的交点，分

别列方程组，用含％的式子表示出点M，C的坐标，可得M£CG的值，由即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作AEL8C于点E,

•••S△旗M=1BM.AE,S^CM=^MC，AE,

・^/\ABM•^AAMC=5.3,

A1-BM^AE]:（-MC^AE}=5:3,即典=2,则%=9,

（2八2）MC3BC8

如图所示，过点M作MFJL九轴于点尸，过点。作轴于点G,

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：.MF//CG,

.MFBM_5

：.ABMF^ABCG,

*CG-^C-8

3

・・,直线丁=履+左（左＞0）与％轴交于点3,与y=-z%+3的图象交于点M，

3—k12-4左

二

y=kx+kx34Z+3

k+-“(12—4%15左

3解得,4M\---------,--------

y=——x+314左+341+3

415左

4Z+3

9

•・•直线y=kx+k（k＞0）^x轴交于点B，与丁=一（%＞。）的图象交于点。，且%＞。,

x

y/k2+36k-k

y=kx+kx=------------------

2k

・・，解得,

•<92

y=一_18左y/k+36k-k

IX

[k2+36k-)2

.小甘+36k-kJ%2+363+A：l.15ky/k236k+k

I2%2J4%+32

15k

MF_4左+e=5

CG-JF+36)+1一W'

2

,48左=(4左+3)(J/2+36k+k)，45左一41?=(4左+3)+36k，960^2-1152A:+324=0

cQ3Q3

80^2—96k+27=（20%—9）（4"3）=0,：.kx=—,k,=~,故答案为：二或L

'八/1204204

【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的面积,相似三角形等知识的综合,

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掌握求交点坐标的方法，根据图形面积求出线段的比值是解题的关键.

题型02特殊几何图形存在性问题

【解题策略】

考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质，勾股定理，解

题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

【典例分析】

3k

例.(2023・山东•中考真题)如图，直线y=]X与双曲线>左声0)交于A,8两点，点A

的坐标为(皿-3),点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接8c并延长交无轴于点D,且

BC=2CD.

(1)求上的值并亶毯与地点8的坐标；

(2)点G是丁轴上的动点，连接GB,GC,求GB+GC的最小值；

(3)尸是坐标轴上的点，。是平面内一点，是否存在点尸，Q,使得四边形42尸。是矩形？

若存在，请求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

1Q13

【答案】(1)k=6,8(2,3)；(2)2M；(3)P,0)或(0,y).

【分析】(1)根据直线y=|x经过点4(私-3),可求出点A(-2,-3),因为点A在y=：(4/0)

图象上，可求出鼠根据点A和点B关于原点对称，即可求出点8；

(2)先根据5c=2CD利用相似三角形的性质求出点C,再根据对称性求出点8关于y轴的

对称点8',连接9C,即8'C的长度是GB+GC的最小值；

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（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.

3

【详解】（1）解：因为直线y=经过点A（加，一3）,

3

所以-3=—x〃z,

2

所以m=-2,

所以点A(-2,-3),

因为点4在丫=乙％#0）图象上,

X

所以左=—2x(—3)=6,

3k

因为y=]X与双曲线、=嚏（左二0）交于A,8两点,

所以点A和点8关于原点对称,

所以点8（2,3）；

（2）过点B,C分别作BELx轴，CfUx轴，作B关于y轴对称点夕,连接夕C,

因为BEJ-x轴，CP_L无轴,

所以8E//CF,

所以BEDCFD,

BD

所5F;I以'I彳K

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因为BC=2CD,

因为3(2,3)，所以BE=3,所以CF=1,

所以C点纵坐标是1,

将Vc=1代入y=9可得：x=6,所以点C(6,1),

又因为点二是点B关于y轴对称的点，所以点/(-2,3),

所以2'C=J(-2-6『+(3-=J64+4=倔=2而,即GB+GC的最小值是2折；

(3)解:①当点尸在x轴上时，

当NABP=90。，四边形ABP。是矩形时，过点B作轴，

OHBH

因为NOBP=90。，BH_LOP,所以OHBBHP,所以一=——,

BHHP

91313

所以BH2=OHXHP,所以32=2XHP,所以坂=万，所以。尸=万，所以点「(彳，0)；

②当点尸在y轴上时，当/ABP=90。，四边形ABP。是矩形时，过点3作①轴，

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匚匕2OHBHm2

因为NO3P=90。，5H_L0P,所以OHB一BHP,所以"=—,所以BH9'=OHxHP,

BHHP

41313

所以22=3X〃P,所以女尸=彳，所以。尸=工，所以点尸(0,—)

333

1313

综合可得：P(y,0)或(0,y).

【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质，解决本题的

关键是要熟练掌握正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质.

【变式演练】

1.(2023•湖南邵阳•一模)如图，直线与无轴交于点A,与y轴交于点从OB是一元二

3

次方程V-x-30=0的一个根，且tanNO48==，点。为A3的中点，E为x轴正半轴上一点，

4

BE=2回,直线。0与3E相交于点尸.

⑴求点A及点D的坐标；

(2)反比例函数y=幺经过点r关于y轴的对称点/，求上的值；

X

(3)在直线A3上是否存在点尸，使为等腰三角形？若存在，直接写出点尸的坐标；若

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不存在，请说明理由.

【答案】(1)48,0),。(4,3)

⑵噌

(3)存在，点P的坐标为或詈■)或+-或

|^40-|710,-24+1710^.

3

【分析】(1)先解VT-30=0得到两个根，取其正值，可得03=6,再由tan/OAB=二可

4

得。4=8,于是可知48,0),3(0,6),进而可求得的中点0(4,3).

(2)求出直线防，直线0。的解析式，构建方程组确定交点厂的坐标，再根据对称性求出

点F的坐标即可.

(3)先运用待定系数法求出直线的解析式为y=-；x+6,设点尸，，-土,+6),分

PE=AP,PE=AE和AP=Af三种情况列式求出t的值即可.

【详解】(1)'：X2-X-30=0,

——5,不？=6,

05=6,

3

tanZ.OAB二—,

4

・_3

••=—，

OA4

，04=8,

・・・A(8,0),5(0,6),

;点。为AB的中点，

二点D的坐标为(等，等1即0(4,3).

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(2)在Rt_OBE中，由勾股定理得：

OENBEZ-OB?=140-36=2'

E(2,0),

设直线BE的函数解析式为丫=丘+。(％二0),

把3(0,6),E(2,0)代入得：

j2k+b=0

[b=6

伏=一3

解得：八＜

\b=6

・,•直线班的函数解析式为y=-3x+6,

V£)(4,3),

设直线OD的函数解析式为y=mx,

4m=3,解得，根=[，

3

・,・直线OD的函数解析式为y,

4

32

当一3X+6=—x时，x=—,

45

此时y=g,

,•喉外

工点/关于y轴的对称点F为，

k

•••反比例函数y=—经过点F,

第18页共67页

5525

(3)设直线45的解析式为y=ax+b,

将点A(8,0),B(0,6)的坐标代入得,

3

8“+。=0a=—

解得:4

b=6

n=6

,3

・,・直线AB的解析式为y=-力+6

4

・・•点尸在直线A3上，

***设点尸[%—$+6],

二PE?=。-2）2+t+6—0）=H产-13/+40,AE2=（8-2）2=36,

AP2=（8-Z）2+^-|f+6^|=||产一25「+96

下面分三种情况讨论：

2525

①当PE=AP时，一产一13f+40=—产-251+96

1616

14

解得：I1,

,3/314右5

..—t+6=—x----F6=—

4432

二点尸的坐标为件11

25

②当PE=AE时，―?2-13/+40=36

16

Q

解得：％=8,t2=—~

第19页共67页

33

•**—t+6=—x8+6=0,此时点P不存在,

44

3「38/148

——t+6=——x---=-----

442525

・,•点尸的坐标为125'25)

③当AP=AE时，下/一25r+96=36

16

解得：=40+|>/10,t2=40-1A/10

•••点P的坐标为(40+1何,一24一4网或140—|加,一24+|呵；

综上，点P的坐标为或或(40+'|716-24-1'"^)或

U0-|A/10,-24+|^J.

一次函数y=x+8的图象与反比例函数y=K(x<0)的图

2.(2023•山东济南•二模)如图,

X

象交于4(。,6),8两点.

(1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标;

⑵在y轴上存在点尸，使得AP+3尸的值最小，求AP+3尸的最小值.

(3)加为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点V、N,使AMBN是以MN

为底的等腰直角三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

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【答案】⑴"上,3（-6,2）

（2）44

⑶存在，M（T,3）或加18,|]

【分析】（1）先求出点A的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的表达式，最后联立一

次函数和反比例函数表达式，即可求出点2的坐标；

（2）作点A关于y轴的对称点4（2,6）,连接A3交y轴于点尸，此时AP+3P的值最小，

用勾股定理即可求解；

（3）设N（〃,0）,根据题意，构造全等三角形，进行分类讨论，利用勾股定理

列出方程求解即可.

【详解】（1）解：将4（。,6）带入y=x+8得：6=a+8,

解得：a--2

：.A（-2,6）,

将A（-2,6）代入＞得：k=xy=-n,

X

12

反比例函数的表达式为：y=-上，

y=%+8

联立q-12,

y=—

IX

.•.3（-6,2）,

10

综上：反比例函数的表达式为：＞=-7，*-6,2）；

第21页共67页

（2）解：作点A关于y轴的对称点A（2,6）,连接AB交y轴于点P,此时AP+3P的值最

小，

A'B=J[2一（一6）1+（6-2「=4^/5，

；•AP+BP=A'P+BP=A'B=4A/5;

（3）解：设J],N（n,O）,

①M在8点右侧时，过点8作B尸，x轴于点R过点M作交FB的延长线于点

H,

,/△MBN是以MN为底的等腰直角三角形,

BM=NB,ZMBN=90°,

ZHBM+ZNBF=9Q°,

Z.HBM+ZHMB=90°,

ZNBF=ZHMB,

在,和一期N中，

第22页共67页

NNBF=ZHMB

<ZH=ZBFN,

BM=NB

：.Z^MHB0△①W(AAS),

；・HM=BF,HB=FN,

-Q-(-6)=2-0

“T一2=〃-(-6)'

[a——4

解得：,

\n=-5c

②M在8点左侧时，

同理可得AMHBZ△班N（AAS）,

BH=BF,-6）-a=2-0,

解得：。=-8,

综上：M（T,3）或

【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，将军饮马，全等三角形的判

定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握反比了函数和一次函数的性质，会用待定系数

法求解函数表达式，具有分类讨论的思想.

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3.(2023・四川成都•三模)如图，直线y=；x-3与x轴交于点A,与>轴交于点8,与反比

k

例函数>=勺在第一象限内的图象交于点C(九1).

⑴求反比例函数的表达式；

k

(2)点。在点。上方的反比例函数y=—的图象上，△ABD的面积为9,求点。的坐标；

x

(3)在(2)的条件下，点M在x轴上>=幺的图象上，若以点M,N,2为顶点的四边形是平

X

行四边形，求点M的坐标.

Q

【答案】⑴y=°

X

⑵。（4,2）

（3）（-1y9,。）或（12,0）或（17，0）

【分析】

1

-3得到C(8,l),由于点C在双曲线>=幺上，求得左=1x8=8,于

（1）把CO,1）代入y2-

X

Q

是得到反比例函数的解析式为y=2；

X

(2)由y=可知B的坐标为(0,-3),得到A的坐标为(6,0),求得。4=6,03=3,过

QQ

。作。尸_Ly轴于f，OEJ_x轴于E,设£>(切,一)，则尸(0,—),E(m,0),根据三角形的面

mm

积公式列方程即可得到结论；

(3)分当BN,DM为平行四边形的对角线时，当BD,是对角线时，当,DN是

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o

对角线时，三种情况讨论，设M(a,0),N(〃,2),根据中点坐标公式得方程:即可得到结论.

n

【详解】(1)

解：把代入y=；x-3,得1=：相一3,

解得：m=8,

,点C在双曲线>=8上，

X

「"=1x8=8,

Q

・••反比例函数的解析式为y=2；

X

(2)

解：由，=?-3可知B的坐标为(0,-3),

当y=0时，0=匕-3,

2

:.x=6,

「.A的坐标为(6,0),

.〔04=6,03=3,

过。作轴于尸，£>EJ_x轴于£,

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・・・△ABD的面积为9,

—(m+6)F—x6x3—(3d——)-m=9,

2m22m

解得m=4(负值舍去)，

一•0(4,2)；

k

(3)解：■点M在1轴上，点N在反比例函数y=—的图象上,

x

Q

.•.设MQO),N(n,—),

n

以点N,B,。为顶点的四边形是平行四边形，

」•当以BN,DM为平行四边形的对角线时，

由中点坐标公式得：

n=4+。

解得：a=.

12

即点"(—不，。)；

当BD,MN是对角线时，由中点坐标公式得:

4=a+n

<c。8，解得：a=12,

—3+2=一

、n

即点M的坐标为：(12,0),

当ON是对角线时，由中点坐标公式得:

a=4+〃

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解得〃=?12，

.•.M(y,0),

综上，点M的坐标为(音I?，。)或(12,0)或(1茎2，0).

【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法、三角形的面积、平行四边

形的性质等知识，分类求解是本题解题的关键.

4.(2022・山东济南.一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+方与反比例函数

y=1(.x>0)的图象交于点A(3,，与y轴交于点3(0,-2)，点尸是反比例函数y=f(尤>0)

的图象上一动点，过点尸作直线尸。〃>轴交直线y=x+6于点。，设点尸的横坐标为r,且

0<Z<3,连接AP,BP.

⑴求左，6的值.

⑵当修尸的面积为3时，求点尸的坐标.

(3)设尸。的中点为C,点。为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以3,C,D,E为顶

点的四边形为正方形时，求出点尸的坐标.

【答案】⑴左=3;b=-2

⑵尸(6甸

⑶尸目或(1,3),(273-3,273+3)

【分析】(1)将点8代入y=尤+久求得匕,进而求得，=》-2,将A点坐标代入求得比

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(2)表示出PQ的长，根据;尸。・(%-4)=3求得力进而得出点P的坐标;

(3)分为BC是边，点。在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线.当8C为边时,

点。在x轴正半轴上时，过点轴，^DGVCF,证明一BCF三CGD,进而得

出B=N,从而求得r的值，另外两种情况类似方法求得.

【详解】(1).••直线》=尤+6过点2(。,一2),

：.0+b=-2,

b=—2,

・.•直线y=x—2过点A(3,〃),

n=3—2=1,

・・・A(3,l),

k

=£过点A(3,D,

X

k=xy=3x1=3；

(2)•・,点尸的横坐标为3

Q(r，/—2)

3

尸0=：-(，-2),

A(3,l),B(0,-2),

=X1

又SAPB§APQ+SBpQ=-PQ'(%A~B)

13

2[-(〜2)乂3=3,

t=yfi9

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・・・尸（G,⑹;

（3）如图1,

当3C是边，点。在x轴正半轴上，

作于/，作DG_LC/于G,

・•・/BFC=NG=90。，

：./FBC+NFCB=9U0,

*：ZBCD=90°,

・・・ZDCG+/FCB=90。,

：./FBC=NDCG,

BC=CD,

：.^BFC=^CGD（AAS）f

：.CF=DG,

OF=DG,

：.OF=CF,

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2

=1，弓=-3（舍去），

P（l,3）

如图2,

当点D在无轴的负半轴上时,

由上知：BG=DF=2,

.,•/=2,

当3c是对角线时,

图3

当8C是对角线时，点。在x轴负半轴上时,

可得：CF=OD,DF=OB=2,

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.-+Z-2

•T--------=27'

2

•t=1f

：.P(l,3),

如图4,

.-+t-2

。+2=^---------

2

=2A/3—3,t2=—2\fi—3(舍去)，

当/=2舁3时，y=2，_3=2』+3,

/.P(2A/3-3,2A/3+3),

综上所述：

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等

三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关

系.

3k

5.（2。23・山东济南•二模）如图'在直角坐标系中，直线尸一片与反比例函数y二的图

像交于A（〃?,3）、B两点.

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⑴求反比例函数的表达式；

3

(2)将直线＞=-^彳向上平移后与＞轴交于点c,与双曲线在第二象限内的部分交于点。，如

果△钿£)的面积为16,求直线向上平移的距离；

(3)E是y轴正半轴上的一点，尸是平面内任意一点，使以点A,B,E,P为顶点的四边形是

矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标.

【答案】(l)y=-上12

X

(2)4

⑶耳(0,1；E2(O,5)

【分析】(1)用待定系数法求反比例函数解析式即可；

(2)连接AC、BC,设平移后直线8的解析式为y=-：x+b,得出点C(0,6),

根据直线8平行直线A3,得出%ABD=S-BC，根据点4、点2关于原点对称，得出点

3(4,-3),根据S△板=%。。(乙一乙)=16,列出关于6的方程，解方程即可；

(3)设E(O,〃z),A(-4,3),3(4,-3),得出AB?=(4+4『+(3+3丫=100,