2024年中考数学复习：几何面积问题与面积法典例精析

几何面积问题与面积法典例精析

知识梳理

几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一.

平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积常用以下几种方法:

1.和差法：把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算.

2.运动法：有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观

察或解决的形状，就可在运动中求解.

3.等积变形法：即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积.

例题精析

例1如图,△4BC的面积为lcm2,AP垂直/ABC的平分线BP于点P,则与△P8C的面积相等的长方形是（今

0.5cm0.5cm0.5cm0.5cm

0.9cm1.0cm1.1cm1.2cm

A.B.c.D.

思路点拨延长AP交BC于点E,根据AP垂直.N4BC的平分线BP于点P,即可证得点P为AE中点，又知△APC和^CPE等底同

高,可以证明两三角形面积相等，即可求得^PBC的面积.

解题过程如图，延长AP交BC于点E.

VAP垂直NABC的平分线BP于点P,

根据等腰三角形的三线合一可知AP=PE.

112

SAPB=SPBE，SAPC=^PCE-SpBC=]SABC=2cm-

选项中只有B的长方形面积为｝cm2,故选B.

方法归纳本题主要考查面积及等积变换的知识点，延长AP交BC于点E是解答本题的关键，证明出△PBC的面积和原三角形的

面积之间的关系很重要.

易错误区注意三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个三角形，但要注意这两个三角形不全等.

例2如图，在正方形ABCD中，已知AB=3,点E,F分别在边CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中涂色部分的面积与正方形A

BCD的面积之比为2：3,则^BCG的周长为.

思路点拨根据涂色部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3得出涂色部分的面积为6,空白部分的面积为3,进而依据^B

CG的面积以及勾股定理得出BG+CG的长，进而得出八BCG的周长.

解题过程正方形ABCD的面积为3x3=9.

•••涂色部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3,

涂色部分的面积为|X9=6.。空白部分的面积为9-6=3.

---四边形ABCD是正方形,.,.BC=CD,NBCE=NCDF=90。，

又CE=DF,ABCE^ACDF./.ABCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为|x3=^,ACBE=乙DCF.

'：ZDCF+ZBCG=90°,.\ZCBE+ZBCG=90°./.ZBGC=90°.

设BG=a,CG=b，贝%ab=|.

又：a?+b?=32,a2+lab+b2=9+6=15,HP(a+b)2=15.

：.a+b=V15,BPBG+CG=V15.

...ABCG的周长为V15+3..故答案为：餐+3.

方法归纳本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题.解题时注意数形结合思想与方程思想的应用.

易错误区将涂色部分的面积转化为△BCG的面积是解题的关键，解决面积问题最重要的方法就是将不规则的图形通过割补或

等积转化为规则图形，面积之间的等量关系一定要分析清楚，不能搞错.

例3在数学学习过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，如果我们把这些类似进行比较、加以联想的话，可能出现许多意想不

到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，从而解决问题的方法就是类比法.类比法是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论

的发现方法.

如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.

【尝试探索】

①经过三角形顶点的面积等分线有一条.

②平行四边形有一条面积等分线.

【类比探究】如图1是在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线.

【类比拓展】如图2,在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB*CD,且SABC<S4m过点A画出四边形ABCD的面积等分

线，并描述方法.

【灵活运用】请您尝试画出一种图形，并画出它的一条面积等分线.

C

图1

思路点拨尝试探索：①根据三角形的三条中线是面积等分线解答.②根据平行四边形是中心对称图形解答即可.类比探究：找出两

个矩形的对称中心即可.类比拓展：根据等底等高的两个三角形面积相等作图.灵活运用：根据经过圆心的直线把圆分成面积相等的两

部分解答.

解题过程【尝试探索】①三角形的三条中线是面积等分线,

•••经过三角形顶点的面积等分线有3条.故答案为：3.

②•.•平行四边形是中心对称图形，.•.经过对称中心的直线都是它的面积等分线..•.平行四边形有无数条面积等分线.故答案为：无

数.

【类比探究】如图3,经过两个矩形对角线的交点的直线是这个图形的一条面积等分线.(答案不唯一)

【类比拓展】如图4,过点B作BE〃AC交DC的延长线于点E,连接AE交BC于点H取ED的中点F,连接AF.VAABC和4A

EC的公共边AC上的高也相等,二S=S.S=S.S皿皿…=S.AEID的中线AF是四边形ABCD的面积等分线.

ABCAECABHHEC四也形AB3AED

【灵活运用】如图5,经过两圆圆心的直线0。是这个图形的面积等分线.(答案不唯一)

方法归纳本题考查的是面积与等积变换，正确理解平面图形的面积等分线的定义、中心对称图形的概念以及三角形面积的计算公

式是解题的关键.

易错误区类比拓展题是将四边形的问题转化为三角形的问题再解决，要注意转化过程要保持面积不变，这个过程是本题的难点

也是易错点.

例4如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB与x轴重合，点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(2,4),直线1的解析式为.y=

kx+6(kW0).

(l)k取任意不为零的数时，直线1都经过一个点，该点坐标为____.

(2)当直线1把矩形ABCD分成的两部分面积相等时，求k的值

(3)当直线1与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围.

(4)当直线1与线段BC相交时，设交点为E,△CDE的面积为S,试求S与k的函数解析式及k的取值范围.

思路点拨⑴在y=kx+6中，令x=0得y=6,即得答案为(0,6).⑵当直线1经过矩形ABCD的对称中心F时，直线1把矩形ABCD分成

的两部分面积相等，由点B的坐标为(5,0),点D的坐标为Q,4),得F@2)用待定系数法即得k=-*(3)当直线1经过A(2,0)时,解

得k=-3.当直线1经过C(5,4)时,解得k=-1,即得当-3VkV-1时，直线1与矩形ABCD有交点.(4)在y=kx+6中，令x=5得y=5k+6,即

E(5,5k+6).可得CE=BC-BE=-5k-2.因为CD=3,所以△CDE的面积为S=^CD-CE=-^-k-3,当直线1经过点B时，解得k=-*当直

线1经过C(5,4)时,解得k=-1,故-£W上＜-1据此解答即可.

解题过程〉(1)在y=kx+6中，令x=0得y=6,

直线1始终经过点(0,6).

故答案为：(0,6).

⑵当直线1经过矩形ABCD的对称中心F时，直线1把矩形ABCD分成的两部分面积相等，如图1.

:点B的坐标为(5,0),点D的坐标为Q,4),二

将尸(('2)代入y=kx+6得2=+6,解得k=

(3)如图2.

,•,四边形ABCD是矩形，点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(2,4),

.,.A(2,0),C(5,4).

当直线1经过A(2,0)时，代入可得0=2k+6,解得k=-3.

当直线1经过C(5,4)时代入可得4=5k+6,解得fc=-|.

由图可知：当-3WkW-豹寸，直线1与矩形ABCD有交点

(4)如图3.

••,点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(2,4),

；.CD=3,BC=4.

在y=kx+6中，令x=5得y=5k+6,即E(5,5k+6),

，BE=5k+6.CE=BC-BE=-5k-2.

ZXCDE的面积为S=|CD-CE=|X3X(-5fc-2)=-yfc-3.

当直线1经过B(5,0)时，代入可得0=5k+6,解得k=_*

由⑶知，当直线1经过C(5,4)时,k=-|,

A当直线1与线段BC相交时，-&＜上V一1•

图1图2图3

方法归纳本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形中心对称性、三角形面积等知识，解题的关键是求出直线1经

过相关顶点时k的值，利用数形结合得到k的范围.

易错误区解答本题的关键是能够结合题意，分情况作出图形，利用图形列式求得k的值.

八专项训练

A组

1.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD_LCE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于().

A.12B.14C.16D.18

2.在下列图形中，各有一个边长为4cm的正方形与一个8cmx2cm的长方形相重叠，则重叠部分的面积最大的是().

A.

(第3题)

4.如图是山西省某古宅大院窗揭图案，图形构成10x21的长方形，空格与实木的宽度均为1,那么这种窗户的透光率（即空格面积

与全部面积之比）是（）.

（第4题）（第5题）

5.如图,在凸四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,EG与FH相交于点O,设四边形AEOH,BFOE,CGOF的面积分

别为3,4,5,则四边形DHOG的面积为（）.

4苧C.4D.6

6.如图，在△48c中,AB=10cm,AC=6所,,点D在BC边上，作DE14B于点E,DF±4c于点F.若DE=2cm,△的面积为

49cm2,,则DF的长为___.

2

工C

E

AB

（第6题）（第7题）

7.如图，长方形ABCD平移得到长方形交BC于点E,4Di交CD于点F,若E为BC的中点，四边形.4ECF为

正方形，AB=20cm,AD=10c科则涂色部分的面积为___（cm2.

8.如图，已知矩形ABCD的面积是36c*在边AB,AD上分别取点E,F,使得.ZE=3EB,DF=2AF,DE与CF的交点为点O,求△

A

（第8题）

9.规律：如图1,直线7n||n,A,B为直线n上的点,C,P为直线m上的点.如果A,B,C为二个7E点，点P在m上移动,那么无论点P

移动到何位置，△ABP与△4BC的面积总相等，其理由是.

（第9题）

应用：

⑴如图2,.△48c和△DCE都是等边三角形，若A4BC的边长为1,则.△B4E的面积是

⑵如图3,四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4,求△4CF的面积.

B组

10.如图,在△ABC中,/人08=125。,把4ABC剪成三部分，边AB,BC,AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，且

SBCO-SCAO-SABO=BC:AC:4B,则NACB的度数为（）.

A.70°B.65°C.60°D.85°

（第10题）

1L如图,已知点MG3,4）,点P从点O出发,沿射线OM方向以1个单位/秒的速度进行匀速运动,运动的过程中以P为对称中心，O

为一个顶点作正方形OABC,当正方形面积为128时点A的坐标是（）.

（第11题）

C.(2,2同)MM)

12.如图，已知△48c的面积为S,D是边BC的三等分点，E是边AC的四等分点，F,G皆是边AB的五等分点，则四边形DEFG

的面积是一

13.如图，已知直线Zi,12,13.〃及mj,m2mx,m2,m3,如分别互相平行，且S四边形ABCO=100,S=20,则

S四边形PQRS=■

14.如图,在四边形ABCD中,DE=EF=FC,AG=GH=HB.试判断四边形EFHG的面积.S1与四边形ABCD的面积.S?之间的关

系，并证明你的结论.

（第14题）

15.(1)如图1在.ZMBC中."C8=90°,,AE平分ZC4B,4c=6,4B=10,,贝［J点E至！JAB的距离为_.

⑵如图2,在.A4BC中，NC=90°,乙4=60°,BC=2,,D为斜边AB上一点,且乙EDF=90。,/EDF的两边分别交BC于点E,交

AC于点F,若DE=DF,求四边形DECF的面积.

（3）为了美化城市，某公园准备设计一个三角形观赏花园，如图3,A48c为观赏花园的大致轮廓，并将观赏花园分成△BEDA

DFC和四边形AEDF三部分，其中在四边形AEDF区域内种植（6475n的牡丹，在和△DFC两区域内种植薰衣草，设计要

求：LBAC=120。,,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上，且DE=DF/EDF=60。为了节约种植成本，三角形观赏花园ABC的面积是否

存在最小值?若存在，请求出AABC面积的最小值；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

（第15题）

A组

1.C2.B3.B4.B5.C6.13cm7.1008.连接OBQA,设SSAFOD=X,SAOBE=y,.则SA0D=

DF=JABCDCOD=矩形人蛇口二-^-由AOBCOD矩形得

,S^AOE=3y,S^AOB=4y,S^C~^^^^^12-I,S4DAE=^+^=]SABCD'4y

2

+12-x=18①，由SA0E=SME-SyioD得孑一1％=3ycirc历2,解由①②联立的方程组得.%=4.-SF0D=4cm.

9.规律：同底等高的两个三角形面积相等

应用：⑴弓⑵连接BF.

四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，

.".ZBAC=ZEBF=45°..,.AC/7BF.

'''SACF=SABC=gS正方形ABCD=8.

B组

29

10.All.D1620.—S

13.60

【解析】口II12,mi||m3,

・・.四边形APFQ是平行四边形.

:*SAPQ=SFQP.

同I理可得，SBRQ=SGQR，SCRS=SHSR，SDPS=SESP・

•*,SAPQ+^BRQ+^CRS+SDPS=^FQP+^GQR+^HSR+^ESP-

△人四边形。一

•SPQ+S^BRQ+SACRS+S&DPS=SABC

S福力髀CR4QP+SGQR+SHSR+SESP=s四边形PQRS-S]四边形EFGH,

•**S四边形ABC。-S四边形PQRSS四边形PQRS

S四边形EFGH-

,/S四边形ABCD=100,SP四边形EFGH=20,

A100-S四边形PQRs=S四边形PQRs-20,

解得S四边形PQRS=60.

14.如图，连接EH,EA,CH,CA.

DE=EF=FC,AG=GH=HB,

ADE

S'=S四边形EFHG=SEGH+SEHF—^EAH+^EHC—2^^=3^ADC$BCH=^SABC,■-SADE+SBCH=-(SADC+54BC)

?四边形；，(S沟=纸.

S=3.STSLS“+BCH)]=j(s2-

15.(1)如图1,作EH_LAB于点H.

在RtAACB中,：ZACB=90°,AC=6,AB=10,BC=yjAB2-AC2=V102-62=8.

VAE平分NCAB,:.ZCAE=ZEAH.

VZACE=ZAHE=90°,AE=AE,

JAAEC^AAEH(AAS).

:.AC=AH=6,EC=EH.Z.BH=4.

设EC=EH二x.在RtAEHB中，•••EH2+BH2=BE2,:,%2+42=(8-%产解得x=3.AEH=3.

图1图2

(2)如图2,作DM±BC于点M,DN±AC于点N,连接CD.

；ZDNC=ZDMC=ZMCN=90°,

，四边形DNCM是矩形.I.ZNDM=90°.

・・・ZNDM=ZEDF.AZNDF=ZMDE.

■:NDNF=NDME=90°,DE=DF,

ADNF^ADME(AAS).

・・・DN=DM,S四边形DECF=S四边形DNCM-

在RtAACB中,,・,ZACB=90°,ZA=60°,BC=2,

；•易得4C=^,4B=竽.

,:SABC=SCDB+SACD>

1„2V31r，12V3

-x2x—=--2-DM+-----DN.

23223

DM=DN=V3-1.ASi四边形DECF=S四边形DNCM二(V3-1)X(V3-1)=4-2V3.

⑶存在.

如图3,作DM±AB于点M,DN±AC于点N.

，ZMDN=ZEDF=60°.Z.ZEDM=ZFDN.

,/DE=DF,NDME=NDNF=90。,

・・・ADME^ADNF(AAS).