几何动态与函数图象问题-2024年中考数学答题技巧与模板构建（解析版）

瓜何劭宓鸟备裁囹*冏败

题型暂误J

学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；

其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题;最后提高解决实际问题的能力.函数的学习需要学生

真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型.本专题主要对函数与几何图形结合的相关题

型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型.

几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现.命题方式常涉及三种题型:①分析实际问题

判断函数图象;②结合几何图形中的动点问题判断函数图象;③分析函数图象判断结论正误;④根据函数性质

判断函数图象.题目难度中等,属于中考热点题型.

模型01动点问题

动点问题结合的函数题型,首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题.在几何中的动

点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题,并能判断出自变量与因变量,根

据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解

决简单的实际问题.

模型02线动问题

线动问题的函数图象题,该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点:①自变量变化而

函数值不变化的图象用水平线段表示,②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量

变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点.根据图象要对图象及其数量关系进

行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系

发生改变的地方.

模型03函数图象判断

函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点:①自变量变化而函数值不

变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数

值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点.

廷结・牌型的建［

模型01动点问题

者I向I套I恻

动点问题的函数图象题本题型主要考查的是动点问题的函数图象,确定函数的表达式是解本题的关键.这类

问题需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力及分类讨论的解题思想.本题型主要是以选择、填空

为主，具有一定的难度,是学生主要的失分题型之一.

答I题I技I巧

第一步：根据运动判断图象,关键是判断运动变化的节点，运动变化的节点往往就是函数图象分段的节

点；

第二步：找到节点后分段研究运动过程，列出关系式，进而判断图象；

第三步：根据选项做出选择；

题型三停I

［题目［j（2024•河南南阳・一模）如图1,在4ABC中，AB=BC,6。，47于点D（AD>BD）.动点加■从A

点出发，沿折线AB-方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为MZVLMD的面积为“，沙与

2的函数图象如图2,则AC的长为（）

图I图2

A.6B.8C.10D.13

【答案】A

【详解】解：由图2知，AB+BO=2，I^,

,:AB=BC,

AB=V13,

•:AB=BC,BD±AC,

：.AC=2AD,AADB=90°,

在RtAABD中，AD2+BD2^AB?：13①，

设点Af到AC的距离为无，

^l\ADM=1Ao-h>

•：动点M从4点出发，沿折线AB-BO方向运动,

当点M'运动到点B时，△AMD的面积最大，即/z=BD,

由图2知，△AMD的面积最大为3,

'-AD•BD—3,

:.AD-BD=6②,

①+2x②得，AD2+BD2+2AD•=13+2x6=25,

A(AO+BD)2=25,

AAD+BD=5(负值舍去),

.•.BD=5—AD③，

将③代入②得，AD(5-AD)=6,

AD=3或AD=2,

,：AD>BD,

：.AD=3,

2

AC=2AD=6,

故选：A.

例2.（2023•北京）如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点河，A,。，N依次在同一直线

上，且4河=小.现有两个机器人（看成点）分别从劝，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速

移动，其路线分别为MTA一。一。一N和NTC-BTATM.若移动时间为2，两个机器人之间距离为

“，则"与2：关系的图象大致是（）

【答案】。

【详解】解：由题意可得:机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，

设圆的半径为R,

两个机器人最初的距离是4M+CN+2R,

•.•两个人机器人速度相同，

.♦.分别同时到达点A,C,

：.两个机器人之间的距离"越来越小，故排除A,C;

当两个机器人分别沿人和C-B-A移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R,保持不变,

当机器人分别沿CTN和Af河移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C,

故选：D.

模型02线动问题

者|向|森|测

线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折

点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.该题型一般以选

择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识.

答I题I技I巧

第一步：找准变量；

第二步：抓住图象中点转折点和拐点，几何图中的转折点往往是函数图中的拐点；

第三步：数据分析，结合几何与函数图形的数据得出相应结论；

第四步：根据题意解答；

题吧手柳

［题目①（2024・河南许昌・一模）如图1,在电△ABC中，47=90°,ZB=30°,点P从点A出发运动到点B时

停止，过点P作PQ，AB,交直角边AC（或BC）于点Q,设点P运动的路程为①,AAPQ的面积为如“与

7之间的函数关系图象如图2所示，当c=5时，△APQ的面积为（）

【答案】。

【详解】解:根据图2知，AB=8,

当力=5时，AP—5,BP—3,

・・•ZB=30°,

PQ—BPxtan30°=V3,

SAAPQ=*PXPQ=»,

故选：c.

题目画〕（2023•海南）如图，Rt/\ABC中，/C=90°,AB=5,BC=c，点。在折线ACB上运动，过点。作

4B的垂线，垂足为E.设AE=，，S.=u，则沙关于，的函数图象大致是（）

4

【答案】A

【详解】解:如图所示，过点。作DF_LAB于点F,

•・・Rt/XABC中，/C=9。°,AB=5,BC=0,

・・.AC=^AB2-BC2=2V5,

.・.ta+nAA=-—CB_1

DE_LAE

tanA=DE=CF=\

ACxBC_V5X2V5

•：CF2,

AB5

：.AF=4,

当点。在上时，即0V化V4时，

*,人石二x，y,

DE=-^-x,y—~^-AExDE--^-x2

2,24

当点。在CB上时，即446V5时，

如图所示，连接AD,

.：EB=AB-AE=5H%制=2

:・DE=2EB=2(5—x)

：.y=2(5—x)x=­2/+102，

综上所述，当0V®V4时，抛物线开口向上，当44/V5时，抛物线开口向下,

5

故选：A.

模型03函数图象判断

者|向|森|恻

函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点:①自变量变化而函数值不

变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数

值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点.

答I题I技I巧

第一步：一变一不变，图象是直线；

第二步：两个都变图象是曲线；

第三步：同增同减口向上；

第四步：一增一减口向下；

［题型守例

题目［J］（2024.山东聊城.一模）如图,在矩形ABCD中，A。=6cm,AB=3cm,E为矩形ABCD的边AD上

一点，AE=4cm,点P从点B出发沿折线B—E—O运动到点。停止，点Q从点B出发沿BC运动到点。

停止,它们的运动速度都是0.5cm/s,现P,Q两点同时出发，设运动时间为，（s）,ABPQ的面积为？/cn?,

则V关于re的函数图象为（）

【答案】。

【详解】解：在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=6cm,AD〃反7,点后在AD上，且AB=4cm,

则在直角△4BE中，根据勾股定理得到BE=y/AB2+AE2=V42+32=5cm,

①当0W1<10,即点P在线段BE上，点Q在线段BC上时，过点P作PFLBC^F,

6

E

AD

5

・・・AD//BC,

・•.AAEB=APBF,

：.sinZFBF=sinZAEB=%,则PF=8P-sinZFBF=^-t,

BE510

...片号Q・PF=»支X和=君2,

此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；

②当1041412,即点「在线段。右上，点口在线段8。上时,此时沙=。608=3]^义3=字,此

时该函数图象是直线的一部分；

③当12<tW14,即点P在线段OE上，点Q在点。时，ABPQ的面积=；x6x3=9cm2,此时该三角形

面积保持不变；

综上所述，。正确.

故选：C.

遮目幻（2023・吉林）如图，矩形48co中，AB=3,BC=5,点P是边上的一个动点（点P与点B,。都

不重合）,现将△PCD沿直线PD折叠，使点。落到点F处;过点P作ABPF的角平分线交于点E,设

BP=x,BE="则下列图象中，能表示"与，的函数关系的图象大致是（）

【答案】。

【详解】由已知可知ZEPD=90°,

：.NBPE+NDPC=9Q°,

NDPC+"DC=90°,

：.ZCDP=ZBPE,

/B=/C=90°,

:.&BPE〜4CDP,

：.BP:CD=BE:CP,即c:3=y:（5-4

•••y=—"?5C（O<C<5）；

故选c.•••

京楚•施化钿缘

题目—(2023•湖北)如图，在①AAB。中，点。为AC边中点，动点P从点。出发，沿着D-A-B的路径

以每秒1个单位长度的速度运动到B点,在此过程中线段CP的长度y随着运动时间①的函数关系如图2

c-^r

【答案】。

【详解】解：•.•动点P从点。出发，线段CP的长度为夕,运动时间为①的，根据图象可知，当①=0时，？/=2

/.CD=2,

・・•点。为/C边中点,

：.AD=CD=2,CA=2CD=4,

由图象可知，当运动时间①=(2+Vn)s时，夕最小，即c尸最小，

根据垂线段最短，

此时CP_L4B,如下图所示，此时点P运动的路程D4+4P=1x(2+41)=(2+41),

所以此时AP=(2+41)—AD=41,

/A=/A,AAPC=/ACB=90°,

A4APC"ACB,

•AP_AC

"AC-AB;

即11」，

4AB

解得：AB=二户,

在Rt^ABC中，BC=y/AB2-AC2=.

故选。.

题目团(2023・山东)如图(1),R1A4BC中，乙4cB=90°,CD是中线，点P从点。出发，沿。♦。一B的方

向以Icm/s的速度运动到点B.图⑵是点P运动时,/\ADP的面积7/(cm2)随时间,(s)变化的图象，则

a的值为()

【答案】。

【详解】解：由点P的运动可知，CD=acm,BC=a+2-a=2cm，且当点P运动到点C时，AADC的面

积为2cm2,

过点。作DE，AC于点E,

.•.]>1。・。£=2,即人。・。£；=4,

•••8是中线，乙4cB=90°,

：.AD=CD,

：.。为力。中点，

DE是4ABC的中位线，

DE—~^BC—1cm,

AC=4cm,

在Rt/\ABC中，由勾股定理可知,AB=V42+22=2V5cm

a—CD——V5cm,

故选：D.

题目⑤(2。23•广西)如图1,点F从四条边都相等的DABCD的顶点A出发，沿A-D-B以lcm/s的速度

匀速运动到点B,图2是点F运动时，△FBC的面积贝仃!?)随时间,(s)变化的关系图象，则a的值为

()

图1图2

A.V5B.2C.D.2V5

【答案】。

【详解】解:过点。作DE_LBC于点E

•：LJABCD的四条边都相等，

:.AB=BC=CD=AD.

由图象可知，点F由点A到点。用时为as,△FBC的面积为acm2.

:.AD—BC—a,

：.^-DE-BC=a,

：.DE—2,

当点F从点D到点B时，用时为，

BD=V5,

Rt/\DEB中,

BE=YBTf-DE?=V(V5)2-22=1,

•：UABCD的四条边都相等，

EC=a—1,DC=a

RtADEC中，

a2=22+(a—I)?,

解得:a=~|

故选：C.

顾目回（2023•江苏）如图①，在正方形ABCD中，点”是AB的中点，设DN=c,4V+AW=?/.已知“与

7之间的函数图象如图②所示，点E（a,2斯）是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（）

【答案】。

【详解】解:如图，连接4。交BD于点O,连接NC,连搂MC爻BD于点、N：

10

四边形ABCD是正方形，

.•.4、。关于BD对称，

：.NA=NC,

：.AN+MN=NC+MN,

•.•当M、N、C共线时，y的值最小，

Ay的值最小就是的长，

：.MC=2V5,

设正方形的边长为m,则BM=,

在Rt/\BCM中，由勾股定理得：MC?=BC2+MB2,

20=m2+,

二772=4（负值已舍），

.•.正方形的边长为4.

故选：C.

题目回（2023-贵州）把两个全等的等腰直角三角形透明纸片ABC、FGH如图1放置（点。与点H重合），若

将4FGH绕点、C在平面内旋转，HG、分别交边AB于点E、。（点。、E均不与点A、B重合）.设AE

=c,BD=O,在旋转过程中，夕与①的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（）

C.AD2+BE2^2DE2D.eg=8

【答案】。

【详解】由题意可知，若点。与点4重合，则CG，AB,AE=2,

a=AB=2AE=4,故选项A中的结论不正确,

由AB=4可得AC=BC=2V2,

ACEA=ZB+ABCE=45°+/BCE=ADCE+ZBCE=ABCD,ZB=AA,

：./\AEC〜/\BCD,

.AE_AC

.c=2应

•,加一丁’

g/=8,故选项B中的结论不正确，选项。中的结论正确，•M

•：AE^x,BD=y,AB=4,

AD=4—g,BE=4—6,DE=力+g—4,

AD2+BE2=(4—T/)2+(4—%y=x2+y2-8x—8g+32,DE2—{x+y—4)2=x2+y2—8x—8y+2xy+16

=x2-\-y2—8x—8g+32,

・・.AD2+BE2=DE?,故选项。中的结论不正确，

故选：O.

题目⑥(2023•北京)如图，△48。中，/。=90°,4。=15,8。=20.点。从点力出发沿折线人—。一3

运动到点8停止，过点。作DE，AB,垂足为E.设点。运动的路径长为c,&BDE的面积为g,若y与c

的对应关系如图所示，则a—6的值为()

A.54B.52C.50D.48

【答案】B

【详解】解：当2=10时，由题意可知，

AD=10,CD=5,

在Rt^CDB中，由勾股定理得BD?=Clf+BC2^52+202=425,

设AE=z,BE=25—z,

BE?=(z-25)2=Z2-5QZ+625,

在Rt/XADE中，由勾股定理得DE?=AL)2-AE2^100-z2,

在Rt^DEB中，由勾股定理得3加=DE-+BE2,

即425=100-Z2+Z2-50Z+625,

解得z=6,

DE=6,BE=19,

a=SAB°E="^~X19X8=76,

当，=25时，由题意可知，CD=BD=10,

设BE=q,AE=25—q,

AE2=(25-q)2=625-50q+q2,

在Rt^CDA中，由勾股定理得AD2=AC2+CD2=152+102=325,

在Rt^BDE中由勾股定理得DB2=BD2-BE2=100-/,

Rt^DEA中，由勾股定理得AC>2=DE2+AE'2,

即325=100-Q2+625-50q+q2,

解得q—8,

DE—6,

b-SABDE=/义6X8=24,

a-b=76—24=52.

12

c

D

B

A

故选：B.

题目叵〕（2023•上海）如图，△48。中，/力CB=90°,乙4=30°,48=16,点P是斜边AB上任意一点，过点

P作PQ,AB,垂足为P,交边AC（或边CB）于点Q,设AP=c,A4PQ的面积为？/,则夕与加之间的函数

图象大致是（）

【答案】。

【详解】解：•••乙4cB=90°,乙4=30°,AB=16,

：.ZB=6Q°,BC=^-AB=8,

/BCD=30°,

：.BD=^-BC=4.,

：.AD=AB—BD=12.

如图1,当0&4DW12时，

AP—x,PQ—AF*tan30°=,

o

._1V3_V3

X--x2;

如图2:当12VrrW16时，BP=AB—AP=16—c,

PQ=BF»tan60°=V3（16—x）,

：.y--^-x-V3（16—t）——^-X2+8V3X,

：.该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下,

故选D

cc

图1图2

题目回（2023•广西）如图，矩形ABC。中，3,BC=5,点P是8。边上的一个动点（点P不与点B,C

重合），现将中。。沿直线PO折叠，使点。落下点。1处;作ZBPG的平分线交于点E.设BP=%,

班;二"那么g关于力的函数图象大致应为（）

B.

馨

D.

【答案】。

【详解】由翻折的性质得，ACPD=ACfPD,

・・・PE平分NBPG,

・・・4BPE=/C]PE,

：./BPE+/CPD=9U°,

vZC=90°,

・・・/CPO+NPZX7=90°,

・・・4BPE=/PDC,

又•・•ZB=ZC=90°,

：・/\PCD〜gBP,

.BE=PB

''~PC~~CD'

・•・函数图象为。选项图象.

故选c.

题目10（2023.内蒙古）如图1,点P从等边三角形ABC的顶点人出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从

该点沿直线运动到顶点设点P运动的路程为处暮■=",如图2所示为点P运动时g随加变化的函数

JO

关系图象,则等边三角形ABC的边长是（）

图1图2

A.2V3B.4C.6D.4^/3

【答案】A

【详解】如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O,再从点。沿直线运动到顶点B,

A

结合图象可知，当点p在4。上运动时，缁=i,

：.PB=PC,AO=2,

又△ABC为等边三角形，

ABAC=60°,AB=AC,

AAPB空AAPC（SSS）,

ZBAO=ZCAO=30°,

当点P在。B上运动时，可知点P到达点B时的路程为4,

.•.03=2,即40=03=2,

ZBAO=ZABO=30°,

过点。作OD，垂足为。，

AD=BD,则AD=AO-cos30°=V3,

AB=AD+BD=2V3,

即等边三角形ABC的边长为2聪.

故选：A.

直目电（2023・杭州）如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从

该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为以修="图2是点P运动时y随c变化的关系图象，

JTO

则等边三角形ABC的边长为（）

15

4P)

D.2V3

【答案】A

【详解】解:如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O,再从点。沿直线运动到顶点B.

结合图象可知，当点P在上运动时，修=1,

,£O

PB=PC,AO=2V3,

又△ABC为等边三角形，

ABAC=60°,AB=AC,

△APB空△APC(SSS),

ABAO=ACAO,

A/R4O=/C4O=30°,

当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4V3,

OB=2V3,即AO=OB=2V3,

/LBAO=AABO=30°,

过点。作。。LAB,

AD=BD,则AD=AO-cos30°=3,

/.AB=AD+BD=6,

即：等边三角形ABC的边长为6,

故选：A.

,C4=CB,直线Z经过点A且垂直于AB.现将直线Z以

lcm/s的速度向右匀速平移,直至到达点B时停止运动,直线I与边AB交于点A1,与边47（或CB）交于

点N.设直线Z移动的时间是Ns）,A4AW的面积为."（cm?）,,若"关于C的函数图象如图2所示，则

图1图2

A.16cmB.17cmC.18cmD.20cm

【答案】。

【详解】解:过。作CDLAB于。，如图，

由函数图像知，当直线,与CD重合时，y的值最大为6,

此时入河=人。=4,^AD-CD=&,

:.CD=3,

•：AC=BC,CD_LAB,

：.AB=2AD=8,

由勾股定理得：AC=y/AD2+CD2=5,

：.△ABC的周长为AC+BC+AB=2AC+AB=18（cm）,

故选：C.

图1

题目0（2024.河南安阳.一模）如图1,用A4BC中，点P从点。出发，沿折线C—B—A匀速运动，连接

AP,设点P的运动距离为,，AP的长为如V关于/的函数图象如图2所示,则当点P为B。的中点时,

AP的长为（）

【答案】B

【详解】解：因为P点是从。点出发的，。为初始点，

观察图象劣=0时沙=4,则AC=4,P从。向B移动的过程中，AP是不断增加的,

17

而P从石向A移动的过程中，4P是不断减少的，

因此转折点为B点、，P运动到_8点时，即力=Q时，BC=PC=Q，此时g=a+2,

即AP=AB=a+2,AC=4,BC=a,AB=a+2,

VZC=9O°,

由勾股定理得：（a+2）2=42+a2,

解得：Q=3,

・・・AB=5fBC=3f

当点P为8。中点时，CP=y,

：.AP^^AC2+CP2^

故选：B.

题目§（2024.四川广元.二模）如图,在梯形A3CD中，/3=90°,A3=4,CD=3,AD=46,点P,E

分别为对角线AC和边BC上的动点，连接PE.点P在CA上以每秒1个单位长度的速度从点C

运动到点在这个过程中始终保持PELBC.设△CPE的面积为夕,则沙与点P的运动时间2的函数

关系图象大致可以表示为（）

【答案】D

【详解】解:如图所示，过点人作AF_LCD,交。。的延长线于点F,

则四边形ABCD是矩形,

18

・・・CD=3,AB=4

.-.CF=AB=4,FZ)=1,

・・・

・・.CB=AF=^AD2-FD2=3

在Rt/XABC中，40=A/AB2+BC2=5,

**•SAABC=*BC=~^"X3X4=6

・・•点P在。4上以每秒1个单位长度的速度从点C运动到点4,

・・・04力45

•：PE_LBC

：.PEAB

：.ACPE-ACAB

・S"CE_(CP,=(_t_V—t2

99

S^ACB~yCA)~y5)~25

.•”袅2(049)

当力=1时，夕=条=0.24

观察函数图象，只有。选项符合题意，

故选：。.

题目回(2024・河南信阳・一模)如图1,已知口ABCD的边长AB为4g，/B=30°,5。于点E.现将

△ABE沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动,运动的△ABE与口ABCD重叠部分的面积S与运动

时间t的函数图象如图2,则当力为9时，S的值是()

【答案】。

【详解】解：•.•AB为4g，乙8=30°,4E_LB。于点E.

AE—2V3,

：.BE=y/AB2-AE2=6,

由运动的△4BE与UABCD重叠部分的面积S与运动时间力的函数图象得：

当运动到6时，重叠部分的面积一直不变，

CE=6,

/.BC=12,

由函数图象得：当运动时间力>6时，为二次函数，且在t=6时达到最大值，对称轴为直线t=6,

二次函数与坐标轴的另一个交点为(0,0),

设二次函数的解析式为S=at(i—12)(4>6),

将点（6,6，^）代入得：a=-,

b

S=—t（t-12）（t>6）,

当土为9时，S=

故选：C.

^■J3（2023・广西）如图，在电A4BC中，乙4GB=90°,乙4=30°,AB=4，Wcm,CD，AB,垂足为点。，

动点M从点、A出发沿AB方向以V3cm/s的速度匀速运动到点B,同时动点N从点。出发沿射线方向

以lcm/s的速度匀速运动.当点“停止运动时，点N也随之停止，连接MN,设运动时间为力s,△MVD的

面积为Scn^,则下列图象能大致反映s与力之间函数关系的是（）

【答案】B

【详解】解：•••/ACB=90°,ZA=3O°,AB=4V3,

ZB=60°,BC=yAB=2a，AC=V3BC=6,

•：CD_LAB,

.•.8=白。=3,AD=向2=3用,BD*BC=M,

：.当初在A。上时，0<t<3,

MD=AM-AD=3V3-V3t,DN=DC+CN=3+t,

当M在BD上时，3<t<4,

MD^AD-AM^V3t-3V3,

：.S=^MD-DN=-1-(V3i-3V3)(3+i)=乎,•••

故选：B.

题目J］（2023•辽宁）如图，矩形ABCD中，AB=8cm,A。=12cm,AC与BD交于点O,河是BC的中点.

P、Q两点沿着B一。一。方向分别从点B、点河同时出发，并都以lcm/s的速度运动，当点Q到达。点

时,两点同时停止运动.在P、Q两点运动的过程中,与△OPQ的面积随时间t变化的图象最接近的是

【答案】B

【详解】解：：矩形ABCD中，48=8cm,AD=12cm,AC与BD交于点O,

.•.点。到BC的距离=：AB=4,到CD的距离=：AD=6,

•.•点M是BC的中点，

：.CM=^-BC=6,

.•.点Q到达点。的时间为6+1=6s,

点P到达点。的时间为12+1=12s,

点Q到达点D的时间为（6+8）+1=14s,

①0<t<6时，点P、Q都在BC上，PQ=6,

△OPQ的面积=1■x6x4=12;

②6c力《12时，点P在BC上，点Q在CD上，

CP=12—t,CQ=力-6,

SAOPQ=Sbcop+SACOQ-SAPCQ，

=~~x(12-1)x4+]x(t-6)x6—~~x(12-1)x(t-6),

=yi2-8«+42,

-y(i-8)2+10,

③12<tW14时，PQ=6,

△OPQ的面积=5x6x6=18;

纵观各选项，只有B选项图形符合.

故选：B.

题目可（2024.山东淄博.一模）如图1,点P从△46。的顶点B出发，沿石一。-4匀速运动到点A,图2是

点P运动时，线段的长度"随时间力变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M为最低点，则

△48。的面积是（

A

H

A.6B.9C.12D.15

【答案】。

【详解】解：由图得，当点P运动到点。和店A处时，BP长都是5,即BC=94=5,

当BP最短时，即垂直AC时长为4,

•:BC=5,BP=4,

：.PC=NBB—BP=3,

■：BC=BA,BP±AC,

：.CP=AP=3,

：.AC=6,

S》BC=54c,BP=]x6x4=12.

故选：C.

题目N（2023・山东）如图，在母△AB。中，48=10力5m4=1~,/水汨=90°,过点。向AB作垂线，垂

22

足为。.直线小,九垂直于AB,直线小分别与AB,AC相交于点M,N,直线n分别与相交于点P、

Q.直线小从点A出发，沿AB方向以lcm/s的速度向点。运动,到达点D时停止运动；同时，直线九从点

B出发，沿方向以相同的速度向点。运动,到达点D时停止运动.若运动过程中直线小、九及4ABC

围成的多边形MNCQP的面积是沙(cn?)，直线小的运动时间是Ms)，则？/与c之间函数关系的图象大致

【答案】A

【详解】解：①△ABC中，乙4cB=90°,过点。向AB作垂线，

：.^CDB=90°,

：.ZA+Z.ACD=90°,/BCD+NACD=90°,

NA=/BCD,

同理/3=/ACD

3

VAB=10cm,sinA=^-,

5

BC=AB-sinA=6,

在RtAABC中，运用勾股定理得AC=8,

•：^-AB-CD=AC-BC,：.CD=2,

由sinA=3得：cosA=—,tanA=3,

553

当OVcV学时，AM=BP=a,

5

由tanA=4,tanB=g得：MN--7-x,QP—^-x,AD—,

344355

/.MD——----x,DP———x,

55

QP+co)

y=S^}MNCQP^MN+CD)-MD+-1(-DP

=i(T+—2)++=—1F+24;

当号WrcV书时，

55

3,2432

y=y(MV+CD)-MD=三了"T~x

32,384

=一资+方

（一翁/+24（0V/V普）

：.y={:QC41C二，根据函数解析式判断人选项符合题意,

l-F+<-管《」〈豹

故选：A.

窥目可（2024.山东聊城・一模）如图，在△ABC中，48=10,BC=6,AC=8,点P为线段4B上的动点，以

每秒1个单位长度的速度从点力向点B移动,到达点B时停止.过点P作PNLAC于点河，作PNL

BC于点N,连结MN,线段MN的长度"与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低

点E的坐标为.

【详解】解:连接CP,如图,

BC2+AC2=36+64=100,AB2=100,

BC2+AC2^AB2,

：./ACS=90°,

•：PM±AC,PN±BC,

：.4PMe=4PNC=4MCN=90°,

四边形MPNC为矩形，

:.MN=CP,

•.•点P为线段AB上的动点，由于垂线段最短，

当CP_LAB时，CP取得最小值，即？/=AW取最小值,

过点。作CP_LAB于点P,

24

・・ZAGB=90°,CP-LAB,

・・ZAPC=ZACB=90°,

又ZA=ZA,

・・/XACP-/XABC,

.ACCP^AP

'~AB~^C~^C9

,8_CP_AP

*l0

•.CP=卷,AP=^~,

oo

当t—时，g取最小值为普*,

55

\函数图象最低点E的坐标为噂会，

故答案为：（当,卷）.

\557

题目也如图①，在菱形ABCD中，/。=120°,点E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长

①②

【答案

【详解】图像上最低点表示的意义为y=PB+PE最小，

•••菱形ABCD,

.•.B、。关于AC对称，

连接DE交AC于P,此时沙=PB+PE最小，最小值为DE长度,

•.F=0即点P与点C重合时，g=6,

・・.BC+CE=6,

25

•.•点E是BC的中点，

:.BC=4,CE=2.

连接BD

•/菱形ABCD,/ADC=120°,

/.AD=AB=CD=BC=4：,/BCD=60°,AACB=AACD=30°,

：.ZXADB是等边三角形，

•.•点E是AB的中点，

：.DE±AB,NCDE=301BE=CE=^BC=2,

：.DE=V42-22=2V3,即9=2V3.

cosAACB=,

.•"=2+乎=¥，即，=竽，

图像上最低点Q的坐标为（竽,26），

故答案为：(竽,2

题目红(2024•山东枣庄•一模)如图1,在AABC中，点P从点A出发向点。运动，在运动过程中，设c表示

线段AP的长，g表示线段的长，g与冗之间的关系如图2所示，则馆一九=.

【答案】通

【详解】解：由图2知：当/=0,P和A重合，则AB=2,

当力=1,g最小，最小值为打，此时BP_LAB,AP—1,

n=A/22—I2=V3,

当力=4时，P和B重合，则BC—m,

m—V(V3)2+(4—I)2=2A/3,

-n—2A/3—V3=A/3,

故答案为：，

题目包如图1,在平行四边形ABC。中，/B=60°,3C=2AB,动点P从点人出发，以每秒1个单位的速

度沿线段4B运动到点8停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B—C—。运动到

点。停止.图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是.

•M

【详解】解：由题图2得，t=6时，点P停止运动，

.♦.点P以每秒1个单位速度从点A运动到点B用了6秒,

AB=1x6=6,

.•.BC=2AB=2X6=12,

由点P和点Q的运动可知，AP=t,BP=6—t,

当点Q在上时，即0WCV3时，BQ=4t,

过点P作PMA.BC丈BC于M,

AD

7

BMQCV