数列求通项（隔项等差（等比）数列）（解析版）-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：隔项等差数列.............................................2

题型二：隔项等比数列.............................................3

三、专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)专项训练..............5

一、必备秘籍

1、隔项等差数列

已知数列｛4｝,满足%+]+%=/(〃)------(1),

J%+2+

贝!an+l=/(«+1)---------⑵；an+«„_]=/(«-1)----------(3)

⑵—⑴：a“+2—%=d(其中d为常数)；或⑴一(3)：%+「%_1=或〃22)则称数列｛%｝为隔项等差数

列，其中：

①%,%，%，％…构成以%为首项的等差数列，公差为d；

②出,为，4，的…构成以a2为首项的等差数列，公差为d；

2、隔项等比数列

已知数列｛4｝，满足%+「%=/(〃)------(1)，

%+2,a

则n+i=/("+1)---------(2)；an-an.\=/(〃-1)---------(3)

理旦=q(其中q为常数)；或当：4包=式〃？2)则称数列｛%｝为隔项等比数列，其中：

(1)4(3)

①…构成以％为首项的等比数列，公比为4；

②外,为，4，%…构成以名为首项的等比数列，公比为9；

二、典型题型

题型一：隔项等差数列

例题1.(2023春•江苏南京•高二校考期中)已知数列｛%｝满足q=1,alt+l+an=4n.

⑴求数列｛%｝的前100项和5100；

(2)求数列｛4｝的通项公式.

【答案】(1)10000

(2)an=2n.1

【详解】(1),**=1»un+1H-an=4/?,

•*-S100=(4/+。2)+(。3+。4)+…+(。99+4/00)

=4xl+4x3+...+4x99=4x(l+3+5+...+99)

=4x502=10000.

(2)an+i~Van=^n,①

=

an+2~\~cin+i^(n~\~l)»(2)

由②一①得，an+2~an=4,

由q/=L田+。2=4,所以怎=3.

当〃为奇数时，%=4+1号—“x4=2〃—l,

当〃为偶数时，—1)义4=2〃—1,

综上所述，an=2n-l.

例题2.(2020・高二单元测试)数列｛%｝满足4=1,%+i+%=2〃，求%.

【答案】%为奇数，a”=〃T,"为偶数

【详解】由％+1+。“=2〃，得4+2+%+[=2(〃+1),

两式作差得Q篦+2—a〃+2,即“〃+2_%=2

又q=l,a2=2—a1=1

，数列｛。〃｝的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，

偶数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列.

则当n为奇数时，4=1+2(9-1)=〃；

当n为偶数时，4=l+2(g-l)=〃-l.

为奇数，为偶数

例题3.（2023•福建宁德•校考模拟预测）已知数列｛4｝,｛b„｝,4=1,a,-—a,,+4x3"1,

a1+2

，=log3a„+2,（neN*）.

⑴求证：数列｛%｝是等比数列，并求数列｛%｝的前"项和s.；

【答案】（1）证明见解析；S“=gx3"-g

11

（2）、一；15+1）3用

【详解】（1）因为。用=-%+4X3"T,所以。用+%=4X3"T,

当〃=］时，a2=—ax+4x3°=3

当〃22时，4+47=4*3〃一2

所以4+-%=4x—4x3〃一2=8x邛一？

则当〃为偶数时，%-。2=8x31,4-。4=8x33,%-。6=8x35,4-%_2=8X3〃-3

累加得：—山百老=生上=3，1-3,所以勾=料

1—3—8

当〃为奇数时，”+1为偶数，贝几用=3",贝I］此时％=-a"+|+4x3i=-3"+4x3"T=4x3i-3x3"T=3"T,

综上可得内,=3"T

03〃

所以3===3,则数列｛。"｝是以外=1为首项，q=3为公比的等比数列，

an3

甘乂T否工nc1—3〃一、31x1

其刖〃项和=--------=—x3—

“1-322

题型二：隔项等比数列

例题1.（2023春•辽宁•高二校联考期末）已知数列｛%｝满足%=；,。“。用=227.

（1）求｛%｝的通项公式；

【答案】（1）«„=2-3

aa2523

【详解】（1）'''„„+i=2",an+lan+2=2",

两式相比得吐=4.

an

%=；,=23W0,。2=；W0.

•••数列｛%“7｝是以;为首项，4为公比的等比数歹!]；

数列｛4"｝是以|■为首项，4为公比的等比数列.

...电"T=；X4"T=2(2"T：%=|X4--1=22--3.

综上，｛%｝的通项公式为。"=2"-3.

例题2.(2023春•福建福州•高二校考期中)在数列｛%｝中，己知弓=1,an-an+l=(j],记，为｛为｝的前

〃项和，bn=a2n+a2n_x,«eN*.

⑴判断数列抄”｝是否为等比数列，并写出其通项公式;

(2)求数列｛。〃｝的通项公式.

n+1

，所以%+10+2I

所以沫=:%+21

乂%=1,~，所以。2=§，

因为。=。2“+出,-1，

11

所以2+1=a2a+2+°2"+1=22"2，T=._J_,

b„a2„+«2„-la2„+。2-12

所以｛2｝是以4=%+%=：为首项，公比为;的等比数列,

22

(2)由(1)知。"+2=；。“，所以％，。3，。5,…是以4=1为首项，g为公比的等比数列;

出吗，&，…是以。2=!为首项，公比为;的等比数列，

22

例题3.（2023春•甘肃白银•高二统考开学考试）在数列｛%｝中，%=64,且％。角=232.

⑴证明：｛%｝，｛的1｝都是等比数列.

（2）求｛%｝的通项公式.

【答案】⑴证明见解析

（2）«„=4"

Q10,6

【详解】（1）证明：因为。3=64,且%*=2.+2,所以出=会=16,a,=^=4.

r\4（M+1）+2n

因为“也=-=与厂=16,故二y=16,

anan+\an1册

所以％±1=16,&过=16,

a2na2n-l

则｛%｝，｛*｝都是公比为16的等比数列.

（2）由（1）知｛%｝，｛%/都是公比为16的等比数列，所以。*=?16"T=16x161=16"=4"，

。2”-1=。J6"1=4x16"—'=,

故对任意的〃eN*,%=4"

三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练

一、单选题

1.（2023春•河南驻马店•高二统考期中）已知数列｛氏｝满足％=lM“+「a,=2"（〃€N+）,邑是数列｛.“｝的前〃

项和，则邑）23=（）

A.22023-1B.21013-3C.3X21013-1D.3x22023-2

【答案】B

【详解】由题设=4=2,且4+2q+i=2"+i,

所以34以=1=2,即嗅=2,

«„+r«„2an

当〃=2左一1且左eN*时，｛2｝是首项为1,公比为2的等比数列，则为T=2*，

当力=2左且彳eN*时，｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列，则〃”=2上；

2（1-2叫=*3.

1-21-2

故选：B

二、多选题

2.(2023春・广东韶关•高二统考期末)已知数列｛%｝满足q=1,an+l+an=4n,贝！]()

A.a2023=4045B.S”是｛。”｝的前〃项和，贝IJ鸟0。=20000

C.当〃为偶数时%=2〃+1D.｛%｝的通项公式是=2〃-1

【答案】AD

【详解】数列｛4,｝满足q=1,a„+i+a„=4〃，

因为。1=1，an+\+an=4/3»所以，S]0O=（%+?）+（。3+%）~1------（^99+^100）

4X1+X5

=4X1+4X3+---+4X99=4X（1+3+5+---+99）=^^°=10000,B错；

由题意，区,+1+。"=4〃①，4+2+。"+1=4（“+1）②,

由②一①得，an+2~an=4>由%=1,%+%=4,所以。2=3,

当〃为奇数时，设〃=2"l（AeN*）,

则a“=%+4（左一1）=1+4左_4=4左_3=2（24_1）_1=2〃-1,

当〃为偶数时，设〃=2左(左eN*),

贝!Jdn=2+4（左一1）=3+4k—4=4k—1=2〃—1,

综上所述，对任意的〃wN*,C错D对;

。2023=2x2023—1=4045,A对,

故选：AD.

三、解答题

3.(2023秋・浙江•高三校联考阶段练习)已知色为数列｛%｝的前〃项和，6=1,Sm+S“=(〃+1)L

⑴证明:an+i+an=2H+1.

(2)求｛%｝的通项公式.

【答案】⑴证明见解析；

(2)%=";

【详解】(1)当力=1时，邑+5]=4,则02+2%=4,而为=1,则a?=2,

当"22时，由S“+]+S”=("+1尸，得S”+S“T="2,两式相减得。,+1+。“=2〃+1,

又6+的=3=2xl+l,满足上式，

a

所以当〃eN*时，,l+i+a„=2n+l

（2）an+2-a“=（%+2+0“+i）一（°“+i+%）=（2〃+3）—（2〃+1）=2,

因此｛%｝的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，a2n_l=ai+2（n-\）=2n-l,

｛%｝的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，的"=g+2（力-1）=2力，于是。“=力，

所以｛%｝的通项公式是

4.（2023春•四川德阳•高二统考期末）已知正项等比数列｛。.｝对任意的"eN*均满足=22"+1.

（1）求｛%｝的通项公式；

【答案】⑴。"=2"

【详解】（1）设公比为4（4>0）,

2n+121

由«„«„+1=2,得当〃22时，an_lan=2"",

两式相除得也=4=/,所以q=2,

又生出=23,则2a；=8,所以4=2（%=-2舍去）,

所以%=2X2"T=2"；

5.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛。“｝满足：q=3,%.G=「：（"eN*）,求此数列的通项公式.

,n=2k-l,keN

【答案】

【详解】在数列｛%｝中，由%=3,%•“用得的=:，当"22时，

两式相除得：—=1,因此数列构成以为=3为首项，；为公比的等比数歹

an-\，幺

数列｛g"｝构成以。2=!为首项，I■为公比的等比数列,

6

〃一1

，〃=2左一1,后EN

所以数列｛g｝的通项公式是

6.（2023・全国•高三专题练习）数列｛%｝满足：q=0,。"+[+/=2",求通项％.

为奇数

【答案】«„=

%"为偶数

【详解】因为%=0，。”+1+4=2",

所以当〃=1时，4=2-％=2,

当“22时，an+an_x=2（〃一1）,

aa

两式相减得：n+\~n-\=2,

4、的、％…构成以4为首项，2为公差的等差数列;

a2、。4、。6…构成以。2为首项，2为公差的等差数列，

/.“2左一1=a1+(k—1)x2—2k—2,

a2k=4+（左一1）x2=2左，

〃-1,“为奇数

为偶数

7.（2023春•湖北武汉•高二统考期末）已知各项均为正数的数列｛%｝满足：%=1,a“+4+i=4〃+l.

⑴求数列｛g｝的通项公式;

2〃-1,〃为奇数

【答案】⑴见=

2〃,〃为偶数

【详解】(1)解：由%+%+i=4〃+1,

当"22时，a,—+an=4n-3,

•,•%+1一%-1=4，

又%+%=5,4=1,

・.4=40

当〃=2左一1,左wN*时，a2k=。1+（左一1）乂4二4左一3,

:・〃为奇数时，%=2〃-1；

当〃=2左时，％左=4+（左—1）乂4=4左，

・•・〃为偶数时，an=2n

._]2〃—1"为奇数

2凡〃为偶数；

8.（2023,全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足：%=2>0,%s“+|=27-2".

（D当2='时，求数列｛的,｝中的第io项；

⑵是否存在正数2,使得数列｛%｝是等比数列，若存在求出2值并证明；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴上

ZJO

（2）存在，2=8,证明见解析

【详解】（1）由已知%q+1=27&,

所以

相除得也=L

乂ciy=,ct[.a、=25,

所以。2=21°,

所以。20=2'°XQ]=＞山

（2）假设存在正数2,使得数列｛4｝是等比数列,

32

由出•%=27f号a?—~~>

A,

2

由。2,。3=8，得。3=W，

2

因为｛%｝是等比数列,a^a3=al，A.=64,即2=8,

下面证明X=8时数列｛%｝是等比数列,

由（1）知数列｛%-｝和｛%｝都是公比是:的等比数歹U，

n-1n-\

£

所以。2〃一1=8・I,。2"=4.

4

所以〃为奇数时，«„=24-,〃为偶数时，a„=24-

所以对一切正整数〃，都有%=2"〃,

a1

所以4=3,

所以存在正数X=8使得数列｛an｝是等比数歹U.

9.（2022秋•重庆南岸•高二重庆市第十一中学校校考期末）在数列｛%｝中，已知。用+%=3-2",4=1.

（1）求证：是等比数列.

【答案】⑴证明详见解析

（2）5=2叫（-1）-5

2

【详解】（1）由。向+。，=3-2",得。用-2用+%=3-2"-2用=2",

即--2角=一七-2"）,

所以｛%-2"｝是首项为%-2=-1,公比为-1的等比数列.

10.（2022•安徽黄山•统考一模）已知数列｛叫满足矶+%=2"+3（〃€河,〃冽,且4=4.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

【答案】（1）%="+2

【详解】⑴解:由题知%+%=2〃+3①，

因为。2=4,

所以为+出=7,

解得％=3,

当〃23时,an_2+%=2"+1②,

①-②可得：

an~an-2=2,

所以当"为奇数时，

a„~an-1=2,。“_2一区1=2,…，—4=2,。3-%=2,

以上式子相加可得：

化简可得=〃+2,%=3满足上式，

所以当〃为偶数时，

an~a„-2=2,。“_2—=2,…，4一=2,%-%=2,

以上式子相加可得：

?（«-2）

a„-a2

化简可得=〃+2,出=4满足上式，

综上：an=n+2-

Q

11.（2022秋・广东•高二校联考期末）已知等比数列｛%｝对任意的〃eN+满足。"+。用=记.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

、2

【答案】⑴产

a+a=a1+

nn+ln(^)=:

1+4」

【详解】（］）设等比数列｛4｝公比为g,则有，，两式相除化简得"13,解得