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文档简介
相交线与平行线几何模型
知识链接
*知识点1相交线
1.相交线
有唯一公共点的两条直线叫做相交线.
2.邻补角、对顶角
⑴邻补角互补:N1+N2=180°.
⑵对顶角相等:/l=/3.
⑴同位角:在截线同旁,被截两线同侧,如/I和/5是一对同位角.
⑵内错角:在截线两旁,被截两线之间,如/3和N5是一对内错角.
⑶同旁内角:在截线同旁,被截两线之间,如/4和/5是一对同旁内角.
*知识点2平行线的判定和性质
L平行线的判定
⑴同位角相等,两直线平行,即若/1=/2,则⑷及
(2)内错角相等,两直线平行,即若/2=/3,则以
⑶同旁内角互补,两直线平行,即若.乙2+N4=180。,则以
2.平行线的性质
⑴两直线平行,同位角相等,即若川®则/1=/2.
(2)两直线平行,内错角相等,即若川|邑则N2=N3.
(3)两直线平行,同旁内角互补,即若旬|以则/2+/4=180。.
模型一猪蹄模型
模型讲解
【结论1】若AB〃CD,贝!J/BOC=NB+NC.
【证明】过点。作EF〃AB,如图.
:AB〃CD,;.EF〃CD,
?.ZB=ZBOF,ZC=ZCOF,
.•.ZBOF+ZCOF=ZB+ZC,SPZBOC=ZB+ZC.
【结论2】若NBOC=NB+NC,则AB〃CD.
【证明】过点。作EF//AB,如图,
则/B=/BOF.
ZBOC=ZB+ZC,ZBOC=ZBOF+ZCOF,
ZB+ZC=ZBOF+ZCOF,
...ZC=ZCOF,EF/7CD.
又:EF〃AB,
AAB//CD.
其他形状或具有隐藏的猪蹄模型
AB
ZB+ZF+ZD=ZE+ZG.
朝向左边的角度数之和等于朝向右边的角度数之和.
典例秒杀
典例1
如图,/BCD=9(T,AB〃DE厕/a与5一定满足的等式是().g
A.Za+Zp=180°B.Za+Zp=900
C.Zp=3ZaD.Za-Zp=90°____X_____£
【答案】D
【解析】如图所示,这里隐藏了一个猪蹄模型根据猪蹄模型的结论,可知/1+N|3=/BCD=9O。又•••Nl+Na=180。,
,B
・•・zl+Z/?=180°一乙a+乙0=90°,A--------
:.Na-Np=90。.故选D.C(
DE
典例2
如图,玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2",AB\\DEf^A=30。,NACE=110。,则NE的度数为().
A.30°B.150°
DE
C.120°D.100°
【答案】D
【解析】如图,过点E作DE的延长线EF.
・・・AB〃DF,
・・・FECAB构成猪蹄模型.
根据猪蹄模型的结论,可知NFEC+NCAB=NACE,
・•・乙FEC=^ACE一乙CAB=110°-30°=80°
VZFEC+ZDEC=180°,
・•・乙DEC=180°-乙FEC=180°-80°=100°.
故选D.
小试牛刀
1.(★★☆☆☆才巴一副三角板放在水平桌面上,摆放成如图所示的形状,,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,
则N1的度数是().
二0
A.90°B.105C.120°D.135°
^(★★☆☆☆)如图,已知AB〃CD,Nl=50o,N2=113oJ^N3=_____°.
A^r----B
“0
cb----D
直击中考
1.如图,已知AB〃口旦/1=30。,/2=35。厕ZBCE的度数为().
D----
E
A.70°B.65°C.35°D.5°
2.如图,直线。眄/1=30。,则N2+N3=().
二
A.150。B.18000210°D.2400
模型二铅笔头模型
ZB+ZBOC+ZC=360°
模型讲解
【结论1]如图所示,AB〃CD,则NB+NBOC+NC=360。.
【证明】如图,过点O作EF〃AB.
■:AB//CD,EF〃AB〃CD.
・•・ZB+ZBOE=180°,ZC+ZEOC=180°,
・•・ZB+ZBOE+ZEOC+ZC=360°,
・•・ZB+ZBOC+ZC=360°.
【结论2】如图所示,ZB+ZBOC+ZC=360°,则AB〃CD.
【证明】如图,过点。作EF〃AB,
AB
贝l|NB+NBOE=180。.
ZB+ZBOC+ZC=360°,
・•・ZC+ZEOC=180°,JEF/7CD.
又・.・EF〃AB,・・・AB〃CD.
铅笔头模型中的拐点与角度和的关系
B---4B------------气
图示
二八一,
平行线之间的拐点数012
平行线间的角度和180°360°540°
图示B3
DCGD______
平行线之间的拐点数3n
平行线间的角度和720°180°x(n+l)
典例秒杀
典例1
如图所示,/illLzl=105。,42=140。,,则/3=().
■'h\\l2,
.••ABCDE构成铅笔头模型.
根据铅笔头模型的结论有Zl+Z2+Z4=360°.
•••Z1=105°,42=140°,
.•.Z4=115°.
VZ3+Z4=180°,
N3=180°-115°=65°.
故选c.
典例2
如图,两直线AB,CD平行厕Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=().
D.9000
【答案】D
【解析】VAB//CD,且两平行线之间有4个拐点,
•••根据铅笔头模型的结论可知,两平行线之间的角度和=180。x5+1)=180°x(4+1),
BPZl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180°x5=900°.
故选D.
典例3
如图,在五边形ABCDE中,AB〃CD,则图中的x的值是.
【答案】85
【解析】:AB〃CD,
Z.D+Z.E+Z-A=360°,
・・・Z.D=150。,4=125。,
・•・乙E=85。,
x=85.
小试牛刀
!.(★★★☆☆)如图,AB||CD,则NA+NE+NF+ZC=().
A.180°B.360°
C.540°D.720°
2.(***☆切一个小区大门的栏杆如图所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,那么NABC+N
BCD=
直击中考
2.如图,AD〃CE,NABC=100。,则/2-/1的度数是.
CE
模型三锯齿模型
模型讲解
【结论】如图所示,AB||7BF,则NB+ND=NC+乙E
【证明】如图,过点C作过点D作.PQIMB.
■,AB\\EF,.-.AB\\MN\\PQ\\EF.
ZB=ABCN,ACDP=乙DCN,乙PDE=NE,
NB+4CDP+乙PDE=乙BCN+乙DCN+NE,
***+/-CDE=乙BCD+NE彳导iTF.
锯齿模型的变换解题思路
拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型
典例秒杀
典例1
如图,若直线3|G,Na==30。,,则N2的度数为一.
•••h\\l2,
根据锯齿模型结论,可知Z3+Za=Zl+Zp.
VZa=Zp,/.Z3=Zl=30o.
Z2+Z3=180°,.\Z2=180o-Z3=180°-30o=150°.
典例2
如图,AB〃EF,/C=60。,则Na,N[3,4的关系是
【答案】Zp+Zy-Za=60o
【解析】如图,延长线段BA和线段FE.
VAB/7EF,
根据锯齿模型的结论,可知Zl+Zy=Z2+ZC.
VZl+Za=180°,Z2+Zp=180°,
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