陕西省榆林市神木市第四中学2024-2025学年高二上学期第一次检测考试数学试题（解析版）

神木四中2024~2025学年度第一学期高二第一次检测考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算的基本概念和性质，即可求出结果．【详解】由题意可知,，故选B．【点睛】本题主要考查了复数的基本性质，属于基础题．2.已知向量，，若，则（）A.1或 B.或2 C.1或 D.或【答案】A【解析】【分析】运用向量平行的坐标表示求解即可.【详解】由，有，解得或．故选：A.3.已知复数为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第一象限”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据复数对应点在第一象限的条件为实部虚部都大于零，解得,然后根据充分、必要条件的概念，判定即可.【详解】若复数在复平面内对应的点位于第一象限，必有，可得.“a>0”是“”的必要不充分条件，∴“a>0”是“复数在复平面内对应的点位于第一象限”的必要不充分条件.故选：B.4.已知随机事件和互斥，和对立，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】D【解析】【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可.【详解】由和对立，，可得，解得，又由随机事件和互斥可知，由，将代入计算可得.故选：D.5.如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设球的半径为，根据公式分别求出球的表面积和圆柱的表面积的表达式，求出两者比值即可.【详解】设球的半径为R，所以球的表面积.圆柱表面积，所以该圆柱的表面积与球的表面积之比.故选：C.6.为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）班，高三（二）班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位:℃），高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（单位:℃）则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（）A.36.3，36.7 B.36.3，36.8 C.36.25，36.7 D.36.25，36.8【答案】B【解析】【分析】利用百分位数的定义进行求解.【详解】，故从小到大，选取第3个数据作为高三（一）班这组数据的第25百分位数，即36.3；，故从小到大，选取第8个和第9个数据的平均数作为第80百分位数，即.故选：B．7.已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过分类讨论得出，再由古典概率公式求解．【详解】当时，，得（舍），当时，，得，当时，，得（舍），，从1，2，3，5，4中任取2个数结果:共10种，符合题意，共4种，所以概率为．故选：A．8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围．【详解】延长交于点，延长交于点，如图所示：根据正八边形的特征，可知，又，所以，，则的取值范围是.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件D.“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件【答案】BD【解析】【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断．【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确；“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误；“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确．故选：BD．10.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则【答案】BC【解析】【分析】选项A，根据条件得到或，即可求解；选项B，由，，得到或，再由面面垂直的判定定理即可求解；选项C，由面面平行的性质，即可求解；选项D，在正方体中，通过特例，即可求解.【详解】对于选项A，若，，则或，所以选项A错误；对于选项B，若，，则或，又，则，所以选项B正确；对于选项C，若，，则，所以选项C正确；对于选项D，在正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，但，所以选项D错误.故选：BC.11.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若，则C.若，则是钝角三角形D.若不是直角三角形，则【答案】BCD【解析】【分析】由正弦定理及余弦定理判断A,B,C项，由两角和的正切公式判断D项．【详解】因为，由正弦定理得，即，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；由正弦定理得，故B正确；因为，由正弦定理得，所以，所以，所以是钝角三角形，故C正确；由不是直角三角形且，得，所以，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z满足（i为虚数单位），则__________．【答案】##【解析】【分析】由复数的除法运算及模运算求解．详解】，故．故答案为：13.在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】依题意得，由求解【详解】若恰有两解，则，解得，即边长度的取值范围为．故答案为：14.已知，，为球的球面上的三个点，若，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】首先求出球的半径，依题意可得的外接圆的半径为，即可求出点到平面的距离，设，由勾股定理可得，利用基本不等式求出的最大值，即可得解.【详解】设球的半径为，则，所以，因为，所以的外接圆的半径为，所以点到平面的距离为，设，则，所以，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的体积的最大值为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知向量．（1）求；（2）设向量的夹角为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模；（2）直接利用向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】由可得，，即，所以，所以；【小问2详解】因为，所以．16.近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立.（1）求乙通过考核的概率；（2）求甲乙两人考核的次数和为的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解；（2）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解.【小问1详解】乙第一次考核通过的概率，乙第二次考核通过的概率为，乙通过考核的概率为；【小问2详解】甲考核1次，乙考核2次的概率；甲考核2次，乙考核1次的概率；甲乙两人的考核次数和为3的概率.17.为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：80,90，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示：（1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表）（2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率.【答案】（1），平均数为，中位数；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，即可求解出；再用每一组区间的中点值代表该组数据，分别乘以每个小矩形的面积，计算平均数；最后计算中位数，即将频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与轴交点的横坐标.（2）分别求出在区间，内抽取的人数，再利用列举法结合古典概型概率公式即可求解.【小问1详解】由题意知，解得，所以数学成绩的平均数为由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62，所以该校数学成绩的中位数，则，解得；【小问2详解】由题意知，抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人，记在内的4人为，，，，在内的1人为，从5人中任取3人，有，，，，，，，，，，共10种选法，选出的3人中恰有一人成绩在中，有，，，，，，共6种选法，所以选出3人中恰有一人成绩在中的概率是.18.如图，已知扇形OAB的半径为2，，P是上的动点，M是线段OA上的一点，且．（1）若，求PM的长；（2）求的面积最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得，利用平方关系求出，再由两角差的正弦得到，最后由正弦定理可得答案；（2）设，由余弦定理得，再利用基本不等式得可得答案．【小问1详解】在中，由余弦定理得，又，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以；【小问2详解】设，则在中，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，即的面积最大值为．19.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点.（1）若，求证：平面；（2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）结合相似三角形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面角的定义找出直线与平面所成角，即可求解.【小问1详解】连接，交于点，连接，如图所示因为，易得，所以，又，，所以，又平面平面，所以平面；【小问2详解】取中点，连接交于点，连接，则，且，所以四边形是平行四边形，为中点，.因为平面，所以直线是直线在平面内射影，所以是直线与平面所成的角，即为直线与平面所成角的平面角.如图所示，过点作，垂足为，连接，因为