立体几何-二面角经典求法

立体几何中二面角求法（一）、二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角。OABOABOABl1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例1、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.POBA解:设平面∩PABαPOBA∵PA⊥α,аα∴PA⊥а同理PB⊥а∴а⊥平面PAB又∵OA平面PAB∴а⊥OA同理а⊥OB.∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.在四边形PAOB中,∠AOB=120°,.∠PAO=∠POB=90°,所以∠APB=60°三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。ABCDA1B1C1D1EO例2：如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为ABCDA1B1C1D1EO解：在长方体ABCD—A1B1C1D1中由三垂线定理可得：CDCE=1,DE=3、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例5、如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。解:∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．P又CD⊥AD，故CD⊥平面PAD．AD而CD平面PCD，BC所以平面PCD⊥平面PAD．同理可证平面PAB⊥平面PAD．因为平面PCD∩平面PAD＝PD，平面PAB∩平面PAD＝PA，所以PA、PD与所求二面角的棱均垂直，即∠APD为所求二面角的平面角，且∠APD＝45°．5、平移或延长（展）线（面）法将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。例3、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。解：设E、F分别为B、C的射影，连EF并延长交BC延长线于D，连AD；AE∵E、F是B、C射影∴BE丄α；∵CF丄α∴BE∥CF又CF：BE=，B∴C是BD的中点∴BC=DC，C∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，又∠ACB+∠ACD=180°，EFD∴∠ACD=120°又AC=DC，A∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=90°，∴BA丄AD，又∵AE是AB在平面α上的射影，∴AE⊥AD又BA⊥AD，平面ABC∩平面α=A，∴∠BAE是平面ABC与α所成的角，∴BE⊥平面α，∴BE⊥AE，∴ΔABC是RtΔSin∠BAE=BE：AB=，即平面ABC与α所成角的正弦值为。6、射影公式由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。AHMD1C1B1A1BAHMD1C1B1A1BCD解：∵D1D⊥面ABCD，C1C⊥面ABCD，∴∆BMD1在底面上的射影为∆BDC，设正方体的棱长a，则S∆BCD=a，BD1=a所以∴MH=a，S∆BMD1=a由S∆BDC=S∆BMD1cosθ得θ=arccos7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角例6、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．求证:A1C⊥平面AEF；若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理：“若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相等．”（2）、试根据上述定理，在AB＝4，AD＝3，AA1＝5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小的余弦值ABCDA1B1C1D1FEG解：ABCDA1B1C1D1FEG又∵A1B⊥AE∴A1C⊥AE同理A1C⊥AF∴A1C⊥平面AEF的解法如下：过C作BD的垂线交AB于G．又D1D⊥CG，故CG⊥平面BB1D1D．而A1C⊥平面AEF((1)已证)，设CG与A1C所成的角为α，则α即为平面BB1D1D与平面AEF所成的角．Sin∠BCG＝Sin∠ABD＝，，Cos∠BCG＝，GC＝BG=，AG=A1G=A1A+AG=，A1C=AB+AD+AA1=50在∆A1CG中，由余弦定理得Cos∠A1CG=练习题：一、定义法：例1:如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。本题可用定义法直接作出两截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交于O，连EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EO⊥⊥BD，A1O⊥BD，故∠EOA1为所求二面角的平面角。二、垂面法例2如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。本题应用垂线法作出二面角的平面角，因△VBC为等腰三角形，E为VC中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC。三、垂线法：例3如图6，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点。（1）求证：A1、E、C、F四点共面；（2）求二面角A1-EC-D的大小。（1）要证A1、E、C、F四点共面，可证：A、F//EC，取DC中点H，连AH、FH，则AHEC，又FHA1A。故A1F//AH，即A1F//EC，从而A、E、C、F四点共面。（2）要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本题可用三垂线法，因FH⊥底面ABCD于H，过H作HM⊥EC于M，连FM，则由三垂线定理知FM⊥EC。

所以∠HMF为所求二面角A1-EC-D的平面角。

四、延伸法例4.如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC1中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。分析与解

由图，平面A'BD与平面ABC只出现一个交点，故延长A'D交AC延长线于F点，连BF，则BF为所求二面角的棱。因CD=C'D，则A'C'=CF=BC=AC，所以∠ABF=90°，取BF中点E，连DE，则CE⊥BF，又DC⊥平面ABF，即DE⊥BF，从而∠DEC为所求二面角的平面角。五、射影法