高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》真题汇编附答案解析

新高中数学《数列》专题解析一、选择题1．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，则S11＝（）A．20 B．30 C．44 D．88【答案】C【解析】【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16列式求得q2，进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11.【详解】设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16，得，得q2＝2.∴，即a6＝b6＝4，又Sn为等差数列{bn}的前n项和，∴.故选：C.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题.2．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果.【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.3．已知数列为等比数列，前项和为，且，，若数列也是等比数列，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为，写出.由数列是等比数列，得，求出，即求.【详解】设等比数列的公比为，，，，，，也是等比数列，，即解得，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.4．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则()A．3 B．9 C．10 D．13【答案】C【解析】【分析】设的公比为，由成等差数列，可得，解得，再利用求和公式即可得结果.【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，满足成等差数列，，，解得，则，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5．若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由,即可求出进而求出答案．【详解】∵，∴，，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前项和性质即可，属于基础题型.6．等差数列的前项和为，已知，则的值为（）A．63 B．21 C． D．21【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质，原式可变为，即可求得.【详解】∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.7．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，，把的值代入列不等式解得即可.【详解】由题意，设数列的公差为，首项，则，即，解得.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．8．设函数的导数为，则数列的前n项和是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】函数的导函数，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出，，利用裂项相消法求出的前项和即可．【详解】，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．9．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取，）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】D【解析】【分析】由折线长度变化规律可知“次构造”后的折线长度为，由此得到，利用运算法则可知，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为，则“一次构造”后的折线长度为，“二次构造”后的折线长度为，以此类推，“次构造”后的折线长度为，若得到的折线长度为初始线段长度的倍，则，即，，即，至少需要次构造.故选：.【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.10．等比数列的前项和为，若，，则等于（）A．-3 B．5 C．-31 D．33【答案】D【解析】【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列中，，可得，解得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.11．在等差数列中，，则数列的前5项之和的值为（）A．108 B．90 C．72 D．24【答案】B【解析】由于，所以，应选答案A．点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质，然后整体代换前项和中的，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．12．已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（）A． B．19 C．20 D．23【答案】D【解析】【分析】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对、进行化简，得出公差和公比的数值，然后对进行化简即可得出结果．【详解】设奇数项的公差为，偶数项的公比为，由，，得，，解得，，所以，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．13．已知函数图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到在时的导数值，进一步求得，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出的值．【详解】由，得，，因为函数图象在点处的切线与直线垂直，，解得，，则.因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前项和，是中档题．14．执行如图所示的程序框图，若输出的为154，则输入的为（）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【解析】【分析】找到输出的的规律为等差数列求和，即可算出，从而求出.【详解】由框图可知，，即，所以，解得，故最后一次对条件进行判断时，所以.故选：B【点睛】本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.15．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.【详解】解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根∴又是正项等比数列，所以∴.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.16．等差数列中，，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可知，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为，故可确定抽走的是哪一项.【详解】因为，所以即.有得，设抽去一项后余下的项的和为，则，故抽取的一项的大小为，所以抽走的项为，故选A.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.17．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（）A．岁 B．岁 C．岁 D．岁【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到数列是等差数列，由，求得数列的首项，即可得到答案．【详解】设这位公公的第个儿子的年龄为，由题可知是等差数列，设公差为，则，又由，即，解得，即这位公公的长儿的年龄为岁．故选C．【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．为等差数列，公差为，且，，，函数在上单调且存在，使得关于对称，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】推导出sin4d＝1，由此能求出d，可得函数解析式，利用在上单调且存在，即可得出结论．【详解】∵{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos•2cossin2sina5cos2d•2cosa5sin2d，∴sin4d＝1，∴d．∴f（x）cosωx，∵在上单调∴，∴ω；又存在，所以f（x）在（0，）上存在零点，即，得到ω．故答案为故选D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．19．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．20．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所