2024年某中学高三数学考前模拟试卷附答案解析

2024年广雅中学高三数学考前模拟试卷

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合

题目要求的.

1.若集合/=｛-2,1,4,8｝,B=｛xy\x^A,y^A\,则8中元素的最小值为（）

A.-16B.-8C.-2D.32

cos|8+3cos26

贝u--~>~b=()

2.已知tan6=3,

42sm(0-^\

6363

A.-B.—-C.—D.—

5555

3.已知“8C的外接圆圆心为O,且2亚=方+箱网=网,则向量方在向量而上的投影向量为

()

A.-BCB.—BCC.—BCD.—BC

4444

4.已知数列｛%｝的各项均为正数，也｝满足才=岫用，an+an+l=2bn+l,则下列结论正确的是（）

A.也｝是等差数列B.抄」是等比数列

C.｛M｝是等差数列D.｛历｝是等比数列

5.过点尸（。㈤作圆f+/=l的切线刃，A为切点，|尸闻=1,贝Ija+2Z>的最大值是（）

A.V2B.V3C.y/5D.V10

6.在正三棱台/3C-4耳G中，已知48=6，4A=2A/3,侧棱幺4的长为2,则此正三棱台的体积为

()

217_217

A.—B.—C.~~D.—

2442

7.已知函数的图象与函数V=ln（2x）的图象关于某一条直线/对称，若尸，。分别为它们图象上的

两个动点，则这两点之间距离的最小值为（）

.V21n2收；2亚"；ln2)()

A.---------B.c.D.V2l-ln2

2

丫2v2

8.已知点aB,。都在双曲线「：三-彳=1（〃〉0]>0）上，且点4,B关于原点对称，ZCAB=90°.

ab

过工作垂直于x轴的直线分别交「，BC于■点、M,N.若京=3初，则双曲线r的离心率是（）

A.V2B.V3C.2D.2百

1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

A.已知随机事件/,8满足尸(团=7P(AB)=~,则P(N|B)=:

B.已知随机变量J~N(3,4),若孑=2〃+1,则。(〃)=1

C.若样本数据3匹+1,3X2+1,3占0+1的平均数为10,则数据国,々,斗,匕,%,%,工7，%，3，占0的平均

数为3

D.随机变量X服从二项分布8(4,0,若方差。(X)="则P(X=1)=R

10.已知复数则下列命题正确的是()

A.若田="|,贝1JZ1=±Z2B.若4=22,则匕闻=匕1『

C.若马是非零复数，且Z；=ZK，则％=z?D.若句是非零复数，则Z[+=w0

Z1

11.已知数列｛%｝满足：=a；+24+45£N*),其中丸ER,下列说法正确的有()

A.当q=2,4=：时，an>n+\

B.当九e；,+s4寸，数列｛%｝是递增数列

C.当彳=-2时，若数列｛%｝是递增数列，则qe(-8,-3)。(1,+8)

D.当…―0时，土+人+…+11

------<-

q+23

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在(l+x)+(l+x)2+(l+x)3+…+(1+姆。的展开式中，含Y项的系数为.(用数字作答)

13.设抛物线。:r=2勿5>0)的焦点为下，准线为/.斜率为百的直线经过焦点尸，交C于点A,交准

线/于点8(A,B在X轴的两侧),若|/旬=16,则抛物线C的方程为.

14.如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分(它由线段CE,。尸与分别以。GOD为直径的半

圆弧组成)表示一条步道.其中的点C,。是线段上的动点，点。为线段的中点，点E,尸在以48

为直径的半圆弧上，且NOCE,/O0尸均为直角.若/8=1百米，则此步道的最大长度为百米.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在锐角。8C中，角4B、C所对边的边长分别为。、b、c,且2加辿-丘=0.

2

⑴求角3;

(2)求siiU+sinC的取值范围.

16.如图，在圆锥。。中，。为圆锥顶点，N8为圆锥底面的直径，。为底面圆的圆心，C为底面圆周

上一点，四边形。4E。为矩形.

(1)求证：平面8CZ)_L平面/CE；

(2)若/£=&,AC=2,5C=273,求平面4DE和平面CDE夹角的余弦值.

22

17.已知椭圆C:3+方=1(°>6>0)的离心率为｝,且过点卜2,百).

⑴求椭圆C的标准方程.

(2)设过点尸(-4,0)且斜率不为0的直线/与椭圆C交于A,3两点.问：在x轴上是否存在定点。，使直

线。/的斜率左与。8的斜率心的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.

18.某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为提高服务水

平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60

和24.

(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人,再从这10人中随机抽取4人，

求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.

(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m

(m>2且机©N*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则

该组标为否则该组标为3,记询问的某组被标为8的概率为p.

(i)试用含机的代数式表示p；

(ii)若一共询问了5组，用g(0表示恰有3组被标为8的概率，试求g(0的最大值及此时加的值.

19.设函数/(x)=e*+acosx,aeR.曲线y=/(x)在点(0，/⑼)处的切线方程为了=x+2.

(1)求。的值；

(2)求证：方程/("=2仅有一个实根；

(3)对任意xe(0,+oo),有/(x)>后sin无+2,求正数人的取值范围.

3

1.A

【分析】根据题意，由集合的概念，代入计算即可得到结果.

【详解】由题意可得，（盯L=-2X8=T6,

所以B中元素的最小值为-16.

故选：A

2.A

【分析】利用诱导公式与和角公式化简所求式得sindcose+sin*,构造分母sin?6+cos?6,分子分母同

除以cos?6,化弦为切，代入即得.

cos]6+工Icos20

[详解】由一-~答~「-sin0cos20_-sin6(cos6+sin9)(cos0-sin0)

行sinsin3-cos3sin。一cos3

sin0cos0+sin20tan0+tan206

=sincos+sin20=

sin20+cos20tan23+15

故选：A.

3.C

【分析】根据条件作图可得为△45。等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.

【详解】因为2万=刀+%，

所以外接圆圆心。为5C的中点，即5c为外接圆的直径，如图，

又।布卜所以A/BO为等边三角形,

则N4BC=60",故|万|=|就|cos600,

所以向量方在向量数上的投影向量为：

ABBC5C囤同cosl20。就-|1^cos260°-SCi_.

=

WRK=一同一

故选：c.

4.C

【分析】分析可知数列｛2｝的每一项都是正数，由已知条件可得出用+血7=2历，结合等差中项

法判断可得出结论.

【详解】因为数列｛4｝各项为正数，抄“｝满足也+Jan+an+1=2bn+i,

a+i

故对任意的〃eN*,b„+l="y>0,贝

2bn+l

4

所以数列低｝的每一项都是正数，所以师1+师心=2〃用，可得疯+其=2瓦;.

由等差中项法可知，数列｛历｝是等差数列.

故选：C.

5.D

【分析】根据题意可得/+/=2,三角换元令a=V^cos。，b=4isine，。」。筌兀），利用三角恒变换

求出最大值.

【详解】根据题意，设圆/+r=1的圆心为。，贝ij|尸。『=|尸不+.42=1+1=2,

:.cr+b2=2,令a=Ccos9，b=V2sin^，ec[0,2兀)，

贝Ia+2b-A/2cos0+2V2sin0=V10sin(6+e),其中tanp=；,

所以。+28的最大值为所.

故选：D.

6.C

【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三

棱台的体积.

【详解】正三棱台/8C-48c中，已知=44=26，

所以“BC的面积为L石xGx且=®,△44G的面积为LX2GX2出x坦=36，

22422

Bi

设。，。1分别是小5C,△44G的中心,

设。，A分别是BC,3G的中点，

:.A,O,。三点共线，4，。1，A三点共线,

AD=/Bxsing=V3x—=—,AXDX=AiBlxsing=2拈x—=3,

•°D=-AD=—,OXDX=-42=1,

VB

~T

5

过。作。E，42,垂足为E,则DE//。。-

DE=《DD；-DE="苧2_0_9=5

；.三棱台的高为G，

二三棱台的体积为，=；xGx(乎+『^ZZZ+3百)=F.

故选：C.

7.D

【分析】首先得到函数y=?的图象与函数V=ln(2x)的图象关于直线y=x对称，则问题转化为点尸到

直线〉=x距离最小值的2倍，求出过点尸的切线恰与V=x平行时切点坐标，再利用点到直线的距离公

式计算可得.

【详解】设尸(。力)为函数y=+图象上任意一点，则6=三，尸(。，“关于直线N=x的对称点为。伍,a),

又＞=ln(26)=Ine"=a,即点。(6,〃)在函数歹=111(2%)的图象上,

所以函数■的图象与函数V=ln(2x)的图象关于直线夕=尤对称，

所以这尸，Q两点之间距离的最小值等于点P到直线V=x距离最小值的2倍，

xx

pe

由)=耳，则V=]■,

函数了=《在点尸(%,%)处的切线斜率为无=£1,令左=匕=1,解得x°=ln2,%=1,

222

所以点尸到直线＞=X距离的最小值为d=恒m=向i2),

V22

所以这P,。两点之间距离的最小值为2d=收(1-M2).

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题关键是得到两函数关于＞='对称，再将问题转化为曲线上的点到直线的距离

的最小值.

8.B

【分析】设由福=3万？且4W_Lx轴得N(%,-5%),注意到3.%=与，也

a

就是%而2-也,kAB=^,即4=2,由此结合离心率公式即可求解.

2

＜kABJa/与a

【详解】

6

不妨设8（-%,一%）,由赤=3而且//轴,

所以河(％,-%),所以(XN-XO/"-%)=3(0,-2%)=(0,-6.%),

从而马=%,%=-5%,即N(x0,-5%),

设点C（x/）,且它在双曲线上,

%%=匕江•匕楚

2222

X+/x-x0x—x0X-X0a

b2廿…f一(-5%)

即^BN,=/，其中2

x

-xo-o

从而4=2,e=Jl+3=6.

aVa

故选：B.

【点睛】关键点点睛：关键是得到孰［-j］=1，kB产-"kAB=^,由此即可顺利得解.

（kAB）a-%%

9.BC

【分析】由条件概率的公式可得A错误；由正态分布的方差公式和方差的性质可得B正确；由平均数的

计算公式可得C正确；由二项分布的性质可判断D错误.

【详解】A：由条件概率的公式可得P（*5）=-^^=a，所以P（N|B）=1'=/故A错误；

XIJ-JJJJJ

B:因为随机变量*N（3,4）,所以。值）=4,

又孑=2〃+1,所以〃TK，

所以£＞（〃）=［；］X。⑷=1,故B正确；

C：因为样本数据3%+1,3%+1,…，3%+1的平均数为10,

7

所以3再+1+3々+1+-・+3再0+1=3(演+、2+―・+再0)+1。=10

、io―io一

化简可得再+、2■1-----F项0=30,

所以X],X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，Xio的平均数为五上小"士电==3,故C正确;

313

D：由题意可得4°。-p)=a，解得P=1或

则尸；；

(X=l)=Cxx77或尸(X=l)=C；故D错误;

故选：BC.

10.BC

【分析】对于A项，可以举反例说明；对于B项，可以设4=。+历，则z?="-bi,代入等式两边验证

即可判定；对于C项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D项，可通过举反例4=i对结论进行否

定.

【详解】对于A项，若4=l+i,4=后，显然满足团="|,但z=±z2,故A项错误；

21

对于B项，设4=Q+bi(Q/£R),则Z2=。一bi,ZjZ2=((7+bi)(a-bi)=a+b,故上五|=/+〃而

匕『=/+凡故B项正确；

对于C项，由2；=%22可得：2；-2逐2=4(4-22)=0,因为是非零复数，故为一Z2=0,即4二4，故

C项正确；

对于D项，当z=i时，Z是非零复数，但马+—=i+；=i-i=0,故D项错误.

Z]1

故选：BC.

11.ACD

【分析】根据氏+「。.=。；+%+'=,“+!]2+1>0可得。用>%+1,即可迭代求解A,根据彳=；,

%=-g时，可得｛%｝为常数列，即可判断B；根据二次函数的单调性，证出当2=-2时。向-%>0,从

而判断出数列｛%｝的单调性，建立关于％的一元二次不等式，解出首项%的取值范围，判断

出C项的正误；当4=0,%=3时，根据递推关系证出%+|+223(%+2),从而可得号923,由此推

1311113

导出交xR'eN*),进而利用等比数列的求和公式证出1工?+-7+"…+丁丁yV不，从而判断出D

T~/jDcit~r/a,"i乙cz"1乙1\j

项的正误.

【详解】对于A,当2=a时，。〃+1-=。；+4?+a=["〃+5]+1>1>0,又“1=2,故an+｝>an+1,

8

a

所以见>n-\+1>^n-2+2>-->>iZ1+n—\-n+1,故A项正确.

对于B,因为%+i-。〃+。〃+%=(。〃+g)2+4T且％£7,+00

所以。〃+1-%20，

当％=；,%=-；时，。2=-；，。2二总=。〃41”二⑸+产力〜泅=%,此时数列｛%｝是常数列，故B项错

误；

对于C,由于数列｛%｝是递增数列，当〃22时，故为-。1〉0,

aa

n+\~n=(片+勿〃一2)-(aji+2an_x-2)=(an-an_x)(an+an_x+2)>0,

(Q；+2%-2)-Q［〉0

a2—ax>0

故%+%+2>°，所以即《

%+q+2〉0(Q；+24-2)+4+2>0

解得4〉1或4<-3,故C项正确;

2

对于D,当%=0时,an+i=Q；+2an=(an+1)-1,结合4=3,可知。?=4、-1=11>%,

2

a3=13-3>a2,…，结合%+「%=(%-%)(%+Q〃_i+2),

可知｛4｝是递增数列，an>aX=3,则%+i+2=+2)23(%+2),

即—土123,所以上*'幺与*…*第23"-(心2),

aa

+2n-\+2n-2+24+2

BPa„+2>3"一(q+2)=gx3"(M>2),

所以一一<-x—(n>2)当“=1时，---=—<—X^-,所以一—<-x—(zzeN,)

尸万以a.+253八'三〃川'q+25539以。“+253，\人

「_/口/13/11、3诵)31,,行十也

可得7V三。+m+…+运)=1-------i—，故D项正确；

j-।i।乙，nJ，]LuJ

-3

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式

(1)转化为(。“+2-。向)-(见+「％)=常数，则数列｛%「"”｝是等差数列.

(2)转化为二一--1■=常数，则数列是等差数列.

(3)转化为」------匚=常数，则数列是等差数列.

%+i+c%+c[a„+c\

(4)转化为向二-阮=常数，则数列｛疯｝是等差数列.

(5)转化为常数，则数列｛片｝是等差数列.

9

（6）转化为log/用-log/〃=常数，则数列｛log2”｝是等差数列.

12.330

【分析】写出含有/项的系数，再利用二项式系数的性质化简可得结果.

【详解】展开式中含有V项的系数为

C；+C：+C；+C+C；+C；+C：+C：o=Cj=330,

故答案为:330.

13.y2=8x

【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得到直线/的方程，从而求出3点坐标，再联立

直线与抛物线方程，求出A点坐标，再由距离公式得到方程，解得即可.

【详解】抛物线。：/=2川（0>0）的焦点为尸（go）,准线方程为x=-^,

依题意直线/的方程为昨道卜-,，

令X=-]■可得y=-Gp,即与-若pj,

由“"卜2）,消去了得=2px,解得x=或x=,

y2=2px''~

又A,3在x轴的两侧，所以乙=|*0,则心所以/

所以幽=J苫晋=16,解得…或2=一4（舍去），

所以抛物线。的方程为r=8乩

故答案为：尸=8无

2

【分析】设半圆步道直径为x百米，连接/瓦借助相似三角形性质用x表示CE,结合对称性求出

步道长度关于x的函数关系，利用导数求出最大值即得.

【详解】设半圆步道直径为x百米，连接/瓦显然“E3=90。，

由点。为线段4瓦C。的中点，得两个半圆步道及直道CE,97都关于过点O垂直于42的直线对称，

则/C=L-X,8C=L+X,又CE,AB,则RtA/C£sRtVEC8,有CE2=4C-BC,

22

2

即有。尸=CE=j；*,因此步道长/（x）=2不；一1+wc=Vl-4r+或，0<x<；,

4%兀

求导得/'（X）=--[-------+兀，由/"（x）=0,得x=r^=,

VI-4x22〃一+4

10

兀711

当0<x<一7时,/'(x)>0,函数4%)递增，当/,时,/V)<0,函数/(%)递减,

2,兀2+42771+42

兀

因此当x=防=时'

2,7?+42J7?+42

所以步道的最大长度为如上百米.

2

故答案为：山卫

2

【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果;

（2）根据力8C为锐角三角形求出力€弓,弓），利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简

62

siivl+sinC=siih4+sin(--A),根据正弦函数性质可得结果.

【详解】(1)­,•2bsinA-y/3a=0,

2sinAsinB-V3siiL4=0，

又；.,.siivl/O,

sinB=^^,8e,：.B=^,

（2）由（1）可知,5=p且“8c为锐角三角形,

0<A<-

2

所以

2兀兀62

0<C=——A<—

32

贝usiivl+sinC=sirU+sin(--A)=—siii4+—cos^=Gsin(4+2),

3226

i因-j-i为、i；兀<力,兀+:<2<7r,

363

3

sirU+sinCG(—,V3].

16.(1)证明见解析(2)粤

11

【分析】（1）依题意可得3C，/C,平面43C,从而得到NEL8C,即可证明3C1平面/CE,

从而得证；

（2）建立空间直角坐标系，通过求解法向量的夹角余弦值来求解平面NAE和平面CDE夹角的余弦值；

【详解】（1）为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，」.BC，NC.

:四边形。4即为矩形，平面4BC,

AEHOD,NE_L平面/3C,

又BCu平面ABC,：.AE1BC,

又：ZEn/C=/,N£u平面/CE,/Cu平面4CE,ABCmACE.

又BCu平面BCD,，平面BCD_L平面/CE.

（2）以C为坐标原点，AC,3c所在直线分别为x,V轴，

过点C且与0D平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则C(0,0,0),N(-2,0,0),D(-l,』吟,£(-2,0,72),

2g=(0,0,V2),E5=(l,-V3,0),CE=(-2,0,72).

---------►―»

AE•n1=0

设平面的法向量为4=（占,%,zj,贝卜

ED•/=()

令必=1,得再=6,所以］=（百,1,0）.

,-------

CE.n?=0-2X[+—0

设平面CDE的法向量为%=（工2，//2），则，_2，即

ED2=0x2-6y2=0

令%=1，得%2=g，Z2=V6,所以%二(g,1,痣),

nx-n23+1A/10

所以cos/,%

匐卜212xV105

所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为巫.

5

17.（%+,=1；（2）存在,且该定点为。卜2后,0）

【分析】（1）结合离心率的定义，将卜2,百）代入椭圆方程计算即可得；

（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理表示交点横坐标的关系后，结合斜率公式表示出斜率之积

后可得3尤;-24=0时，kxk2,计算即可得解.

12

I*?1C1

【详解】（1）因为椭圆C:会+与=1（°>6>0）的离心率为9所以,=5,即"2c,

_22

所以6=&,所以椭圆C的方程为券+g=l,

因为椭圆C过点卜2,0），所以白+2=1,解得°2=2，

故〃2=4c2=8,及=3c2=6，

所以椭圆C的标准方程为5+4=1;

OO

（2）假设存在定点。（%,0）.设/（国,必），5（x2,y2）,

易知直线/的斜率显然存在，且不为0,设其方程为了=左（》+4）,

X2）2

---1----1

联立椭圆方程与直线方程，得86,消去y并整理,

y=左（工+4）

得（3+4左2卜2+32Vx+64k2-24=0,

32k264/一24

所以X]+%=-XX=-----Z—

3+4/12?3+4左2

由A=（32/）2一4（3+4/）（64/-24）>0,解得/<1

且左w0,

左（再+4）k（^x+4）k2[再N2+4（项+%2）+16]

所以上人二」——J2

x}-x0x2-x0国一玉）x2-xQ

64左2—24128左2

------5--------v+16

3+4左23+4左2____________24^____________

64/—2432k之641+32k°X。+4k2x；+3x；—24

3+4左23+4左2

____________24__________

。”A23%；—24，

64+32XQ+4XQH-----——

则当3尤;-24=0时，左人为定值，此时%=±2四.

所以存在定点。（±20,0）,使直线。/的斜率匕与。8的斜率&的积为定值.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

13

(1)设直线方程，设交点坐标为(国,必),仁,％);

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或歹)的一元二次方程，注意△的判断；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为王+9、x,x2(或弘+%、yty2)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

34m216

18.(1)——(2)(i)p=­：-----------；(ii)〃z=3时，g(p)=------.

710m2+3m+2V7max625

【分析】(1)由古典概型结合组合数公式即可求得答案；

(2)(i)由古典概型结合对立事件的概率公式即可求得答案；

(ii)由n次独立重复试验的概率公式结合导数知识即可求解.

【详解】(1)因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3:5:2,所以这10人中，购买

——352

单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：10x面=3,10x面=5,10x—=2,

C2C23

故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率尸=胃=-.

1U

(2)(i)从加+2人中任选2人，有C%种选法，其中购票类型相同的有Cj+C；种选法，则询问的某

4m

组被标为3的概率p=1-鼻电=1-；

2

Cm+2m+3m+2m+3m+2

(ii)由题意，5组中恰有3组被标为B的概率g(0=C力'(l-p>=10/(i-2p+ph=10(/-2/+,

所以g，(P)=10(3/-8/+5")=1Op?(0-1)(5?-3),0<P<1,

所以当p«O,|j时，g'(0>O,函数g(o)单调递增，

当peg/时，g'(0<O