二项式定理-2023年高考数学一轮复习(解析版)

二项式定理归类

目录

【题型一】通项公式1：基础......................................................................1

【题型二】通项公式2：因式相乘型求某项..........................................................2

【题型三】二项式给通项求n值....................................................................3

【题型四】给通项求参数..........................................................................5

【题型五】因式相乘型给通项求参数................................................................6

【题型六】赋值法................................................................................8

【题型七】换元型................................................................................9

【题型八】三项展开式...........................................................................10

真题再现.......................................................................................12

模拟检测.......................................................................................14

【题型一】通项公式1：基础

【典例分析】

将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（)

A.A；B.A武C.A㈤D.A；A；

【答案】c

【分析】先利用二项式定理判断其展开式中有理式的项数，再利用插空法进行排列即可.

【详解】根据题意，得4M=C：6”［击］=晨拆消=］［《炉，

因为0V左W8且左eN*,

3产=4,即工为有理式;

当左=0时,

当左=4时，=1,即n为有理式；

4

当左=8时，吐生=-2,即7；为有理式；

4

当无©{1,2,3,5,6,7}时，笥迎EZ,即《为无理式；

所以［4+」产］展开式一共有9个项，有3个有理式,

6个无理式,

先对6个无理式进行排列，共有A：种方法；

再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有A；种方法;

利用分步乘法计数原理可得，一共有A：A；种方法.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

二项展开式的通项公式4+1=。，"一'少.可以求解某一项，也可求解某一项的系数）

【变式演练】

l.(x-2)"的展开式中，的系数为()

A.-128C；。B.128c1C.-8/D.8CZ

【答案】C

【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出.

【详解】(x-2厂的展开式中，通项公式:&]=4储。1—2丫,

令10-尸7,解得r=3.

.,.X7的系数为C；o(―2)3=—8cl,

故选：C

2..的展开式中的系数为.

【答案】-20

分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幕指数与题中所给的项的

基指数相等，从而求得厂的值，再代入通项公式，求得对应的项的系数，得出结果.

详解：由二项式定理可知，展开式的通项为

要求解—2了1的展开式中含必；/的项，则厂=3,

所求系数为(—2)3=—20.

3.二项式的展开式的常数项为第()项

I

A.17B.18C.19D.20

【答案】C

试题分析：由二项式定理可知丁_」而二c氯-3)'。一厂,展开式的常数项是使

Ifo

竺二生=电：的项，解得T=18为第19项,答案选C.

金

【题型二】通项公式2：因式相乘型求某项

【典例分析】

11-的展开式中的系数为()

A.6B.-9C.-6D.9

【答案】D

【分析】根据二项式定理可分别求得+和?(x+y)6展开式中//的系数，由此可得结果.

【详解】[1-J(x+y)6=(x+y)6-1~(x+yJ；

：+展开式中xV的系数为=15；*(x+j)6展开式中//的系数为爆=6；

RE（x+城展开式中xV的系数为15-6=9.

故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

因式相乘型，可以采取乘法分配律，变为两式相加型再转而求对应通项系数

【变式演练】

L1-；|（x+y）8的展开式中的系数为（）

A.-56B.-28C.28D.56

【答案】B

【分析】将多项式按第一项展开，再将各项通过二项式定理拼成一了6的形式，计算出结果

【详解】由题知=（x+4」。+以

（x+»展开式的通项公式为,

将含fj/项记为〃,则M=Clx2y6--Clx3y5=28x2/-56x2/=-28x2/,

X

故含项的系数为—28,

故选：B

2.在（Y+x+l）[：-1）的展开式中常数项为（）

A.14B.-14C.6D.-6

【答案】D

【分析】根据二项式定理及多项式乘法法则求解.

1

【详解】由二项式定理得C■一I）5=（-I+L）5=-I+C!LC；4C]=C；*），

XXXXXXX

所以所求常数项为-1+C-C；=T+5TO=-6.

故选：D.

3.（x-2y）（2x-y）5的展开式中的系数为（）

A.-200B.-120C.120D.200

【答案】A

【分析】由题意首先确定（2x-y）5展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定/贯的系数.

【详解】（2x-y）5展开式的通项公式为=仁（2》产（-q=25一仁产,.（_4，

当厂=3时，7；=25-3Cy-3（-j；）3=-40xy,此时只需乘以第一个因式（x-2y）中的x即可，得到-40//；

当厂=2时，7；=25-2C^5-2（-j）2=80xy,此时只需乘以第一个因式（x-2y）中的-2y即可，得到-160//；

据此可得：//的系数为_4（）_160=-200.故选：A.

【题型三】二项式给通项求n值

【典例分析】

若展开式中含1项的系数与含!项的系数之比为-5,贝等于（）

IX）XX

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第『+1项，令X的指数分别为-2,-4求出展开式含4项的系数和

X

含4项的系数，列出方程求出〃.

【详解】解：（2'-3"展开式的通项为=C：（2x）…=（-1）'2…C：x"2,令2r=—2得r=与

xx2

1n+2n-2n+2〃+41n+4n-4n+4

故含薪的系数为（_i）〒2丁C7令〃-2r=-4得r=故含,项的系数为㈠）亍fTQT

n+2n-2n+2

-----„+4„_4—%=-5将〃=4,6,8,10代入检验得〃=6故选：C.

（-1）-

【提分秘籍】

基本规律

利用二项展开式通信公式，待定系数法可求得。注意n值为正整数，可能存在分类讨论的情况。

【变式演练】

1.若py-x的展开式中第r+1项为常数项，则二=

n

2

【答案】-

3

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得力-2〃=0,从而得到二的值.

n

【详解】解：（上-x］的展开式中第r+1项为

（-ly/T”，再根据它为常数项，

r22

可得3r—2〃=0,求得一=—,故答案为：一.

n33

2.若（l+2x）”展开式中含/项的系数等于含x项的系数的8倍，贝卜7等于（）

A.5B.7C.9D.11

［答案］A

【彳析】由二项展开式通项公式得丁和x的系数，由其比值为8求得"值.

【详解】却尸C：（2xY=CCK，

23c3

所以宝=8,解得"=5（负值舍去）.故选：A.

3.若，3+5］的展开式中存在常数项，则〃可能的取值为（）

A.2B.3C.5D.7

【答案】A

【分析】利用通项公式，令x的指数为0,可得〃与左的关系，即可求解

【详解】卜+《J”展开式的第k+1项加=C：『『=Ch”"

令3〃-6左=0贝!j〃=2左（左£Z）

所以〃为偶数。故选：A

【题型四】给通项求参数

【典例分析】

已知（公+/］的展开式中/项的系数为160,则当。>0,6>0时，a+6的最小值为（）

A.4B.20C.2D.V2

【答案】B

【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过/塞指数为160,求出而关系式，然后利用基本不等

式求解表达式的最小值.

【详解】+的展开式中1项的系数为160,

所以=&（办厂］子］=/0C"6年，

33

令6—-厂=—,解得厂=3

22

所以a363c=160,所以ab=2,

-a>0,b>0,a+6W2而=2收，当且仅当°=b=正时等号成立，

a+b的最小值为20，

故选：B.

【变式演练】

1.若（x--）9的展开式中x3的系数是-84,则a=.

x

【答案】1

【分析】

a

先求出二项式（x—-）9的展开式的通项公式，令龙的指数等于4,求出厂的值，即可求得展开式中V的项的

x

系数,再根据V的系数是-84列方程求解即可.

【详解】

（X-/展开式的的通项为乙=&9一（一力

令9-2r=3nr=3,

（X--）9的展开式中X3的系数为C；（—a）3=—84na=1,

X

故答案为1.

2.设常数a>0,若［x+巴］的二项展开式中犬的系数为144,则a=_.

【答案】2

【分析】

利用公式&i=C；产［qj=。卬/2，&=0,］,2,…,9)，令9—2尸=5即可求值.

【详解】

令9—2r=5,解得r=2,

则C；/=i44,。>0,解得a=2.故答案为：2.

3.若关于x的二项式］2x+qJ的展开式中一次项的系数是-70,贝!|。=

【答案】二

2

【分析】

利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幕指数为1,即可得到实数。的值。

【详解】

展开式的通项公式为1用=C；•优•27一•1口，由7—2r=l,得r=3,

所以一次项的系数为。；"./=一70,得。=-

故答案为：—.

2

【题型五】因式相乘型给通项求参数

【典例分析】

已知a>0,二项式展开式中常数项为,且3+£|卜+£|的展开式中所有项系数和为192,

贝”口3+£)(—+£|6的展开式中常数项为()

A.66B.36C.30D.6

【答案】B

每析】利用二项式的通项公式求某一项.

【详解】设二项式卜2-£|展开式中的第左+1项为常数项，贝1］几1=以［2广］_£|’,

<716,所以％=4,b=±-

2(6-k)-k=02

令x=l,则(l±2)(l+a)6=192,所以3(1+4)6=192或一(1+4)6=192舍去，

所以l+a=±2,b=-,又因为a>0,所以a=l,

2

所以dr)=(/+2)kT的展开式中的常数项，由1x2+jj展开式中的常数项和g的项

构亦则&］=玛(巧6-［工)=晨钟-，)-，，

当空讨为常数项时，〃=4,T4+l=C^=^=15；

2x1

33

当为含二的项时，2（6-r）-r=-3,r=5,T5+i=C1x~=6x~；

x

所以（丁+2）62+的展开式中的常数项为2x15+6=36.

故选：B

【变式演练】

1.若（1-„+力的展开式中一的系数为75,贝小=（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】A

【分析】结合二项式的展开式的通项公式以及多项式的乘法运算可得C：+（-a）C：=15-20。，进而可求出结

果.

【详解】卜+口的展开式的通项公式为M=C产"所以1-/卜+的展开式中1的系数为

C：+（—Q）C：=15—20〃，由题知，15—20a=75,解得a=—3.

故选：A.

2.关于二项式（1+办+/）（1一x）8,若展开式中含/的项的系数为21,则。=（）

A.3B.2C.ID.-1

【答案】C

【分析】根据二项式展开式可求得含尤2的项的系数，即得方程，求得答案.

【详解】由题意得尤2的系数为lx系x（-1）2+axC；x（_l）+lxC；=21,解得。=1,

故选：C.

3.已知[1+%jJ（2x-y）的展开式中Yj/的系数为40,则m的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】首先变形得（J+叼）（2x-y）5=：（2x-y）5+.my（2x-y）5,然后利用二项式展开式的通项公式

求出的系数即可.

【详解】由题意可得（J+叼12x-y）5=B（2x-y）5+.my[2x-y）5,

55rr

在：（2x-y）的展开式中，由—C；（2x）-（-y）=（-1）r54rr

-2-C'5x-y,

[4—r=21,.--

令,=4无解，即1（2x-A5的展开式没有x2/项；

在叼（2x—y）5的展开式中，由冲q（2x）5”（-y）r=（一1.广25一，仁产，尸，

令1+1_4解得〃=3，my（2x-y）5的展开式中x2y1的项的系数为（-1）3・25-3_40m,又f/的系数

为40,所以-40冽=40,解得旭=-1.

故选：B

【题型六】赋值法

【典例分析】

.已知（x+2）（2x-l）5=%+%x++…+。6]6.则。0+%+。4=（）

A.123B.91C.-152D.-120

【答案】c

【分析】

由二项式定理及利用赋值法即令X=1和=-1,两式相加可得为+%+。4+。6，结合最高次系数％,的值即

可得结果.

【详解】

523456

（x+2）（2x-l）=a0+aAx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x中，

取X=1,得％+Q]+&+。3+%+。5+。6=3,

取X=—1,得/%%%+。4—%+。6=—243,

所以2（4+g+。4+&）=—240,即4+生+%+“6=—120,又6二32,

贝1」。0+。2+。4=-152,故选C.

【提分秘籍】

基本规律

常见的通法是通过赋值使得多项式中的1「变为）和1,在本题中要使了：-！=0即给等式中的.、：赋

值1,求出展开式的常数项①；

【变式演练】

l.^(x-2)5=a5X5+a4X4+«3X3+a2X2+«ix+ao,贝！Iai+as+as—().

A.1B.-1

C.121D.106

【答案】C

【分析】

利用特殊值法构造方程组求解.

【详解】

55432

解：,/(x-2)=a5x+tz4x+a3x+a2x++%

令X=1得％+&+/+%+。］+/=—1①

令X=—1得+%—〃3+。2——35②

①减②得2(%+%+%)=—1+3，

/.%+。3+。1=121

故选：C

2.若(-l+2x)〃(〃£N*)的展开式中，奇数项的系数之和为-121,则“.

【答案】5

【分析】

令X=1和X=-1,作和即可得到奇数项的系数和，从而构造出方程解得结果.

【详解】

2

(-1+2以=(—1)"(2x)°+"1)1(24+C：(-If(2x)2+…+C；(-1)。(2x)”

令x=1得:C°(-1)"+C：(-1)""2、C：(-广22+…+C；(-1)°2"=1

令x=-1得：C；㈠)"+C：(-1)-1(-2)+C；(-1广2(_2『+…+C；(-2)"=(-3)"

二奇数项的系数和为：1+(-3)=_121，解得："=5

2

本题正确结果：5

201822018

3.-^(1-ax)=o0+aAx+a2x+•■•+tz^^x,若％+2a2+3%+…+2018。2()18=2018a(awO),则

实数.

【答案】2

【分析】

将左右两边的函数分别求导，取x=l代入导函数得到答案.

【详解】

(1—ax)-”'=tzo+ciyx+u^x~+—F/018丁°18

两边分别求导：

2017

—2018(7(1—=。]+2。2》+—F2O18tz9O1gX

取x=l

—2018a(l—=%+2%+,•,+2018tz2oi8=2018a

a=2

故答案为2

【题型七】换元型

【典例分析】

,已知X(X—2)7=%+%(X—1)+出(％—+...+。8a_1)8，则。5+“6=

A.-14B.0C.14D.-28

【答案】B

【解析】由题可知，将x(x-2)7转化为+再根据二项式展开式的性质，即可求出出和

。6，便可得出氏+&.

728

【详解】解：由题知，x(x—2)=a0+(x—1)+a2(x—I)+...+a8(x—I),

且X(X_2)7=[(X_1)+1][(X_1)_1T，则％=T4,

2

a6=Cf-(-iy+l-Cf-(-l)=14,所以。5+&=T4+14=0.故选：B.

【变式演练】

1.若J=a。+Q](x_1)+%(X—1)+,—Fa6(X—1)，则知二()

A.1B.6C.15D.20

【答案】C

【分析】令x-1=心利用二项式展开式通项可确定为.

【详解】令X—1=方，则(£+1)=/+%£+出/+…+。6”6，

又("if展开式通项为：;.%=仁=15.

故选：C.

2.对任意实数X,有（2x-3）9=%+〃］（x—1）+出（工-1）2+%（XT）3+…+”9（xT）9•则下列结论成立的是（）

A.旬=1B.。2=-144

C.%+%+出+…+=1D.%—%+出—。3+•,•一〃9=-3。

【答案】BCD

【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD,转化法求指定项的系数判断选项B.

［解】由（2x—3）9—UQ+/（X—1）+〃2（%—1）2+。3（、—1）^+••,+Cig（X—1）"

9

当x=l时，（2-3）=aQ,旬=-1，A选项错误；

当％=2时，（4—3）9="0+%+出---F“9，即。0+%+。2-----F〃9=1，C选项正确；

当％=0时，（—3）9=。0—%+。2—。3------“9,即4—〃［+。2—。3-------“9=，D选项正确；

（2X-3）9=［-1+2（X-1）］9,由二项式定理，出=《（-1产2?=—144,B选项正确.

故选：BCD

3.若多项式x+x=Qo+Q］（x+l）+，・,+a9（x+l）+a［。（X+1），则为=（）

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

10

（X+1）"=c：+c\x+...C^xn49（x+球=。9©+C；x+..G］，al0（x+=

910

+C'x+...+C>+O）-oin

10101010，根据已知条件得/的系数为0,储。的系数为

%，+40,Go—0eta=—10

।故选D.

=1。10=1

【题型八】三项展开式

【典例分析】

在（l+x+强严的展开式中，/项的系数为（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【解析】把X+$看做一个整体，即可得到（i+x+&y。的通项公式为：0+/=c"（x+/r］'，再求出

XxIX）

［+击）的通项公式7上/=C・X〃02%,再结合条件列式即可得解.

【详解】在（l+X+，y°的展开式中，通项公式为"+/=『.Q+*J.

对于（x+z'o］，通项公式为7左+/=叫:，任厂，八kGN,心10.

令”20214=2,可得，=2+2021%,故左=0,厂=2,

故N项的系数为CQC；=45,故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

三项展开式的通项公式:

n!

、%+%+,.•+《”r的通项4;球a；..。/

X]!!…%

【变式演练】

1.下列各式中，不是(。2+20-6)的展开式中的项是()

A.8/B.6a4£>2C.-32a%D.—24a3b2

【答案】D

【分析】根据题意多项式展开式中，有一个因式选2a,有2个因式选-6,其余的2个因式选片,有I个因

式选-6,剩下的3个因式选2a,分别计算所得项，即可得到结果.

【详解】(/+2°-6)4表示4个因式的乘积，在这4个因式中，有一个因式选2a,其余的3个因

式选所得的项为©；*2次：卜(/)3=8〃7,所以8/是(/+2。一方『的展开式中的项，在这4个因式中，

22

有2个因式选-6,其余的2个因式选/，所得的项为C；x(-Z))xC；x(a丫=6aV,所以6a芍是(/+2a-b^

的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选-6,剩下的3个因式选2a,所得的项为

C；x(_6)xC；(2a)3=_32/6,所以一32/6是(/+2”6丫的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式

选-从其余的2个因式中有一个选力，剩下的一个因式选2°,所得的项为

C；xxC；x/xC：x(2a)=24a3Z>2,所以一24a%2不是+2。一方了的展开式中的项.

故选:D.

2..^+1-^的展开式中，5的系数为()

A.60B.-60C.120D.-120

【答案】A

【分析】设G+1-2］的通项为*=c'6(x-2尸，设(无二厂的通项为如=(_2y％尸-5-*,即得解.

Iy)yy

【详解】解：设，+1-，的通项为&I=尸，

设(、—-严的通项为%=C_/6i(—y=(-2)y3―勺k,

yy

令左=2,6—r—左=4,.,.左=2/=0.

所以《的系数为C：(-2)2或=60.

y

故选：A

3.(2。-36+cP展开式中026c$的系数是.

【答案】-2016

【分析】结合乘法运算以及组合数的计算求得正确答案.

【详解】(2a-3b+c)8的展开式中，含有"庆5的项为：

C；(2a)2©(-3b)i•*=-2016a2bc5,

所以(2。-36+c)8展开式中/儿5的系数是-2016.

故答案为：-2016

真题再现

1.（江苏•高考真题）设左=1,2,3,4,5,则（x+2）5的展开式中/的系数不可能是（）

A.10B.40C.50D.80

【答案】C

【分析】得到展开式的通项公式，求出左=1,2,3,4,5时的系数，选出答案.

5

【详解】（x+2）展开式的通项公式为Tr+l=C"5T,才，

5

当r=0时，Tx=C°X-2°=X\系数为1,

当厂=1时，7；=C；X4-2=10X4,系数为10,

当r=2时，7；=C*3.4=40X3,系数为40,

当厂=3时，7；=C^2-8=80X2,系数为80,

当厂=4时，q=C；x-16=80x,系数为80,

故系数不可能是50.

故选：C

32322

2.（全国,高考真题）（2x+V3）=aQ+a1x+a2x+a3x,贝!］（4+g）-（%+%）的值为（）

A.-1B.1C.0D.2

【答案】A

【分析】分别令x=l和x=-l,然后所得两式相乘可得.

【详解】令x=1得4+%+电+%=（2+仆丫，

令x=-1彳导%-%+a,-%=（-2+>J-3了，

-

以（。0+。2）”一（%+。3）~=（。0+%+。2+4）（。。—%+。2—。3）=（2~^/―3）3（—2-h/3）3=（3—4）、=—,

故选：A.

3.（2022・北京•统考高考真题）若（2x-l）4=4/+//+出/+。逮+旬，贝！］%+/+%=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【分析】利用赋值法可求/+%+。4的值.

【详解】令x=l,则。4+。3+。2+%+。0=1，

令"x=一］,贝！J%一2+%-％+4=（—3）—81?

山1+81”，

RX%+。2+。0=~=41,

故选：B.

4.（2020•全国•统考高考真题）3+：0+城的展开式中/好的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【分析】求得（x+y）5展开式的通项公式为（reN且rW5）,即可求得，+户］与（x+yp展开

式的乘积为Gfry或形式，对「分别赋值为3,1即可求得//的系数，问题得解.

【详解】（X+4展开式的通项公式为（「©双且『45）

所以“+的各项与（x+炉展开式的通项的乘积可表示为：

22

5rr+2

xTr+l=xc5x-y=Gfry和匕j=匕=q^-y

XX

*3*3

在x&j=C"6-，y中，令厂=3,可得：xT4=Clxy,该项中丁;？的系数为10,

22

在二（+l=Gx4ry+2中，令r=1,可得：乙乙二。％3y3,该项中//的系数为5

XX

所以尤3y3的系数为10+5=15

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属

于中档题.

5.（浙江,高考真题）若多项式X?+/=/+%（芯+1）+...+°9（x+l）9+%0（x+l）;则%=（）

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

【解析】利用二项式定理的系数，先求”的系数，再由。g•2+%（,C=可求/的系数，即可得答案.

【详解】多项式X?+*1°=00+0]（X+1）+...+09（x+1）9+°10（x+l）'°>

等号右侧只有最后一项阳（X+1）10的展开式中含有”，并且一的系数为可。，等号左侧小。的系数是1,

1

«10=；

又x9的系数在右侧后两项中，x9的系数为%•C；+%广C>左侧一的系数是0,

tz9+10=0,a9=—10.

故选：D.

【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，搞清各项系数是解决本题关键，属于中档题.

Cx，丫

6.（・辽宁•高考真题）依-2x”的展开式中常数项是.

\7

【答案】-160

【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.

/1_1>6*8（di_y

【详解】Ix2-2x^I的展开式通项为L=C；卜2）&",其中reN,V6,

令3f=0=>3=厂，故常数项为C；（-2）'=C：（-2）3=-160,

故答案为：-160

7.（湖北•高考真题）已知Q+X。的展开式中各项系数的和是128,则展开式中十的系数是

\7

.（以数字作答）

【答案】35

63-1U人63—11人「

【分析】令X=1得展开式中各项系数的和2"，求得〃=7,整理展开式中的通项为c.xk，令6=5

得太=3,从而求得/的系数C]

（3XV

【详解】令X=1得q+xF的展开式中各项系数的和2"=128,所以〃=7；

Jk

（l\~（_1V63—11左人63—11左一/口，-〜…口什…,〈入/叱口17x6x5_

由％=C；/：X3=厂令""=5得左=3,所以展开式中/的系数是C；=H^=35

故答案为：35

8.（2022・全国•统考高考真题）的展开式中V/的系数为（用数字作答）.

【答案】-28

【分析】11-口（》+田8可化为仁+了丫心门+姆，结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为1炉=(x+姆一2(x+y;,

2

所以1l-£|(x+y)8的展开式中含一y6的项为cW-/c；xV=_28x/,

(l-?](x+y)8的展开式中/「的系数为一28

故答案为：-28

4234

1.(1+x)=a0+QjX+a2x+a3x+a4x,贝Ija。-q+&-%+%=()

A.1B.3C.0D.-3

【答案】C

【分析】根据展开式，利用赋值法取x=-l即得.

4234

【详解】因为(1+x)=a0+axx+a2x+a3x+a4x,

令X=—],可得,—Q]+&—/+。4=(1—1)=0.

故选：C.

2.设。为实数，甲：“=1；乙：(X+〃)4二项展开式常数项为1.则甲是乙成立的()条件

A.充分但不必要B.充要

C.必要但不充分D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】求出(尤+。)4展开式的常数项，即可得出结论.

【详解】(X+4展开式中的第％+1项为C/x"*左=0,1,2,3,4.

当左=4时，该项为常数项，常数项为C：•/=/.

显然，当a=l时，(z4=1；当/=i时，a=±l.

所以，甲是乙成立的充分但不必要条件.

故选：A.

3.已知的展开式中二项式系数的和是1024,则它的展开式中的常数项是(

A.252B.-252C.210D.-210

【答案】B

【分析】求解先求出n,在利用通项公式求解

【详解】由的展开式中二项式系数的和是1024,故2"=1024,所以”=10.

由二项式定理得展开通项为=C；(-)I0-r(-x)r,

0X

当r=5时为常数项，76=-。=-252

故选：B

4.1l+£|(l+x)4的展开式中含Y项的系数为()

A.10B.12C.4D.5

【答案】A

【分析】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.

【详解】(1+娉的二项展开式的通项为C；，，

当厂=2时，(1+-)(1+x)4的展开式中含/项为1.C；/；

当;•=3时，(1+-)(1+x)4的展开式中含/项为d).c>3.

XX

所以(l+3(l+x)4的展开式中含V项的系数为C；+C：=1O.

X

故选：A.

5.(2/+了+1丫的展开式中项的系数为()

A.120B.160C.180D.210

【答案】A

42

【分析】将(2/+y+1看作5个因式2/+/+1相乘，根据xy的指数可认为5个因式中有两个选2/项，

其余两个选外最后一个因式选1,进行相乘，可得答案.

【详解】由题意(2/+y+l7的展开式中尤V项的系数为C；X22XC；=120,

故选：A

6.若二项式+(a>0)的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常数项为()

A.10B.15C.25D.30

【答案】B

【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解。=1,由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.

【详解】令x=l,则所有的项的系数和为(。+1)6=64,由于。>0,所以。=1,

口+5)展开式的通项为却=C"ix."=C"6f,故当6-3厂=0时，即厂=2,此时展开式中的常数项为

晨=15,

故选：B

7.(1+2X-Y)"展开式中各项系数的和为64,则该展开式中的尤3项的系数为()

A.-60B.-30C.100D.160

【答案】C

【分析】先用赋值法求得项数小由于原式为三项式，需将l+2x作为整体进行二项式展开，从原式展开式

中取出前两项再进行展开，分别求出包含V项和x项的系数，最后代回原式求和即可.

【详解】取x=l代入，得(1+2-1)"=64,解得〃=6

则原式=(1+2X-x2)6=C；(1+2以+c