2024年高考数学一轮复习：复数 专项讲义（原卷版+解析）

第3讲复数

|■^知识梳理

知识点1复数的概念及代数表示

L数系扩充的脉络

自然数集一整数集一有理数集T实数集一复数集.

2.复数集

①定义：全体复数所成的集合叫做复数集.

②表示：通常用大写字母C表示.

3.复数

①定义：把集合C={a+历|a,BCR}中的数，即形如。+历(a,BCR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.满

足i2=-La叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.

②表示方法：复数通常用字母上表示，即z=a+历(a,5GR),这一表示形式叫做复数的代数形式.

注：复数概念的三点说明

⑴复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a+历3,万6R)的形式，其中0=0+0i.

⑵复数的虚部是实数2而韭砥

(3)复数z=a+历只有在a,OCR时才是复数的代数形式，否则不是.

易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？

当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.

知识点2两个复数相等的充要条件

在复数集C={a+历|a,5GR}中任取两个数。+历，c+di(a,b,c,d&R),我们规定：a+历与c+di相等

的充要条件是a=c且b=d.

注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a,b,c,dCR,即当以b,c,dCR时，a+bi=c+

diu»=c且Z>=d.若忽略前提条件，则结论不能成立.

⑵利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实''的目的，从而将复数问题转化为实数问题来

求解.

知识点3复数的分类

对于复数a+初(a,beR),当且仅当3=0时，它是实数；当且仅当a=5=0时，它是实数0；当时，它叫

做虚数；当a=0且〃#0时，它叫做纯虚数.

实数9=0)

(1)复数(“+历，a,Z(GR),'纯虚数(a=0)

虚数(厚0)

.非纯虚数(存0)

(2)集合表示:

知识点4复数的几何意义

1、建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复壬面，x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实

数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

⑴复生面内点的坐标与复数实部虚部的对应:点Z的横坐标是a,纵坐标是从复数z=a+万(a,6GR)可

用点Z(a,Z>)表示.

(2)实轴与复数的对廛：实轴上的点都表示实数・

(3)虚轴与复数的对应:除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定

的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.

2、复数的几何意义

(1)复数的几何意义——与点对应

复数的几何意义1：复数z=a+6(a,。e尺),一一对应，复平面内的点Z(a,6)

(2)复数的几何意义——与向量对应

复数的几何意义2：复数z=a+6“a,beR)二一一对应，平面向量OZ=(a,6)

历(。力ER，

一一对应「一对应

复平面内向量OZ、

的点(起点为原

一一对应

Z(a,Z7)、点。)/

注：复数的几何意义

这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以

用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径.

⑴复数z=a+万3，万GR)的对应点的坐标为3,b而不是3,M)；

(2)复数z=a+沉(a"GR)的对应向量或是以原点。为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与龙

相等的向量有无数个.

知识点5复数的模

复数z=a+历3,%GR),对应的向量为龙，则向量龙的模r叫做复数z=a+〃的模，记作团或|。+时|.由

模的定义可知：|z|=|a+Z>i|=r=y]a2+b2(r>0,r£R).

注：(1)数的角度理解:复数a+历3,BGR)的模|a+历尸后彳，两个虚数不能比较大小，但它们的模表

示实数，可以比较大小.

(2)几何嵬度理解：表示复数2=。+应在复平面上对应的点ZQ力到原点的距离；特别的，匕=0时，复数

z=a+应是一个实数，它的模就等于Ia1(。的绝对值).类比向量的模可进一步引申：比一0|表示复数Zia

对应的点之间的距离.

(3)复数z的方程在复平面上表示的图形

①好闵砂表示以原点O为圆心，以a和匕为半径的两圆所夹的圆环；

②上—3+历)|=r(r>0)表示以3,⑸为圆心，r为半径的圆.

知识点6复数代数形式的加减法

1、运算法则

设Zi=a+历，Z2=c+di是任意两个复数，那么(a++)+(c+di)=(a+c)+(Z>+rf)i,(a+历)一(c+di)=(a—c)

+Q—d)i.(两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.)

2、加法运算律

对任意Zj,Z-,,ZjGC>有Zj+Z，2—Zj+Zj,(Z[+Z2)+Z3=Z]+(Z2+Z3).

注：对复数的加法、减法运算应注意以下几点

⑴一种规定:复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；

特殊情形:当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致.

(2)运算建：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.

(3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数•

3、复数加减法的几何意义

M

复数加法的向量加法的受坦1复数Zl+北是以龙1,龙2为邻边的平行

几何意义边形法则四边形的对角线龙所对应的复数]

复数减法的向量减法的三鱼避复数Zl—Z2是从向量应2的终点指向向

几何意义A

量应1的终点的向量方公所对应的复数

知识点7复数的乘除法及其运算律

1、复数的除法

(1)复数的乘法法则

设zi=a+历，Z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积

(a+历)(c+di)=(ac-瓦Z)+(ad+Z>c)i.

(2)复数乘法的运算律

对于任意Zl，Z2，Z3GC,有

交换律Z1Z2—Z2Z1

结合律(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3)

乘法对加法的分配律Zi(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3

注：对复数乘法的三点说明

⑴类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、

虚部分开片换成一1).

(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.

(3)常用结论

①(a士历)2=层±2而i-庐(a,Z»ER)；

®(a+bi)(a-bi)^a2+b2(a,Z>GR)；

③(l±i)2=±2i.

④j4"=l,j4"+l=i,i4n+2=_1>i4"+3=_i(〃GN).

⑤

i4"+i4"+l+i4"+2+i4"+3=0(〃eN).

2、共物复数

(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共物复数.虚部不等于0的两

个共轲复数也叫共朝虚数

(2)表示：z的共轨复数用z表示，即若z=a+历(a,Z(CR),则z—a—bi

注：共趣与模是复数的重要性质，运算性质有：

22

(l)zl±z2=zl+z2；(2)z1xz2=z1xz2；(3)z-z=|z|=|z|；(4)忖—㈤归归士/《㈤+㈤；

z

⑸上闯=卜卜闯；(6)i=牛”|=1z

Z2

3、复数的除法

(1)复数的除法法则

a+历ac+Z>d।be-ad：

设+历，

zi=aZ2=c+di(c+d#0),c+dic2+摩c2+(P1"

注：对复数除法的两点说明

①实数化：分子、分母同乘以分母的共加复数c—办化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化,

这与根式除法的分母“有理化”很类似.

②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.

特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化.

(2)记住以下结果，可提高运算速度：①(1+评=方，(l-i)2=-2i；②岳=-3罟="@|=-i.

知识点8复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值

1、复数的三角表示式

(1)定义：

r(cos8+isin，)叫做复数z=a+历的三角表示式,简称三角形式.其中，r是复数z的模；，是以x轴的

非负半轴为始边，向量成所在射线(射线0Z)为终边的角，叫做复数z=a+历的辐角.为了与三角形式区分

开来，。+历叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连

(2)非零复数z辐角，的多值性

以x轴正半轴为始边，向量也所在的射线为终边的角3叫复数z^a+bi的辐角，因此复数z的辐角

是，+2M(&ez)(«ez).

(3)辐角主值

①表示法：用argz表示复数Z的辐角主值.

②定义：适合［0,2力的角，叫辐角主值.即0Wargz<2m

③唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的.

2、复数的代数形式与三角形式的互化

复数z=a+bi=r(cos，+isin，)的两种表示式之间的关系为<b=r-sm0,

,r=yja2+b2.

注：复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将

复数的三角形式和代数形式进行互化.

复数的代数形式化三角形式的步骤：

①先求复数的模；

②决定辐角所在的象限；

③根据象限求出辐角(常取它的主值)；

④写出复数的三角形式.

3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件

两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等.

4、复数三角形式的乘法及其几何意义

设Z]、z?的三角形式分别是：=/](cos^+zsin^),z2=^(cos6^,+zsin6,).

rr

贝!-z2~\2[cos(q+60+7sin(q+6^)]

简记为：模数相乘，幅角相加.

几何意义：把复数z对应的向量oz绕原点逆时针旋转2。的一个辐角，长度乘以z0的模，所得向量对

应的复数就是z・z0.

5、复数三角形式的除法及其几何意义

设Z]、z2的三角形式分别是：z1=r1(cos^+zsin^),z2=r2(cos^+zsin^).

则Z14-Z2=4「cos(a_&)+isin(a-2)].

LJ

一r2-

简记为：模数相除，幅角相减

几何意义：把复数z对应的向量oz绕原点顺时针旋转z0的一个辐角，长度除以z0的模，所得向量对

应的复数就是三7.

Z0

含,高频考点

复数的运算r

卜考点三复数的四则运算纯虚数

复数范围内方程根的问题,

非纯虚数

考点四复数的几何意义

第

真题热身

2—i

1.(2U23•新问否11，旻奴1回内MJ曳总历任叫家P艮为()

1-3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.(2023•北京)若复数z满足(1-i)•z=2,则N==()

A.-1-iB.1+iC.1-iD.1+i

3.(2023•浙江)已知a£R,(1+切)i==3+i(力为虚数单位)，则a=()

A.-1B.1C.-3D.3

4.(2023•乙卷)设2(z+力+3(z-z)=4+6i,则z=()

A.1-2iB.1+2/C.l+iD.1-i

5.(2023•新高考I)已知z=2-1,则z(z+/)()

A.6-2iB.4-2ic.6+2iD.4+2i

6.(2023•甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z=()

33-加n3.

A.-1-JiB.-l+.il

c.2十'D.~2~

7.(2023•北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则丽=()

A.l+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i

8.(2023•新课标I)若z=1+2在汽则团=()

A.0B.1C.V2D.2

9.(2023•新课标I)若z=l+i,则|z2-2z\=()

A.0B.1C.V2D.2

10.(2023•新课标D)(1-i)4=()

A.-4B.4C.-4iD.4i

考点一复数的有关概念

解题方略：

酸宜丽怒病丽冻藐熹询

⑴求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=“+历3,6GR),则该复数的实部为a,

虚部为b；

⑵求一个复数的共朝复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复

数的共物复数.复数zi=a+历与Z2=c+di共物0z=c,b=-d(a,b,c,dWR).

⑶复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为

代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.所以解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,

OCR)的形式，以确定实部和虚部.

①复数是实数的条件:①z=a+bieR<=i>=O(a,beR)；②zeRo=N;③zeR«K2>0.

②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数ua=0且由^⑺方仁2:②％是纯虚数C+N=0(z#));③z是纯虚数

—<0.

（-）复数的实部与虚部

【例1-1］（2023•黑龙江•哈尔滨三中三模（理））已知i为虚数单位，则复数z=1■的虚部是（）

1—1

A.-iB.-1C.2D.2i

【例1-2］（2023•全国•赣州市第三中学模拟预测（理））已知复数z=l+2i,那么d的虚部为（）

A.-3B.-3iC.4D.4i

【例1-3］（2023•江西•南昌十中高三阶段练习（文））复数，满足=则复数z的实部是（）

A.-1B.iC.—iD.—

22

【例1-4】（2023•安徽•巢湖市第一中学高三期中（文））设复数;的实部与虚部分别为则6=（）

-3-1

A.-2B.-1C.1D.2

3_Ai

【例1-5】（2023•天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知复数z=~（beR）的实部和虚部相等，

贝（l|z卜•

【题组练透】

1、（2023•福建南平•三模）已知复数z=2+j,则复数z的虚部为（）

2+1

11812

A.一—B.-C.-D.—

5555

2、（2023•四川•内江市教育科学研究所三模（文））若复数z满足z（l+i）=l-i,则z的虚部为（）

A.-iB.-1C.iD.1

3、（2023•河南•宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知i是虚数单位，若复数z=W（aeR）的实部是虚

部的2倍，则4=（）

4、（2023•陕西陕西•二模（理））设复数z满足|z|=|z-l|=l,且z的实部小于虚部，则2=（）

A61.口1石.

2222

rV31.n1

C.-----1D.—d---1

2222

（二）共轨复数

【例1-6］（2023•山东泰安•三模）已知复数z=——,i为虚数单位，则z的共物复数为（）

【例1-7］（2023•安徽黄山•二模（理））已知复数z满足d+i）z=3+2i,贝氏的虚部为（）

【例1-8］（2023•重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知a,bwR,i是虚数单位，若“-2i与3-历互为共辗复

数，则（。+历）2=（）

A.5+6iB.5-6iC.5+12iD.5-12i

【例1-9］（2023•河南商丘•三模（理））已知z=l-《，贝「在复平面内对应的点位于（）

r

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）已知复数z满足z-（2-i2）=i+l,则共朝复数三在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2、【多选】（2023•全国•高三专题练习）已知复数z,则下列结论正确的是（）

A.z+W是实数B.|z|=|z|C.z」是纯虚数D.|z|2=z2

3、（2023•全国•高三专题练习）已知i为虚数单位，复数z“z2在复平面内对应的点关于原点对称，且z=3-2i,

贝UZ2=•

（三）复数相等

【例1-10】（2023•山西晋中•模拟预测（理））已知aeR,（2+ai）i=l+2i（i为虚数单位），贝!等于（）

A.1B.-1C.2D.-2

【例1-11】（2023•全国•高三专题练习）已知i是虚数单位,若云^=a+6i（a,beR）,贝！Jlg（，+b）的值为.

【例1-12】（2023•陕西咸阳•三模（理））设（l+i）x=l+W,其中i为虚数单位，羽，是实数，则,+训=（）

A.1B.V2C.6D.2

【例1-13］（2023•浙江•高三专题练习）已知复数4=m+（4—根2）iw,

z2=2cos0+（2+3sin0）i（2,O^R）,并且4=%，则之的取值范围是（）.

【题组练透】

1、（2023•河南洛阳•三模（理））已知色了=6+1（〃/£对，其中i是虚数单位，贝!Ja+b=（）

A.3B.1C.-1D.-3

/7h

2、（2023•全国,高二专题练习）已知Q/ER,----1----=1贝！!〃+/?=（）

1+zl-i9

A.2B.小C.后D.1

3、（2023•全国•高三专题练习（理））若复数Z1=sin2e+icos。，z?=cosO+i6sing（6>GA）,=z2,则

。等于（）

JI

A.kn（左cZ）B.lk7i-\—（GZ）

k

JTTT

C.2kn±-（左£Z）D.2k兀+—（左wZ）

k6

（四）复数分类

【例1-14］（2023•全国•高三阶段练习（理））已知复数2=a-历（i为虚数单位，6eR）为实数，贝!）6=

2+1

（）

A.-1B.0C.1D.2

【例1・15】（2023•云南•昆明一中高三阶段练习（文））若（2+i）（a-i）>0,其中awR,i为虚数单位，则实

数〃的值为（）

A.4B.3C.2D.1

【例1.16】（2023•全国,高三专题练习（文））若z=/n+2+而为纯虚数，其中meR,则^~-=（）

z

A.---2iB.--+2i

22

C.-+2iD.--2i

22

【例1・17】（2023•全国•高三专题练习（理））已知命题〃：〃=-1,命题,复数z=二为纯虚数，则命题

“是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【题组练透】

1、（2023•浙江•慈溪中学模拟预测）已知复数，满足z（2-i）=“+i（其中。为实数，i为虚数单位）.若zeR,

则实数〃=（）

A.-2B.--C.《D.2

22

2、Q023・浙江•舟山中学高三阶段练习）若复数z=e（2eR.i为虚数单位）是纯虚数,则实数2的值

为（）

A.3B.-3C.12D.-12

3、（2023•宁夏•银川一中二模（理））已知i为虚数单位，复数z满足iz-5为纯虚数，贝!Jz的虚部为（）

A.5B.5iC.-5iD.-5

4、（2023•江苏•华罗庚中学高三阶段练习）若马,4为复数，贝！|“z-Z2是纯虚数”是“为,为互为共飘复数”

的（）

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

（五）待定系数求复数

【例1-18］（2023•全国•高三专题练习）已知复数二满足z（l+2i）=i（l+z）,贝！|z=（）

A.-+-iB.---iC.1+iD.1-i

2222

【例1-19］（2023•云南昆明•模拟预测（文））已知复数z满足z+W=2,且（z二）"=4,则|z|=（）

A.V2B.73C.2D.75

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习（文））设2（z-7）+12=3（z+7）+8i（i为虚数单位），则复数二的虚部为（）

A.2iB.2C.-2iD.-2

2、（2023•河北•高三阶段练习）已知复数z满足条件z・z+z=6+2i,则恸=（）

A.75B.272C.石或2&D.若或新

3、（2023•新疆•三模（理））若复数z满足z1+2z=l+20i.则z等于（）

A.-l+72iB.-1-V2iC.1+V2iD.1一幅

4、（2023•福建宁德•模拟预测）若,（l+i）卜通，则zl的值为（）

A.拒B.2C.73D.3

考点二复数的模

解题方略：

（1）复数的模

设成对应的复数为z=a+历，则向量应的长度叫做复数z=a+Z>i的模，|z|=|a+M|=

y!a2+b2

（2）两个复数的差的模|Z「Z2I的几何意义

两个复数的差的模Iz-z21的几何意义是：复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.

即设复数Z1^a+bi,z2=c+力（a,4c,deR）在复平面内对应的点分别是A（a,Z?）,5（Gd），贝!J

\Z-Z2\^\AB\=4a_c¥+d¥

一般地，设复数Z]=a+bz；Z2=c+di（a,b,c,deR）对应的点分别是,则复数z对应的

点Z的轨迹如下：

①若|z—z"=r,则为圆；

②若（<|z-2，则为圆环，但不包括边界；

③若|Z-Z]|=|2-Z21,则为垂直平分线；

④若|z-zj+lz-z2|=常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于

AB时，不存在；

⑤若|z-z?|=常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数

小于AB时，为双曲线的一支.

一口病薮版

【例2-1]（2023•天津三中二模）已知复数2=曰，贝!1口|=___________.

2+1

【例2-2]（2023•北京市十一学校高三阶段练习）若复数z满足z+37=4-2i,则|z|=（）

A.1B.2C.V3D.V2

【例2-3】【多选】（2023•江苏•新沂市第一中学模拟预测）若4,z?为复数，则（）

A.Z+Z2=Z+Z2B.ZjZ2=z,z2

C.Z/=|zjD.Z[Z]=[Z]|同

【题组练透】

1、（2023•重庆南开中学模拟预测汨知复数z满足：（l+2i）z=3-4i（i为虚数单位），则复数z的模忖=（）

A.1B.V3C.2D.75

2、（2023•陕西西安•三模（理））已知复数z满足z（l-i）=2i,则|z+i卜（）

A.41B.A/5C.y/10D.V13

z

3、（2023•山西•模拟预测（文））已知z=—l+2i,贝！|彳+二=（）

1

A.0B.1C.2D.72

4、（2023•上海市实验学校高三阶段练习）已知复数二满足z（l+i）=2/i（reR）,若目=20,贝"的值为

（-）求点的轨迹

【例2-4】（2023•云南师大附中高三阶段练习（文））设复数z满足Iz-1|=2,z在复平面内对应的点为（x，y）,

则（）

A.（x-l）2+y2=4B.（X+1）2+/=4C.x2+（y-l）2=4D.x2+（y+l）2=4

【例2-5］（2023•广东•金山中学高三阶段练习）已知复数z满足2-3+4=忖，若z在复平面内对应的点为

（%、），则（）

A.6x-4y+13=0B.6x-4y+5=0

C.6x-4y-13=0D.6%+4y+13=0

【例2-6］（2023•江苏南通•模拟预测）已知复数z满足14-（一）/2,则复数z在复平面内对应的点Z所

在区域的面积为（）

A.nB.InC.37rD.47r

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习（理））若复数z满足Iz+l-i|=|l-i|,其中i为虚数单位，则z对应的点（x,y）满

足方程（）

A.（x-l）2+（y-l）2=2B.（x-l）2+（y+l）2=2

C.（x+l）2+（y-l）2=2D.（x+l）2+（y+l）2=2

2、（2023•全国•高三专题练习）复数z满足|z-（5+5i）|=2,则z在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3、（2023•全国•高三专题练习）若复数z满足|z-l+i|=3,则复数z对应的点的轨迹围成图形的面积等于（）

A.3B.9C.67tD.9兀

（三）求模的最值

【例2-7］（2023•江西萍乡•二模（理））复数二满足|”例=1,则忖的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

【例2-8］（2023•陕西•长安一中模拟预测（理））已知i是虚数单位，复数z满足忖=1,则|z+l+i|的最小值

为（）

A.72-1B.y/2C.2>/2-2D.1

【例2-9】（2023•湖南•岳阳一中一模）若i为虚数单位，复数z满足忖VI,则|z-（l+i）|的最大值为（）

A.后-1B.y/2C.V2+1D.2V2

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）若复数z满足zi=l，贝!llz-2i|的最大值是.

2、（2023•全国•高三专题练习）如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+l|的最小值是（）

A.1B.gC.2D.5/5

3、（2023•广东茂名•模拟预测）设复数4，Z。满足121T=1,卜+到=2,则|z「Zz|的最大值为（）

A.3+2石B.2MC.6D.3+V10

考点三复数的四则运算

解题方略：

1、复数代数形式运算问题的解题策略

在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则（实部与实部相加减，

复数的加减法

虚部与虚部相加减）计算即可

复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不

复数的乘法

含i的看作另一类同类项，分别合并即可

复数的除法的关键是分子分母同乘以分母的共轨复数，解题中要注意把i的募写成最简形

除法式

；2、复数范围内实系数一元二次方程ax2+Bx+c=0（存0）的求根公式为

、“.—b±\lb2—4ac

（1）当/K）时，x=-------看-----；

-b±\j-（b2—4ac）i

（2）当/<0时，x=2a.

注：实系数方程的虚数根必共物成对出现

3、复数范围内解方程的一般思路是：

依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解.对于一元二次方程，也可以利用

求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的（依然满足韦达

定理）.注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解.

注：由于虚数单位i的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.

4、在含有z,z,|z|中至少两个的复数方程中，可设z=a+bi,a,bGR,变换方程，利用两复数相等的充

要条件得出关于a,b的方程组，求出a,b,从而得出复数z.

（-）复数的运算

【例3-1］（2023•陕西宝鸡•二模（理））若z（l+i）=l-i,则z=（）

A.1-iB.1+iC.-iD.i

【例3-2］（2023•河北•高三阶段练习）已知复数z=2+i,则二=()

z-i

13.

A.l+-iB.---------1c•泊D.l--i

2442

【例3-3］（2023•全国•高三专题练习）i为虚数单位，复数z满足z（2-i）=i2022,则下列说法正确的是（）

..1„,21.

A.\z\=—B.z=---------1

11555

C.Z的虚部为一5D.Z在复平面内对应的点在第三象限

【题组练透】

1、（2023•贵州贵阳•二模（理））已知i为虚数单位，复数Z满足(l+i)2-z=4,贝！］z=(

A.2B.2iC.-2D.-2i

z+3

2、（2023•福建莆田•三模）若复数z=l+2i,则一二=（)

Z+1

A.1-iB.3-iC.l+3iD.3+3i

/।•\2022

3、（2023•江苏•新沂市第一中学模拟预测）复数号=()

A.iB.-iC.1D.-1

（二）复数范围内方程根的问题

【例3-4】（2023•四川•宜宾市教科所三模（理））已知i是虚数单位，1+i是关于x的方程d-2x-租=0（meR）

的一个根，则机=（）

A.4B.-4C.2D.-2

【例3-5］（2023•全国•高三专题练习（理））已知复数3-2,是关于x的方程2/7侬+〃=o的一个根，则实

数m,n的值分别为（）

A.6,5B.12,10C.12,26D.24,26

【例3-6］（2023•全国•高三专题练习）已知方程「+x+”=0（”eR）有两个虚根若卜-4=3,则加的

值是（）

A.—2或—B.—2C.—D.—

222

【例3-7】（2023•全国•高三专题练习）若关于x的实系数一元二次方程d-”+3根-8=0有两个共物虚数根,

则m的取值范围是.

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）设6、ceR,若2-i（i为虚数单位）是一元二次方程尤?+法+C=。的一个

虚根，贝！1（）

A.6=4,c=5B.b=4,c=3

C.b=T,c=5D.b=T,c=3

2、（2023•全国•高三专题练习）若l-i是实系数一元二次方程Y+px+4=0的一个根，则夕4=.

3、（2023•山东枣庄•一模）设4，Z2是方程f+x+l=0在复数范围内的两个解，贝!I（）

A.\zt-z2\=s/2B.团=0

1

C.Zj+z2=D.ZjZ2=1

考点四复数的几何意义

解题方略:

对复数几何意义的再理解

⑴复数z、复平面上的点Z及向量市相互联系，即々="+历（a,5GR）电（a,b）^OZ；

⑵由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时

可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

【例4-1］（2023•山东•德州市教育科学研究院二模）已知i是虚数单位，a,6均为实数，且竽丝=l-i,则

3+1

点（a,m所在的象限为（）

A.-B.二C.三D.四

【例4-2］（2023•四川南充•三模（理））若复数z=3,则z在复平面内对应的点在第象限.

【例4-3］（2023江西省景德镇一中月考）在复平面内，平行四边形ABC。的三个顶点，A,B,C对应的

复数分别为—l+2i,3-i,l+2i（i为虚数单位），则点。对应的复数为（）

A.-3+5iB.1-iC.l+3iD.-3+i

【题组练透】

1、（2023•山东泰安•二模）已知复数z=普，i是虚数单位，则复数之一4在复平面内对应的点位于（）

1-21

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2、（2023•贵州毕节•三模（理））已知复数z在复平面内对应的点与复数3-2i在复平面内对应的点关于虚轴

对称，则复数z的共物复数7=（）

A.3+2iB.2-3iC.-3-2iD.-3+2i

3、（2023•宁夏•石嘴山市第一中学三模（理））设复数z=a+历（a,6>0,a,beR）,若复数z（l+i）对应的点在

直线x+3y-2=0上，贝!］女2+；1的最小值为___________

ab

4、（2023•湖南岳阳•三模）已知复数z在复平面内的对应的点的坐标为（-2,1）,则下列结论正确的是（）

A.复数z的共物复数是2-iB.z-i3=-l+2i，

C.目=5D.z2的虚部是~4

第3讲复数