高三数学步步高（理）第三编 导数及其应用

第三编导数及其应用§3.1变化率与导数、导数的计算基础自测1.在曲线y=x2+1的图像上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为（）A. B.C. D.答案C2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则等于（）A.cos2x-cosx B.cos2x-sinxC.cos2x+cosxD.cos2x+cosx答案C3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式x＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是 （）A.af(b)＞bf(a)B.af(a)＞bf(b)C.af(a)＜bf(b)D.af(b)＜bf(a)答案B4.（·辽宁理，6）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为 （）A.B.［-1，0］C.［0，1］D.答案A5.(·全国Ⅱ理，14)设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=.答案2例1求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解∵Δy=例2求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）解(1)∵∴（2）方法一y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴=3x2+12x+11.方法二=(x+3)+（x+1）（x+2）=+（x+1）］（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=∴（4），∴例3求下列函数的导数：（1）y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.解（1）设u=1-3x,y=u-4.则x=u·x=-4u-5·（-3）=.(2)设y=u2,u=sinv,v=2x+,则x=u·v·x=2u·cosv·2=4sin（2x+）·cos（2x+）=2sin（4x+）.(3)=(x)′=·+x·（)′=+.例4（12分）已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4.2分∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4分（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=|=.6分∴切线方程为即8分∵点P（2，4）在切线上，∴4=即∴∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.12分1.求y=在x=x0处的导数.解2.求y=tanx的导数.解3.设函数f(x)=cos()(0＜＜).若f(x)+是奇函数，则=.答案4．若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.答案2或一、选择题1.若则等于 ()A.-1B.-2C.1D. 答案A2.（·全国Ⅰ理，7）设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于（）A.2B.C.D.-2答案D3.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A.B.C.D.答案B4.函数f(x)、g(x)在区间［a，b］上满足·g(x)＞f(x)·且g(x)＞0，则对任意x∈（a,b)都有 （）A.f(x）·g(x)＞f(a)·g(b)B.f(x)·g(x)＞f(b)·g(b)C.f(x)·g(a)＞f(a)·g(x)D.f(x)·g(b)＞f(b)·g(x)答案C5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”的只有 （）A.B.f(x)=|x|C.f(x)=2xD.f(x)=x2答案A6.已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线条数为()A.0B.1C.2答案D二、填空题7.曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.答案8.若函数f(x)的导函数为=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是.答案三、解答题9.求下列函数在x=x0处的导数.（1）f(x)=cosx·sin2x+cos3x,x0=;（2）f(x)=（3）解（1）∴.（2）∵∴=0.（3）∵∴10.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解设曲线上过点P（x0,y0）的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则解得x0=1,所以y0=0,即点P（1，0），点P到直线2x-y+3=0的距离为，∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.11.（·海南、宁夏，21）设函数(a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.（1）求的解析式；（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解，于是解得或因为a,bZ，故．（2）证明在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为．令x=1得，切线与直线x=1的交点为．令y=x得，切线与直线y=x的交点为．直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为．所以，所围三角形的面积为定值2.12.偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图像过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解∵f（x）的图像过点P（0，1），∴e=1.①又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0，d=0.②∴f(x)=ax4+cx2+1.∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）.∴a+c+1=-1.③∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.由③④得a=，c=.∴函数y=f（x）的解析式为§3.2导数的应用基础自测1.函数y=f(x)的图像过原点且它的导函数g=的图像是如图所示的一条直线，则y=f(x)图像的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A2.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x＞0时，＞0,＞0，则x＜0时（）A.＞0,＞0B.＞0,＜0C.＜0,＞0D.＜0,＜0答案B3.（·广东理，7）设R，若函数y=eax+3x，R有大于零的极值点，则（）A．a＞-3 B．a＜-3 C．a＞- D．a＜-答案B4.函数y=3x2-2lnx的单调增区间为，单调减区间为.答案5.（·江苏，14）f(x)=ax3-3x+1对于x∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a=.答案4例1已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解=ex-a.（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.（3）方法一由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.例2已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0①当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21y′+0-0+y8单调递增↗13单调递减↘单调递增↗4∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为例3（12分）已知函数f(x)=x2e-ax(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).1分令＞0,即e-ax(-ax2+2x)＞0,得0＜x＜.∴f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数.①当0＜＜1,即a＞2时,f(x）在（1，2）上是减函数,∴f（x）max=f（1）=e-a.6分②当1≤≤2,即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，∴f(x)max=f=4a-2e-2.9分③当＞2时，即0＜a＜1时，f(x)在（1，2）上是增函数，∴f（x）max=f（2）=4e-2a.综上所述，当0＜a＜1时，f(x)的最大值为4e-2a,当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a-2e-2,当a＞2时，f(x)的最大值为e-a.12分例4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.解（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］.(2)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L′=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.在x=6+a两侧L′的值由正变负.所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).②当9≤6+a≤，即≤a≤5时，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3.所以答若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=(万元).1．已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图像不可能总在直线y=a的上方.（1）解由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.（2）解由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需a≥3.当a=3时，=3(x2-1),在x∈(-1,1)上，<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图像不可能总在直线y=a的上方.2.求函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解先求导数,得=4x3-4x,令=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.导数的正负以及f(-2),f(2)如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y′-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.3.（·山东理，21）已知函数f(x)=+aln(x-1),其中n∈N+*a为常数.(1)当n=2时,求函数f(x)的极值;(2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.(1)解由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1},当n=2时,f(x)=+aln(x-1),所以=.①当a>0时,由=0,得x1=1+>1,x2=1-<1,此时=.当x∈(1,x1)时,<0,f(x)单调递减;当x∈(x1,+∞)时,>0,f(x)单调递增.②当a≤0时,<0恒成立,所以f(x)无极值.综上所述,n=2时,当a>0时,f(x)在x=1+处取得极小值,极小值为f（1+）=（1+ln）.当a≤0时,f(x)无极值.(2)证明方法一因为a=1,所以f(x)=+ln(x-1).当n为偶数时,令g(x)=x-1--ln(x-1),则=1+=(x≥2).所以,当x∈［2,+∞)时,g(x)单调递增,又g(2)=0,因此,g(x)=x-1--ln(x-1)≥g(2)=0恒成立,所以f(x)≤x-1成立.当n为奇数时,要证f(x)≤x-1,由于<0,所以只需证ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则=1-≥0(x≥2),所以,当x∈［2,+∞)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增,又h(2)=1>0,所以当x≥2时,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命题成立.综上所述,结论成立.方法二当a=1时,f(x)=+ln(x-1).当x≥2时,对任意的正整数n,恒有≤1,故只需证明1+ln(x-1)≤x-1.令h(x)=x-1-（1+ln(x-1)）=x-2-ln(x-1),x∈［2,+∞).则=1-=当x≥2时,≥0,故h(x)在［2,+∞)上单调递增,因此,当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立.故当x≥2时,有+ln(x-1)≤x-1.即f(x)≤x-1.4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(x∈N+，且1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N+,且1≤x≤19).（2）=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9),∵x>0,∴=0时,x=12，∴当0<x<12时，>0,当x>12时，<0,∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305.所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x∈N+.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.一、选择题1.(·崇文模拟)已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数的图像如图所示，则（）A.f(x)在x=1处取得极小值B.f(x)在x=1处取得极大值C.f(x)是R上的增函数D.f(x)是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数答案C2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案A3.函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+∞）上一定（）A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数答案D4.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A.6B.8C.10D.12答案B5.已知f(x)=2x3-6x2+a(a是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f(x）的最小值是（）A.-5B.-11C.-29D答案D6.已知函数f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是（）A.m≥ B.m＞ C.m≤ D.m＜答案A二、填空题7.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M，m，则M-m=.答案328.（·淮北模拟）已知函数f(x)的导数=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是.答案（-1，0）三、解答题9.设a＞0,函数f(x)=,b为常数.（1）证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f(x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值.（1）证明=,令=0,得ax2+2bx-a=0(*)∵Δ=4b2+4a2>0,∴方程（*)有两个不相等的实根，记为x1,x2(x1<x2),则=,当x变化时，与f(x）的变化情况如下表：x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2（x2,+∞）-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘可见，f(x)的极大值点和极小值点各有一个.（2）解由（1）得两式相加，得a(x1+x2)+2b=.∵x1+x2=-,∴=0,即(x2+x1)(x2-x1)=0,又x1<x2,∴x1+x2=0,从而b=0,∴a（x2-1）=0，得x1=-1,x2=1,由②得a=2.10.设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）.（1）求a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调性.解（1）求导得=3x2-6ax+3b.由于f（x）的图像与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），所以f（1）=-11，=-12，即解得a=1，b=-3.（2）由a=1，b=-3得=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).由>0,解得x<-1或x>3;又令<0,解得-1<x<3.所以当x∈(-∞,-1)和(3,+∞）时,f(x)是增函数;当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.11.已知函数f(x)=x3-ax2-3x.（1）若f(x)在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=-是f(x)的极值点，求f（x）在［1，a］上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图像与函数f（x）的图像恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.解（1）=3x2-2ax-3，∵f(x)在［1，+∞）上是增函数,∴在［1，+∞）上恒有≥0，即3x2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.则必有≤1且=-2a≥0,∴a≤0.(2）依题意，=0，即+a-3=0，∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x，令=3x2-8x-3=0，得x1=-，x2=3.则当x变化时，,f(x)的变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4-0+f(x)-6↘-18↗-12∴f(x)在［1，4］上的最大值是f(1)=-6.（3）函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根∴x3-4x2-3x-bx=0，∴x=0是其中一个根，∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，∴∴存在符合条件的实数b，b的范围为b>-7且b≠-3.12.(·安徽理，20)设函数f（x）=（x＞0且x≠1）.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知2＞xa对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围.解（1）=-，若=0,则x=.列表如下：x(0，)（，1）(1,+∞)+0--f(x)单调增极大值f()单调减单调减所以f(x)的单调增区间为（0,），单调减区间为（,1）和（1，+∞）.（2）在2＞xa两边取对数，得ln2＞alnx.由于x∈(0,1)，所以. ①由（1）的结果知，当x∈(0,1)时，f(x)≤f（）=-e.为使①式对所有x∈(0,1)成立，当且仅当＞-e,即a＞-eln2.§3.3定积分的概念与微积分基本定理基础自测1.写成定积分的形式，可记为（）A.B.C.D.答案C2.（·济宁模拟）下列值等于1的积分是（）A.B.C.D.答案D3.由曲线y=ex,x=0,y=2所围成的曲边梯形的面积为（）A.B.C.D.答案A4.已知f(x)为偶函数且则等于（）A.0B.4C.8D.16答案D5.已知-1≤a≤1，f(a)=，求f（a）的值域.解f(a)=∵-1≤a≤1，∴-,故f(a)的值域为.例1计算下列定积分（1）x(x+1)dx;(2)(e2x+)dx;(3)sin2xdx.解（1）∵x（x+1）=x2+x且(x3)′=x2,(x2)′=x,∴x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx=x3|+x2|=(×23-0)+(×22-0)=.(2)∵(lnx)′=,(e2x)′=e2x·(2x)′=2e2x,得e2x=(e2x)′所以（e2x+)dx=e2xdx+dx=e2x|+lnx|=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.(3)由(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,得cos2x=（sin2x）′,所以sin2xdx=（-cos2x）dx=dx-cos2xdx=x|-（sin2x）|=（-0）-（sin2-sin0）=.例2(·顺德模拟)计算下列定积分（1）|sinx|dx;(2)|x2-1|dx.解（1）∵（-cosx）′=sinx，∴|sinx|dx=|sinx|dx+|sinx|dx=sinxdx-sinxdx=-cosx|+cosx|=-（cos-cos0）+（cos2-cos）=4.（2）∵0≤x≤2，于是|x2-1|=∴|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|+（x3-x）|=（1-）+（×23-2）-（-1）=2.例3求函数f(x)=在区间［0，3］上的积分.解由积分性质知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx=x3dx+x2dx+2xdx=|+x3|+|=+-+-=+.例4（12分）求定积分dx.解设y=,即(x-3)2+y2=25(y≥0). 4分∵dx表示以5为半径的圆的四分之一面积， ∴dx=. 12分1.求(cosx+ex)dx.解(cosx+ex)dx=cosxdx+exdx=sinx|+ex|=1-.2.求（|x-1|+|x-3|）dx.解设y=|x-1|+|x-3|=∴(|x-1|+|x-3|)dx=(-2x+4)dx+2dx+(2x-4)dx=(-x2+4x)|+2x|+(x2-4x)|=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f(x)=求f(x)dx.解f(x)dx=2(x+1)-1dx+dx+()x-1dx=2ln(x+1)|+|+=2ln2+(2-1)+.4.（-x）dx=.答案一、选择题1.与定积分dx相等的是（）A.B.C.|D.以上结论都不对答案B2.若y=f(x)与y=g(x)是［a,b］上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为（）A.B.C.D.|答案C3.定积分等于（）A. B.C.-D.-答案B4.设函数f（x）=则等于（）A.B.C.6D.17答案B5.下列定积分值为0的是（）A.B.C.D.答案D6.根据推断，直线x=0，x=2，y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为（）A.面积为0B.曲边梯形在x轴上方的面积大于在x轴下方的面积C.曲边梯形在x轴上方的面积小于在x轴下方的面积D.曲边梯形在x轴上方的面积等于在x轴下方的面积答案D二、填空题7.若f(x)dx=1,f(x)dx=-1,则f(x)dx=.答案-28.定积分dx的值是.答案ln2三、解答题9.求下列定积分的值(1)dx;(2)已知f(x)=，求f(x)dx的值.解（1）dx表示以y=与x=0,x=3所围成图形的面积，而y=与x=0,x=3围成的图形为圆x2+y2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为.（2）∵f（x）=∴f(x)dx=x2dx+1dx=x3|+x|=+1=.10.已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-1）=2，=0，f（x）dx=-2，求a、b、c的值.解由f（-1）=2，得a-b+c=2， ①又=2ax+b,由=0得b=0, ②f(x)dx=(ax2+bx+c)dx=(ax3+x2+cx)|=a+b+c.即a+b+c=-2， ③由①②③得：a=6,b=0,c=-4.11.已知f(a)=(2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.解(2ax2-a2x)dx=(ax3-a2x2)|=a-a2即f(a)=a-a2=-（a2-a+）+=-（a-）2+.所以当a=时，f(a)有最大值.12.(·青岛模拟)对于函数f(x)=bx3+ax2-3x.（1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，且f(x)的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost-2cos2t+,试求实数t的取值范围；（2）若f(x）为实数集R上的单调函数，且b≥-1,设点P的坐标为（a,b)，试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.解（1）由f(x)=bx3+ax2-3x,则=3bx2+2ax-3,∵f（x）在x=1和x=3处取得极值，∴x=1和x=3是=0的两个根且b≠0..∴=-x2+4x-3.∵f(x)的图像上每一点的切线的斜率不超过2sintcost-2cos2t+,∴≤2sintcost-2cos2t+对x∈R恒成立，而=-(x-2)2+1,其最大值为1.故2sintcost-2cos2t+≥12sin(2t-)≥12k+≤2t-≤2k+,k∈Zk+≤t≤k+,k∈Z.（2）当b=0时，由f(x)在R上单调，知a=0.当b≠0时，由f(x)在R上单调≥0恒成立，或者≤0恒成立.∵=3bx2+2ax-3,∴Δ=4a2+36b≤0可得b≤-a2.从而知满足条件的点P（a,b)在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b=-a2与直线b=-1所围成的封闭图形，其面积为S=(1-a2)da=4.§3.4定积分的简单应用基础自测1.将由y=cosx,x=0,x=,y=0所围图形的面积写成定积分形式为（）A.B.C. D.答案B2.一物体沿直线以v=3t+2(t单位：s,v单位：m/s）的速度运动，则该物体在3s～6s间的运动路程为（）A.46mB.46.5mC.87mD.473.用力把弹簧从平衡位置拉长10cm,此时用的力是200N，变力F做的功W为（A.5JB.10JC.20JD.40J答案B4.曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴所围成的面积是（）A.2B.3C.D.4答案B5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为(x)=x3（取细棒的一端为原点，所在直线为x轴），棒长为1，则棒的质量M为（）A.1B.C. D.答案D例1求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.解由方程组解出抛物线和直线的交点为（2，2）及(8,-4).方法一选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在A1部分：由于抛物线的上半支方程为y=,下半支方程为y=-，所以S=［-(-)］dx=2xdx=2·x|=，S=［4-x-(-)］dx=(4x-x2+x)|=,于是：S=+=18.方法二选y作积分变量，将曲线方程写为x=及x=4-y.S=[（4-y）-]dy=(4y--)|=30-12=18.例2（14分）如图所示，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值. 解抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积S=（x-x2）dx=()|=-=. 4分抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x1′=0,x2′=1-k, 6分所以=（x-x2-kx）dx=|=(1-k)， 10分又知S=，所以(1-k)=，于是k=1-=1-. 12分例3一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程.解由速度—时间曲线易知，v（t）=由变速直线运动的路程公式可得s=3tdt+30dt+(-1.5t+90)dt=t2|+30t|+（-t2+90t）|=1350(m).答此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.1.求抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积S.解方法一由得抛物线与直线的交点为P（1，-1），Q（9，3）（如图）.∴S=［-(-)］dx+(-)dx=2dx+(-+)dx=|+（x-+）|=+=.方法二若选取积分变量为y，则两个函数分别为x=y2,x=2y+3.由方法一知上限为3，下限为-1.∴S=(2y+3-y2）dy=（y2+3y-y3)|=(9+9-9)-(1-3+)=.2.如图所示,阴影部分的面积是 （）A. B.9- C. D.答案C3.一物体按规律x=bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x=0运动到x=a时，阻力做的功.解物体的速度v==(bt3)′=3bt2,媒质阻力f阻=kv2=k·(3bt2)2=9kb2t4.(其中k为比例常数，k＞0)当x=0时，t=0，当x=a时，t=t1=,∴阻力做的功是：W阻=f阻dx=·vdt=v3dt=（3bt2）3dt=kb3=k=ka2.一、选择题1.如图，阴影部分面积为()A.B.C.+D.答案B2.（·广州模拟）设f（x）=则f（x）dx等于()A.B.C.D.不存在答案C3.设f(x)=sintdt,则f（f（））等于（）A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1答案D4.一物体在力F（x）=(单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m)处，则力F（x）作的功为（）A.44B.46C.48D.50答案B5.一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)作的功为（）A.JB.JC.JD.2J答案C6.函数F(x)=t(t-4)dt在［-1,5］上（）A.有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-C.有最小值-,无最大值D.既无最大值也无最小值答案B二、填空题7.汽车以v=3t+2(单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是m.答案6.58.若f(x)是一次函数，且f(x)dx=5,xf(x)dx=,那么函数f(x)的解析式是.答案f(x)=4x+3三、解答题9.证明：把质量为m（单位：kg）的物体从地球的表面升高h(单位：m)处所做的功W=G·其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径.证明根据万有引力定律：知道对于两个距离为r,质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力为f（r）=G·，其中G为引力常数.则当质量为m的物体距地面高度为x(0≤x≤h)时，地心对它的引力f（x）=G·故该物体从地面升到h高处所做的功为W=f（x）dx=G··dx=GMmd（k+x）=GMm|=10.设函数f(x)=x3+ax2+bx在点x=1处有极值-2.（1）求常数a,b的值；（2）求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积.解（1）由题意知=3x2+2ax+b,f(1)=-2且=0,即解得a=0,b=-3,即f(x)=x3-3x.(2)作出曲线y=x3-3x的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x3-3x=0得曲线y=x3-3x与x轴的交点坐标是(-,0),(0,0)和(,0)，而y=x3-3x是R上的奇函数，函数图像关于原点中心对称.所以(-,0)的阴影面积与(0,)的阴影面积相等.所以所求图形的面积为S=2［0-(x3-3x)］dx=-2（x4-x2）|=.11.如图所示，抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动.（1）求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a,b);（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面积相等的两部分.（1）解解方程组，得x1=1,x2=-4.∴抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为A（1，3），B（-4，-12），∴P点的横坐标a∈(-4,1).点P（a,b)到直线y=3x的距离为d=,∵P点在抛物线上，∴b=4-a2，=·(4-3a-a2)′=(-2a-3)=0,∴a=-，即当a=-时，d最大，这时b=4-=,∴P点的坐标为（-,）时，△PAB的面积最大.（2）证明设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S,位于x=-右侧的面积为S1.S=（4-x2-3x)dx=,S1=（4-x2-3x)dx=,∴S=2S1,即直线x=-平分抛物线与线段AB围成的图形的面积.12.在区间［0，1］上给定曲线y=x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积，即S1=t·t2-x2dx=t3.S2的面积等于曲线y=x2与x轴、x=t,x=1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t2，（1-t），即S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.所以阴影部分的面积S为S=S1+S2=t3-t2+（0≤t≤1）.∵=4t2-2t=4t(t-)=0时，得t=0，t=.当t=时，S最小，∴最小值为S()=.单元检测三一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.（·海南、宁夏文，10）曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.e2B.2e2C.e2D.答案D2.（·福建文，11）如果函数y=f(x)的图像如图所示，那么导函数y=的图像可能是()答案A3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是（）A.(0,B.()C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(,+∞）答案A4.(·广东文，9）设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点，则()A.a＜-1B.a＞-1 C.a＜-D.a＞-答案A5.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图像与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，那么p、q的值分别为（）A.6,9B.9,6C.4,2 D答案A6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为（）A.36 B.18C.25D.答案A7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是（）①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2};②f(-)是极小值，f()是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值.A.①③B.①②③C.②D.①②答案D8.函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是()A.0＜＜＜f(3)-f(2)B.0＜＜f(3)-f(2)＜C.0＜f(3)＜＜f(3)-f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜＜答案B9.设f(x)=x3+x,则的值等于 （）A.0 B.8C. D. 答案A10.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值10，则a、b的值为（）A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.以上都不正确答案B11.设f(x)=,g(x)=,对任意x1,x2∈(0,+∞),若有≤恒成立，则正数k的取值范围是（）A.（0，1）B.（0，+∞）C.［1，+∞） D.［，+∞）答案C12.定义在R上的可导函数f(x),已知y=e的图像如图所示，则y=f(x)的增区间是 （）A.(-∞,1) B.(-∞,2)C.(0,1) D.(1,2)答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离l按胡克定律F=kl计算.今有一弹簧原长90cm，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从80cm压缩至60cm（在弹性限度内），则外力克服弹簧的弹力做的功为.答案0.686J14.如图所示，曲线y=x2-1及x轴围成图形的面积S为.答案15.若函数f(x)=在区间（m,2m+1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是.答案（-1，0］16.已知函数f(x)的导函数为,且满足f(x)=3x2+2x,则=.答案6三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.（12分）已知函数f(x)=x3-