南通市2024届高三第二次模拟测试数学

南通市2024届高三其次次调研测试

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案干脆填写在答题卡相应位

«±-

1.已知集合A={x<-l},则.4=▲

2.某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参与其中一个社团，且他俩参与各个社团的可

能性相同，则这两位同学参与同一个社团的概率为一^.

3.复数z="「（其中i为虚数单位）的模为▲.

4.从编号为0,1,2,79的80件产品中，采纳系统抽样的

方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则

该样本中产品的最大编号为▲.

5.依据如图所示的伪代码，最终输出的。的值为▲.

6.若则。的取值范围是▲.

7.若函数/（无）=无3+依2+法为奇函数，其图象的一条切线方程为

y=3x-4>/2,则6的值为▲.

8.设/，机表示直线，机是平面a内的随意一条直线.则是"/_L或”成立的▲

条件.

（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）

9.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2+y2=2（xZO）上一点，直线。4的

倾斜角为45。，过点A作x轴的垂线，垂足为"，过”作Q4的平行线交半圆于点3,

则直线钻的方程是▲.

10.在△ABC中，。是BC的中点，AO=8,BC=20,则AB-AC的值为▲.

11.设x,y,z是实数，9无，12y,15z成等比数列，且工，上，工成等差数列，则工+二的

xyzzx

值是▲.

12.设/是函数/（九）=sin（2x+0）的一个零点，则函数/（%）在区间（0,2兀）内全部极值点之

和为

13.若不等式（徵%—1）[3相2—（工+1）加-1]20对随意加£（0,+oo）恒成立，则实数x的值

为▲.

14.设实数a,b,c满意/+人2WcWl,则a+b+c的最小值为▲.

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

在△ABC中，已知AC=9,AB.BC=-16.求：

（1）AB的值；

（2）的值.

sinC

16.（本小题满分14分）

在四棱锥尸一A8C。中，AB//DC,平面必。，PD=AD,AB=2DC,E是尸8的

中点.

P

求证：（1）CE〃平面B4D；

（2）平面PBC_L平面PAB.IV\

17.（本小题满分14分）IV\

为了净化空气，某科研单位依据试验得出，在肯定范围内，每喷X7

洒1个单位的净化剂，空气中[,/

释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）改变的函数关系式/似为

（第16题）

--1,0WxW4,

6-X

y=\i

5-鼻，4<xW10.

L2

若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的

浓度之

和.由试验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气

的作用.

（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？

（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（lWaW4）个单位的药剂，

要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求。的最小值（精确到0.1,参考数据：

0取1.4）.

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，设曲线Cj：区+以=1（。＞匕＞0）所围成的封闭图形的

ab

面积为

40,曲线G上的点到原点0的最短距离为斗.以曲线Ci与坐标轴的交点为顶点

的椭圆记

为C2.

（1）求椭圆C2的标准方程；

（2）设是过椭圆C2中心。的随意弦，/是线段A8的垂直平分线.M是/上的点（与

O不

重合）.

①若〃。=2。4,当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；

②若M是/与椭圆C2的交点，求的面积的最小值.

19.（本小题满分16分）

设数列｛斯｝的首项不为零，前w项和为S,,且对随意的广，/eN*,都有[=（小

（1）求数列｛&｝的通项公式（用的表示）;

⑵设〃尸1,Z?i=3,2=S如（〃22,〃EN*）,求证：数列｛logs或｝为等比数列；

（3）在（2）的条件下，求T.这/I♦

k=2々—1

20.（本小题满分16分）

设函数/（%）=/-ox+a（a£R）,其图象与不轴交于A（%,0）,次马，。）两点，且

X2-

（1）求Q的取值范围；

⑵证明：r（7^）＜o（（⑴为函数/（尤）的导函数）；

（3）设点C在函数y=/（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记,

求（a—DQ-1）

的值.

21B.选修4—2：矩阵与变换

「3-

已知二阶矩阵M有特征值4=1及对应的一个特征向量q=]，且M=.求矩

11

阵跖

21C.选修4—4：坐标系与参数方程

fY=12CCS0

在平面直角坐标系尤Oy中，设动点P,Q都在曲线C：一八’(0为参数)上，

[y=2sine

且这两

点对应的参数分别为6=c(与6=2a(0<a<27c),设尸。的中点M与定点A(l,0)间的距

离为d,

求d的取值范围.

22.(本小题满分10分)

在长方体ABC。一A181GO1中,点E是棱A8上一点.且普

(1)当〃=3时，写出满意条件的全部数列｛诙｝(不必写出过程);

(2)当〃=8时，求满意条件的数列｛%｝的个数.

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数学学科参考答案及评分建议

1,{x|一lWx<3}.2,/.3,乎.4,76.5,48.6,（4,+«）.7,-3.8,充要.9,

后+y-括一1=0.10,-36.11,瑞.12,9兀13,114,.

15,【解】（1）（方法1）HAB-AC=9,ABBC=-16,............................4

分

所以AC-AB-BC=9+16=25,即AB（AC+CB）=25,

-2

亦即AB-=25,AB=5.............................7分

（方法2）设A,B,。的对边依次为a,b,c,则由条件得方ccosA=9,tzccosB=16.3分

两式相力口得C(〃COSA+QCOSB)=9+16=25,BPc2=25,故AB=c=5........7分

（方法3）设A,B,。的对边依次为〃，b,c,

则由条件得方ccosA=9,«ccosB=16.....................3分

由余弦定理得：伊+,2一/）=9,；卜2+/一加）=16,

两式相加得c?=25,故AB=c=5.................7分

S、sin(A-B)sinAcosB-cosAsinB

10分

sinCsinC

由正弦定理得sin(A-B)=4cosB—6cosA

sinCc

accosB—AcosA=16-9=714八

7-^^~25*................刀

16,EF=CD,于是四边形。CEP是平行四边形，

从而CE〃。「而CEz平面必Z),。尸u平面必D,

故CE〃平面E4D.......................7分

(方法2)取A2的中点连EM,CM...............2分

因为E是P8的中点，所以〃抬.

因为AB〃C£),AB^2DC,所以CM〃AD..............4分

因为£似二平面抬£>,B4u平面必D,

所以〃平面B4O.同理，CM〃平面

因为应平面

0CM=M,EM,CMuCEM,（第16题）

所以平面CEM〃平面PAD.而CEu平面PAD,故CE〃平面PAD.

7分

（2）（接（1）中方法1）因为尸£>=AD,且尸是B4的中点，所以。尸_LK4.

因为A8_L平面E4。，Wu平面B4。，所以..................10

分

因为CE〃。凡所以CE_LR4,CEYAB.

因为R4,ABu平面P4B,PAAB=A,所以CE_L平面B48.

因为CEu平面PBC,所以平面PBC_L平面E48.14

分

17,【解】(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂,

所以浓度/(犬)=4y={87

20-2%,4<x10.

则当0WxW4时，由6*4-—424,解得％20,所以此时0・1・4.................................

8—JV

3分

当4<xW10时，由20-2x、4解得尤W8,所以此时4VxW8.

综合得0WxW8,若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天...........

7分

(2)设从第一次喷洒起，经x(6WxW10)天，

浓度

g(x)=2(5-4x)+a016,、一1=10-%+-^--«=(14-%)+-^--a-4........10分

\2/|_8-(x-6)J14-x14-x

因为14—xc[4,8],而

所以4&$[4,8],故当且仅当14-X=4々时，y有最小值为8&-4.

令8&—Q—4N4,解得24—16忘所以Q的最小值为24—16立Q1.6...........

14分

2ab-4四,

18,【解】(1)由题意得<曲2页又a>b>0,解得"=8,Z?2=1.

国+/一丁

因此所求椭圆的标准方程为二+丁=1.…4分

8

(2)①设M(x,y),A(m,ri),则由题设知：10Ml=2|。41OAOM=0.

212

m=—y，

f+—4（川+〃2）,解得,4

即8分

mx+=0,

4

桃2

因为点A(m,")在椭圆C2上，所以《-+”2=1,

2

即包+

222

XI=1,亦即土+匕=1.

8,432

22

所以点M的轨迹方程为工+匕=1.........10分

432

②（方法1）设M（无，y）,则A（4y,-；bc）（；lcR,2w0）,

因为点A在椭圆C2上，所以力（V+8/）=8,即/+8/=乌（i）

又尤2+8y2=8(ii)

⑴+（ii）得/+/奇（1+十），...................13分

所以小=。胫3=|彳|（/+*=部田+1）号.

当且仅当4=±1（即KB=±1）时，（^）ran=y................16分

（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k^O）.

目2-1

解方程组1+y得婷=」^28左2

“1+8二

y=kx,

所以。=%,+%2=88左2

H------------渡2,…飞

1+8/1+8F

2

%2_,

y=1，Qi2

81解得税、念,2_8所以CM?=8（1：万）.…12分

又

上2+8

V=——X,

k

（解法1）由于%惭？=；江,OM2132(1+/)8(1+-)64(1+左2产

-x-----------------—X------------------=---------------------------------

41+8左②3+8(1+842)(犷+8)

三64（1+/）2=64（1+=256

1（1+8/+.+81当（1+/）281

当且仅当1+8尸=左2+8时等号成立，即％=±1时等号成立，

此时△可1«面积的最小值是S^AMB=3.15分

当左=0,S/^AMB=x4^/2X1=2A/2>;

当人不存在时，S^AMB=2x2^2x2=2\/2>.

综上所述，面积的最小值为导.16分

11111+8^2+/:2+8_9

(解法2)因为--7H--------7=---------z—I-----------T—

OA2OM28(1+A;2)8(1+/)―8(1+/)--8

1+8左2—8

又」■y+Jv'---'于是。

OA2OM2OAOM9

当且仅当1+8尸=公+8时等号成立，即左=±1时等号成立.(后同方法1)

则3=侑,得畜=〃"即S"=".…

19.【解】(1)因为q=S]W。，令/=1,r=n

2分

当时，为=S“-S“_|=q(2"-l),且当〃=1时，此式也成立.

故数列｛。〃｝的通项公式为=4(2〃-1)............5分

(2)当q=l时，由(1)知=%(2〃-1)=2〃-1,S0=〃2.

依题意，〃N2时，b”=Sg.、=bn_y,7分

于是log3bn=log3b«_；=21og3%(〃>2,〃eN),且log3々=1,

故数列｛log3〃｝是首项为1，公比为2的等比数列...........10分

(3)由(2)得logjd=1X2"T=2〃T,所以a=32"'(〃eN*).……12分

15分

11

所以•16分

Tk=23UkL23J

20.【解】(1)f'(x)=ex-a.

若aWO,则尸(x)>0,则函数/(x)是单调增函数，这与题设冲突.……2分

所以a>0,令/'(x)=O,则x=lna.

当x<lna时，f'(x)<0,/(x)是单调减函数；x>lna时，f\x)>0,/(x)是单调增

函数；

于是当x=lna时，/(尤)取得微小值.............4分

因为函数/(x)=e'-办+a(aeR)的图象与x轴交于两点A(%,0),B(x2,0)(xi<x2),

所以/(Ina)=a(2-Ina)<0,即a>e?..

止匕时，存在l<lna,/(l)=e>0；

存在31na>lna,/（31na）=a3-3aIna+a>a3-3a2+a>0,

又由/(元)在(-00,Ina)及(Ina,+00)上的单调性及曲线在R上不间断，可知aAe?为所

求取值范围.................6分

(2)因为F一叫+"=°'两式相减得°=三*

e电一吗+〃=0，x2-xi

X］+巧

记^^=s(s>0),则/(A^)=e空一^1^1=宁［2s-(e'-e-')］,…8分

2\2//一％2sL」

设g(s)=2s-(e'-e-'),!U!|gr(s)=2-(es+e-s)<0,所以g(s)是单调减函数，

西+-2

则有g(s)<g(O)=O,而上^>0，所以尸(看匹卜0.

又((x)=e*-a是单调增函数，且三上>斥，所以尸(苗)<0.…11分

x,x,

(3)依题意有e-axi+a=Q,则a{xt-1)=e〉0n七>1(，=1,2).

X］+%2__________________________

于是6亍=可(尤］-1)(丁-1)，在等腰三角形A8C中，明显C=90°,...............13分

即%=/（%）<0

由直角三角形斜边的中线性质，可知上/=-％,

所以yo+^y^E，即e誓Ua+xJ+a+^L

=0,

1a1

所以。］（项l）（x21）2（入1+%2）2一0，

3=0.

即aJ（%l）（x21）21但1）I（%DI।2

因为羽T"则.后P=

0,

又J&］=1,所以3-8（1+广）+［（『-1）=0,........................15分

'玉一122

即a=1H—，所以（a—1）（，-1）=2.............................16分

t—1

・、「「〃b~\.「aZ?［「11「1得（j=l,

21B【解】设M=,,则由7=

cdcd—1l—I\c—d=—I.

b13a+b=3,

再由得

d11c+d=1.

21

联立以上方程组解得a=2,b=l,c=0,d=X,故0】......................10

分

21C.【解】由题设可知尸(1+2cosa,2sina),Q(l+2cos2a,sin2a),...............2分

于是P。的中点M

(l+cos<z+cos2a,sin(z+sin2a)..........................................4分

从而

d2=AM2=(cos«+cos2(z)"+(sin«+sin=2+2cosa.........................................6分

因为0<a<2兀，所以一lWcosa<l,....................8分

于是0O<4,故］的取值范围是［0,2)..........................................10分

22.【证】(1)以。为原点，D4为x轴，0c为y轴,

DDi为z轴建立空间直角坐标系.

不妨设A£>=AAi=l,A