2024年中考数学试题分类汇编：锐角三角函数（二）

2024年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（二）

—.解答题（共33小题）

1.中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,

某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABC。是其中一个停车位.经测

量，ZABQ^60°,AB=5.4m,CE^1.6m,GHLCD,GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，

按图示并列划定.

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.加，参考数据声句.73）

（1）求尸0的长;

（2）该充电站有20个停车位，求PN的长.

2.图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度A8

873m,如图②.从直升飞机上看塔尖C的俯角/£AC=37°,看塔底。的俯角NE4O=45°,求吉塔

的高度。（结果精确到0.1根）.

(参考数据:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)

3.如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼A8的高度”的实践活动.教学楼周围是开阔平整的地

面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪

的功能是测量角的大小）.

（1）请你设计测量教学楼A8的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标证所画的图形

上（测出的距离用相，"等表示，测出的角用a,0等表示），并对设计进行说明；

（2）根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度（用字母表示）.

4.如图，在△ABC中，ADLBC,AE是BC边上的中线，43=10,AD=6,tanZACB=1.

(1)求BC的长;

(2)求sin/ZME的值.

5.某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下:

活动测量校园中树AB的高度

项目

活动“测角仪”方案

方案

方案

示意

图

实施①选取与树底B位于同一水平地面的D处;①子

过程②测量。，B两点间的距离;

③站在。处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角/ACR③在E处水平放置一个

④测量C到地面的高度CD.

测量①DB=10m；

数据②NACP=32.5°；

③CD=1.6z/z.

备注①图上所有点均在同一平面内;

②AB,8均与地面垂直;

③参考数据：tan32.5"0.64.③把平面镜看

请你从以上两种方案中任选一种，计算树A3的高度.

6.综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）.某学习小组设计

了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36m,ECLAB,垂足为C.在。

处测得桥塔顶部8的仰角QCDB）为45。，测得桥塔底部A的俯角（NCD4）为6。，又在E处测

得桥塔顶部8的仰角（NCEB）为31°.

（Z）求线段。的长（结果取整数）;

（II）求桥塔AB的高度（结果取整数）.参考数据：tan31°g0.6,tan6°^0.1.

图①

7.如图1,塑像AB在底座BC上，点。是人眼所在的位置.当点8高于人的水平视线。E时，由远及近

看塑像,会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A,B两点的圆与水

平视线DE相切时（如图2）,在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视

图2

（1）请仅就图2的情形证明

（2）经测量，最大视角/APB为30°,在点P处看塑像顶部点A的仰角/APE为60°,点P到塑像

的水平距离为6".求塑像的高（结果精确到0.L”.参考数据：V3«1.73）.

8.综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.

【实验操作】

第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与

水槽内壁AC的夹角为NA；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线NN'为法线，AO为入射光线，

。。为折射光线.）

【测量数据】

如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内，测得AC=20c»t,NA=45°,折射角/DON

=32°.

【问题解决】

根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

（1）求8C的长；

（2）求8,。之间的距离（结果精确到（Me%）.

（参考数据：sin32°-0.52,cos32°-0.84,tan32°"0.62）

9.我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使

用《西江月》词牌写的：

平地秋千未起，踏板一尺离地.

送行二步与人齐，五尺人高曾记.

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.

良工高士素好奇，算出索长有几？

词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进

10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺.（假设秋千的绳索拉的很直）

（1）如图1,请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；

(2)如图2,将秋千从与竖直方向夹角为a的位置OA释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为P

的地方。V,两次位置的高度差.根据上述条件能否求出秋千绳索。4的长度？如果能，请用

含a、0和力的式子表示；如果不能，请说明理由.

念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3。扫描仪采集纪念碑的相关数据.

数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，A8的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平

地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角/ACZ)=18.4°；然后沿

CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角NNCD=37°,当到达点A正上方的点E处时，测得AE

—9米；...

数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E,A,8三点在同一直线上.请根据上述数据，计算纪

念碑顶部点A到地面的距离的长(结果精确到1米.参考数据:sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°

-0.75,sinl8.4°心0.32,cosl8.4°-0.95,tanl8.4°-0.33).

N

MB

11.问题提出

(1)如图①，在△ABC中，AB=15,ZC=30°,作△ABC的外接圆。0,则；O的长为

(结果保留it)

问题解决

(2)如图②所示，道路的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点DE,C,线段AD,

AC和8c为观测步道，其中点A和点8为观测步道出入口.已知点E在AC上，且AE=EC,ZDAB

=60°,NABC=120°,AB1200m,AD=BC=900m,现要在湿地上修建一个新观测点P,使/。PC

=60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点尸，并修道三条新步道PF,PD,PC,使新步道PF

经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分.

请问：是否存在满足要求的点P和点P？若存在，求此时尸尸的长；若不存在，请说明理由.（点A,B,

C,P,。在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）

12.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.

活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积

测量工具皮尺、测角

仪、计算器

等

活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形其示意图如下:

测绘过程①在水池外取一点E,使得点C,B,E在同一条直线上；

与数据信②过点E作并沿方向前进到点R用皮尺测得跖的长为4米；

息③在点尸处用测角仪测得NCFG=60.3°,ZBFG=45°,ZAFG=21.8°；

④用计算器计算得：sin60.3°~0.87,cos60.3°^0.50,tan60.3°=1.75,sin21.8°~0.37,

cos21.8°心0.93,tan21.8°-0.40.

请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）:

（1）求线段CE和BC的长度；

（2）求底座的底面ABC。的面积.

13.如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600机，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点

处的海拔高度.他在该观景台上选定了一点A,在点A处测得C点的仰角/CAE=42°,再在AE上选

一点B,在点B处测得C点的仰角a=45°,AB^lOm.求山顶C点处的海拔高度.（小明身高忽略不

计，参考数据：sin42°—0.67,cos42°—0.74,tan42°"0.90）

14.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，

此时淇淇距窗户的水平距离£2=4/77,仰角为a；淇淇向前走了3/77后到达点D,透过点尸恰好看到月

亮，仰角为B，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面8。的距离AB=CO=1.6相，点尸到8。

的距离尸。=2.6加，AC的延长线交P。于点E.（注：图中所有点均在同一平面）

（1）求B的大小及tana的值；

（2）求”的长及sin/APC的值.

15.乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为碎框架式结构，造型独特别致，远可眺

太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角

三角形”之后，开展了测量乾元塔高度A8的实践活动.A为乾元塔的顶端，A8L8C,点C,D在点B

的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE=1.6米）测得A点仰角为37°,向西平移14.5

米至点测得A点仰角为45°,请根据测量数据，求乾元塔的高度4艮（结果保留整数，参考数据：

sin37°心0.60,cos37°心0.80,tan37°仁0.75)

A

图1图2

16.小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案:

方案一：如图（1）,测得C地与树48相距10米，眼睛。处观测树AB的顶端A的仰角为32°；

方案二：如图（2）,测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E,眼睛。在

镜子C中恰好看到树AB的顶端A.

已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度.（结果保留整数，tan320弋0.64）

图（1）图（2）

17.某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地

平面的倾斜角.测量报告如下表（尚不完整）.

课题测量某护堤石坝与地平面的倾斜角

成员组长：XXX组员：XXX,XXX,

测量工具竹竿，米尺

测量示意说明：AC是一根!

图

石

水面

坝

横

截

面

地平面

测量数据

（1）设AB=a,BC=b,AC=c,CE=d,DE=e,CD=f,BE=g,AD=h,请根据表中的测量示意图，

从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏.

（2）根据（1）中选择的数据，写出求/a的一种三角函数值的推导过程.

（3）假设sina^O.86,cosa^O.52,tana^l.66,根据（2）中的推导结果，利用计算器求出Na的度数.你

选择的按键顺序为.

①|2ndF|回回口回国

②画回口回国

③|2ndF|叵回口凶E

④回©口巨@

⑤12ndFIMrnr-ir~6~ir~6"ir^~i

⑥回Q]口国叵

18.科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点8处发出，经水面点E折射到池底

点A处.已知3E与水平线的夹角a=36.9°,点B到水面的距离BC=1.20"z,点A处水深为1.20〃z,

到池壁的水平距离AO=2.50%点8,C,。在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射

角为B，折射角为Y,求翳的值（精确至"（H）.

参考数据：sin36.9°仁0.60,cos36.9°20.80,tan36.9°仁0.75.

19.图①是某种可调节支撑架，8C为水平固定杆，竖直固定杆AB_L8C,活动杆可绕点A旋转，CD

为液压可伸缩支撑杆，已知AB=10c相，BC=20cm,AD=5Qcm.

（1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆O的长度（结果保留根号）；

（2）如图③，当活动杆AO绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度a,且tana=^（a为锐角），求

此时可伸缩支撑杆C。的长度（结果保留根号）.

D

图①图②图③

20.为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展.2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区

唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面

积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sti）堵坡造型.某校为了让学生进一步了解

怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度.小江同学站在如图所示的怀远塔

前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°,眼睛B距离地面1.8相，向塔前行67相，到达点。处,

测得塔顶C的仰角为60°,求塔高CB.（参考数据：V2-1.414,V3-1.732,结果精确到0.01W

21.根据手机的素材，探索完成任务.

素材一太阳能热水器是利用绿

安装在每天都可以

素材二某市位于北半球，太阳:

素材二如图，该市甲楼位于乙

南面墙上安装该品牌太

层，一层从却

任务一

任务二

22.习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能

资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常

重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，

已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD,EE在A"两侧，C。=E尸=1.6m，点C与点E相距182〃z

（点C,H,E在同一条直线上），在。处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得筒尖顶点A的仰

角为53°.求风电塔简A8的高度.（参考数据：sin53。4cos53。〜|,tan53。J）

23.图1是世界第一“大碗”一一景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影

青斗笠碗，寓意“万瓷之母”.如图2,“大碗”的主视图由“大碗”主体ABC。和矩形碗底BEPC组成，

已知AM,£W是太阳光线，AM±MN,DN1MN,点、M,E,F,N在同一条直线上.经测量

ME=FN=20.0m,EF=40.0m,BE=2.4m,NABE=152°.（结果精确到0.L"）

（1）求“大碗”的口径A。的长；

（2）求“大碗”的高度AM的长.

（参考数据：sin62°20.88,cos62°"0.47,tan62°心1.88）

太阳光线

图1

24.“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、

绑扎、运载于一体(如图1),在一次展演活动中，某数学”综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的

示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处.借助测角仪观察，发现中轴上的点。的仰角是30。，

他与彩亭中轴的距离BC=6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平

线8C,中轴上的点歹的俯角/A所=45°,点E、尸之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB=6.3

米，甲同学的眼睛到地面的距离MC=1.5米，请根据以上数据，求中轴上的长度.(结果精确到0.1

米，参考数据W~1.73,V2«1.41)

25.图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行

V2

了如下探究：如图2,正八边形游乐城AM2A3A4A546A7A8的边长为万公九，南门O设立在4)的边的正

中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM,A6&7在上(门宽及门与道路间距离忽略不计)，东

侧有一条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑.在4处测得雕塑在北偏东45°方向上，在上处测得

雕塑在北偏东59°方向上.

(1)ZCAIA2=°,ZCA2AI=°；

(2)求点4到道路8c的距离；

(3)若该小组成员小李出南门。后沿道路MB向东行走，求她离8处不超过多少千米，才能确保观察

雕塑不会受到游乐城的影响？

(结果精确到O1初z,参考数据：V2-1.41,sin76°^0.97,tan76°^4.00,sin59°20.86,tan59°小

1.66)

26.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发

电机，如图(1),某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图(2)为测量示

意图(点A,B,C,。均在同一平面内，AB±BC\已知斜坡C。长为20米，斜坡的坡角为60°,

在斜坡顶部。处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°,坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该

风力发电机塔杆A3的高度.(结果精确到个位；参考数据：sin20°^0.34,cos200仁0.94,tan20°&

0.36,V3«1.73)

(1)(2)

27.中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等

于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆

子AB垂直于地面，A2长8尺.在夏至时，杆子在太阳光线AC照射下产生的日影为8C；在冬至

时，杆子A2在太阳光线照射下产生的日影为BD已知NACB=73.4°,ZADB=26.6°,求春分

和秋分时日影长度.(结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°-0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°七0.50,

sin73.4°心0.96,cos73.4°仁0.29,tan73.4°仁3.35)

圭立夏春分立春

28.如图，海中有一个小岛C,某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一

段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到

达。点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A,C相距30〃加/e.求C,。间的距离（计算

过程中的数据不取近似值）.

29.如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向3,。两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港

装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达3港，再沿北偏东60°方向航行一定距离

到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达。港，再沿南偏东30°方向航行一定距

离到达C港.

（参考数据：V2-1.41,V3-1.73,V6«2.45）

（1）求A,C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；

（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠8,D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算

B：

30.宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1,左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）.某同学在数学实

践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D,在地标广场上选择两个观测点A、B

（点A、B、C、。在同一水平面，且A8〃a9）.如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方

向上，测得点。在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点。在北偏

东18.17°方向上，测得A8=100米.求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）.（参考数据:sinl8.17°

-0.31,cosl8.17°心0.95,tanl8.17°-0.33,sin21.34°心0.36,cos21.34°-0.93,tan21.34°-0.39）

31.小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱A8高40c7小他发现当灯带与水平线夹角为9°时（图

1）,灯带的直射宽DE^BD±BC,C£±BC）为35cm,但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到

与水平线夹角为30°时（图2）,直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.（结果保留1

位小数）（sin9°^0.16,cos9°^0.99,tan9°^0.16）

32.如图，A,B,C,。分别是某公园四个景点，8在A的正东方向，。在A的正北方向，且在C的北偏

西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向,AB=2千米.（参考数据:/=1.41,

V3-1.73,V6-2.45）

（1）求8C的长度（结果精确到0.1千米）；

（2）甲、乙两人从景点。出发去景点8,甲选择的路线为：D-C-B,乙选择的路线为：O-A-8.请

计算说明谁选择的路线较近？

33.在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从C点测得杨树底端8点的仰角

是30°,长6米，在距离C点4米处的。点测得杨树顶端A点的仰角为45°,求杨树的高度

（精确到0.1米，AB,BC,在同一平面内，点C,。在同一水平线上，参考数据：V3«1.73）.

2024年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（二）

参考答案与试题解析

一.解答题（共33小题）

1.中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,

某小区增设了充电站，如图是矩形PQWN充电站的平面示意图，矩形ABC。是其中一个停车位.经测

量，ZABQ^6Q°,AB=5Am,CE^1.6m,GHLCD,GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，

按图示并列划定.

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1%参考数据遍=1.73）

（1）求尸。的长;

（2）该充电站有20个停车位，求PN的长.

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【答案】（1）6.1/7!;

(2)66.7m.

【分析】(1)先求出和AP的长度，进而可以解决问题；

(2)求出QW的长度，因为四边形PQMN是矩形，所以PN=QM=66.7祖.

【解答】解：(1).••四边形PQMN是矩形，

：.ZQ=ZP=90°,

在中，ZABQ=60°,AB=5Am,

：.AQ=AB^inAABQ=ZQAB=30°,

・・•四边形ABC。是矩形，

：.AD=BCfZBAD=ZBCD=ZABC=ZBCE=90°,

：.ZCBE=30°,

,CE8y/3

..BDCr=taC=km，

,8/5

..AADn=—g—m,

VZB4D=180°-30°-90°=60°,

*.AP=AD-cosZ-PAD=—g—m,

:.PQ=AP+AQ=噜屋6.1(?n)；

(2)在RtZkBCE中，BE=.=3.2m,

stnZ.CBE

在RtzXABQ中，BQ=AB，cos/ABQ=2.7m,

:该充电站有20个停车位，

QM=QB+2QBE=66.1m,

:四边形PQWN是矩形，

:.PN=QM=66.7m.

【点评】本题考查了三角函数的实际应用，理解题目意思是解题的关键.

2.图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度A8=

873/77,如图②.从直升飞机上看塔尖C的俯角/EAC=37°,看塔底。的俯角NE4£>=45°,求吉塔

的高度CD(结果精确到0.1m).

(参考数据：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)

图①图②

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】218.3m.

【分析】过点C作CPLAB,先说明四边形88尸是矩形，再在RtAACF>RtADBA中，利用直角三

角形的边角间关系求出AF的长，最后利用线段的和差关系得结论.

【解答】解：过点C作CFLAB,垂足为E

,：AB1BD,CF1AB,DCA.BD,

:./CDB=/B=/CFB=90°.

・•・四边形COBb是矩形.

：・BF=CD,CF=BD=873m.

9：CF//BD//AE,

：.ZEAC=ZACF=37°,ZEAD=ZADB=45°.

在RtAACF中，

AJ7

VtanZACF=汴，

.\AF=tanZACF-CF

=tan37°X873

^0.75X873

=654.75(m).

：.CD=FB=AB-AF

=873-654.75

=218.25

Q218.3(m).

答：吉塔的高度CO约为218.3加.

E-------------------------------------7A]

C，'/：

C\--/---------------------\F

✓I

厂，

DB

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定等知识点

是解决本题的关键.

3.如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动.教学楼周围是开阔平整的地

面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪

的功能是测量角的大小）.

（1）请你设计测量教学楼A8的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标证所画的图形

上（测出的距离用相，〃等表示，测出的角用a,0等表示），并对设计进行说明；

（2）根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）.

UJB__________

Z7Z7^7ZZ77/7777777777Z7777-皮尺测角仪

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】（1）在地面上取C,测量8C=〃z,测量/AC2=a,根据tana=器，即可得出AB的长度；图

见解析；（2）AB=mtana.

【分析】（1）设计一个直角三角形即可；

（2）根据三角函数即可求得.

【解答】解：（1）如图：在地面上取C,测量BC=m,测量/ACB=a,

A

即可得出AB的长度.

（2）VZABC=90Q,

.*AB

..tana=玩，

AB=BCXtana=mtana.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的用法是解题的关键.

4.如图，在△ABC中，AD±BC,AE是边上的中线，AB=10,AD=6,tanZACB=1.

（1）求的长；

(2)求sin/ZME的值.

【考点】解直角三角形；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】⑴14；

V37

(2)-----.

37

【分析】(1)由tan/AC2=l可得05=40=6,根据勾股定理可得3。的长，进而底层的长；

(2)根据AE是BC边上的中线可得”的长，由DE=CE-CD可得。E的长，根据勾股定理可得AE

的长，再根据三角函数的定义解答即可.

【解答】解：(1)'：AD±BC,AB=10,AD=6,

:.BD=-JAB2-AD2=Vio2-62=8；

VtanZACB=l,

：.CD=AD=6,

.•.8C=B£)+a)=8+6=14；

(2)是BC边上的中线，

1

：.CE=^BC=7,

：.DE=CE-CD=7-6=1,

9：AD±BC,

AE=y/AD2+DE2=V62+l2=V37,

..smZDAE-而一面一二

【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是

解直角三角形.

5.某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：

活动测量校园中树A3的高度

项目

活动“测角仪”方案

方案

方案

示意

图

实施①选取与树底B位于同一水平地面的D处；①五

过程②测量。，2两点间的距离；

③站在。处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角/4CF；③在E处水平放置一个

④测量C到地面的高度CD.

测量@DB—10m；

数据②NACF=32.5°；

③CD=L6m.

备注①图上所有点均在同一平面内;

②AB,C£）均与地面垂直；

③参考数据：tan32.5心0.64.③把平面镜看

请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】树A8的高度为8m.

【分析】“测角仪”方案：过C作CPLAB于凡根据矩形的性质得到3=8。=10"z,BF=CD=1.6m,

根据三角函数的定义即可得到结论；

“平面镜”方案：根据垂直的定义得到NC£>E=NABE=90°,根据相似三角形的判定和性质定理即可

得到结论.

【解答】解：“测角仪”方案：过C作CFLAB于R

A

•；CD_LBD,AB1BD,

・•・四边形CQBb是矩形，

：.CF=BD=lQmfBF=CD=T.6m,

VZACF=32.5°,

.*.AF=CF-tan32.5°=10*0.64心6.4(m),

AB=AF-^-BF=6.4+1.6=8(m),

答：树A3的高度为8加；

9

“平面镜”方案：：CD±BD,AB±BDf

：.ZCDE=ZABE=90°,

•：/CED=/AEB,

:.XCDESXABE,

•_C_D__D_E

••—,

ABBE

.1.62

••—,

AB10

：.AB=8,

答：树AB的高度为8s.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握解直角三角形

的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

6.综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度(如图①).某学习小组设计

了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36m,ECLAB,垂足为C.在。

处测得桥塔顶部B的仰角(/CDB)为45°,测得桥塔底部A的俯角(NCZM)为6°,又在E处测

得桥塔顶部B的仰角(NCEB)为31°.

(7)求线段C。的长(结果取整数)；

(II)求桥塔AB的高度(结果取整数).参考数据：tan31°20.6,tan6°^0.1.

图①图②

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】（I）线段的长约为54m；

（〃）桥塔AB的高度约为59m.

【分析】（/）设C£）=x,由。£=36m，得到CE=CD+OE=（x+36）m,根据垂直的定义得到/BCE=

ZACD=90°,解直角三角形即可得到结论；

（ID根据三角函数的定义得到AC=CD«tanZCZ）A^54Xtan6o^54X0,1=5.4（加）.于是得到AB=

AC+8C«=5.4+54259(m).

【解答】解：(/)设CD=x,：。£=36切,

CE=CD+DE=(x+36)m,

'：EC±AB,

：.ZBCE^ZACD=90°,

•・•tan乙CDB=窃,乙CDB=45°,

:・BC=CD*tanZC£>B=x*tan45°=xm,

R「

VtanZ-CEB=近，乙CEB=31°,

：.BC=CE^nZCEB=(X+36)・tan310

.\x=(x+36)・tan31

36xtan31°〜36x0.6

解得久=

l-tan31°x1-0.6

答：线段。的长约为54"z；

AC

(〃)'：tan^CDA=粽，^CDA=6°,

:.AC=CZ>tan/CZM^54Xtan6°心54X0.1=5.4Cm).

：.AB=AC+BC^5A+54^59(m).

答：桥塔AB的高度约为59优.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键.

7.如图1,塑像AB在底座BC上，点。是人眼所在的位置.当点8高于人的水平视线。E时，由远及近

看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A,8两点的圆与水

平视线DE相切时(如图2),在切点P处感觉看到的塑像最大，此时NAP2为最大视

(1)请仅就图2的情形证明艮

(2)经测量，最大视角NAPB为30°,在点P处看塑像顶部点A的仰角NAPE为60°,点P到塑像

的水平距离为6”求塑像AB的高(结果精确到O.Lw.参考数据：V3«1.73).

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；视点、视角和盲区；切线的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】(1)见解析；

(2)塑像AB的高约为69".

【分析】(1)如图，连接根据圆周角定理得到/AA"=/APR由得到/APB

>/ADB；

(2)根据三角函数的定义得到=PH-tan60°=6x值=6百(m),得到NAP8-ZAPB

=60°-30°=30°,根据三角函数的定义即可得到结论.

【解答】(1)证明：如图，设AD与圆交于

连接

则

•?ZAMB>ZADB,

：.ZAPB>ZADB；

(2)解：VZAPH=6Q°,PH=6m,

***tanZ-APH=丽，

：.AH=PH-tan60°=6XV3=6V3(m),

VZAPB=30",

ZBPH=ZAPH-ZAPB=60°-30°=30°,

■:tcm乙BPH=器，

：.BH=PH-tan30°=6X=2A/3(m),

：.AB=XW-BW=6V3-2V3=4V3«4x1.