2.4.1圆的标准方程教学设计高二上学期数学人教A版选择性

教学设计

课程基本信息学科高中数学选择性第一册年级高二学期秋季课题圆的标准方程教科书书名：普通高中教科书数学选择性第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年教学目标1.学会利用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程.2.利用所给已知条件求圆的标准方程.3.根据点与圆的位置关系并能解决相关问题.教学内容教学重点：重点：用定义推导圆的标准方程，判断点与圆的位置关系。

教学难点：难点：利用所给已知条件求圆的标准方程。教学过程一、创设情境，导入新知亚运奥体中心亚运篮球馆亚运武术馆亚运击剑馆第十九届亚运会9月23日在杭州召开，本次的体育场馆从图中可以看出主要是以圆形为主。圆是中华文明的精神原型，天圆地方，是古人的世界观，同时也具有形式美和意境美。圆意味着圆满之意，符合国人内心深处的向往。因此，圆在国人心中具有举足轻重的地位，接下来我们回顾圆探究，之前学过圆的面积和周长计算公式，主要解决的是几何问题。而在现代数学中，代数几何是数学的一个重要分支，主要用到是直角坐标系作为工具，将抽象的代数问题和几何结合起来，那么同学们你能否在直角坐标系中表示出圆的方程吗？设计意图：(利用背景引入本节课题，建立理论与实践之间联系)二、动手操作，探究新知问题1：回顾我们在直线的方程学习中，研究了哪些内容？通过类比方法是否可以去研究圆的方程呢？设计意图：(利用回顾直线探究过程，建立直角坐标系与代数运算之间联系)结论：问题2：类似的，如何研究圆的方程呢？设计意图：(通过类比的思想，探究圆的代数几何问题)结论：问题3：回顾如何建立直线方程？设计意图：(利用回顾直线方程建立，由直线几何要素逻辑递推出直线方程)结论：问题4：类似的，如何建立圆的方程？设计意图：(通过类比的思想，由圆几何要素逻辑递推出圆的方程)结论：问题5：我们知道确定直线要素是一个点和方向，对于确定圆的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？设计意图：(可以通过圆规画圆过程引出，条件允许的话利用几何画板展示)结论：确定圆的因素：圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.问题6：圆是怎样定义的？定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.问题7：已知圆心为,半径为你能推导出圆的方程吗？设计意图：（通过定义，利用两点间距离公式推出圆的方程）结论：设点M(x,y)为圆A上任一点，圆上所有点的集合|MA|＝r,由两点间的距离公式,得＝r,化简可得：我们把上述方程称为圆心为,半径为的圆的标准方程，问题8：圆的标准方程有哪些特点？设计意图：(通过与直线方程对比，确定圆的方程需要哪些条件)结论：方程明确给出了圆心坐标和半径;确定圆的方程必须具备三个独立条件即。问题9：当圆心在原点即时,圆的方程是什么？结论：方程为.点评：当圆心在原点即,半径长时,方程,称为单位圆.同理当，此时方程变为一个点，因此我们规定在圆的标准方程中。问题10：确定一个圆需要圆心和半径，在实际问题中如何去确定圆的标准方程呢？设计意图（在典例分析中掌握求圆的标准方程的基本方法，即：代数法与几何法。培养数学抽象和数学运算能力。）例1写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上．解：分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：把点的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．问题11：判断点在圆内、圆外条件是什么？（设计意图：通过点与圆的位置关系，体会运用代数法和几何法结合的过程，培养数形结合数学思想）位置关系与的大小图示点的坐标的特点点在圆外点在圆上点在圆内例2：的三个顶点的坐标分别是,求它的外接圆的方程。解：分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了.法一：设：所求圆的方程为：因为都在圆上所以所求圆的标准方程为法二：分析：利用三角形外接圆找圆心方法，通过三角形两边中垂线交点即为外接圆圆心，通过圆心到点的距离求半径。线段的中点为,,所以弦的垂直平分线的斜率,所以线段的垂直平分线的方程为:,即线段的中点为,,所以弦的垂直平分线的斜率,所以线段的垂直平分线的方程为:,即联立可得：即圆心为所以所求圆的标准方程为例3.己知圆心为的圆经过点和,且圆心在直线上,求圆心为的圆的标准方程.思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.解:(方法1)设点为圆心,∵点在直线:,∴可设点的坐标为.又∵该圆经过两点,∴∴解得：∴圆心坐标为,半径故所求圆的标准方程为.(方法2)设所求圆的标准方程为,圆心坐标为,由条件知故所求圆的标准方程为(方法3)线段的中点为,,所以弦的垂直平分线的斜率,所以线段的垂直平分线的方程为:,即由垂径定理可知，圆心C也在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组即圆心为,圆的半径为,故所求圆的标准方程为圆的标准方程的两种求法(1)直接法根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程．(2)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(3)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:设——设所求圆的方程为列——由已知条件,建立关于的方程组;解——解方程组,求出;代——将代入所设方程,得所求圆的方程.三、课堂小结，深化新知学生的收获以及对本节课程评价A.优B.良C.中D.差四、布置作业，延展新知P85练习1、2、3、4五．教学反思，反刍新知在本节课的教学中，引导学生回顾探究直线的方程过程，从直线几何要素的基础上，类比得到圆的几何要素——圆心位置和半径大小。由直线方程类比得到从圆心坐标和半径大小入手探究圆的标准方程。学生积极主动参与探究活动过程，通过“类比