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文档简介
(4)概率统计与计数原理一2024届高考数学二轮复习巧刷高考题型
之解答题
一、解答题
1、为应对全球气候变化,我国制定了碳减排的国家战略目标,采取了一系列政策措施
积极推进碳减排,作为培育发展新动能、提升绿色竞争力的重要支撑,节能环保领域
由此成为全国各地新一轮产业布局的热点和焦点.某公司为了解员工对相关政策的了解
程度,随机抽取了180名员工进行调查,得到如下表的数据:
性别
了解程度合计
男性女性
比较了解6060
不太了解2020
合计
(1)补充表格,并根据小概率值夕=0025的独立性检验,分析了解程度与性别是否
有关?
(2)用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取12人,再从这12人中随机抽取6人,
用随机变量X表示这6人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值,求X的分布
列和数学期望.
附表及公式:
a0.100.050.0250.0100.001
Xa2.7063.8415.0246.63510.828
n(ad-bc)2
’(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)
1、答案:(1)了解程度与性别无关
⑵X的分布列见解析‘数学期望为力
解析:(1)补充表格如下:
性别
了解程度合计
男性女性
比较了解6060120
不太了解202060
合计80100180
零假设为Ho:了解程度与性别无关.
根据列联表中的数据,经计算得到/=竺沙°义40-60*2°尸=-=4.5<5.024,
120x60x80x1002
根据小概率值夕=0.025的独立性检验,没有充分证据推断为不成立,
因此可以认为“°成立,即了解程度与性别无关.
(2)用分层抽样在不太了解的60人中抽取12人,抽得女性8人,男性有4人.
X的可能取值为0,2,4,6.
o16
则P(X=0)=-^=3,P(X=2)=
33
p(X=4)=^^=—,P(X=6)=^^=—
C:233C:?33
X的分布列为:
X0246
81681
P
33333333
…、c8c16/8/170
二.E(X)—Ox1~2x---F4x----F6x—=—.
3333333333
2、2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行,最终阿根廷通过点球大战总
比分7:5战胜法国,夺得冠军.根据比赛规则:淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟,若在
90分钟结束时进球数持平,需进行30分钟的加时赛,若加时赛仍是平局,则采用“点球大
战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下:①两队各派5名队员,双方轮流踢点球,累
计进球个数多者胜;②如果在踢满5轮前,一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可
能射中的球数,则不需要再踢(例如:第4轮结束时,双方“点球大战”的进球数比为2:0,
则不需要再踢第5轮);③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平,则从第6轮起,双方
每轮各派1人踢点球,若均进球或均不进球,则继续下一轮,直到出现一方进球另一方不
进球的情况,进球方胜出.
(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将也会等
可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也只有3的
5
可能性将球扑出.若球员射门均在门内,在一次“点球大战”中,求门将在前4次扑出点球的
个数X的分布列期望;
(2)现有甲、乙两队在决赛中相遇,常规赛和加时赛后双方0:0战平,需要通过“点球大
战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为3,乙队每名队员射进点球的概率
4
均为2,假设每轮点球中进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
3
(i)若甲队先踢点球,求在第3轮结束时,甲队踢进了3个球并获得冠军的概率;
(ii)求“点球大战”在第7轮结束,且乙队以6:5获得冠军的概率.
2、答案:(1)1
5
(2)士-
1152
解析:(1)根据题意门将每次扑中点球概率夕=
355
X的可能取值为0,1,2,3,4,且X
I5)
P(X=O)04=|||;
p(x=i)=cA(i—
P(X=2)=O?=急;
尸(X=3)=C»3(i—0=怒
P(X=4)=C»4(i—必。1
625
(2)(i)甲队先踢点球,第三轮结束时甲队踢进了3个球,并获得冠军,
则乙队没有进球,所以甲队获得冠军的概率为弓]x,-:=~
(ii)点球在第7轮结束,且乙队以6:5获胜,
所以前5轮战平,且第6轮战平,第7轮乙队1:o胜甲队
当前5轮两队为4:4时,
乙队胜出的概率为C:(-3VxL1c,:2丫-x1-〕x/3-X-2^x(1ix2-、=2上5
5⑷4§⑶3JU3jU3j2304
当前5轮两队为5:5时,
(3V(2丫](11)门2、1
乙队胜出的概率为c;-xc;-x-Lx-LX-Lx-
⑷\3jU3jU3J2304
因为上述两个事件互斥,所以乙队胜出的概率为三+」一=」".
230423041152
3、网上购物就是通过互联网检索商品信息,并通过电子订购单发出购物请求,厂商通过
邮购的方式发货或通过快递公司送货上门,货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等
方式在线汇款,根据2019年中国消费者信息研究,超过40%的消费者更加频繁地使用网
上购物,使得网上购物和送货上门的需求量激增,越来越多的消费者也首次通过第三方
APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物,某天猫专营店统计了2020年8月5日
至9日这5天到该专营店购物的人数%和时间第七天间的数据,列表如下:
Xi12345
%75849398100
(1)由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系?若可
用,估计8月10日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数;若|川>0.75,则线性
相关程度很高,可用线性回归模型拟合,计算厂时精确到0.01).
-矶
参考数据:J石布=6588•附:相关系数r=1日,回归直线方程的斜率
宓…沟…)2
£(玉T(x-y)
b=上1—-;,截距a=y一5尤•
z…
i=l
(2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人,再从
这7人中任取3人进行奖励,求这3人取自不同天的概率.
(3)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案:方案一,购物金额每满100元可减10
元;方案二,一次性购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为L且每次抽奖
3
互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8折,中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购
买1000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
3、答案:(1)可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系,8月10日到该专营
店购物的人数约为109;
⑵-;
7
(3)选择方案二更划算.
解析:(1)由表中数据可得是=3,亍=90,£(玉-叶=1。,£(乂_讨=434
i=li=l
i=l
64
所以厂=»0.97>0,75
V4340
所以可用线性回归模型拟合人数y与天数%之间的关系.
而、生业曰
64人彳
——=6.4,
10
i=l
贝14=7—=90—6.4x3=70.8,
所以3=6.4%+70.8,
令光=6,可得3=109.2.
答:8月10日到该专营店购物的人数约为109.
(2)因为75:100=3:4,所以从第1天和第5天取的人数分别为3和4,从而3人取自不
同天的种数为C*C;+CjC\,
所以概率p=C©+C阻=6
C;7
答:这3人取自不同天的概率为9.
7
(3)若选方案一,需付款1000—100=900元.
若选方案二,设需付款X元,则X的取值可能为600,800,900,1000,
则尸(X=600)=C;x&吟,
P(X=900)=C;g1j卷,
P(X=1000)=C;x]£|*,
iA19o9A9OO
所以石(X)=600x——+800x——+900x——+1000><——=--------<900,
2727272727
因此选择方案二更划算.
4、某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况,现有〃(〃eN*)份血液
样本(数量足够大),有以下两种检验方式:
方式一:逐份检验,需要检验n次;
方式二:混合检验,将其中网左eN*且左•.2)份血液样本混合检验,若混合血样无抗体,说明
这左份血液样本全无抗体,只需检验1次;若混合血样有抗体,为了明确具体哪份血液样
本有抗体,需要对每份血液样本再分别化验一次,检验总次数为(左+1)次.
假设每份样本的检验结果相互独立,每份样本有抗体的概率均为0(。<0<1).
(1)现有7份不同的血液样本,其中只有3份血液样本有抗体,采用逐份检验方式,求恰
好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率;
(2)现取其中网左eN*且左一2)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次
数为加;采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为3•
①若ER)=E值),求P关于左的函数关系式0=式灯;
1
②已知p=l_e「M以检验总次数的期望为依据,讨论采用何种检验方式更好?
参考数据:In2=0.693,In25=3.219,In26=3.258,ln27=3.296,ln28=3.332.
4
4、答案:(1)—
(2)见解析
解析:(1)设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A,
事件A分为两种情况,一种是前三次检验中,其中两次检验出抗体,第四次检验出抗体,二
是前四次均无抗体,
所以P(A)=C;C;9+A:=1,
A;35
所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为
(2)①由已知得网。)=左&的所有可能取值为1«+1,
所以P值=1)=(1-P);P(&=左+1)=1-(JP):
所以£值)=(1.P)/+(左+1巾—(1—力[=左+1-现一P)\
若同寄)=£值),则左=k+1—左(1—p)\
所以左(1一夕『=1.(1一pf
K
所以得
所以P关于左的函数关系式p=/(幻=1—H(Z22且kN*)
②由①知石(。)=左,七值)=k+1—依8
tkk
若E(4)>E©),则左〉人+1—人百,所以1_公与<0,得ke。>1,
k
所以In左一7>。(左一2且左eN*)
8
丫118—Y
令%)=lnx—G(光..2,尤wR),则f(x)=——-=——(x..2,xeR),
OXO
当2Wx<8时,/(x)>0,当x>8时,/(x)v。,
所以〃X)在28)上单调递增,在(8,+8)上单调递减,
GOA
因为/(2)=In2——u0.693—0.25>0,/(26)=In26——«3.258-3.25>0,
88
27
/(27)=ln27-—«3.296-3.375<0,
所以不等式E(£)>E&)的解是ke[2,26]且左eN*,
所以左e[2,26]且左wN*时,E©)>E©),采用方案二混合检验方式好,
ke[27,+8)且左wN*时,E0)<E&),采用方案一逐份检验方式好,
5、深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队,在对球员的使用上总是进行数据分析,为了考
查甲球员对球队的贡献,现作如下数据统计:
球队胜球队负总计
甲参加22b30
甲未参加C12d
总计30en
(1)求b,c,d,e,n的值,据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;
(2)根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋,中锋,后卫以及守门员四个位置,且出场
率分别为02,0.5,0.2,0.1,当出任前锋,中锋,后卫以及守门员时,球队赢球的概率依次
为06,0.8,0.4,0.8则:
①当他参加比赛时,求球队某场比赛赢球的概率;
②当他参加比赛时,在球队赢了某场比赛的条件下,求乙球员担当前锋的概率:
③如果你是教练员,应用概率统计有关知识.该如何使用乙球员?
附表及公式:
P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
n(ad-bcj
(i+b)(c+d)(a+c)(/?+d)
5、答案:(1)bMCMg.drerZO7MSO;有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛
有关;
(2)①0.68;
②a;
17
③乙球员担当中锋.
解析:(1)由歹!]联表中的数据,得/2=0=30—22=8,d=e=8+12=20,〃=20+30=50,
50x(22x12-8x8)2
K2=-5.556>5.024'
30x20x30x20
所以有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.
(2)①设%表示“乙球员担当前锋”也表示“乙球员担当中锋”;&表示“乙球员担当后
卫
人4表示“乙球员担当守门员”方表示“球队赢得某场比赛”,Q=AAA3A4,
且A,4,4,4两两互斥,P(A)=0.2,P(4)=0.5,P(A3)=0.2,尸(4)=o.i,
P(BIA)=0.6,P(BIA)=0.8,P(BIA)=0.4,P(B\A4)=0.8,
所以尸(尸)A)
P(B)=A)(0A)+P(4)P(BI4)+P(A3)P(B|A3+P(A4)P(BI4
=0.2x0.6+0.5x0.8+0.2x0.4+0.lx0.8=0.68,
所以当他参加比赛时,球队某场比赛赢球的概率是0.68;
②乙球员担当前锋的概率尸(41B)=乌42=尸(例4)尸(4)=°-2x0-6=A;
P(B)P(B)0.6817
③当他参加比赛吐在球队赢了某场比赛的条件下屈②知,乙球员担当前锋的概率是a;
17
乙球员担当中锋的概率是尸(413)=生3竺=尸⑻4*(4)=0-5x0-8=竺.
P(B)P(B)0.6817
2x04
乙球员担当后卫的概率P(A3IB)=四丝=尸(例4)尸(4)=°--=2.;
P(B)P(B)0.6817
乙球员担当守门员的概率尸(AN)=曳空例=2,
P(B)P(B)0.6817
显然w>a>2=2,为了扩大赢球面,乙球员应担当中锋.
17171717
6、2023年中秋国庆双节期间,我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节
期间车辆出行的高峰情况,在某高速公路收费点记录了10月1日上午8:20〜9:40这
一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点,为方
便统计,时间段8:20〜8:40记作区间[20,40),8:40〜9:00记作[40,60),
9:00〜9:20记作[60,80),9:20〜9:40记作[80,100],对通过该收费点的车辆数进行
初步处理,已知机=2",8:20〜9:40时间段内的车辆数的频数如下表:
时间段[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]
频数100300mn
(1)现对数据进一步分析,采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆,再
从这10辆车中随机抽取4辆,设抽到的4辆车中在9:00〜9:40通过的车辆数为X,
求X的分布列与期望;
(2)由大数据分析可知,工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T〜
其中〃可用(1)中这1000辆车在8:20〜9:40之间通过该收费点的时刻的平均值近
似代替,拉可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),
已知某天共有800辆车通过该收费点,估计在8:28〜9:22之间通过的车辆数(结果四
舍五入保留到整数).
参考数据:若T〜则①尸(〃—b<T<〃+b)=0.6827;
②P(〃-2cr<T<〃+2cr)=0.9545;③-3cr<T<〃+3cr)=0.9973.
17
6、答案:(1)分布列见解析;期望为/
(2)655
解析:(1)因为100+300+机+〃=1000,m=2n,所以机=400,n=200.
由分层随机抽样可知,抽取的10辆车中,在9:00〜9:40通过的车辆数位于时间段
[60,80),[80,100]这两个区间内的车辆数为(4。寓x10=6,
车辆数X的可能取值为0,1,2,3,4,
43
”=0)=上C°c学=」1一,P(X=1)=^c'4c=2^4=—4,p(X=2)=*C2ac2=H90_=±3,
C:o210C:o21035C:o2107
噂=3)=与=幽」,P(X=4)=汽L叵,,
C:o21021C:21014
所以X的分布列为
X01234
1481
P2
2103572114
12
所以E(X)=Ox-----+lx——+2x—+3x—+4x——
2103572114y
(2)这1000辆车在8:20〜9:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值
100300400200
〃=30x+50x+70x+90x=64,即9:04,
100010001000WOO
22222
cr=(30-64)x+(50-64)x+(70-64)x+(90-64)x=324,
1000100010001000
所以b=18.
估计在8:28〜9:22这一时间段内通过的车辆数,也就是28<TW82通过的车辆数,工
作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T〜N色,182),
P(28<T<82)=P(64-2xl8<T<64+18)=P(//-2cr<T<〃+b)
=gp(〃-2cr<T<〃+2cr)+gp(〃—cr<〃+cr)=0.8186,
所以估计在8:28~9:22这一时间段内通过的车辆数为800'0.81863655.
7、随着人民生活水平的不断提高,“衣食住行”愈发被人们所重视,其中对饮食的要求也
愈来愈高.某地区为了解当地餐饮情况,随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问
卷调查.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图)解
决下列问题.
组别分组频数频率
第1组[50,60)140.14
第2组[60,70)m
第3组[70,80)360.36
第4组[80,90)0.16
第5组[90,100)4n
合计
(1)求m,n,y,x的值;
(2)求中位数;
(3)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”,将频率视为概率用样本估计总体,从该
地区中随机抽取3人,记其中“美食客”的人数为J,求J的分布列和数学期望.
7、合案:(1)7/7=30»«=0.04,x=0.03-1y—0.004;
2
(2)71-
3
(3)分布列见解析,数学期望为3.
5
解析:(1)由题意可得第四组的人数为100x0.16=16,
所以加=100—14—36—16—4=30,"=3=0.04,
100
又[60,70)内的频率为迎=0.3,所以%="=0.03,
10010
[90,100)内的频率为0.04,所以y=—=0,004.
10
(2)由频率分布直方图可得第一、二组频率之和为(0.014+0.03)x10=0.44,
第一、二、三组频率之和为(0.014+0.03+0.036)x10=0.8,故中位数在[70,80)之间,
设中位数为羽贝1:10x0.014+10x0.03+(x—70)x0.036=0.5,解得x=71*,
3
故中位数为71工.
3
(3)由频率分布表可得该地区抽取“美食客’的概率为0.16+0.04=0.2,
由题意J可取0,1,2,3,且J吕。,:],
所以PC=。)Y喂,『)=C;刖*蔑
%=2)=4二口=覆%=3)=《口30°=占
所以J的分布列为
0123
6448121
P
125125125125
13
£(a=3x-=-
8、校园师生安全重于泰山,越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.某学校引进MN两
种类型的自动体外除颤器(简称AED)若干,并组织全校师生学习AED的使用规则及
方法.经过短期的强化培训,在单位时间内,选择两种类型AED操作成功的概率分别
为2和L假设每次操作能否成功相互独立.
32
(1)现有某受训学生进行急救演练,假定他每次随机等可能选择〃或N型AED进行操作,
求他恰好在第二次操作成功的概率;
(2)为激发师生学习并正确操作AED的热情,学校选择一名教师代表进行连续两次设备
操作展示,下面是两种方案:
方案甲:在第一次操作时,随机等可能的选择M或N型AED中的一种,若第一次对某类
型AED操作成功,则第二次继续使用该类型设备;若第一次对某类型AED操作不成功,
则第二次使用另一类型AED进行操作.
方案乙:在第一次操作时,随机等可能的选择”或N型AED中的一种,无论第一次操作
是否成功,第二次均使用第一次所选择的设备.
假定方案选择及操作不相互影响,以成功操作累积次数的期望值为决策依据,分析哪种方
案更好?
8、答案:(1)2±
144
⑵见解析
解析:(1)设“操作成功”为事件S,“选择设备2VT为
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