2024届高考数学二轮复习解答题之概率统计与计数原理

(4)概率统计与计数原理一2024届高考数学二轮复习巧刷高考题型

之解答题

一、解答题

1、为应对全球气候变化，我国制定了碳减排的国家战略目标，采取了一系列政策措施

积极推进碳减排，作为培育发展新动能、提升绿色竞争力的重要支撑，节能环保领域

由此成为全国各地新一轮产业布局的热点和焦点.某公司为了解员工对相关政策的了解

程度，随机抽取了180名员工进行调查，得到如下表的数据：

性别

了解程度合计

男性女性

比较了解6060

不太了解2020

合计

(1)补充表格，并根据小概率值夕=0025的独立性检验，分析了解程度与性别是否

有关?

(2)用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，

用随机变量X表示这6人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值，求X的分布

列和数学期望.

附表及公式：

a0.100.050.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

n(ad-bc)2

’(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

1、答案：(1)了解程度与性别无关

⑵X的分布列见解析‘数学期望为力

解析：(1)补充表格如下：

性别

了解程度合计

男性女性

比较了解6060120

不太了解202060

合计80100180

零假设为Ho：了解程度与性别无关.

根据列联表中的数据，经计算得到/=竺沙°义40-60*2°尸=-=4.5<5.024,

120x60x80x1002

根据小概率值夕=0.025的独立性检验，没有充分证据推断为不成立，

因此可以认为“°成立，即了解程度与性别无关.

（2）用分层抽样在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性8人，男性有4人.

X的可能取值为0,2,4,6.

o16

则P(X=0)=-^=3，P(X=2)=

33

p(X=4)=^^=—,P(X=6)=^^=—

C：233C：?33

X的分布列为:

X0246

81681

P

33333333

…、c8c16/8/170

二.E(X)—Ox1~2x---F4x----F6x—=—.

3333333333

2、2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总

比分7:5战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在

90分钟结束时进球数持平,需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大

战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累

计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可

能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2：0,

则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方

每轮各派1人踢点球,若均进球或均不进球，则继续下一轮,直到出现一方进球另一方不

进球的情况,进球方胜出.

（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等

可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也只有3的

5

可能性将球扑出.若球员射门均在门内,在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的

个数X的分布列期望；

(2)现有甲、乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方0：0战平，需要通过“点球大

战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为3,乙队每名队员射进点球的概率

4

均为2,假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

3

(i)若甲队先踢点球,求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；

(ii)求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以6:5获得冠军的概率.

2、答案：(1)1

5

(2)士-

1152

解析：(1)根据题意门将每次扑中点球概率夕=

355

X的可能取值为0,1,2,3,4,且X

I5)

P(X=O)04=|||；

p(x=i)=cA(i—

P(X=2)=O?=急;

尸(X=3)=C»3(i—0=怒

P(X=4)=C»4(i—必。1

625

(2)(i)甲队先踢点球，第三轮结束时甲队踢进了3个球,并获得冠军,

则乙队没有进球，所以甲队获得冠军的概率为弓］x,-：=~

(ii)点球在第7轮结束，且乙队以6:5获胜，

所以前5轮战平，且第6轮战平，第7轮乙队1：o胜甲队

当前5轮两队为4:4时，

乙队胜出的概率为C：(-3VxL1c,：2丫-x1-〕x/3-X-2^x(1ix2-、=2上5

5⑷4§⑶3JU3jU3j2304

当前5轮两队为5:5时，

(3V(2丫］(11)门2、1

乙队胜出的概率为c；-xc；-x-Lx-LX-Lx-

⑷\3jU3jU3J2304

因为上述两个事件互斥，所以乙队胜出的概率为三+」一=」".

230423041152

3、网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过

邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等

方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网

上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方

APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了2020年8月5日

至9日这5天到该专营店购物的人数%和时间第七天间的数据，列表如下：

Xi12345

%75849398100

(1)由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系?若可

用，估计8月10日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数;若|川＞0.75,则线性

相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算厂时精确到0.01).

-矶

参考数据:J石布=6588•附:相关系数r=1日，回归直线方程的斜率

宓…沟…)2

£（玉T（x-y）

b=上1—-;，截距a=y一5尤•

z…

i=l

（2）运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从

这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率.

（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案:方案一,购物金额每满100元可减10

元;方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为L且每次抽奖

3

互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购

买1000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.

3、答案：（1）可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系,8月10日到该专营

店购物的人数约为109;

⑵-；

7

（3）选择方案二更划算.

解析：（1）由表中数据可得是=3，亍=90,£（玉-叶=1。,£（乂_讨=434

i=li=l

i=l

64

所以厂=»0.97>0,75

V4340

所以可用线性回归模型拟合人数y与天数%之间的关系.

而、生业曰

64人彳

——=6.4,

10

i=l

贝14=7—=90—6.4x3=70.8,

所以3=6.4%+70.8,

令光=6,可得3=109.2.

答：8月10日到该专营店购物的人数约为109.

(2)因为75:100=3:4,所以从第1天和第5天取的人数分别为3和4,从而3人取自不

同天的种数为C*C;+CjC\,

所以概率p=C©+C阻=6

C；7

答:这3人取自不同天的概率为9.

7

(3)若选方案一,需付款1000—100=900元.

若选方案二，设需付款X元,则X的取值可能为600,800,900,1000,

则尸(X=600)=C；x&吟,

P(X=900)=C；g1j卷，

P(X=1000)=C；x]£|*，

iA19o9A9OO

所以石(X)=600x——+800x——+900x——+1000><——=--------<900,

2727272727

因此选择方案二更划算.

4、某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有〃(〃eN*)份血液

样本(数量足够大)，有以下两种检验方式：

方式一:逐份检验，需要检验n次；

方式二:混合检验，将其中网左eN*且左•.2)份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明

这左份血液样本全无抗体，只需检验1次;若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样

本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次,检验总次数为(左+1)次.

假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为0(。<0<1).

(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰

好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；

(2)现取其中网左eN*且左一2)份血液样本，记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次

数为加；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为3•

①若ER）=E值），求P关于左的函数关系式0=式灯；

1

②已知p=l_e「M以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？

参考数据：In2=0.693,In25=3.219,In26=3.258,ln27=3.296,ln28=3.332.

4

4、答案：（1）—

（2）见解析

解析：（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A,

事件A分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二

是前四次均无抗体，

所以P（A）=C；C；9+A：=1,

A；35

所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为

（2）①由已知得网。）=左&的所有可能取值为1«+1，

所以P值=1）=（1-P）;P（&=左+1）=1-（JP）:

所以£值）=（1.P）/+（左+1巾—（1—力［=左+1-现一P）\

若同寄）=£值），则左=k+1—左（1—p）\

所以左（1一夕『=1.（1一pf

K

所以得

所以P关于左的函数关系式p=/（幻=1—H（Z22且kN*）

②由①知石（。）=左,七值）=k+1—依8

tkk

若E（4）＞E©），则左〉人+1—人百，所以1_公与＜0,得ke。＞1，

k

所以In左一7＞。（左一2且左eN*）

8

丫118—Y

令%）=lnx—G（光..2,尤wR）,则f（x）=——-=——（x..2,xeR）,

OXO

当2Wx<8时，/(x)>0,当x>8时，/(x)v。，

所以〃X)在28)上单调递增，在(8,+8)上单调递减,

GOA

因为/(2)=In2——u0.693—0.25>0,/(26)=In26——«3.258-3.25>0,

88

27

/(27)=ln27-—«3.296-3.375<0,

所以不等式E(£)>E&)的解是ke[2,26]且左eN*,

所以左e[2,26]且左wN*时,E©)>E©),采用方案二混合检验方式好，

ke[27,+8)且左wN*时,E0)<E&)，采用方案一逐份检验方式好，

5、深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队，在对球员的使用上总是进行数据分析,为了考

查甲球员对球队的贡献,现作如下数据统计：

球队胜球队负总计

甲参加22b30

甲未参加C12d

总计30en

(1)求b,c,d,e,n的值，据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；

(2)根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋，中锋，后卫以及守门员四个位置，且出场

率分别为02,0.5,0.2,0.1,当出任前锋，中锋，后卫以及守门员时,球队赢球的概率依次

为06,0.8,0.4,0.8则：

①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；

②当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下,求乙球员担当前锋的概率：

③如果你是教练员，应用概率统计有关知识.该如何使用乙球员？

附表及公式：

P（K2..k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n（ad-bcj

(i+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

5、答案：(1)bMCMg.drerZO7MSO；有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛

有关；

(2)①0.68；

②a；

17

③乙球员担当中锋.

解析：(1)由歹!］联表中的数据，得/2=0=30—22=8,d=e=8+12=20,〃=20+30=50,

50x(22x12-8x8)2

K2=-5.556>5.024'

30x20x30x20

所以有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.

(2)①设％表示“乙球员担当前锋”也表示“乙球员担当中锋”；&表示“乙球员担当后

卫

人4表示“乙球员担当守门员”方表示“球队赢得某场比赛”,Q=AAA3A4,

且A,4,4,4两两互斥,P(A)=0.2,P(4)=0.5,P(A3)=0.2，尸(4)=o.i,

P(BIA)=0.6,P(BIA)=0.8,P(BIA)=0.4,P(B\A4)=0.8,

所以尸(尸)A)

P(B)=A)(0A)+P(4)P(BI4)+P(A3)P(B|A3+P(A4)P(BI4

=0.2x0.6+0.5x0.8+0.2x0.4+0.lx0.8=0.68，

所以当他参加比赛时，球队某场比赛赢球的概率是0.68;

②乙球员担当前锋的概率尸(41B)=乌42=尸(例4)尸(4)=°-2x0-6=A；

P(B)P(B)0.6817

③当他参加比赛吐在球队赢了某场比赛的条件下屈②知，乙球员担当前锋的概率是a；

17

乙球员担当中锋的概率是尸(413)=生3竺=尸⑻4*(4)=0-5x0-8=竺.

P(B)P(B)0.6817

2x04

乙球员担当后卫的概率P(A3IB)=四丝=尸(例4)尸(4)=°--=2.；

P(B)P(B)0.6817

乙球员担当守门员的概率尸(AN)=曳空例=2,

P(B)P(B)0.6817

显然w>a>2=2,为了扩大赢球面,乙球员应担当中锋.

17171717

6、2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节

期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午8:20〜9:40这

一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方

便统计，时间段8:20〜8:40记作区间［20,40）,8:40〜9:00记作［40,60）,

9:00〜9:20记作［60,80）,9:20〜9:40记作［80,100］,对通过该收费点的车辆数进行

初步处理，已知机=2"，8:20〜9:40时间段内的车辆数的频数如下表：

时间段[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

频数100300mn

（1）现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再

从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9:00〜9:40通过的车辆数为X,

求X的分布列与期望；

（2）由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T〜

其中〃可用（1）中这1000辆车在8:20〜9:40之间通过该收费点的时刻的平均值近

似代替，拉可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），

已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在8:28〜9:22之间通过的车辆数（结果四

舍五入保留到整数）.

参考数据：若T〜则①尸（〃—b<T<〃+b）=0.6827；

②P（〃-2cr<T<〃+2cr）=0.9545；③-3cr<T<〃+3cr）=0.9973.

17

6、答案：（1）分布列见解析；期望为/

（2）655

解析：（1）因为100+300+机+〃=1000,m=2n,所以机=400,n=200.

由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9:00〜9:40通过的车辆数位于时间段

［60,80）,［80,100］这两个区间内的车辆数为（4。寓x10=6,

车辆数X的可能取值为0,1,2,3,4,

43

”=0）=上C°c学=」1一,P（X=1）=^c'4c=2^4=—4,p（X=2）=*C2ac2=H90_=±3,

C：o210C：o21035C：o2107

噂=3）=与=幽」，P（X=4）=汽L叵,，

C：o21021C：21014

所以X的分布列为

X01234

1481

P2

2103572114

12

所以E(X)=Ox-----+lx——+2x—+3x—+4x——

2103572114y

(2)这1000辆车在8:20〜9:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值

100300400200

〃=30x+50x+70x+90x=64,即9:04,

100010001000WOO

22222

cr=(30-64)x+(50-64)x+(70-64)x+(90-64)x=324,

1000100010001000

所以b=18.

估计在8:28〜9:22这一时间段内通过的车辆数，也就是28<TW82通过的车辆数，工

作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T〜N色,182),

P(28<T<82)=P(64-2xl8<T<64+18)=P(//-2cr<T<〃+b)

=gp(〃-2cr<T<〃+2cr)+gp(〃—cr<〃+cr)=0.8186,

所以估计在8:28~9:22这一时间段内通过的车辆数为800'0.81863655.

7、随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也

愈来愈高.某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问

卷调查.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图)解

决下列问题.

组别分组频数频率

第1组[50,60)140.14

第2组[60,70)m

第3组[70,80)360.36

第4组[80,90)0.16

第5组[90,100)4n

合计

(1)求m,n,y,x的值；

(2)求中位数；

(3)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率用样本估计总体，从该

地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为J，求J的分布列和数学期望.

7、合案：(1)7/7=30»«=0.04,x=0.03-1y—0.004；

2

(2)71-

3

(3)分布列见解析，数学期望为3.

5

解析：(1)由题意可得第四组的人数为100x0.16=16，

所以加=100—14—36—16—4=30，"=3=0.04,

100

又［60,70)内的频率为迎=0.3,所以％="=0.03,

10010

［90,100)内的频率为0.04,所以y=—=0,004.

10

(2)由频率分布直方图可得第一、二组频率之和为(0.014+0.03)x10=0.44,

第一、二、三组频率之和为(0.014+0.03+0.036)x10=0.8,故中位数在［70,80)之间,

设中位数为羽贝1：10x0.014+10x0.03+(x—70)x0.036=0.5,解得x=71*,

3

故中位数为71工.

3

(3)由频率分布表可得该地区抽取“美食客’的概率为0.16+0.04=0.2,

由题意J可取0,1,2,3,且J吕。,：］,

所以PC=。)Y喂，『)=C；刖*蔑

%=2）=4二口=覆%=3）=《口30°=占

所以J的分布列为

0123

6448121

P

125125125125

13

£(a=3x-=-

8、校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.某学校引进MN两

种类型的自动体外除颤器（简称AED）若干,并组织全校师生学习AED的使用规则及

方法.经过短期的强化培训,在单位时间内，选择两种类型AED操作成功的概率分别

为2和L假设每次操作能否成功相互独立.

32

（1）现有某受训学生进行急救演练,假定他每次随机等可能选择〃或N型AED进行操作,

求他恰好在第二次操作成功的概率；

（2）为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备

操作展示，下面是两种方案：

方案甲：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，若第一次对某类

型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备;若第一次对某类型AED操作不成功，

则第二次使用另一类型AED进行操作.

方案乙：在第一次操作时，随机等可能的选择”或N型AED中的一种，无论第一次操作

是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备.

假定方案选择及操作不相互影响,以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方

案更好？

8、答案：（1）2±

144

⑵见解析

解析：（1）设“操作成功”为事件S,“选择设备2VT为