2024年高考数学专项复习：概率递推与马尔科夫（解析版）

2024年高考数学专项概率递推与马尔科夫(解析

版)

递推方法计算概率与一维马尔科夫过程

一、基本原理

虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造

某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于

整点处，在时刻t=0时,位于点x=i[iEN+),下一个时刻，它将以概率a或者B

(aG(0,l),a+£=1)向左或者向右平移一个单位.若记状态X±=t表示:在时刻t该点位于位置多=

N+),那么由全概率公式可得：

=P(X=i).网乂+1/乂=一)+。(乂=+1)下(乂+0[乂=+1)

另一方面，由于P(X*+1|-B^-t+1=^|-a代入上式可得：

Pi=a'Pi+i+/3-Pi-i

进一步，我们假设在④=0与x=m(m>0,mEN+)处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再

游走.于是，冗=0,Pm=l.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a,原地不动，其概率为b，向右平移

一个单位，其概率为c，那么根据全概率公式可得：

Pi=aPi-r+bPi+cPi+r

有了这样的理论分析,下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.

二、典例分析

(11(23届佛山二模)有几个编号分别为1,2,…，打的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒

子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一

球放入第3个盒子，以此类推,则从第2个盒子中取到白球的概率是,从第n个盒子中取到白

球的概率是.

随2(23届杭州二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强

化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我

们的序列状态是…，X-2，X-,X”为+1,…，那么乂+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X”

即尸(X+J…,XT，X1,X,=/为+,).

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1

元，每一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去,直到遇到如下两种情

况才会结束赌博游戏:一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元,赌徒停止

赌博.记赌徒的本金为人(人eN*,A<8),赌博过程如下图的数轴所示.

0.50.5

A-1AA+\

AV-1——1-1-L~1----------►

0B

0.50.5

当赌徒手中有71元(0W"B,nCN)时，最终输光的概率为F(n)，请回答下列问题：

⑴请直接写出P(0)与尸(8)的数值.

(2)证明｛F(n)｝是一个等差数列，并写出公差d.

⑶当A=100时,分别计算B=200,B=1000时,P(A)的数值，并结合实际,解释当口一8时,

F(A)的统计含义.

113(2019全国1卷).为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行

动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只

施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白

鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问

题,约定:对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得T

分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分;若都治愈或都未治

愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和£,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

⑵若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，R(E=0,l,…,8)表示“甲药的累计得分为E时，最终认为

甲药比乙药更有效”的概率，则为=0,R=1,E=aP^+bPAcP^i=0,1,…,7),其中a=

P(X=—1),b=P(X=0),c=P[X=1).假设a=0.5,/3=0.8.

(i)证明:｛一.-品｝(，=0,1,…,7)为等比数列;

(n)求并根据2的值解释这种试验方案的合理性.

114足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12

月18日晚进行，全程为期28天.

校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等

可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开

始传球的人为第1次触球者，第八次触球者是甲的概率记为2,即Pi=1.

（1）求2（直接写出结果即可）；

（2）证明：数列［2-1｝为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小.

题5马尔可夫链是因俄国数学家安德烈・马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第九+1次状态

的概率分布只跟第n次的状态有关，与第ri—1,八—2,八—3,…次状态是“没有任何关系的”.现有

甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个

球交换，重复进行"⑺€N*）次操作后，记甲盒子中黑球个数为X”，甲盒中恰有1个黑球的概率为

“，恰有2个黑球的概率为bn.

⑴求Xi的分布列；

（2）求数列｛为｝的通项公式；

（3）求X”的期望.

递推方法计算概率与一维马尔科夫过程

一、基本原理

虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造

某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于

整点处，在时刻t=0时,位于点x=i［iEN+),下一个时刻，它将以概率a或者B

(aG(O,l),a+£=1)向左或者向右平移一个单位.若记状态X±=t表示:在时刻t该点位于位置多=

N+),那么由全概率公式可得：

pgq=P(X=i)•。(乂+1/*=一)+。(乂=+1)下(乂+0［乂=+1)

另一方面，由于P(X*+1|i-B^-t+1=^|-a代入上式可得：

Pi=a'Pi+i+/3-Pi-i

进一步，我们假设在④=0与x=m(m>O,mEN+)处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再

游走.于是，冗=0,Pm=l.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a,原地不动，其概率为b，向右平移

一个单位，其概率为c，那么根据全概率公式可得：

Pi=aPi-r+bPi+cPi+r

有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为|»机游走模型在2019年全国1卷中的应用.

二、典例分析

刷1(23届佛山二模)有几个编号分别为1,2,…，打的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒

子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一

球放入第3个盒子，以此类推,则从第2个盒子中取到白球的概率是,从第n个盒子中取到白

球的概率是.

Q___

解析:记事件4表示从第认i=l,2,…,n)个盒子里取出白球，则P(4)=—,F(A)=1—P(4)=

o

1

所以尸(4)=~人㈤+P(*2)=P(A)尸⑷4)+玳4)网闻4)=-|x-|+|x|=|,

P(A)=F(A2)F(A|A)+P(A)P(A|A)=F(A)x|-+p㈤x^=^-xP(A2)+/=*,

尸(4)=P(4)尸⑶|4)+P(瓦)P("4)=F(A3)x告+p(W)x*=今P(4)+y,

进而可得P(4)=-1-P(Al-i)+v>P(4)—卷=9P(4-i)-卷］，又P(4)一.=",P(4)—

OOZDZZO

I2=白，。(4)一卷=书—一半，所以「(4)一打是首项为小，公比为1■的等比数列，所

；Zlo2o'-2JI2)0o

\以尸(4)-六卷*信广=/(打，即口儿)=j*信-，故答案为：f;fx(17

,1

[+亍

厕2(23届杭州二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强

化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我

们的序列状态是…，Xi,X-,X,M+1,…，那么X‘+i时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X”

即F(Xt+1|…,X-,Xi,X，=F(Xi+1|xt).

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1

元，每一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去,直到遇到如下两种情

况才会结束赌博游戏:一种是手中赌金为0元，即赌徒输光;一种是赌金达到预期的8元，赌徒停止

赌博.记赌徒的本金为A(AeN*,A<8),赌博过程如下图的数轴所示.

0.50.5

C\CX

A-\AA+\

I111

AV_——__L

0

0.50.5

当赌徒手中有九元(0WnWB,neN)时，最终输光的概率为P("),请回答下列问题：

⑴请直接写出P(0)与P(B)的数值.

⑵证明｛F(n)｝是一个等差数列，并写出公差d.

(3)当A=100时，分别计算B=200,5=1000时，P(A)的数值，并结合实际，解释当8->8时,

F(A)的统计含义.

解析：(1)当？1=0时，赌徒已经输光了，因此P(0)=1.当71=时，赌徒到了终止赌博的条件，不再

赌了，因此输光的概率P(B)=0.

(2)记Al:赌徒有n元最后输光的事件，N:赌徒有n元上一场赢的事件，

F(M)=P(N)P(M\N)+P(N)P(M\N),即P(n)=-1-P(n-1)+yP(n+1),

所以P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n),所以｛P(n)｝是一个等差数列，设P(n)-P(n-l)=cZ,

则P(n—1)—P(n—2)=d,…,P⑴-P(0)=d,累加得P(n)—P(0)=」d,故P(8)—尸(O)=Bd,

得弓=--1

ID

(3)A=100,由P(n)-F(0)=nd得P(/)-P(0)=Ad,即P(⑷=1一*，当B=200时，P(/)=

50%,当B=1000时，P(A)=90%,当B一8时，P(A)-1,因此可知久赌无赢家，

即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光.

刷3(2019全国1卷).为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行

动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只

施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白

鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问

题,约定:对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得T

分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分;若都治愈或都未治

愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和£,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，R(£=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为勿时，最终认为

甲药比乙药更有效”的概率，则冗=0,R=1,PkaP^+bPi+cP^i=0,1,…,7),其中a=

尸(X=-1),b—P(X=0),c=P(X—1).假设a=0.5,B=0.8.

(i)证明：｛―一一周(4=0,1,…,7)为等比数列；

(H)求局,并根据马的值解释这种试验方案的合理性.

解析：⑴由题意可知X所有可能的取值为：-1,0,1

P(X=-1)=(1-a)p;P(X=0)=aBQ_a)(1-0);P(X=1)=a(l-£)

则X的分布列如下：

X-101

p破1-4)(1-£)0(1一夕)

(2)a=0.5,6=0.8

/.a=0.5x0.8=0.4,b=0.5x0.8+0.5X0.2=0.5,c=0.5x0.2=0.1

(i)VPi=aPt^+bPt+cPi+^i=0,1,…,7)

即R=0.4ET+0.5R+0.1R+I(，=0,1,…,7)

整理可得：58=短_1+2+1(力=0,1,…,7)

APi+-Pi=4(舄-RT)(E=0,1,…,7)

{8+1—2}(4=0,1「一,7)是以R—冗为首项，4为公比的等比数列

⑻由⑴知：R+1—2=(H—冗)・4'=导4'

76

p8T=B-4,P7-P6=B-4,……，P「R=R4°

1_4848_1

作和可得：R—(40+4]+­••+47)=国会月=1

i—4o••

|Fk3（40+41+d）=WR=?*/=亡=备

马表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，认

为甲药更有效的概率为只=[70.0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合

|257

I理.

j注：1.虽然此时学生未学过全概率公式，但命题人也直接把E=aR+i+b舄+CBT给出，并没有让考生

推导这个递推关系，实际上，由前面的基本原理，我们可以看到，这就是一维随机游走模型.

而1足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12

月18日晚进行，全程为期28天.

校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时,传球者都等

可能的将球传给另外三个人中的任何一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开

始传球的人为第1次触球者，第八次触球者是甲的概率记为2,即P尸1.

（1）求8（直接写出结果即可）；

（2）证明：数列｛2一1｝为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小.

解析：（1）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，

i11

故传给甲的概率为—,故己=可.

IJO

\

（2）第n次触球者是甲的概率记为Pn,则当n>2时，第九一1次触球者是甲的概率为Pn-x,

\11

第八一1次触球者不是甲的概率为1—则2=2T・0+（I—2T）•专=2（1—2T）,

iOO

=

\从而Pn—~,又Pl—"（4-,•e•[pn—~~r\是以印"为首项，公比为—的等比数列.

I则2=,X（一"厂++岛=Ix（-jf+j>+，玛=%（-1），9+1<I，

\旧9>Bo,故第19次触球者是甲的概率大

幽5马尔可夫链是因俄国数学家安德烈・马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第71+1次状态

的概率分布只跟第九次的状态有关，与第九一1,八—2,71—3,…次状态是“没有任何关系的”.现有

甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个

球交换，重复进行n（neN*）次操作后，记甲盒子中黑球个数为X”，甲盒中恰有1个黑球的概率为

册,恰有2个黑球的概率为bn.

⑴求Xi的分布列；

（2）求数列｛an｝的通项公式；

（3）求X”的期望.

•••

解析：⑴由题可知，X1的可能取值为0,1,2.由相互独立事件概率乘法公式可知:

P(X1=0)=4-X-|=4；F(X1=1)=|X|+|-X|-=4；F(X1=2)=2x—2

ooyOOOObz339'

故Xi的分布列如下表:

X1012

252

P

~9~9V

（2）由全概率公式可知:

P(X“+产1)=F(X„=1)•P(Xn+产l|Xn=1)+P(X=2)-P(X〃+产1|X„=2)

xx

+P(X»=o)-P(X“+产i|xn=o)=(yy+ff)^(X=1)+(|-xi)F(xn=2)+

(lx|)F(Xn=0)

-5=

=-4-P(-Q1)+-|-P(X,=2)+-|-P(An-0),即:%+i=-^-an+^bn+-|-(l-On-bn),

yooyoo

所以an+1=