浙南2024年高二年级下册6月期末联考数学试题（含答案）

绝密★考试结束前

2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考

高二数学学科试题

考生须知：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合A={x|尤2+3尤+2>0},集合3={x|0«x<2024},则（）

A.AnB=0B.ALJB=RC.A^BD.BcA

2.已知N,P,。是平面内四个互不相同的点，a,b为不共线向量，MN=2023a+2025b,

NP=2024a+2024b,PQ=-a+b,则（）

A.M,N,尸三点共线B.M,N,。三点共线

C.M,P,。三点共线D.N,P,。三点共线

3.已知复数z=亚;亚'，则|z|=

D.2折

4.^sinl80=m,则sin63。=

A.(Vl-zn2-m)

22

5.如图，48是圆的直径，我垂直于圆所在的平面，。是圆上一点（不同于4B）且24=4C,则二

面角P-BC-A的大小为（）p

A.600B.30°

C.45°D.15°

第5题图

v->0

6.已知函数/（»=,，若存在非零实数％,使得/X-%）=/（兀）成立，则实数左的取值范

口,x<0

围是（）

A.（-oo,-1）B.（e-1]C.（-l»0）D.[-L0）

Jt

7.函数f(x)=Asin(@x+0)(A>0,to>0),若/(x)在区间0-上是单调函数，且

2l

“一万）=〃0）=—/-，则。的值为（）

12）

22-1-1

A.一B.§或2C.-D.1或5

33

8.正项数列｛%｝中，4+1=3“a为实数），若«2022+«2023+«2024=3,则flj)22+名23+域)24的

取值范围是（）

A.[3,9）B.[3,9]C.[3,15)D.[3,15]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知x,yeR,且12*=3，12,=4，则（）

A.y>%B.x+y>lC.孙<；D.yfx+yfy<-j2

10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到4B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学

只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）

A.所有可能的方法有35种

B.如果社区/必须有同学选择，则不同的安排方法有61种

C.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种

D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种

11.已知定义在R上的函数人力满足〃l+x）+〃l-力=0,且/（%）不是常函数，则下列说法中

正确的有（）

A.若2为f（x）的周期,则“X）为奇函数

B.若“X）为奇函数，则2为“X）的周期

C.若4为/（x）的周期，则/（x）为偶函数

D.若为偶函数，则4为人力的周期

高二年级数学学科试题第2页共4页

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若随机变量X〜B（3,p）,丫~耶，的，若p（X21）=0.657,P"Y<3）=p,则P（Y>5）=.

13.如图，已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以为直径的半圆上（正方形ABCD内部，

含边界），则斤•丽的取值范围为.

14.已知函数一ae*，若函数/（%）有三个极值点X1,勺,工301<12<”3人若空3々，则实数a

的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分13分）在△ABC中，角A,3,C的对边分别为

a,b,c,（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC.

（1）求角B的大小；

（2）若b=2招，求△回（：周长的最大值.

3

16.（本题满分15分）已知点P（0,-万），点A在X轴上，点3在y轴的正半轴上，点M在直线AB

上，且满足RVAB=0,AM=3AB.

（1）当点A在入轴上移动时，求动点M的轨迹。的方程；

（2）设。为（1）中的曲线C上一点，直线/过点Q且与曲线C在点。处的切线垂直，/与曲线C

相交于另一点R,当丽・丽=0（0为坐标原点）时，求直线/的方程.

17.(本题满分15分)如图所示多面体A8C0E尸中，平面ADE_L平面48。。，。尸_1_平面48。。,

A4OE是正三角形，四边形A3。是菱形，AB=2,CF=43,ZBAD=^.

(1)求证：E尸〃平面ABCD；

(2)求二面角E-AF-C的正弦值.

18.(本题满分17分)已知函数/(%)=优，g(x)=ajc,其中a>0且awl.

(1)若々=6,试证明：VxeR,f(x)Ng(x)恒成立；

⑵若xe(0,+oo),求函数〃(x)=lnj需的单调区间；

27

(3)请判断参与).巴的大小，并给出证明.

e

2

(参考数据：-«0.736,2.718，万=3.1416,ln^«1.145)

19.(本题满分17分)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，

为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程•该过程要求具备“无记忆”的性

质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关•甲、乙

两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重

复进行”(〃eN*)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X",恰有1个黑球的概率为p“，恰有

2个黑球的概率为％,恰有。个黑球的概率为％•

(1)求Pi，P2的值；

(2)根据马尔科夫链的知识知道2=内外-1+"/T+C%T，其中。，匕，℃[0，1]为常数，同时

Pn+Qn+G=1，请求出P.；

(3)求证：X”的数学期望E(X“)为定值•

审题学校：平阳中学董丽芳

―日而匀酎4而十上4市

2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考

高二数学学科参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

题号12345678

答案DBACCABA

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ACDBCABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.答案：0.2

13.答案：［0,16］

14.答案：(0,(ln3『］

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【详解】

(1)因为(251114-51110853=5111585。，即2sinAcos5=sinBcosC+sinCbos5,

可得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,又因为Ae(0,7i),贝iJsinA#。，可得cosB=g,且

7T

0<B<7C,可得8...........................................6分

3=±=上=述=4

(2)法一：由正弦定理可得sinAsinBsinC73，则。=4smA,c=4sinC,

T

可得a+b+c=4sinA+2退+4sinC=2立+4sinA+4sin(弓兀一A)

=2^3+4sinA+2sinA+2石cosA=2y/3+6sinA+2币cosA=2百+4>/3sin(A+已)，

因为ovAv27r则

3666

可得<2且4鬲n(A+2卜6技所以^ABC周长的最大值为66.

................................................13分

法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,

可得12=(a+c)2-3ac»(a+c)2-3x(W£],当且仅当a=c=2若时，等号成立，

高二年级数学学科答案第1页共5页

解得a+c44有，所以AABC周长的最大值为6君.

16.详解：

Y2?2

(1)设4(%,0)，则由射影定理，有AO2=BO-OP,故05=母=—%，即3(0,—焉).

33

2

由—易得”(一2%,2号)，故〃的轨迹方程为y=—•?(工工0).

32

(没有(％w0)扣两分)........................7分

(2)设0(与一片)，。点处的切线斜率为2看)'=/，故£：＞=一」•(％-/)+；君.代入抛物

222

212__.__

线方程，解得R（-----九0,1片+―_+2）.由OQ-ORk=0,得

招2xn

%•(—片+之+2)=0，整理得父=4,%=土垃•所以/的方程为

xn22%

一率+2或、=冬+2.

................................................15分

17.【详解】

(1)证明：取AO中点N,连接NE、NC,

因为AOE是正三角形，所以ENLAO,EN=2-sin60°=百,

因为平面49E_L平面ABCD,ENu平面AOE,

平面AOED平面T!BCZ)=A£＞所以£?V1平面ABCD,................2分

又因为CFL平面ABC。，所以EN〃CF,又因为&V=CF,

所以四边形ENb是平行四边形，所以EF〃NC,....................4分

又因为NCu平面ABCREFa平面ABC。，所以E手〃平面ABCD.7分

(2)连接AC、3D交于。，取题中点/，连接OM,

所以。以〃CF,因为CF_L平面ABC。，所以OM_L平面ABC。，

因为。A、OBu平面ABC。，所以OMLOAOMLOB,F

又因为四边形ABCD是菱形，所以Q4JLO3,所以。L、OB、OM两两

垂直，

\M

建立如图所示的空间直角坐标系，

By

第17题解图

高二年级数学学科答案第2页共5页

使1。］后、

A(^,0,0),B(0,l,0),C(-^,0,0),D(0,-l,0),2V了，-5，。，E，-/，若，F(-6白「

\7

通=卜260询,通=-生网

设平面AE尸的法向量为沅=(x,y,z),

AF-m=-2y/3x+y/3z=0

AE-m=^-x-^y+>/3z=0

令x=l,玩=(1,3石,2),

平面AFC的法向量为五=(O,LO),11分

设二面角E-AF-C的大小为夕，|cos1=&^=%=¥^sin6=J1-cos?”芈

\m\]n\4V2-188

所以二面角E-AF-C的正弦值为零..........:

15分

8

18.证明：

(1)设函数研力=/⑺一晨力，贝()/<人)="-6,

当xe时°'(x)<0,当xe(L+00)时。'(X)>0，

所以(P(%)在(-8〃)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以双力出=/(1)—g⑴=0,

所以G(X)20，即VxeR,f(x)2g(x)怛成立.4分

11

(2)已知/z(x)=lnx+lna-x-lna,/i'(x)=——Ina，从而升=---，

xIna

若aw(0,1),贝!)〃(%)=，-Ina>0,人⑺在(0,+ao)单调递增;6分

若aw(l,+oo),当尤£(0,白-^—,4-QO

X)>0，当工£时"(x)<0,所以/z(x)在

Ina

-^—,+00

XG|0,-^—单调递增，在XG单调递减.9分

\Ina]na

(3)由(2)可知=ln_x+ln;r-x.ln〃在(0,「一上单调递增,

IlllTT

高二年级数学学科答案第3页共5页

32

因为M康«0.873>->-«0.736

4e

从而由（2）知道人⑴在上单调递增.所以〃日呜・......13分

计算/i]。[=ln3+ln%—31n%=111。+工111万.比较ln±和的大小，因为

⑷444434

I3)=鲁>316〉不，所以力1)<0.....15分

由此可知人[2]<力，3]<0.即/i—=ln-4-ln^----ln^<0，

\e)ye)ee

22(2、'2、—2

从而In—+ln〃<—In%olnn.—<ln7ie，故;r。>).—...17分

eeIejIJe

(仅仅结论判断正确不给分)

19.详解：

（1）设恰有2个黑球的概率为名，则恰有0个黑球的概率为1-2-%.

C；C；+C；C：_5C*C；2

由题意知Pi......................2分

C；C；9%=c；c；=§

「1r1.zilAil「1「149

所以。2=号*月+冶%+沼（"p「qj.............4分

81

「生C'C'+C；C；C；C；C；C"、1