2024年高考数专项复习：导数的综合应用

导数及其应用2024年高考数专项复习第4讲导数应用综合

知识要点

复习回顾

求曲线的切线

研究函数的单调性单增

单减

研究函数的极值与最值与端点函数值

研究函数图像的大致形状

典型例题分析

X

例1函数/(%)=----2sin%的图象大致是

解析:

例2设函数/(x)=；x—lnx(x>0),则y=f(x)

A在区间[J1],(1,e)内均有零点

B在区间内均无零点

C在区间,1］内有零点，在区间(1,e)内无零点

D在区间内无零点，在区间(l,e)内有零点

解析：

思考：研究函数/(x)=ax3+bx2+cx+d(aw0)的单调性.

k

例3已知函数f(x)=ln(l+x)-x+—x2(k>O').

(I)当k=2时，求曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的切线方程;

(II)求y=/(x)的单调区间.

解析：

例4设。20,/(x)=x-1-In2%+2aInx(x>0),

(1)令/(x)=W'(x),讨论尸(x)在(0,+oo)内的单调性并求极值；

(2)求证:当x>1时恒有尤Ain?x-2alnx+l

解析：

第3讲导数的应用(二)

知识要点

一、函数的极值定义：

一般地，设函数/(%)在/点有定义，

(1)如果对于X。附近的用有息，都有：/(%)</(x0),

称/(%)为函数“％)的一个极大值，记作y极大值=/(%0),

/称为4％)的一个极大值点；

(2)如果对于与附近的后有息，都有：/(x)>/(x0),

称/(%)为函数/(%)的一个极小值，记作y极小值=/(%)，

后称为了(龙)的一个极小值点。

极大值与极小值统称为极值。极大值点与极小值点统称为极值点。

注意：

(1)区间端点不是极值点。

(2)极值是一个局部概念，可以有多个极大(小)值，函数的极小值

不一定比极大值小，函数也不一定有极值。

(3)一阶导数为零的点，称为驻点。不要将极值点与导数为零的点混

为一谈，（导数为零）驻点是对可导函数而言的，而极值点对不可导函

数、甚至对不连续函数也是有意义的，只有可导函数的极值点才是驻点。

利用导数求极值的步骤：

（1）求定义域；

（2）求导数广（x）；

（3）解方程/（无）=0；

（4）列表：看在每个根附近导数符号的变化：

若由正变负，则该点为极大值点；

若由负变正，则该点为极小值点。

注意：无定义的点不用在表中列出

（5）依表给结论：

二、函数的最大值最小值

1、最值定理:闭区间上连续函数（连续不间断曲线）一定有最值。

2、求可导函数人x）在闭区间［a,句上最值的一般步骤：

（1）求出八元）在（a力）内的全部极值点（至多有限个点）；

（2）计算出函数值兀ri），HX2）,…人尤n）,以及五a）与五b）；

（3）比较上述值的大小，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

典型例题分析

例1讨论函数/（x）=x4—5/+2/+1（xeR）的单调性并求极值.

解法：

例2.求函数/（X）=炉—+1在区间［一1,2］上的最大值与最小值。

解法:

例3函数/(x)的定义域为开区间(。/)，导函数尸(x)在(a,勿内的图象

如图所示，则函数/(x)在开区间(a,6)内有极小值点(

A.1个4个

分析与解:

例4已知函数/(x)=三-x.

(1)求曲线y=/(x)在点7«))处的切线方程；

(2)设。>0,如果过点(a,A)可作曲线y=/(x)的三条切线,

证明：-a<〃</(:).

解析：

定积分的概念

问题一、曲边梯形的面积

问题二、变速直线运动的路程

已知做变速直线运动的物体速度与时间之间的关系为v(t)=-t2+2

那么从t=o至Ut=i时间内，该物体经过的路程是多少？

解：1.分割

2.近似代替

3.求和

4.取极限

问题三、变力做功

弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力E(x)=fcc

(左为常数，%是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所作的功.

一、定积分的概念

设函数7=/(%)定义在区间［3,6］上，用分点

a=x0<x；<x2<<<xn=b

把区间[当切分为n个小区间，其长度依次为

Ax;.=x;+]-xz,i=0,1,2,,n-l.

记丸为这些小区间长度的最大值，当丸趋近于o时，所有区间的

长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点4,

n-1

作和式=Z/©)板,•，

1=0

当丸-0时，如果和式的极限存在，把和式的极限叫做函数

/(x)在区间[a,切上的定积分，记作|f(x)dx.

Ja

b1

定积分的相关名称：

f------叫做积分号，

f(x)——叫做被积函数，

f(x)dx一叫做被积表达式,

x-----叫做积分变量，

a-----叫做积分下限，

b-----叫做积分上限，

[a,b]一叫做积分区间。

说明：(1)

(2)

(3)

二、定积分的几何意义

(1)当/(x)N0时

(2)当/(x)<0时

三、定积分的基本性质

i.kf{x}dx=k\/(%)但(其中左为常数)

2.1[/(%)土g(%)]^=1/(%)公土g{x}dx

JaJJaJa

rb「crb

3.7(%)d%=f(X)dx+/(%)公，(其中a<c<》)

JaJaJc

例.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）

行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）.那么对

于图中给定的才0和。，下列判断中一定正确的是（）

A.在。时刻，甲车在乙车前面

B.4时刻后，甲车在乙车后面

C.在/0时刻，两车的位置相同

D.。时刻后，乙车在甲车前面

微积分基本定理

一、回顾定积分的背景

b

/（x）dx的几何背景

a

/

/（x）dx的物理背景

二、牛顿--莱布尼兹公式

定理（微积分基本定理）

例1.计算下列定积分

「21r3

(1)I—dx(2)J2xdx

ix

解析:

练习：

(1)f\dx(2)fxdx

JoJo

(3)£x3dx(4)jxtdx

基本初等函数的导数公式

积分公式表

定积分的基本性质

例2.计算下列定积分

(•2，

(1)1(x~+x+l)dx

(2)J。(sinx+cosx)dx

(3)j2cxdx

(4)j(x4+3x2+V)dx

(5)J3(%+sinx)dx

解析:

…22x,0<x<1

例3.计算J0/(x)心;，其中/(%)=5；<X<2

解析：

例4.计算

解析:

pe片+1

例5.证明：［(xlnx)dx-----.

Ji4

解析：

定积分的简单应用

一、回顾

1.定积分的，/(x)dx的定义

2.定积分的，/(x)dx的背景

f/(x)dx的几何背景

Ja

f/(x)dx的物理背景

Ja

3.微积分基本定理

二、定积分的应用

1.在几何中的应用

例1.求曲线丁2=%与〉=必所围成图形的面积.

求由曲线围成的平面图形面积的步骤：

(1)画草图，求出曲线的交点坐标

(2)将曲边形面积转化为曲边梯形面积

(3)确定被积函数及积分区间

(4)计算定积分，求出面积

几种典型的平面图形面积的计算：

类型1：

类型2：

例2.计算由曲线y=直线y=x—4以及x轴围成图形的

面积.

解：

另解1：

另解2：

2.在物理中的应用

例3.一辆汽车在1分钟内的速度一时间曲线如图所示，那么汽车

在这1分钟内走的路程是多少？

例4.如图，在弹性限度内，如果将弹簧从平衡位置拉到离平衡

位置1m处，那么克服弹力所作的功为多少？（单位：J）

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