利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）解析版-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题02利用导函数研究函数的单调性问题(常规问题)

(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：求已知函数(不含参)的单调区间..........................2

题型二：已知函数/(”)在区间。上单调求参数.......................3

题型三：已知函数/(”)在区间。上存在单调区间求参数...............5

题型四：已知函数/(”)在区间。上不单调求参数.....................7

题型五：已知函数,(X)在单调区间的个数............................9

三、专项训练........................................................9

一、必备秘籍

1、求已知函数(不含参)的单调区间

①求y=/(x)的定义域

②求/'⑴

③令/'(x)〉0,解不等式，求单调增区间

④令/'(x)<0,解不等式，求单调减区间

注：求单调区间时，令/'(x)〉0(或/'(x)<0)不跟等号.

2、已知函数/(x)的递增(递减)区间为(凡人)

=西=4,%=b是/'(x)=0的两个根

3、已知函数/(x)在区间。上单调

①已知/(x)在区间。上单调递增=VxeD,/'(x"0恒成立.

②已知/(x)在区间。上单调递减oVxeD,/'(x)<0恒成立.

注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.

4、已知函数/(X)在区间。上存在单调区间

①已知/(x)在区间£)上存在单调递增区间=/'(x)>0有解.

②已知/(x)在区间。上单调递区间减=3x&D,y'(x)<0有解.

5、已知函数/(x)在区间。上不单调O使得/'(%)=0(且不是变号零点)

二、典型题型

题型一：求已知函数(不含参)的单调区间

1.(2023上•河南•高三荥阳市高级中学校联考阶段练习)函数〃x)=xlnx+l的单调递减区间是(

A.B.(0,e)C.&+°°)D.(e,+co)

【答案】A

【详解】令八尤)=l+lnx=0nx=L

e

/,(x)<0,xe]：,+oo),#(x)〉0,

则/(x)在(0,J上单调递减，在&+s)上单调递增.

故选：A

2.(2023下•陕西汉中•高二校考期中)函数/(尤)=x2-51nx-3x-l的单调递减区间为()

A.[-臼B.恒)Cg+HD-

【答案】D

【详解】函数/(x)=*-51nx-3尤-1的定义域为(0,+丁),

/(%)=2%---3=2%2-3%-5<0,

XX

因为％>0,可得2%2-3x-5<0,解得一可得0<x<7，

22

因此，函数/(x)的单调递减区间为“非

故选：D.

3.(2023下•陕西宝鸡・高二统考期末)函数的单调递增区间是()

A.(一8,0)和(0,2)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(一应。)和(2,+oo)

【答案】D

【详解】/(X)=X-In1的定义域为(一双0)U(0,+8),

7V-?y-7

广(力=1一4=—,令/，")==>0,解得x>2或x<0,

XXX

故/(x)=x-In/的单调递增区间为(-8,0)和(2,+8).

故选：D

4.(2023•全国•高三专题练习)已知/■(无)=xlnx,求了⑴的单调性.

【答案】函数〃x)在日上单调递减，在g+s)上单调递增.

【详解】由，'(6=l+mx,xe(0,+oo),

令#(x)>0,解得令/'(x)<0,解得0<x<L

ee

所以函数/(X)在［o,，］上单调递减，在+8)上单调递增.

题型二：已知函数/(X)在区间。上单调求参数

1.(2023上•广东汕头•高三统考期中)设ae(O,l),若函数〃>=优+(1+°),在(0,+8)递增,则。的取值

范围是()

「程mc.邛?

【答案】B

【详解】因为函数/(力=合+(1+。>在(。,+8)递增,

所以/'(x)="ln“+(1+a)*ln(l+a)20在(0,+e)上恒成立，

则(l+a)1n(l+a)WF'lna,BPf—“如“在(0,+为上恒成立,

\a)ln(l+a)

由函数y=1匕单调递增得(—T=1>-——,

\a)\a)ln(l+a)

又ae(O,l),所以a+le(l,2),所以ln(a+l)>0,

+21,解得口<1,

所以即

0<。<10<(7<1

所以。的取值范围是存M

故选：B

2.（2023上•山西晋中•高三校考阶段练习）若函数/（x）=^-lnx在区间（1,+⑹单调递增，则上的取值范围

是（）

A.（-℃,1）B.（-℃,1］

C.（1,+℃）D.［1,+<»）

【答案】D

【详解】若函数/（x）=Ax-lnx在区间（1,+⑹单调递增，

则/（力=左一!20在（1,+8）上恒成立，即左在（1,+⑹上恒成立；

XX

又函数y在（1,+⑹上递减，所以1<1恒成立，则421

XX

故上的取值范围是［L+8）.

故选：D.

3.（2023上•河南•高三校联考阶段练习）若函数〃x）=sinx+alnx的图象在区间上单调递增，则实

数”的最小值为

【答案】兀

【详解】因为〃x)=sinx+alnx,所以(⑺=cosx+q=汇吧上区.

XX

由“X）的图象在区间号,兀）上单调递增，

可知不等式/'（X）"即xcosx+aNO在区间6,兀］上恒成立.

令g（x）=xcosx+a,贝"g'（x）=cosx-xsinx,

当》€日兀］时，g，（X）<0,所以g（无）在［，兀］上单调递减,

故要使r（x）2o在工€仁兀）上恒成立，只需g（*o.

由g（兀）=一兀+aN0,解得a2兀,

故实数a的取值范围为［兀,+°°）,则a的最小值为兀.

故答案为：k

4.(2023上•安徽亳州•高三蒙城县第六中学校考阶段练习)已知函数/(x)=ae，-Inx在区间(1,2)上单调递

增，则。的取值范围是：.

【答案】[二,+“)

【详解】依题可知，/'(x)=ae-LN0在(1,2)上恒成立，显然0>0,所以xe-L

xa

设g(x)=xe，,xe(l,2),所以g1x)=(x+l)e*>0,所以g(无)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g⑴=e,故ewL即即0的最小值为e!

ae

故a的取值范围是[「,+").

故答案为：[「,+8)

5.(2023下•高二课时练习)已知函数〃x)=gx3-；ax2+(a-l)x(aeR)是区间(1,4)上的单调函数，则。

的取值范围是.

【答案】(F,2]U[5,+S)

【详角军]/f(x)-x2-ax+(a-1)=(尤一1)[尤一(«-1)],

令/'(x)=0,贝！]尤=1或a-1,

因为/(尤)是区间(1,4)上的单调函数，

所以"141或解得。42或。25,

所以。的取值范围是(-°°,2]U[5,+OO).

故答案为：(-<»,2]u[5,+co).

题型三：已知函数/(X)在区间。上存在单调区间求参数

1.(2019下•安徽六安•高二校联考期末)若函数存在增区间，则实数。的取值范围为

【答案】C

【详解】若函数/(无)不存在增区间，则函数/(x)单调递减,

此时/,(x)=2ax+l-1<0在区间(0,+动恒成立，

可得则:卜卜与4-41可得rT

故函数存在增区间时实数。的取值范围为--,+8.故选C.

8

2.(2023下•江西抚州•高二江西省临川第二中学校考阶段练习)函数在R上存在单调递增区

间，则。的取值范围是.

【答案】(T+8)

/一°、2xex-(x2-a)ex2x-(x2-a)2x-x2+a

【详解】函数yx)=/(x)=——z\v—2—-=—下一，

e⑹)ee

:函数/'(x)=三』在R上存在单调递增区间，“，(x)=2L>o,即.1a〉，-2x有解，

e'e'

令g(x)=x?—2x,g(x)=(x-1)-12-1,.,.当x=1，寸，g(x)而”=-1,a>—1即可.

故答案为：(-1,+s)

3.(2020上•北京•高三北师大二附中校考阶段练习)已知函数〃x)="3--+1在(Qi)上有增区间，则。

的取值范围是.

【答案】

【详解】由题得/'(X)=3一_2%,

因为函数/(%)="J/+］在(0,1)上有增区间，

所以存在X£(0,1)使得/'(X)>o成立，

2

即一成立，

3x

22

因为0<x<l时，一>—,

3x3

所以〃>不2

故答案为：

4.(2019下•辽宁沈阳•高二校联考期中)设/*)=-白3+；/+办.

(1)若〃x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；

2

【答案】(1)a>--;

【详解】解：(1)f(x)=-x2+x+a=-^x--^+；+o,

当工仁|>+8)时，/(X)max=7'［［］="|+4，

(2\22

则当x£［§,+ooj时，令§+〃〉0,得。>一§,

所以，当。>-£时，/(x)在||,+8］上存在单调递增区间;

题型四：已知函数/(”)在区间。上不单调求参数

1.(2021上•河南•高三校联考阶段练习)已知函数〃x)=ax4+(x-l)/在区间［1,3］上不是单调函数，则实

数。的取值范围是()

(efe(e3e2}(e

A'［一了一记JB'［一这一记］C・^-36，-16)°。J

【答案】A

【详解】因为/(力=。/+(叱1"，在区间［1,3］上不是单调函数，

所以r(x)=4a/+疣、=0在区间(1,3)上有解，即-4a=乌在区间(1,3)上有解.

X

令g(x)=3贝9(外=①芈.

当无«1,2)时，g'(x)<0；当xe(2,3)时，g'(x)>0.

23

故g(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增.又因为g6=e,g⑵=(,g(3)=1~<e,

所以〃x)在区间［1,3］上单调递增，所以且<-4a<e,解得一艺.

4e16

故选：A

2.(2023上•山东济南•高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习)已知函数/(x)=2x-msinx在R上

不是单调函数，则实数小的取值范围是.

【答案】〃？<-2或加>2

【详解】因为/(x)=2x-〃7sinx,所以/'<x)=2-mcosx,

又/(x)不是单调函数，所以函数/(尤)有极值点，即/(无)在R上有变号零点，

贝!］2-/cosx=0成立，

当cosx=0时，2-加cosx=0可化为2=0,显然不成立；

2

当cosxwO时，m=------,

COSX

22

因为xeR,-1＜COSX＜1,所以----4-2或----＞2,

COSXCOSX

所以实数冽的取值范围为初＜-2或冽＞2(因为要有变号零点，故不能取等号)，

经检验，m＜-2或机＞2满足要求.

故答案为：加＜-2或加＞2.

3.(2023・全国•高三专题练习)若对于任意作[1,2],函数g(x)=x3+[g+2卜-2r在区间亿3)上总不为

单调函数，则实数%的取值范围是.

【答案】-9)

【详解】g，(x)=3x2+(/M+4)x-2,若存在g(x)在区间&3)上为单调函数，

则①g'(x)N0在&3)上恒成立,或②g'(x)40在&3)上恒成立.

由①得3/+(m+4)》-230在亿3)上恒成立,由于所以x＞0,

即加+42——3%在工£&3)上恒成立，由于函数＞=—/=-3%均为XE&3)上的单调递减函数，

XX

22

所以V=—3%单调递减，当％=%时，取最大值，则加+42—3t,

xt

2

又存在所以俏+42：-3f,

2

当f=2时，—3/取到最小值-5,所以加+42-5,即加2-9；

t

2237

由②得加+4W——3%在x£(/，3)上恒成立，则加+4Mg■—9,即加W—■—,

37

所以存在函数g(x)在区间(7,3)上为单调函数的m的取值范围为加V-半或加2-9,

37

因此使函数g(x)在区间亿3)上总不为单调函数的冽的取值范围为＜冽＜-9.

故答案为：(-子'「可

4.(2022•全国•高二专题练习)已知函数g(无)=#-罗+2x+l.若g(x)在(-2,-1)内不单调，则实数a

的取值范围是.

【答案】卜3,-2亚)

【详解】由g(x)=-+2x+l,得/(工)=m2_办+2,

当g(x)在(―2,7)内为减函数时，则g〈x)=x2—办+2«0在(一2,—1)内恒成立，

所以aVx+士在(-2,-1)内恒成立，

当g(x)在(-2,-1)内为增函数时，则g'(x)=d一办+220在内恒成立,

所以。Nx+4在(-2,-1)内恒成立，

令〉=x+j,因为y=x+j在卜2,-亚)内单调递增，在卜后,-1)内单调递减,

所以y=x+：在(-2,-1)内的值域为(-3,-271],所以。M-3或az-272，

所以函数g(x)在(-2,-1)内单调时，a的取值范围是(-*-3]口[-2拒,+勾，

故g(x)在(-2,-1)上不单调时，实数a的取值范围是卜3,-28).

故答案为：卜3,-2/).

题型五：已知函数/(力在单调区间的个数

1.(2023•全国•高三专题练习)若函数"X)=办3_3一+X+1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为()

A.[3,+<»)B.(-a>,3)C.(-oo,0)u(0,3)D.(-«,,0)

【答案】C

【详解】由题意得函数“X)的定义域为R,八x)=3"2_6x+l,

要使函数/(x)=&_3尤2+x+1恰有二个单调区间，

,/、[aw0

则/'X=0有两个不相等的实数根，・•・AMS八，解得。<3且〃wo,

[A=36-12q>0

故实数a的取值范围为(一*0)5。,3),

故选：C.

三、专项训练

一、单选题

1.(2023上•辽宁•高三校联考阶段练习)已知函数/(尤)=2x?+"，贝l?"(x)在区间[1,2]上单调递增"的一

个充分不必要条件为()

A.〃W—4B.a<0

C.a>-5D.a>4

【答案】D

【详解】/(x)在区间［1,2］上单调递增等价于/'(x)=4x+。在区间［1,2］上大于等于0恒成立，

即a2-4x在xe［1,2］上恒成立，即a2(-4可呢=T,

故a>4是-4的充分不必要条件，故D正确.

故选：D.

2.(2023上•辽宁大连•高三大连市金州高级中学校考期中)若函数/(x)=(x+l)lnr-ax在(0,+e)具有单调性,

则a的取值范围是()

A.(2,+co)B.［2,+oo)C.(^»,2］D.(-<»,2)

【答案】C

【详解】由/(x)=(x+l)lnx-axn/G)=lnxd---Fl-a,

当函数〃x)=(x+l)lnx-依在(0,+e)单调递增时，

/'(x)20恒成立，得aWlnx+^+1,设g(x)=lnx+」+lng'(无)=工--\=

尤xxxx

当x>l时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

当0<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以8⑴皿=g(l)=2,

因止匕有aV2,

当函数/(x)=(x+l)lnx-ar在(0,+e)单调递减时，

/'(无)40恒成立，得aNlnx+1+l,设g(x)=lnx+，+lng'(x)=工一-=

XXXXX

当x>l时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

当0<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以8⑴皿=g(l)=2,

显然无论。取何实数，不等式/‘。b。不能恒成立，

综上所述，a的取值范围是(一*2］,

故选：C

3.(2023上•北京•高三北京市第五中学校考阶段练习)下列函数中，在区间(0,1)内不单调的是()

A.y=ln(x+l)B.j=21-x

C.y=tan2尤D.y=x2+4x

【答案】C

【详解】A选项，y'=±>0在(0,1)上恒成立，故V=ln(x+1)在(0,1)上单调递增,A错误;

B选项，y'=-2iln2<0在(0,1)上恒成立，故y=2一在(0,1)上单调递减，B错误；

C选项,当xe(O,l)时,2xe(O,2),

由于y=tanz在上单调递增，在ze(0,2)上不单调，

故了42112%在(0,1)上不单调，C正确；

D选项，由于>=/和y=«在(0,1)上单调递增，故夕=工2+4在(0,1)上单调递增，D错误.

故选：C

4.(2023上•四川遂宁•高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习)若函数/(x)=e=田nx在区间(1,e)上是增

函数，则实数上的取值范围为()

A.(―co,0]B.卜8,一

C.(-00,e]D.(-8,ee]

【答案】C

【详解】由/'(x)=e'_』W0,可得后Wxe"记g(x)=xe*,xe(l,e),

则g'(x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(Le)单调递增,所以左Vg(l)=e.

故选：C

5.(2023下•重庆江北•高二重庆十八中校考期中)若函数/(x)=x+ahr在区间(1,2)内存在单调递减区间,

则实数。的取值范围是()

A.(-oo,-l)B.(-oo,-l]

C.(-oo,-2)D.(-oo,-2]

【答案】A

【详解】因为/'(x)=l+£,

由题意可知：存在xe(l,2),使得r(x)=i+£<0,整理得°<_x,

且〉=一%在(1,2)上单调递减，则T<-1,可得。<一1,

所以实数。的取值范围是

故选：A.

6.(2023下•广东江门•高二校考期中)函数/(%)=4x-皿的单调递增区间为()

A.jB.1g+jC.(0,+为D.

【答案】B

4r-11

【详解】/(x)=4x—liun/'(x)=----(x>0),令r(x)>Onx>a，

即/(X)的单调递增区间为&,+[.

故选：B

7.(2023下•四川巴中•高二四川省通江中学校考期中)若函数/("=丘-Inx在区间&,+，|上单调递增,

则实数上的取值范围是()

A.(-co,2]B.(-GO,-2]C.[2,+oo)D.(2,+8)

【答案】C

【详解】=

1•1函数/(x)=Ax-lru在区间(g,+co)单调递增,

;,+°0)上恒成立,

二/'卜”0在区间上恒成立.二女」在

X

而>在区间上单调递减,:.k>2.

X

故选：C

二、多选题

8.(2023下•高二单元测试)函数>=/-2/+5的单调减区间可以为()

A.(-叫-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,+cc)

【答案】AC

【详解】由题意得y'=41-4x=4x(?-l)=4x(x+l)(x-l),

令y<o,解得x<-i或o<x<i,

结合选项可知函数>=/一2/+5的单调减区间可以为(一叫7),(0,1),

故选:AC.

9.(2023下•江苏南通・高二统考阶段练习)若函数/(x)的单调递增区间为(1,+8),则/(x)可能是()

A./(x)=ln(x-2)+xB.

C./(无)=x+：D./(x)=x(lnx-l)

【答案】BD

【详解】A选项，/(月=皿》-2)+》的定义域为(2,+8),故单调递增区间不可能为(1,+⑹，A错误;

B选项，〃制=.定义域为(-8,0"(0,+向，

/令/牛)〉0,解得x>l,

所以〃句=《单调递增区间为(1,+s),B正确；

C选项，/37+)定义域为(-8,0"(0,+8),

/'(x)=l-J=^L令［'卜)=>0,解得x>l或x<—l,

所以〃x)=x+：单调递增区间为(1,+s),(-*-1),C错误；

D选项，/(x)=x(lnx-l)定义域为(0,+“)，

/,(x)=lnx-l+l=lnx,令/''(x)=ln尤>0,解得x>l,

故/(x)=x(lnx-l)单独递增区间为(1,+8),D正确.

故选：BD

三、填空题

10.(2023上•江苏南通•高三统考期中)已知函数"X)=--ax+l