人教版九年级数学下册竞赛专题练习卷(共30个专题)

1【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是直接将已知条件代入待化简求值的式子.适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.（绍兴市竞赛试题）（黄冈市中考试题）2（五城市联赛试题）（北京市竞赛试题）（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设3的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.2解题思路：对于（1目前运用代数的方法很难求此式的最小值，2义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（222＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决.解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.47解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子A级3EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up21(1),1)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up21(9),1)5（全国初中数学联赛试题）是()（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题其中正确命题的个数是()（全国初中数学联赛试题）6-x-xy-yxyx-xy（天津市竞赛试题）72-5x2试题)822y2＝＿＿＿＿（＝＿＿＿＿＿=()(全国初中数学联赛试题)(全国初中数学联赛试题)1a8.若[a]表示实数a的整数部分，则[]等于()（陕西省竞赛试题）9．把(a1).中根号外的因式移到根号内，则原式应等于()（武汉市调考题）4）（92为有理数，证明：为整数.【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】专题02从求根公式谈起一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是：解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：222、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.一元二次方程的求根公式为x1,2=这个公式形式优美，内涵丰富：②公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实=0，则方程的根是_____xx2（晋江市中考试题）（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.22解题思路：若求出m，n值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m，n的等式，不妨从变形等式入手.一元二次方程常见的变形方法有：x其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换.2当m1≠0时，还考虑就b24ac的值的三种情况加以讨论.x22解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是：①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解.②设出公共根，设而不求，消去二次项.是整数，求a的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a的较低次数的方程.A级成＿＿＿＿＿的形式.（杭州市中考试题）＿＿＿＿（天津市中考试题）＿＿＿＿（＿＿＿＿A、2个B、3个C、4个D、5个（山东省选拔赛试题）2等于()（德州市中考试题）（江苏省竞赛试题）8、方程x2|x|1=0的解是()（荆州市竞赛试题）0有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.值为____=______]表示不大于x的最大整数，则方程x22[x]3=0解的个数为()EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(1),a)2（）（全国初中数学联赛试题）（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程22①有一个公共根，求的值.（全国初中数学联赛试题）个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中.方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：5．证明代数等式、不等式.当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0.实数m的取值范围是.2α2的值.x4y24的值.335A级2记为.值为()2A．{B．{C．{D．{8．如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x229．已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是x,x，且满足x=xI+2,求m在，说明理由.CADBB级EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)2A.3一25—2有两个不相等实数根x,x.【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是：5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”._______（北京市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.【例2】方程组的正整数解的组数是解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．【例3】解下列方程:（河南省竞赛2解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】解下列方程组:（山东省竞赛（山东省竞赛（西安市竞赛试（西安市竞赛试（全苏数学奥林匹克试（全苏数学奥林匹克试解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.【例5】若关于x的方程只有一个解（相等的解也算一个）.试求k的值与方程的解.（江苏省竞赛试题）（江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.A级（武汉市选拔赛试题）2-4)x2-)x)成立的x的值得个数为6．已知方程组有实数根，那么它有A．一组解B．二组解C．三组解9．已知关于x,y的方程组有整数解(x,y)，求满足条件的质数p.（四川省竞赛试题）数.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),2)2-6a-11，试求a的值.（南通市中考试题）试求这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B级5．若二元二次方程组有唯一解，则k的所有可能取值为.（上海市竞赛试题）7．方程x3-6x2-x+6=0的所有根的积是()（美国犹他州竞赛试题）（武汉市选拔赛试题）10．对于实数a，只有一个实数值x满足等式试求所有这样的实数a的和.（江苏省竞赛试题）方程解的情况.（陕西省竞赛试题）（全国初中数学联赛试题）（武汉市竞赛试题）)（湖北省竞赛试题）2【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习1.二次函数解析式y=ax2+bx+c的系数符号，确定图象的大致位置.决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式：用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.有()A.1个B.2个C.3个D.4个（天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a，b，c的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.y（陕西省竞赛试题）解题思路：设法将S表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S的值的变化范围.【例3】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.2在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处3距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调3整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.5（河北省中考试题）3解题思路：对于（2判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的该运动员与跳台的垂直距离.yyAAOx【例4】如图，在直角坐标xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，-3且在x轴上截得的线段AB的长为6.（3）在x轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B三点为顶点的三角形与△州市中考试题）应关系，需分类讨论.yC【例5】如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF＝2，BF（辽宁省中考试题）解题思路：设DN＝PM＝x，矩形PNDM的面积为y，建立y与x的函数关系式.解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.MDAPPNFBC+3沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.（1）请直接写出抛物线c的表达式.2（2）现将抛物线c向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的1交点从左到右依次为A，B；将抛物线c向右也平移移m个单位长度，平移后得到的新抛物2yy线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D，E.②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请（江西省中考试题）故解题的关键是分类讨论.yxc1x2.已知抛物线y=x2+bx+c与（四川省中考试题）（1）这个二次函数的解析式是y=;中考试题）4.已知二次函数的图象经过原点及点(ℴ,ℴ),且图象与x轴的另一交点到原点的距（安徽省中考试题）OABC过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线x=2二次函数图象不具有的性质是()A.过点（3，0）B.顶点是（22）C.在x轴上截得的线段长度是2D.与y轴的交点是（0，3）（盐城市中考试题）（大连市中考试题）yE8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到（吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图.在地面O，A两个观5于O点正上方千米D点处的直升机向目标C发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大3高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）yDαECβADDEC.(陕西省中考试题)yA1Bx点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.设点P的横坐标为t；宁市中考试题）y1OBPMx+c的图象顶点与坐标原点的距离为5上.设OA的长为m(0＜m＜3).矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为.（昆明市中考试题）ADOByABADOByABxyDC第2题图第3题图交于点A2，4B（8，2则能使y1>y2成立的x的取值范围时.(杭州市中考试题)（重庆市中考试题）yyxOxyyAyOyOxBxCD（全国初中数学联赛试题）yyO值为()A.－1杯”初中数学竞赛试题）10.如图，已知点M，N的坐标分别为（0，101点P是抛物线2上的一个动点.（2）设直线PM与抛物线2的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证：∠PNM=∠（全国初中数学竞赛试题）yMONPx（天津市竞赛试题）（1）若直线m的解析式为，求A，B两点的坐标；证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立；（3）如图3，设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求（武汉市中考试题）ylmAPBlylmAPBxOxC【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】程解析式实际上是关于x的二次三项式，若令y=0，则得ax2+bx+c=0这是一个关于x的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表1.当Δ>0时，方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有两个不同的交点，设为3.当Δ<0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点.由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化，是解相关问题的常用技巧.是直角三角形，则ac=.（全国初中数学联赛试题）解题思路：对于（1ΔABC为直角三角形，则A，B两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影定理解题，对于（2作出函数图象，借助图象解题.解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图象找制约条件.（3）设（2）的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线是否存在一点P，使得ΔPAB面积等于ΔBCM的面积的8倍？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由.（南京市中考试题）解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口.【例4】设p是实数，二次函数y=x2-2px-p的图像与x轴有2个不同的交点).EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),2)（2）若A，B两点之间距离不超过2p-3，求p的最大值.（全国初中数学联赛试题）综合运用判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解.且两根都在2与4之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由.解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次函数交点在2与4之间，k应满足的条件，借助函数图象解题.（全国初中数学联赛试题）mt+3≥2t+n，因此不等式对任意实数t都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解.A级2的图象与x轴有两个交点A，B，顶点为C，若△（杭州市中考试题）yyCBAxO第3题图yy第4题图yx（黑龙江省中考试题）于3，则m的取值范围是()（天津市竞赛试题）)的图象如图所示，它与x轴交于A，B两点，且2-4c-4（福州市中考试题）那么a的取值范围是()（全国初中数学竞赛试题）9．已知二次函数y=x2-（1）求证：不论m取任何实数，此函数的图象都与x轴有两个交点，且两个交点都在（2）设这个函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点，若△ABC的面积为值徐州市中考试题）)（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.（武汉市中考试题）两点，与y轴交于点C(0，b)，O为原点.18为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求所有k值；若不存在，请说明理由.（黄冈市中考试题）yyCQ（1）求y与x的函数关系式并直接写出你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？（武汉市中考试题）B级范围为.（全国初中数学联赛试题）2（全国初中数学联赛试题）为等腰直角三角形，则k=.yC（1）求证：无论k为何实数，抛物线经过x轴上的一定点；（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)，两点，且满足：x1说明理由，如果有，求出其坐标.（武汉市中考试题）赛试题）8．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例的关系，如图1所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能（南宁市中考试题）y11xy21x9．已知以x为自变量的二次函数y=4x2-8nx-3n-2，该二次函数图象与x轴两个根，求n的值.（绍兴市竞赛试题）顺时针旋转120°,得到线段OB.（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC周长最小？若存在，求点面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.（深圳市中考试题）yBAOA现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0，3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使得△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（武汉市中考试题）AMDOxyyFExO（全国初中数学联赛试题）【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：），最小值最大值【例1】当x变化时，分式的最小值是.2（全国初中数学联赛试题）通过配方确定最小值.2的最小值为()（太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x(或y)的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x、y的隐含限制.b).解题思路:本题通过讨论a，b与对称轴x=0的关系得出结论.（全国初中数学联赛试题）2222的值.还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等.【例5】如图，城市A处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B需从A市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B修筑一条公路到铁路边，使（河南省竞赛试题）EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up19(题思路),又设铁)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up19(设铁路与公路的交点),每千米的运费为a元)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up19(＝m),通)过有理化，将式子整理为关于y的方程．r（香港中学竞赛试题）（全国初中数学联赛试题）)A级2（全国初中数学联赛试题）A.(0，-)B.(0，0)C.(0，)D.(0，-)（盐城市中考试题）（黄冈市竞赛试题）7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元.①试用销售单价x表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的（南通市中考试题）（2）求方程两根平方和的最大值与最小值.（江苏省竞赛试题）2-ab2的最大值与最小值.（黄冈市竞赛试题）（天津市竞赛试题）11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为元.（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的函数.（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当（河北省竞赛试题）B级时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离为km.（全国初中数学竞赛试题）BA+bd＋cd的最小值为()（天津市竞赛试题）则s的最大值与最小值的和为()（天津市选拔赛试题）的面积的最小值为()7．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p（万元）和q（万入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能（绍兴市竞赛试题）小值.（四川省竞赛试题）（国家理科实验班招生试题）的最大值为A，最小值为B，求A＋B的值．（全国初中数学竞赛试题）【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：1．理解同角三角函数间的关系.2．善于解直角三角形.从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：例题与求解解题思路：通过计算，寻找BC2，AC2，AB2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题.AADABDCAEBFD解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A，所以连结AC不行．延长AD和BC交于一点E（如图1这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；或过点D作矩形ABEF（如图2）来求解.【例3】如图，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点11解题思路：将tan7AEN=与DC＋CE＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路.的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同度是货轮速度的2倍.（1）选择：两船相遇之处E点()A．在线段AB上C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上DA（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（南京市中考试题）解题思路：对于（2过D作DF⊥CB于F，设DE=x，建立关于x的方程.（江苏省竞赛试题）解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一元二次方程，三角函数的知识与方法.nnn（福建省竞赛试题）解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、余弦的有界性来证明.A级则AE=.（上海市理科实验班招生考试试题）0ADDBBCADBBB5．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中 3是()（大连市中考试题）7．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行．半小时后到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M与渔船的距离是等于()ADA0BD0AB9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB与支架（扬州市中考试题）OBDEAEA（宁波市竞赛试题）（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）CADB00冲之杯”邀请赛试题）4．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且0AD平分∠CAB，则-值为()33D．6-23（湖北省选拔赛试题）ABMDNC第4题图ABDC第5题图（天津市竞赛试题）（山东省竞赛试题）DADEB第6题图BADC第7题图8．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成370角的楼梯AD，BE和一段水平天台DE构成．已知天桥高度BC＝4.8米，引桥水平跨度AC＝8米.000（长沙市中考试题）BDMEANC程（武汉市中考试题）10．如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ,且7BEG与7CFH都是锐角．已知EG=k,FH=l,四边形EFGH的面积为S.（2）试用k,l,S来表示正方形ABCD的面积.（全国初中数学联赛试题）ADHADFGBEB（2）点E，F分别是BC，CD上的出发向点D运动．若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF，求△EFC面积的最大值，并说明此时E，F的位置.（济宁市中考试题）ADFBEC（2）如果甲楼的影子刚好落在乙楼上，那么两楼的距离应当（山东省竞赛试题）【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质：（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中使得A2B2丄B1C1，则两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为＿＿．之间的关系．AAFOFOCEBEDDCM，Q，P分别为AB，CB，CD，AD的中点．求证：四边形NMQP为正方形．逆时针旋转90°得到的，且∠AED＝90°,这是证明本例的关键．BMNECQAO【例3】如图，巳知在△ABC中，AB＝AC，P为形内一点，且∠APB<∠APC.求证：PB＞PC北京市竞赛试题）解题思路：以A为中心，将△APB旋转一个∠BAC，使AB边与AC边重合，这时△APBAP∠BAC=∠CED，直线AE，BD交于点F.（1）如图1，若∠BAC＝60°,则∠AFB＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC＝90°,则∠AFB=_______;中，∠AFB与∠α的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB与∠α的数量关系是____.请你任选其中一个结论证明武汉市中考试题）DDFDFAAAFAFBEBEBEBEDAAFBFBCDQAE解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC∽△EDC，ABCD求此正方形的边长广东省竞赛试题）解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA，EB，EC连结起来.AEEDCA级转，使点E落在直线BC上的点F处，则F，C两点的距离为上海市中考试题）ADABCB第1题BEAPADPBAB之间的距离为_____,∠APB=________.（青岛市中考试题）CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，则ΔADE的面积是______.4．如图，在RtΔABC中，已知∠C＝90°,∠B＝50°,点D在边BC上，BD＝2CD．把ΔABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始RtΔABC的边上，那么m=________.（上海市中考试题）ADDD’DEAAHPCKB则这两个正方形重叠部分的面积是_____.（全国初中数学联赛试题）的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至ΔDEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为____.（黄冈市竞赛试题）则点A的坐标为()（河南省中考试题）yAA’AAPB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是()（全国初中数学通讯赛试题）（武汉市竞赛试题）FABEADADαOBCB（2）当α=30°时，求证：△AOE'为直角三角形.（南通市中考试题）11．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC=∠EDF=α,点M，N分别是BE，CF的中点.（1）若点A与点D重合，点E，F分别在AB，AC上（如图1则AM与AN的数量关系是______,∠MAN与α的数量关系是_____;若成立，请证明；若不成立，请说明理由.BMEA(D)A(D)图1MBNCFEA(D)∠MDN＝60°，则ΔAMN的周长＝＿＿＿＿．AAMNBD第1题CABNMAyO（重庆市竞赛试题）x2．如图，在等腰RtΔABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN＝45°，记AMMN＝x，BN＝n，则以线段x，m，n为边长的三角形的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．（安徽省竞赛试题）434（丽水市中考试题）AABEDFAPDBAAPDBA（江苏省竞赛试题）ADC（日本数学奥林匹克试题）COOPBAB（杭州市竞赛试题）线上，M为线段AE的中点．探究：线段MD，MF的关系；CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点．试问1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（大连市竞赛试题）FFMDCAEBABAFADBBMECDDFCME点G（如图3第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明.ADABEBBFBDADEAEAEBDFF转中心，把ΔABO顺时针旋转，得ΔACD．记旋转角为α,∠ABO为β.（1）如图1，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（3）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式.（天津市中考试题）ODAyBCBDDxAP【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或BC）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．AEDFC解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M作BC的平行线，构造基本图形．AAMHEDB（吉林省中考试题）线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形.QAPBCDSRPE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.ADFEFE（上海市闵行区中考试题）ADAFEF解题思路1）不难证明；对于（2先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE+PF，即要证明PE＋PF＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明.依次交AB，AD，CD，CE于点M，N，P，Q．（浙江省竞赛试题）EQPDFNFAMBA＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）AMNPCAAAMNMNMPPPB解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质.A级1．设K则K=________.（镇江市中考试题）DADFEFBANDBMCAEBDDGGHFAFGBEB______.（杭州市中考试题）=________.（重庆市中考试题）=b（a＞b当BF平分AE时，则a的值为()b225+225+22AAQAQBEFDDAFEFBD第8题591）阅读下列材料，补全证明过程.不写画法及证明过程）ADAOOFDCDCGABEBEFOC12511．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.ADBC（3）求证：+=.（宿迁市中考试题）12．如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上的一点，CE的延长线与BC的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，MB与AD交于点N.求证：∠AFN=∠DME.（全国初中数学联赛试题）PFANEMDBQC面4m，6m的A，C处，向两侧地面上的E，D和B，F点处，用钢丝绳线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为＿＿＿＿m．（全国初中数学联赛试题）CA第1题ADOFBBAADFCE＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）＝＿＿＿＿．＝＿＿＿＿．AADFEMCKDNABFEBL（江苏省竞赛试题）AAFME第6题（）（全国初中数学联赛试题）AB，AC于点M，N．若BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c＞a＞b，（山东省竞赛试题）EF＝32，GF＝24，则BE等于()（美国初中数学联赛试题）FDEBAB（黄冈市竞赛试题）ADNDADNMBMBPFBAFB第9．如图，P是梯形ABCD的中位线MN所在直线上的任意一点，直线AP，BP分别交直线CD于E，F.求证：.（宁波市竞赛试题）BC，AD及AC的延长线分别交于点M，N，R，S和（山东省竞赛试题）ACMNlABEFDEF——+——ABCDEF成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB△BDC的关系式，并给出证明.（黄冈市竞赛试题）ADAD（2）如图2，当PQ不与AD垂直时1）的结论还成立吗？证明你的结论；（直接写出结果）APDQAPDQAPBDQ【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】相似三角形的知识应用广泛，可以证明角的相等、线段成比例等问题.通过寻找（或构造）相似三角形获得比例线段或等角，用以论证或计算的方法，我们称为相似三角形法，这是几何学中应用最广泛的方法之一.全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊的过程，不仅是认识形式上的变化，而且在思维方法上也是一个飞跃，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量形式更为复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的和差.证明这类问题，常常要通过命题的转换或中间量的过渡.熟悉下面这些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形.汉市竞赛试题）解题思路：从寻找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的传递性.AEBQPSRDCA，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有()解题思路：通过代数化，将P点的个数的讨论转化为方程解的个数的讨论.要使两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应注意分类讨论.DDPAB解题思路：由于BP，PE，PF在一条直线上，所以必须通过等线段的代换促使问题的转化.证明比例式或等积式是几何问题中的常见题型，解决它的常用方法是：①找相似：三点定形法；②作平行：根据要证明的式子，找到一个分点，过此点作平行线，能写出要证式子中的一个比或与其相关的比；③变原式：包括等量代换、等积代换和等比代换.APBDFEC解题思路：由题设易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A与∠B的关系.解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件.ACDB积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边；②另两条线段在同一直线上.构造逆命题是提出问题的一个常用方法，例4是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题.你能提出新的问题吗？并加以证明.如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点.②若△ABC的内心(∠A，∠B，∠C角平分线的交点）P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数.（南京市中考刻理解“自相似点”的概念，是解题的关键.DEAAADEPP（河北省中考试题）解题思路：对于（3借助三角形相似的判定方法，由于未指明对应关系，探求质点运动的时间应注意分类讨论.DQAPCBA级AA1ECB2DAMMBCBAEBDFC果连接MN，使得△AMN与原三角形相似，则AN=.其中结论正确的有.（填序号即可）（宜昌市中考试题）4.在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，且BFDGAHHADBFDGAHHADAEAHBFDGEECBCF（2）当k值为时，四边形EFGH为平行四边形.F（4）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足条件时，EFGH为矩形.（黄冈市中考试题）共有()（山西省中考试题）BBAAB'ACFDDAFEEBBP等于()（重庆市中考试题）7.将三角形纸片(△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，即为点B′，那么BF的长度为()（山东省中考试题）则PC等于()（重庆市竞赛试题）（1）如图1，可以算出一个正方形的对角线长2，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，进而猜想出n个正方形并排拼成的矩形的对角线长；（3）由图3，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明：EEF（三明市中考试题）A（黄冈市竞赛试题）连接AE，求证：AE∥BC；（2）如图2，将（1）中的等边△ABCEDC改成相似于△ABC，请问：是否仍有AE∥BC？证明你的结论.ADBEADECD（全国初中数学竞赛试题）AFEB级1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ABEFDABIGIHCJAPBDCABDEFCGab