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文档简介

第3章

函数的概念与性质3.3幂函数人教A版2019高中数学必修第一册幂函数的概念【探究】(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付

的钱数P=t元，这里P是t的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；(4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长c=，这里c是S的函数；(5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度v=km/s，这里v是t的函数；【以下各个函数有什么共同的特征？】可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如的函数.

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

幂函数的特征【1】的系数为1

【2】的底数为自变量

【3】的指数为常数

只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.形如等的函数不是幂函数.

幂函数的图像【说明】对于幂函数，我们只研究时图像的性质.

在同一坐标系中画出函数

的图像：

【总结】①只有时图像才是直线；

②图像一定会出现在第一象限，

一定不会出现在第四象限；③图像一定经过(1,1)这个定点；④第一象限内由上到下递减.

幂函数的图像【说明】对于幂函数，我们只研究时图像的性质.

在同一坐标系中画出函数

的图像：

【总结】⑤时，图像在定义域内上升；⑥时，图像在第一象限下降；⑦只有时，图像才与坐标轴

相交，且交点一定为原点；⑧时，图像是y=1这条直线.

幂函数的性质

奇函数奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数增函数增函数增函数

幂函数的性质和两种情况下幂函数的图像变化及性质表：

在(0，+∞)上都有定义，定义域与a的取值有关图像过点(0，0)和点(1，1)图像过点(1，1)在(0，+∞)上是增函数在(0，+∞)上是减函数在第一象限，当0＜a＜1时，图像上凸；当a＞1时，图像下凹在第一象限，图像都下凹与a的取值有关幂函数奇偶性的判断方法

奇函数偶函数

奇函数偶函数非奇非偶函数

证明幂函数的增减性【例题】证明幂函数是增函数.

【证明】函数的定义域是[0，+∞).

因为

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