2024届贵阳高三二模数学试题含答案

贵阳市2024年高三年级适应性考试（二）

数学

2024年5月

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将姓名、报名号用钢笔填写在答题卡相应位置上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设全集。={2,/+2》+2},集合A={2}满足&A={1},则x的值为（）

A.-lB.OC.lD.2

2.已知向量G=（L—2）,B=（2,X）,若（3万一〃（万+2可，则实数X=（）

A.2B.lC.OD.-4

3.抛物线V=4%上一点/与焦点间的距离是10,则M到％轴的距离是（）

A.4B.6C.7D.9

4.方程sin[x—|J=sinx—sin|■在[0,2可内根的个数为（）

A.OB.lC.2D.3

5.记等比数列{4}的前〃项和为S,，w2a3=27,%=81,则$5=（）

A.121B.63C.40D.31

6.某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占60%,次品率为5%；第二批占40%,次品率为4%.

现从仓库中任抽取1个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是（）

A.0.046B.0.90C.0.952D.0.954

7T

7.在钝角口48。中，C=-,AC=4f则的取值范围是（）

77

8.若关于x的不等式（4左-1-lnx）x<ln%-x+3对于任意xe（l,+e）恒成立，则整数左的最大值为（）

A.-2B.-lC.OD.1

二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设a,夕,/是三个不同的平面，瓦c是两条不同的直线，在命题“ac£=。，cu/,且________厕入〃

c”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命题，则可以填入的条件有（）

A。"Y，CU§B.b//Y^c//p

C.c〃/3,buyD.a〃/,c〃夕

10.设首项为1的数列｛a“｝前”项和为S,,已知S,+i=2S“+〃-l,则下列结论正确的是（）

A.数列｛S“+n｝为等比数列B.数列｛%｝的前n项和Sn=T-n

C.数列｛4｝的通项公式为4=2"T-1D.数列｛氏+1｝为等比数列

11.已知双曲线C:4-V=〉0）的左、右焦点分别为片，区,P为C右支上的动点，过点p作c的两渐近

a

线的垂线，垂足分别为AB.若圆（%-2）2+；/=1与。的渐近线相切，。为坐标原点.则下列命题正确的是

（）

A.C的离心率e=

3

B.pAH尸同为定值

C.|A目的最小值为3

D.若直线,=左/+根与C的渐近线交于M,N两点，点。为MN的中点，OD的斜率为左2,则左的=:

第n卷（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2x—y+l）5的展开式中，所有项的系数和为.

13.函数“X）的定义域为R,且〃x+l）为奇函数，〃x+2）为偶函数，则4985）=.

14.在一个棱长为3面的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方

向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为.

四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)

已知函数"X)=ax+^.

(1)讨论的单调性：

(2)当。=1时，直线y=l是否为曲线y=/(x)的一条切线？试说明理由.

16.(本题满分15分)

由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台ABC。—44G2中，分别为ARAB的中点,

AB=2AlBi=4,侧面BBC。与底面ABC。所成角为45°.

(1)求证：82〃平面AEE;

(2)线段上是否存在点M,使得直线与平面AEE所成的角的正弦值为*,若存在，求出线

10

段AM的长；若不存在，请说明理由.

17.(本题满分15分)

某工生产某电子产品配件，关键接线环节需要焊接，焊接是否成功将直接导致产品“合格”与“不合格”，工厂

经过大量后期出广检测发现“不合格”产品和“合格”产品的某性能指标有明显差异，统计得到如下的“不合格”

产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值后将该指标大于人的产品判定为“不合格”，小于或等于左

的产品判定为“合格”.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为f(k)；错检率

是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为g(Q.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为

相应事件发生的概率.

(1)当漏检率〃左)=2.8%时，求临界值左和错检率g化)；

(2)设函数M左)=〃z)+g(。，当左e［80,100］时，求人伏)的解析式.

18.(本题满分17分)

已知椭圆E的一个焦点是卜百,0).直线［：y=尢％+4与直线4：y=&%+。2关于直线/：V=%+1对称，

且相交于椭圆E的上顶点.

(D求椭圆E的标准方程；

(2)求上他的值;

(3)设直线44分别与椭圆E另交于P，。两点，证明：直线尸。过定点.

19.(本题满分17分)

在复数集中有这样一类复数：2=。+历与彳=。-历(。,。€氏)，我们把它们互称为共辗复数，时它

们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轨复数的特点.它们还有如下性质：

(1)z+z=2^e7?

(2)z-z=2bi(当bwO时，为纯虚数)

(3)z=Noz£7?

(4)(z)=z

(5)z-z=a1+b1=|Z/=|5|2.

(6)两个复数和、差、积、商(分母非零)的共轨复数，分别等于两个复数的共辗复数的和、差、积、商.

请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：

(1)设zwi,|z|=l.求证：上^是实数；

1+Z

(2)已知团=3也|=5,J-z21=7,求」的值；

Z2

(3)设z=x+)i,其中是实数，当回=1时，求产―2+1|的最大值和最小值.

贵阳市2024年高三年级适应性考试(二)

数学参考答案

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

题号12345678

答案ADBDADCC

二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分)

题号91011

答案ACDABABD

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

题号121314

答案32048g

四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

解：(1)/(x)的定义域为R,f'(x)=a-^

e

当aW0时,/'(x)<0,/(x)单调递减；

当a>0时，令/'(*)=0,得x=-lna

当xe(一叫—Ina)时，f'(x)<0,/(x)单调递减；

当xe(-Ina,+oo)时,f'(x)>0,/(x)单调递增.

第1页(共6页)

综上，当aWO时，/(x)在尺上单调递减；当a＞0时，/(乃在(-叫-山。)单调递

减;在(—Ina,+8)上单调递增.................7分

(2)当。=1时，直线＞=1可以是曲线y=/(x)的一条切线，理由如下：

设直线N=1与曲线/(x)=x+C切于点(%,/(%)),

ex

由(1)知/'(%)=Q-----，

ex

因a=l,则由/'(x0)=l—4=0,解得/=0.

e0

又/(0)=1,所以曲线/(X)在(0,1)处的切线方程是y—l=0(x—0),即y=l.

故直线N=1是曲线＞=/(x)在(0,1)处的切线.................13分

16.(本小题满分15分)

证明:(1)连接AD,耳。「

・••瓦尸分别是40,48的中点，

/."BD中EF//BD,

由于斯.平面BAR。，BQu平面A8QQ

EF〃平面BBQQ

正四棱台ABCD-44GD中，A\B\“AB且,

又•：FB=二AB,

2

A[B]〃FB且AR=FB,

第2页(共6页)

四边形AXBXBF为平行四边形，

:.A、FHB、B,由于//二平面A8QQ,u平面BBQQ,

：.4R〃平面

4FCEF=F,且4Fu平面4斯，E户u平面4E尸，

/.平面AXEFH平面BBlDDl,

BD[u平面BBlDDl,故BDJ/平面AXEF..............7分

解:（2）正四棱台"88-446。中，上下底面中心的连线OQ垂直于上下底面，

底面48co为正方形，故49,80.

分别以。4。民。。为X/，z轴，建立空间直角坐标系。—乎，

•••幺8=24吕=4,侧面8片GC与底面ZBCD所成角为45。，易求得。。1=1,

则以(V2,0,l),F(V2,00),E(V2,-V2,0),

假设在线段AB上存在点M(xJ,0)满足题设,则而=(x—20)，

设而=228(0WXW1)，则MQ及-2屈,202,0),

5^=(2血-2岳,2V22+V2,-1)

设平面AXEF的法向量为加=(xj,z),

[AF.m=V2y-z=0

由｛_,l令x=l,则y=0,z=0

[EF-m=2d2y-0

第3页（共6页）

/.m=（1,0,0）,

因为直线2"与平面4防所成的角的正弦值为拽,

10

〜,,,\DM-rn\LI2V2-2V22I375

所以|cos<DM,m>1=——=J—L=U...

X2

\DyM\-\m\V162-82+11-V11。

61]

4二—（舍），4=—,故/A/=1

44

所以线段48上存在点使得直线2/与平面4跖所成的角的正弦值为少叵，

10

此时线段的长为1............................15分

17.（本小题满分15分）

解：（1）由题意可知：第一个图中第一个矩形面积为0.04>2.8%,可知80（左<90,

可得（左一80）x0.004=2.8%,解得左=87.

所以错检率g（87）=0.006x（90—87）+10x0.004=0.058=5.8%；................7分

（2）当80W左<90时，则/（上）=0.004x（左—80）=0.004左—0.320,

g（左）=0.006x（90—左）+10X0.004=0.580-0.006左,

可得h（k）=/（左）+g（k）=-0.002k+0.260；

当90W左W100时，则f（k）=0.004x10+0.026x（左一90）=0.026左-2.300,

g（k）=0.004x（100—左）=0.4-0.004左,

可得h（k）=f（k）+g（左）=0.022左-1.900；

「一0.002左+0.260,80W左<90

所以〃（左）=《.................15分

10.022左一1.900,90W左W100

18.（本小题满分17分）

22

解：（1）设椭圆£的标准方程为与=15〉6〉0）

ab

因直线》=x+i与歹轴相交于点40,1）,

则椭圆E的上顶点为（0,1）,即b=l,

第4页（共6页）

又半焦距C=G，得a?=/+C?=4，

所以椭圆£的标准方程为土+/=].................4分

4

（2）设点5（xj）是4上任意异于4（0,1）的一点，点为（%,%）是8关于直线＞=》+1的

对称点，

所以由=X；Xo+]得y_x=X0_%+2①，

y—y

由^一一n=T得y+x=x0+%②，

x-x0

x=y.-l

联立①、②，解得（1，

U=x0+1

代入直线4得x0=K（为-1）.

又由点纬（Xo/o）,在直线4上可得％=鱼/+1，故乂）—1=左2%.

所以飞=左色玉），由/H0得上色=1-故人向的值为1....................1。分

y=kxx+1

（3）设尸（花,弘）,。（々,8）.联立直线4与椭圆E：

〔—4+,/=1

得（4左i+l）x2+8左x=0,

—瓯_1-4一

所以项=4左？+]'必一"：+]，

—8七_1-4^

同理，x2=%2+1’外-4右2+113分

—3kk2-4

1

又由（1）得上/2=1，所以吃,必也可表示为x2=y2=-^~,

II-I

1.4"2”2.1QI

所以直线9的方程为匕引r—M（x—g）,

匕2+15所以对任意的左，总会过点（0,-$.

化简得”一逮X-§

第5页（共6页）

故直线尸。过定点（0,-1）.