第3章-电阻电路的一般分析

线性电路的一般分析方法(1)普遍性：对任何线性电路都适用。

复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。（2）元件的电压、电流约束特性。（1）电路的连接关系—KCL，KVL定律。

方法的基础(2)系统性：计算方法有规律可循。第1页/共47页§3.1电路的图uS抛开元件性质一个元件作为一条支路元件的串联及并联组合作为一条支路65432178543216有向图1.电路的图R4R1R3R2R6+_iR5第2页/共47页(1)图(Graph)G={支路，节点}①②１从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。(2)路径（3）连通图图G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。第3页/共47页(4)子图若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。

树(Tree)T是连通图的一个子图满足下列条件：(1)连通(2)包含所有节点(3)不含闭合路径第4页/共47页树支：构成树的支路连支：属于G而不属于T的支路2）树支的数目是一定的：连支数：不是树树特点1）对应一个图有很多的树第5页/共47页

回路

(Loop)L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：(1)连通(2)每个节点关联2条支路12345678253124578不是回路回路2）基本回路的数目是一定的，为连支数特点1）对应一个图有很多的回路3）对于平面电路，网孔数为基本回路数第6页/共47页基本回路(单连支回路)12345651231236支路数＝树枝数＋连支数＝结点数－1＋基本回路数结论结点、支路和基本回路关系基本回路具有独占的一条连枝第7页/共47页例87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。876586438243第8页/共47页

割集Q(Cutset)Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质：(1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。(2)任意放回Q中一条支路，仍构成连通图。876543219876543219割集：（196）（289）（368）（467）（578）（36587）（3628）是割集吗？基本割集只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1连支集合不能构成割集第9页/共47页§3.2KCL和KVL的独立方程数KCL的独立方程数654321432114324123＋＋＋＝0结论n个结点的电路,独立的KCL方程为n-1个。第10页/共47页KVL的独立方程数KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)结论n个结点、b条支路的电路,独立的KCL和KVL方程数为：第11页/共47页§3.3支路电流法(branchcurrentmethod)对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。支路电流法独立方程的列写（1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程（2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程第12页/共47页有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程:取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列KVL写方程:结合元件特性消去支路电压得：回路1回路2回路3R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234例132123第13页/共47页支路电流法的一般步骤：(1)标定各支路电流（电压）的参考方向；(2)选定(n–1)个节点，列写其KCL方程；(3)选定b–(n–1)个独立回路，列写其KVL方程；

(元件特性代入)(4)求解上述方程，得到b个支路电流；(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。支路电流法的特点：支路法列写的是KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。第14页/共47页例1.节点a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1个KCL方程：求各支路电流及电压源各自发出的功率。解(2)b-(n-1)=2个KVL方程：11I2+7I3=

6

U=US7I1–11I2=70-6=641270V6V7

ba+–+–I1I3I27

11

第15页/共47页例2.节点a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1个KCL方程：列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）解1.(2)b–(n–1)=2个KVL方程：11I2+7I3=

U7I1–11I2=70-Ua1270V6A7

b+–I1I3I27

11

增补方程：I2=6A+U_1解2.70V6A7

b+–I1I3I27

11

a由于I2已知，故只列写两个方程节点a：–I1+I3=6避开电流源支路取回路：7I1＋7I3=70第16页/共47页例3.节点a：–I1–I2+I3=0列写支路电流方程.(电路中含有受控源）解11I2+7I3=5U7I1–11I2=70-5U增补方程：U=7I3a1270V7

b+–I1I3I27

11

+5U_+U_有受控源的电路，方程列写分两步：(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。第17页/共47页§3.4网孔电流法基本思想为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔中有一个网孔电流。各支路电流可用网孔电流的线性组合表示。来求得电路的解。网孔电流法以基本回路中的网孔电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。网孔电流是人为任意假定的在网孔中流动的电流.独立回路为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2im1im2第18页/共47页网孔电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此网孔电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：列写的方程与支路电流法相比，方程数减少n-1个。回路1：R1im1+R2(im1-im2)-uS1+uS2=0回路2：R2(im2-im1)+R3im2-uS2=0整理得：(R1+R2)

im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)

im2=uS2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2im1im2方程的列写第19页/共47页R11=R1+R2

回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。观察可以看出如下规律：R22=R2+R3

回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。自电阻总为正。R12=R21=–R2

回路1、回路2之间的互电阻。当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。us11=uS1-uS2

回路1中所有独立源电压的代数和。us22=uS2

回路2中所有独立源电压的代数和。当独立源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。注意:独立源包括电压源,电流源.为了便于计算也要把受控源的电压考虑在内第20页/共47页R11im1+R12im2=uS11R12im1+R22im2=uS22由此得标准形式的方程：对于具有l=b-(n-1)

个回路的电路，有:其中:Rjk:互阻+:流过互阻两个回路电流方向相同-:流过互阻两个回路电流方向相反0:无关R11im1+R12im2+…+R1liml=uS11…R21im1+R22im2+…+R2liml=uS22Rl1im1+Rl2im2+…+Rlliml=uSllRkk:自阻(为正)第21页/共47页例1.用网孔法求各支路电流。解：求自阻和互阻R11=R1+R2R22=R2+R3R33=R3+R4R12=R21=-R2R23=R32=-R3R13=R31=0us11=Us1-Us2us22=Us2us33=-Us4(2)列KVL方程(R1+R2)Ia-R2Ib=US1-US2

-R2Ia+(R2+R3)Ib-

R3Ic=US2

-R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4对称阵，且互电阻为负(3)求解回路电流方程，得Ia,Ib,Ic(4)求各支路电流：I1=Ia

,I2=Ib-Ia

,I3=Ic-Ib,I4=-IcIaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_US4R4I4第22页/共47页例2:用网孔法求各支路电流。+-+-140V90V++--u10.5u1i1i2i320Ω5Ω2Ωim1im2解：R11=20+2=22ΩR12=R21=-2ΩR22=2+5=7Ωus11=140-0.5u1

us22=0.5u1-9022im1-2im2=140-0.5u1-2im1+7im2=0.5u1-90u1=20im1im1=4Aim2=-6Ai1=im1=4Ai2=-im2=6Ai3=im1-im2=10A注：含受控源时第23页/共47页§3.5回路电流法(loopcurrentmethod)基本思想为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。回路电流法以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。回路电流法是网孔电流法的拓展应用。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2独立回路为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：第24页/共47页例1.用回路电流法求解电流i.解1独立回路有三个，选网孔为独立回路：（1）不含受控源的线性网络Rjk=Rkj

,系数矩阵为对称阵。（2）当网孔电流均取顺（或逆时针方向时，Rjk均为负。表明i1i3i2RSR5R4R3R1R2US+_iiL1iL2iL3第25页/共47页解2只让一个回路电流经过R5支路特点（1）减少计算量（2）互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻RSR5R4R3R1R2US+_ii1i3i2il1il3il2第26页/共47页回路法的一般步骤：(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；(2)对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；(3)求解上述方程，得到l个回路电流；(5)其它分析。(4)求各支路电流(用回路电流表示)；第27页/共47页理想电流源支路的处理

引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。例RSR4R3R1R2US+_iSU_+i1i3i2电流源看作电压源列方程增补方程：第28页/共47页

选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,

该回路电流即IS。RSR4R3R1R2US+_iSi1i3i2例为已知电流，实际减少了一方程第29页/共47页

与电阻并联的电流源，可做电源等效变换IRISºº转换+_RISIRºº受控电源支路的处理

对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。第30页/共47页例RSR4R3R1R2US+_5U_+_+Ui1i3i2受控电压源看作独立电压源列方程增补方程：第31页/共47页例：求回路电流iL1,iL2,iL3.+++---5VU02U0ux1Ω4Ω3Ω2ΩiL1iL2iL3解：R11=7ΩR22=4ΩR33=3ΩR12=R21=-3ΩR13=R31=0ΩR23=R32=-1Ωus11=uxus22=5Vus33=-ux7iL1-3iL2=ux-3iL1+4iL2-iL3=5-iL2+3iL3=-uxiL1-iL3=2U0U0=3(iL2-iL1)iL1=11/6(A)iL2=7/3(A)iL3=-7/6(A)第32页/共47页§3.6结点电压法(nodevoltagemethod)选结点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。基本思想：以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。结点电压法列写的方程结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为：与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。第33页/共47页任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。(uA-uB)+uB-uA=0KVL自动满足说明uA-uBuAuB方程的列写iS1uSiS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_(1)选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压132第34页/共47页iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_132(2)列KCL方程：

iR出=iS入i1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0把支路电流用结点电压表示：-i3+i5=－iS2第35页/共47页整理，得：令Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式简记为：G11un1+G12un2

＋G13un3

=iSn1G21un1+G22un2

＋G23un3

=iSn2G31un1+G32un2

＋G33un3

=iSn3标准形式的结点电压方程等效电流源第36页/共47页G11=G1+G2

结点1的自电导，等于接在结点1上所有的电

导之和。

G22=G2+G3+G4

结点2的自电导，等于接在结点2上所有支路的电导之和。G12=G21=-G2

结点1与结点2之间的互电导，等于接在结点1与结点2之间的所有支路的电导之和，为负值。自电导总为正，互电导总为负。G33=G3+G5结点3的自电导，等于接在结点3上所有支路

的电导之和。G23=G32=-G3

结点2与结点3之间的互电导，等于接在结点

1与结点2之间的所有支路的电导之和，为负值。第37页/共47页iS22=-iS2＋uS/R5

流入结点2的独立源电流的代数和。iS11=iS1+iS2

流入结点1的独立源电流的代数和。注:独立源发出的电流流入结点取正号，流出取负号。独立源的成分包括:电流源,电压源,为了便于计算含有受控源电路,可以把受控源暂时看作独立源.由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用节点电压表示：第38页/共47页一般情况G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iS11G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iS22

Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn-1,n-1其中Gii—自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。

当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。iSii

—流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij

=Gji—互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，总为负。第39页/共47页节点法的一般步骤：(1)选定参考结点，标定n-1个独立结点；(2)对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其n-1个独立结点所对应的自导,互导,独立源电流的代数和。(3)求解上述方程，得到n-1个结点电压；(5)其它分析。(4)求各支路电流(用结点电压表示)；第40页/共47页例1：电路如图所示，用结点电压法求各支路电流及输出电压U0++--15VU0i1i4i3i2i55A10A3Ω6Ω2Ω2Ω2Ω1230解：-(1/3+1/6)+(1/3+1/6+1/2)un2-1/2un3=15/3+10-5（1/2+1/6+1/3）un1-(1/3+1/6)un2=-15/3-1/2un2+(1/2+1/2)un3=5un1=5Vun2=20Vun3=U0=15Vi1=15-(un2-un1)/3=0Ai2=(un2-un1)/6=2.5Ai3=un1/2=2.5Ai4=(un2-un3)/2=2.5Ai5=un3/2=7.5A第41页/共47页例2:电路如图所示,us1为无伴电压源的电压,试列出此电路的结点电压方程。+-us1G1G2G3is2120解：选0为参考点Un1=us1-G3.un1+(G2+G3).un2=is2即可解出un2第42页/共47页试列写电路的节点电压方程。(G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=USGS-G1U1+(G1+G3+G4)U2