《用空间向量研究距离问题》同步学案(学生版)

高中数学精编资源2/2《用空间向量研究距离问题》同步学案情境导入1.空间中的距离包括哪些?提示:点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离.2.求解空间距离常用的方法有哪些? 提示:定义法,转化法,等体积法和向量法.自主学习自学导引1.点到直线的距离如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设AP=a,则向量AP在直线l在RtΔAPQ中,由勾股定理,得PQ=2.点到平面的距离如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ=_________=________=预习测评1.已知点A111,B-3A.4B.2C.4D.32.已知平面α的一个法向量n=-2-21,点A(-1,3,0)在α内,则点PA.10B.3C.8D.103.已知平面α//平面β,直线l⊂α,α与β之间的距离为d,有下列四个命题:①β内有且仅有一条直线与l的距离为d;②β内所有的直线与l的距离都等于d;③β内有无数条直线与l的距离为d;④β内所有直线与α的距离都等于d.其中真命题是()A.①B.②C.①④D.③④4.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.6B.6C.3D.3新知探究探究点1点到直线的距离、两条平行直线之间的距离知识详解1.点到直线的距离如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量在RtΔAPQ中,由勾股定理,得PQ=|2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线之间的距离的关键是在其中的一条直线上取一定点,则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离.典例探究例1如图,在空间直角坐标系中,有长方体ABCDA'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,则点B到直线A'C的距离为______.变式训练1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C探究点2点到平面、直线到平面、两个平行平面的距离知识详解1.点到平面的距离如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此2.直线到平面的距离如图,设直线a//平面α,A∈a,B∈α,n是平面α的法向量,过A作AC⟂α,垂足为C因为AB⋅所以|AB所以直线a到平面α的距离d=|AC3.两个平行平面的距离如图(1)用公式d=|AB⋅n||n|(2)转化为点到平面的距离或直线到平面的距离来求解.典例探究例2已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,变式训练2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面AA.1B.2C.2D.3变式训练3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F分别在(1)求证:EF//平面ABC(2)求直线EF到平面ABC1D变式训练4如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1易错易混解读例如图所示,在三棱锥S-ABC中,ΔABC是边长为4的正三角形,平面SAC⟂平面ABC,SA=SC=23,M,N分别为AB,SB的中点,求点B到平面CMN课堂检测1.已知直线l过定点A231,且方向向量为n=(0,1,1),则点PA.3B.2C.10D.22.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A211,且两平面的一个法向量为nA.3B.2C.3D.33.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P