高考数学一轮复习训练：函数及其表示

第1节函数及其表示

考纲要求1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;

3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.函数与映射的概念

函数映射

两个集合

设48是两个非空数集设A,B是两个非空集合

A,B

如果按照某种确定的对应关系f,使如果按某一个确定的对应关系f,

对应关系对于集合4中的任意一个数X,在集使对于集合A中的任意一个元素

f：ATB合B中都有唯一确定的数和它对x,在集合B中都有唯一确定的元

应素y与之对应

称/：ATB为从集合A到集合B的一称力A—8为从集合A到集合8

名称

个函数的一个映射

记法函数y=/(x)，映射：/:ATB

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y=/(x),xGA中，尤叫做自变量，尤的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相

对应的y值叫做函数值，函数值的集合伏x)|xGA｝叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这

种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的丑集.

•——常用结论与微点提醒

1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.

2.直线x=a(。是常数)与函数y=/(x)的图象至多有1交点.

3.注意以下几个特殊函数的定义域

(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

(3次x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若式x)=x°,则定义域为{x|#0}.

(5)正切函数y=tanx的定义域为1x*祈+彳，左GZ，.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“/或“x”)

(1)函数y=l与y=x°是同一函数.()

(2)对于函数力A—8,其值域是集合8()

(3次0="-3+、2—尤是一个函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()

答案(1)X(2)x(3)X(4)x

解析（1）错误.函数y=l的定义域为R,而y=x0的定义域为{尤|#0},其定义域不同，故不

是同一函数.

（2）错误.值域CQB,不一定有C=B.

（3）错误/尤）=、尤一3+、2—x中无不存在.

（4）错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.

►■教材衍化

2.若函数y=/（无）的定义域为"={尤2W烂2},值域为N={y|区产2},则函数>=式尤）的图象

可能是（）

ZL匚

O21-2L02'

2

11B(：D

答案B

解析A中函数定义域不是［-2,2］；C中图象不表示函数；D中函数值域不是［0,2］.

3.下列各组函数中是同一函数的是（）

•X2

A.y=x与

f+x

B.y=3了与y=x（x^—1）

C.y=x（xK））与尸35

D.y=|;c+l|+|x|Vy=2x+l

答案B

解析A中，y=x的定义域为R,y=手的定义域为{x|#0},定义域不同，不是同一函数.B

中，y=x不］=%的定义域为{R#-1},y=x（。—1）的定义域是{*#—1}，定义域和解析式

都相同，是同一函数C中，y=迎的定义域为R,与》=庆仑0）的定义域不相同，所以不是

—2x-1(x<—1),

同一函数，D中，y=\x+l\+\x\='I(-l<x<0),与y=2x+l中解析式不同，不是同

2x+1(尤>0)

一函数.

>考题体验

目(x<0),](I、]

4.(2021・贵阳诊断)已知函数式x)=,,八则/比弓=()

[log3X(X>O)，L

A.-lB.2

C.A/3D.1

答案D

解析vy^=iog31<o,

=^log32)=3(bg3±)=1.

5.(2020.*京卷)函数犬x)=*"+Inx的定义域是.

答案(0,+oo)

\x-\-1#0,

解析要使函数有意义，需满足、八

Lx>o,

所以函数的定义域为(0,+oo).

6.(2020・临沂一中月考)已知五5)=%—1,则危)=.

答案%2-l(x>0)

解析令/=3，则仑0,%=汽所以八力=及一1(仑0),故穴幻二%2—1(x20).

♦考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一求函数的定义域自主演练

1.(2020・江南十校联考)函数五x)=4T』M+ln(3x—l)的定义域为()

A，，1)B.(j)1

inrir

cl-2f4)D.[-5,2_

答案B

i---------,fl-4走0,ii

解析要使函数1—4/+-(3%—1)有意义,\=彳<烂5,

[3x—1>0°乙

••・函数八X)的定义域为1.

2.(2021・西安检测)已知函数y=/(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=1)的定义域是

()

A.(-oo,-2)U(-2,3]B.(-8,~2)U(~2,1]

「9\「91

C.一~2jU(~2f0|D.一5,一2

答案C

8<2x+1<1,9

解析・・・加)的定义域为[—8,1],・・・he解得一齐口)，且中—2.・・・g(x)的定义

Lx+2^0,乙

域为一?，一2)U(—2,0].

3.函数y=q?二乒+log2(tanx—1)的定义域是.

答案J1

解析要使函数y=，T二脑+log2(tan%—1)有意义，则1一/对，且tanx—1>0,且样E+自

TTTTTT，兀

aGZ)".-1装1且a+E<x<bt+5，kGZ,解得不Y1.则函数的定义域为b，1.

31—1

4.己知函数<了)=五+狈_3的定义域是R，则实数。的取值范围是()

A.&+s)B.(-12,0]

C.(-12,0)D.(-oo,|

答案B

解析因为函数/(%)=〃/不办二3的定义域是R，所以加+以一3班)对任意实数%都成立.

当a=0时，显然成立；当今0时，需/=层+12〃<0,解得一12<〃<0.综上所述，实数〃的

取值范围为-12<好0做选B.

感悟升华1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,

列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

⑴若已知函数式了)的定义域为[a,b],则复合函数/[g(x)]的定义域可由不等式(无)劭求出.

(2)若已知函数月g(x)]的定义域为[a,b],则“x)的定义域为g(无)在xG[a,b]上的值域.

考点二求函数的解析式师生共研

【例1]⑴已知《+l)=lg尤，则段)=;

(2)(2021•黄冈检测)已知小+§=尤4+},则»=.

(3)已知函数次尤)的定义域为(0,+oo),且於)=痣)5—1，则危尸.

2

答案(1)瓦_](%>1)(2)f—2,%£[2,+co)

2]

(3)油+§

2?

解析(1)(换元法)令贝

22

，力)=1耳二7，即加0=1%w(x>i).

(2)(配凑法)...启2+点)=。?+§-2,

：.f(x)=^-2,%e[2,+oo).

(3)(构造法)在式x)=#)\5一1中，

将X换成则:换成X,

感悟升华求函数解析式的常用方法

⑴待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.

(2)换元法：已知复合函数月g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

(3)配凑法：由已知条件犬g(x))=P(x),可将5(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以无替代g(x),

便得人x)的解析式.

(4)构造法：已知关于/U)与或人-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式,

通过解方程组求出fix).

【训练1】(1)已知y=Ax)是二次函数，若方程式防=0有两个相等实根，且〃x)=2尤+2,

则式x)=.

(2)若於)满足纨x)+式—x)=3%,则犬x)=.

(3)已知式1-sinx)=cos2x,则fix)=.

答案(1)1+2彳+1(2)3x(3)2x~x2,xG[O,2]

解析(1)(待定系数法)设於)=加+次+。(存0),

则f(x)=2ax-\-b,

2ax+b=2x+2,贝！|a=l,6=2.

所以7(X)=X2+2X+C=0,且有两个相等实根.

；./=4—4c=0,则0=1.故/(尤)=;(2+2^+1.

(2)(构造法)因为贺x)+/(—x)=3尤，①

所以将X用一X替换，得〃-x)+/(x)=—3x,②

由①②解得fix)=3x.

(3)(换元法)设1—sinx=f,re[0,2],

则sinx=l-t,-sinx)=cos2x=1—sin2x,

00,2].

即兀。=2尤一X2,%e[0,2].

考点三分段函数多维探究

角度1分段函数求值

(2%—%,x>0,

【例2】(2020•河南名校联考)已知函数y(x)=­，一1则/仅一D]=()

〔片十1,x<0,

A.2B.3

C.4D.5

答案A

\2x—x,x>0,

解析由于/u)=

〔x十1,x<0.

所以式-1)=(-1>+1=2,故旧(一1)]=式2)=22—2=2.

角度2分段函数与方程、不等式问题

，Og2尤,X>1,

【例3】(1)(2021・合肥模拟)己知函数加)=2则/)勺0+D的解集为()

〔『一1,x<l,

A.(-l,+oo)B.(-l,1)

c(T+°°)D(V，i)

f2”,x>0,

(2)己知函数五x)=:=若式。)+八1)=0,则实数a的值为_________.

[x+1,烂0.

答案(1)C(2)-3

解析(1)当烂0时，x+10,於)勺(x+1),

等价于f一l<(x+l)2—1,解得一3<在0,

当0X1时，x+l>l,此时式尤)=?一1至0,

>+l)=log2(x+l)>0,

・・・0<烂1时，恒有/(%)勺(%+1),

当X>1时，危)勺(x+l)Tog2X<log2(x+l)恒成立，

综上知，不等式加)勺口+1)的解集为(一3,+<»).

(2)•••41)=2,且八0)+八1)=0,...犬a)=-2.

当a<0时，J(a)=a~t~1=—2,**.a=—3；

当a>0时，佃)=2°>0,此时,式。)声一2.

综上可知a=—3.

感悟升华1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定

相应的解析式代入求解.

2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，

但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

fe*—3,x<1,

【训练2】⑴(2020•成都诊断)函数於)=''则关于函数式x)的说法不正确的是

llnx,x>l,

()

A.定义域为RB.值域为(一3,+oo)

C.在R上为增函数D.只有一个零点

[0,x<0,

(2)函数次无)=则满足或防+状x+l)W2的x的取值范围是()

[1,x>0,

A.(—co,0]B.(-8,

C.(-oo,1]D.(—co,_-

答案(1)B(2)C

fe*——3,1<1,

解析(1次v)='':优')的定义域为R,值域为(-3,e—3)U[0,+oo),且e—3<0,

Llnx,x>l,

.力（尤）在R上为增函数,且yu）=o,只有一个零点.

（2）当尤20时，原不等式化为/+立2,得0W烂1,

当一1q<0时，原不等式化为止2,则一lWx<0；

当x<一l时，原不等式化为0W2,则x<—l.

综上可知，原不等式的解集为（-8,1].

拓展视野/函数值域的求法与抽象函数问题

一、函数的值域

求函数值域的一般方法

（1）分离常数法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）单调性法；（6）换元法；（7）数形结

合法；（8）导数法.

【例1】求下列函数的值域:

Wy=xz~2x+3,xG[0,3)；

2x+1

⑵「

(4)y=、尤+1+小-1.

解(1)(配方法)丫=/—2x+3=(x—1)2+2,

由xd[0,3),

再结合函数的图象（如图①所示），可得函数的值域为[2,6）.

八+巫业/、L2x+l2(光—3)+7।7

(2)(分离吊数法)y=x—3==2+不行，

显然《^加，.,.#2.

故函数的值域为(一00,2)U(2,+oo).

(3)(换元法)设则％=产+1,且会0,

：.y=2(t2++y,

由仑0,再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为［竽，+，).

(4)函数的定义域为［1,+<»),

•；了=#+1与y="x—1在［1,+(»)上均为增函数，

；..=5+1+5-1在［1,+<»)上为单调递增函数，

...当X=1时，ymm=也，即函数的值域为［也，+<»).

二、抽象函数

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=

/(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、

奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.

【例2】(1)设函数y=/U)的定义域为(0,+s),犬xy)=/Q)+y(y),若人8)=3,则距)=

(2)设函数大0的定义域为R,对于任意实数xi，也，都有犬羽)+段2)=〃(气斗得汽，犬兀)

=—1,则式0)=.

答案(1*(2)1

解析(1)因为式8)=3,所以x2x4)=/(2)+/(4)=A2)+八2义2)=式2)+式2)+八2)=3液2)=3,所

以犬2)=1.

因为火2)=他xp)=flj)+M)=2您),所以24\⑵=1,所以河2)=今

(2)令X1=X2=兀，

则人兀)+八无)="(兀求0),...式0)=1.

【例3】(1)(2021・山东名校模拟)已知函数八x)=ln(—x—x2),则函数/(2x+l)的定义域为

(2)若函数八2^的定义域是［—1，1］，则川ogM)的定义域为.

答案(1)(一1，—D(2)［^2,4］

解析(1)由题意知，一X一%2>0,

.*.-1<%<0,即式x)的定义域为(一1,0).

.\-1<2%+1<0,则一1<尤<一千

⑵对于函数y=/(2x),

：.2^'<2X<2.

则对于函数y=/(log2X),2-1<log2X<2,

y［2<x<4.

故y=/(log2X)的定义域为［也，4J.

【例4】(多选题)(2021・潍坊调研)定义在R上的函数於)满足/(x+y)=/(x)+用)，当尤<0

时，人尤)>0,则函数式元)满足()

A./(o)=o

B.y=/(x)是奇函数

C7(x)在［"2,网上有最大值式〃)

D.危—1)>0的解集为{小<1}

答案ABD

解析令尤=y=0,则犬0)=软0),故式0)=0,选项A正确;

令》=一无，则式0）=/（x）+/（一尤）=0,

即式无）=一八一无），

故函数兀0为奇函数，选项B正确；

设X1＜X2,则修一无2＜。，

由题意可得，犬尤1—尤2）＞0,

即＞1）+X-^2）=＞1）-A^2）＞0,

即六犬1）＞於2）,故函数/（X）为R上的减函数，

二危）在O,〃］上的最大值为加I）,选项c错误；

/（X—1）＞。等价于/（X—1）＞式0）,

又八犬）为R上的减函数，故x—l＜0,

解得x＜l,选项D正确.故选ABD.

课后巩固作业一分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.如图是张大爷晨练时离家距离⑼与行走时间（无）之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大

爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（）

解析由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意.

2.下列所给图象是函数图象的个数为()

C.3D.4

答案B

解析图象①关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y,图象②中xo对应2个y,所以

①②均不是函数图象；图象③④是函数图象.

(x—2,x>10,

3.(2020・长沙检测)设加)=皿，一、।则式5)的值为()

\j[f(x+6)J,x<10,

A.10B.ll

C.12D.13

答案B

x~2,x>10,

解析।；式5)=欢11)]=式9)=欢15)]=/(13)=1L

(x+6)],x<1i0n,

4.(2021•青岛二中月考)若函数/)=x+log2(x—a)的定义域为(1,+oo),则式3a)=()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析•.•川)=》+1082。一编的定义域为(1,+a>),，a=l,.\A3a)=3+log22=4.

5.(2020・陕西师大附中质检)已知函数兀c)的定义域是[—1,1],则函数且0尸,(]_人.)的定

义域是()

A.[0,1]B.(0,1)

C.[0,1)D.(0,1]

答案B

解析由函数兀0的定义域为[—i,1],

令一lW2x—1口，解得0M1,

又由1—无>0且1—,解得x<l且*0,

所以函数g(x)的定义域为(0,1).

6.(2021•成都检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的

称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xGR,用㈤表示不超过x的最大整数，则y=[x]

称为高斯函数.例如：[―0.5]=—1,口.5]=1.已知函数兀0=卧：4*-3x2*+4(0<x<2),则函数

y=[/(x)]的值域为()

「13、

A.|_—2>2)B.{—1,0,1}

C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2)

答案B

解析令f=2，，/e(l,4),

则可设3t+4,ze(l,4),

由二次函数性质，一Twg«)<|.

因此[g⑺]e{-1,0,1).

则函数y=[/(x)]的值域为{—1,0,1}.

7.已知函数加)=[x+1'1<%°’若实数a满足则0=()

[2x,x>0,w

A.2B.4

C.6D.8

答案D

解析由«x)的定义域，知Q>0.

当0<a<l时，由式〃)=/(〃-1),即2a=y[a,

解得。=",则巧=八4)=8,

当aNl时，由式a)=/(a—1),得2a=2(a—1),无解.

综上可知，TQ=8.

+x,x>0,

8.已知函数於)=若。仅。)一/(—。)]>0，则实数a的取值范围为()

〔一3尤，x<0,

A.(l,+oo)B.(2,+oo)

C.(-oo,-1)U(1,+oo)D.(—oo,—2)U(2,+oo)

答案D

解析当a=0时，显然不成立.

当a>0时，不等式a[f(a)—j(—a)]>0等价于a2—2a>0,解得a>2.

当a<0时，不等式a[/(a)—fi—tz)]>0等价于一a2—2a<0,解得a<—2.

综上所述，实数。的取值范围为(一如-2)U(2,+oo).

二、填空题

9.函数«x)=ln(1+'+其1—x2的定义域为.

答案(0，1]

解析要使函数式力有意义，

c1、

1+->0,x<—1或x>0,

则</0,力/°，为<烂1.

J—合01T2

的定义域为(0,1].

10.已知函数式尤)满足娟十%(—x)=2x(#0),则八一2)=.

7

答案-

2

解析令x=2,可得好）+%—2）=4,①

令冗=一3，可得八一2）—46）=—1,②

7

联立①②解得大-2）=亍

[2%—5,x<2,

11.函数/（尤）={一的值域为________.

[3sinx,x>2

答案（一5,3]

解析当烂2时，兀0=2工一5单调递增，则一5勺（x）W—1；

当x>2时，sinx£[—1,1],则/（x）=3sinxG[―3,3].

故/（x）的值域是（一5,3].

,2

工-1-——3,%>],

12.己知函数兀c）=:x'-’则欢—3））=,y（x）的最小值是.

Jg（JT+1）,x<l,

答案02陋—3

解析由题意知八-3）=lg[（-3>+l]=lg10=1,

所以用：-3）]=/U）=0,

当后1时，/（尤）=尤+1一3N2娘一3,当且仅当％=也时，取等号，此时八x）min=2也一3<0；

当X<1时，兀0=馆0?+1巨坨1=0,当且仅当X=0时，取等号，此时兀V）min=0.

.,.小）的最小值为2^2-3.

B级能力提升

13.（2021・济南检测）如下折线图统计了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全国（不

含湖北）新冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数，记2020年2月27日至2020年3月11日

的日期为々GN*）,f的取值如下表,

日期2.272.282.293.013.023.03