勾股定理-2024年新九年级数学暑假提升讲义（沪科版）

专题04勾股定理

专题04勾股唾

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知识点1:勾股定理

1.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+呈=02.

特别提醒:

(1)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(2)勾股定理公式/+力2=<?2的变形有：a=Yc2-b2，b=\及c=4@2+52.

(3)由于/+9=。2>£,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.

知识点2：勾股定理的证明

1.勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的.先利用拼图的方法，然后再利用面积相

等证明勾股定理.

2.证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形

的面积和化简整理得到勾股定理.

知识点3：勾股定理的应用

1.应用条件：勾股定理的应用必须是在直角三角形中，所以要应用勾股定理，必须先找出直角三角形

1

2..常见的类型：

①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度.

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形

的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三

角形的斜边.

知识点4：平面展开-最短路径问题

（1）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一

般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.

（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问

题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型.

知识点5：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长。，b,C满足/+必=02,那么这个三角形就是直角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方的

和等于最大边的平方才能做出判断.

2.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决

问题.

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和

与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

知识点6：勾股数

勾股数：满足/+必=02的三个正整数，称为勾股数.

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足@2+62=02,但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数.

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；-

知识点7：两点间的距离公式

设有两点A（xi，yi）,B（X2,>2）,则这两点间的距离为（X1-X2）2+（丫［-丫2）2.

2

»题型归纳

【题型1勾股定理】

满分技法

应用勾股定理时，应注意区分直角边和斜边，标注字母C的不一定就是斜边

1.（2023春•金寨县期末）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9c〃z,将此长方形折叠，使点3

与点。重合，折痕为EF,则AABE的面积为（）

2.（2023春•安庆期末）如图，在RtAABC中，ZC=90°,若AB=15,则正方形ADEC和正方形BC尸G的

面积和为（）

3.（2024春•田家庵区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点0（0,0）,A（2,3）,以点。为圆心,

Q4长为半径画弧，交尤轴的正半轴于3点，则3点的横坐标介于（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

3

4.（2024•芜湖二模）如图，在RtAABC中，ZC=90°,分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学

史上称为“希波克拉底月牙"，当AC=4,5C=2时，则阴影部分的面积为（）

B.4%C.8%

5.（2024春•黄山期中）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都

叫格点，点石，尸都在格点上，连接AE,AF,则NE4/=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【题型2勾股定理的证明】

满分技法

（1）证明勾股定理时，找面积相等是关键.

⑵组成图形的面积的两种表示方法：

①直接利用面积公式表示;②间接利用各个组成部分的面积和表示。

6.（2024春•庐阳区校级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄

傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角

形较长直角边长为。，较短直角边长为6,若（4+份2=22,大正方形的面积为17,则小正方形的边长为（

）

C.A/6D.2石

7.（2024春•芜湖期中）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多

方法.我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分

成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学

思想是（）

4

C.函数思想D.归纳思想

8.（2024春•大观区校级期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，

将图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MAKT的面积分别记为H、邑、S3,若岳=25,S3=l,则

9.（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、。在同一条直线上.利

用此图的面积表示式证明勾股定理.

【题型3勾股定理的应用】

满分技法

（1）若不存在直角三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形.

（2）在运用勾股定理解决实际问题时，要从实际问题中抽象出数学问题，即建立直角三角形模型，把实

际的量抽象成线段的长度，进而转化为求直角三角形的边长。

⑶勾股定理可以帮助我们计算，也可以帮助我们建立方程，还可以帮助我们证明线段之间的平方关系.

⑷运用勾股定理求直角三角形的边长时，若未明确哪条边是斜边，应分类讨论

10.（2024春•庐阳区校级期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断

之前的高度是（）

5

B.8米C.10米D.16米

11.（2024春•蜀山区期中）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5加，梯子的

顶端B到地面的距离为Um,现将梯子的底端A向外移动到4,使梯子的底端4到墙根（9的距离

等于6〃工，同时梯子的顶端3下降至那么2夕（）

C.等于I沉D.小于或等于1m

12.（2024春•大观区校级期中）某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示，学校计划在空地上种植草

皮，经测量NA=90。，AB=3m,AD=4m,CD=12m,BC=13m.若每平方米草皮需要200元，问学校

需要投入多少资金买草皮？

13.（2024春•金安区校级期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一

端向右走，绳端从C移动到E,同时小船从A移动到5,绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F

三点在一条直线上，且诙_LCF于点下，若CF=8米，AF=15米，AB=9米，求男子向右移动的距离CE.

14.（2024春•庐阳区校级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹

竿底端O到左墙角的距离OC为2米，顶端3距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿

斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OP为3米，顶端E距墙顶。的距离DE为2米，点A、B、C在

6

一条直线上，点D、E、尸在一条直线上，AC±CF,DF±CF.

求：（1）墙的高度；

（2）竹竿的长度.

15.（2024春•庐江县期中）某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂

直高度CE,他们进行了如下操作：

①测得水平距离BD的长为12米：

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米：

③牵线放风筝的小明的身高为L62米.

（1）求风筝的垂直高度CE:

（2）如果小明想风筝沿CD方向再上升4米，则他应该再放出多少米线？

【题型4平面展开-最短路径问题】

满分技法

立体图形平面化，解决最短路径问题求立体图形上两点间的最短距离时，可先将立体图形展开，使这两

点在同一个平面内，再利用勾股定理求出两点之间线段的长度.但需要注意，个立体图形的展开方式可

能不止一种，要从中选出最短路径.

16.（2023秋•泗县期中）如图，圆柱高为7cm,底面周长为48cm,蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点3

的最短路程是（）

7

B.32cmC.25cmD.24cm

17.（2024春•合肥期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80c〃7,高AB=50c〃z,

水深AE=40c/”,在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线防上，且FG=30cm,一只蚂蚁想

从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑.蚂蚁爬行的最短路线为cm.

18.（2023秋•埔桥区校级期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块.已知AD=6

米，4?=4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到

达C处需要走的最短路程是米.

19.（2023春•花山区校级期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子.为了美观，每根柱子

的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的3点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，

高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为米.

20.（2023春•天长市校级期中）如图，直四棱柱侧棱长为4c〃z,底面是长为5c机，宽为3s的长方形.

只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点3.则蚂蚁经过的最短路程cm.

8

【题型5勾股定理的逆定理】

满分技法

利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：

第1步：比较a,b,c的大小，找出最大边长，

第2步：计算两小边长的平方和,看它是否与最大边长的平方相等.若相等，则是直角三角形，并且最大边

所对的角是直角；若不相等，则不是直角三角形，

21.（2024春•大观区校级期中）在下列条件中，能确定AABC是直角三角形的条件是（）

A.ZA+ZB=2ZCB.AB:AC:BC=1:1:2

C.(AC+BC)(AC-BC)=AB2D.ZA-ZB=90°

22.（2024春•金安区校级期中）在AABC中，NA、ZB、NC对边是a、b、c,哪个条件不能判断AABC

是直角三角形（）

A.ZA+ZB=ZCB.ZA:ZB:ZC=1:2:3

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.b2+a2=c2

23.（2024春•田家庵区校级期中）AABC中,a、b、。分别为NA、ZB、NC的对边，下列条件中能判

断AABC为直角三角形的是（）

A.a=b=cB.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.a:b:c=l:2:3D.a=3fb=49c=5

24.（2024春•黄山期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（)

A.G/,A/5B.2,3,4C.2,2,5D.2,3,75

【题型6勾股数】

满分技法

勾股数满足条件：

1.三个数必须都是正整数

2.以这三个数为长度的线段能组成三角形

3.两个较小的数的平方和等于最大的数的平方

25.（2024春•庐阳区校级期中）下列各组数据中的三个数是一组勾股数的为（）

9

A.N/3,AA/5B.6,8,10C.6,7,8D.1,1,72

26.(2024春•镜湖区校级期中)下列各组3个整数是勾股数的是(

A.4,5,6B.6,8,9C.13,14,1515,17

27.(2024春•蜀山区期中)下列3个数能成为勾股数的是(

A.6,8,91,近,A/3C.7,15,1712,13

28.(2024春•庐江县期中)在下列四组数中，属于勾股数的是(

A.0.3,0.4,0.5B.9,40,41C.2,3,4,s/2,在

【题型7两点间的距离公式】

满分技法

(1)平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关.

⑵运用平面直角坐标系中两点之间的距离公式时，代入要准确.

29.(2023春•蚌山区期中)在平面直角坐标系中，点尸(1,-应)到原点的距离为()

A.1B.A/2C.A/3D.3

30.(2023春•巢湖市校级期中)已知点A的坐标为(-3,-2),点3在y轴上，当A、3两点间的距离最

短时，点3的坐标为()

A.(0,-2)B.(-2,0)C.(-3,0)D.(0,-3)

31.(2024春•安庆期中)阅读材料：

例：说明代数式尸Z+3)2+4的几何意义,并求它的最小值.

解：Jx~+]+《(x-3)~+4=-0)2+]+J(x-3)~+22.

几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点尸(x,0)是尤轴上一点，则J(x-0)2+1可以看成点P与点4(0』)的

距离，&x-3)2+2?可以看成点P与点3(3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段与PB长度之和，

它的最小值就是孙+PB的最小值.

求最小值：设点A关于无轴对称点A,^\PA=PA.因此，求R4+P3的最小值，只需求ZW+总的最小值，

而点4,3间的直线段距离最短，所以9+PB的最小值为线段A，3的长度.为此，构造直角三角形HCB,

因为AC=3,CB=3,所以由勾股定理得A'3=30,即原式的最小值为3后.

根据以上阅读材料，解答下列问题：

(1)代数式«x-Ip+1+J(x-2)2+16的值可以看成平面直角坐标系中点尸(x,0)与点4L1)，点、B

的距离之和.(填写点3的坐标)

(2)代数式+25+_i2x+45的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点4、点B的

10

距离之和.（填写点A,3的坐标）

（3）求出代数式收+25+一12x+45的最小值.

3(3,2)

0

-1

，过关检测

1.（2024春•庐江县期中）一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,那么以成，bk,硬（左＞0）为三边

长的三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

2.（2024春•铜官区校级期中）如图，在RtAABC中，NC=90。，AC=6,3C=4.以AB为一条边向三

角形外部作正方形，则正方形的面积是（）

A.10D.92

3.（2023春•涡阳县期中）如图，在6*6网格中，点A,B,C都是格点（网格线的交点），则AABC的

形状是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等边三角形

4.（2024春•宣城期中）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（

11

A.三边的边长比为1:0:石B.三边边长的平方比为3:4:5

C.三个内角度数比为1:3:5D.三个内角度数比为3:4:5

5.（2024春•宣城期中）如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角

三角形较长直角边长为。，较短直角边长为6.若必=12,大正方形面积为30,则小正方形边长为（）

C.屈D.3^/2

6.（2024春•金安区校级期中）已知某直角三角形的两条直角边长的比为5:12,若该直角三角形的周长为

60,则该直角三角形的斜边长为.

7.（2024春•安庆期中）一直角三角形的三边长分别为6,8,x,那么以x为边长的正方形的面积为.

8.（2023秋•泗县期中）如图点A、B、C都在方格线的交点上，则NACB的度数是.

9.（2024春•瑶海区校级期中）（1）如图，在AABC中，ADLBC,求证：AB1-AC2=BD1-CD1.

（2）在AABC中，AB=8,AC=5,3c边上的高4）=4,求边3c的值.

10.（2024春•镜湖区校级期中）如图，在AABC中，BC=4,AC=13,AB=15,求

11.（2024春•安庆期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.6〃/,将他往

前推送2.4m（水平距离3c=24"）时，秋千的踏板离地的垂直高度3口=1.2根，秋千的绳索始终拉得很

直，求绳索"）的长度.

12

13

专题04勾股定理

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专题04勾股唾

知识点1:勾股定理

1.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为C,那么/+廿=02.

特别提醒:

(1)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(2)勾股定理公式@2+)=1的变形有：_-^2,6=「2-22及c={a2+b2,

(3)由于/+3=o2>］，所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.

知识点2：勾股定理的证明

1.勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的.先利用拼图的方法，然后再利用面积相

等证明勾股定理.

2.证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形

的面积和化简整理得到勾股定理.

知识点3：勾股定理的应用

1.应用条件：勾股定理的应用必须是在直角三角形中，所以要应用勾股定理，必须先找出直角三角形

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2..常见的类型：

①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度.

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形

的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三

角形的斜边.

知识点4：平面展开-最短路径问题

(1)平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一

般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.

(2)关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问

题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型.

知识点5：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长。，b,C满足/+必=02,那么这个三角形就是直角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方的

和等于最大边的平方才能做出判断.

2.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决

问题.

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和

与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

知识点6：勾股数

勾股数：满足/+必=02的三个正整数，称为勾股数.

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足@2+62=02,但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数.

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；-

知识点7：两点间的距离公式

设有两点A(xi,yi),B(x2,”)，则这两点间的距离为J(x1-x2)2+(y[-y?)2.

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»题型归纳

【题型1勾股定理】

满分技法

应用勾股定理时，应注意区分直角边和斜边，标注字母C的不一定就是斜边

1.（2023春•金寨县期末）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9c〃z,将此长方形折叠，使点3

与点。重合，折痕为EF,则AABE的面积为（）

【答案】C

【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE,在直角AABE中，利用勾股定理就可以求解.

【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，；.BE=ED.

AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

:.BE=9-AE9

根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2.

解得钻=4.

.•.AASE的面积为3x4+2=6（cm2）.

故选：C.

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.（2023春•安庆期末）如图，在RtAABC中，ZC=90°,若AB=15,则正方形ADEC和正方形3CFG的

面积和为（）

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【答案】A

【分析】根据勾股定理得AC2+BC2=AB2=152=225,从而得出答案.

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,

由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=152=225,

•••正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225,

故选：A.

【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

3.（2024春•田家庵区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点0（0,0）,A（2,3）,以点。为圆心,

长为半径画弧，交x轴的正半轴于3点，则3点的横坐标介于（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【答案】A

【分析】先根据勾股定理求出。4的长，由于=故估算出。4的长，再根据点3在x轴的正半轴上

即可得出结论.

【解答】解：「点A坐标为（2,3）,

:.OA=^22+32=713,

一点A、3均在以点。为圆心，以。4为半径的圆上，

OA=OB=J13

3＜旧＜4，点3在x轴的正半轴上，

点B的横坐标介于3和4之间.

故选：A.

【点评】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出Q4的长是解答此题的关

键.

4.（2024•芜湖二模）如图，在RtAABC中，ZC=90%分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学

史上称为“希波克拉底月牙"，当AC=4,8C=2时，则阴影部分的面积为（）

17

【答案】A

【分析】根据勾股定理得到AB-ACZ+BC?,根据扇形面积公式计算即可.

【解答】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=20,

则阴影部分的面积=；xACxBC+；x万x（竿）2+；x〃x（竿）2-；*乃*（¥）2

=-X2X4+-X^X-X（AC2+BC2-AB2）

224

=4,

故选：A.

【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键.

5.（2024春•黄山期中）如图，正方形A5CD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都

叫格点，点E,F都在格点上，连接AE,AF,则NE4F=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【分析】连接灰，利用勾股定理可求出AE,EF,EF的长度，结合勾股定理的逆定理可得的为等腰

直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出E4户的度数.

AE=d展+f=非，EF=也+F=5J)=行+)=痴,

:.AE2+EF2=AF2>AE=EF,

.•.AA£F是等腰直角三角形，

:.ZEAF=45°.

18

故选：B.

【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键.

【题型2勾股定理的证明】

满分技法

⑴证明勾股定理时，找面积相等是关键.

⑵组成图形的面积的两种表示方法：

①直接利用面积公式表示；②间接利用各个组成部分的面积和表示。

6.（2024春•庐阳区校级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄

傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角

形较长直角边长为。，较短直角边长为6,若（a+6）2=22,大正方形的面积为17,则小正方形的边长为（

）

A.A/3B.2C.A/6D.2指

【答案】D

【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出片+62=13,然后结合完全平方公式的变形得出=5,

最后由小正方形的面积为E产=（。-bp,即可得出结论.

【解答】解：如图所示，由题意，ED=a,AE=b,

「大正方形的面积为17,

AD2=17，

AD2=AE2+ED2^a2+b2,

:.a2+b2=17,

(a+6)2=22,

(a-Z?)2=2(a2+Z72)-(a+Z?)2=2x17-22=12,

EF=ED-EF=a—b,

19

二小正方形的边长为跖=2g（负值舍去），

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键.

7.（2024春•芜湖期中）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多

方法.我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分

成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学

C.函数思想D.归纳思想

【答案】A

【分析】根据图形中各部分的关系即可得到结论.

【解答】解：这种证法体现的数学思想是数形结合思想,

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确地识别图形是解题的关键.

8.（2024春•大观区校级期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的,

将图中正方形ABC。、正方形EFGH、正方形MVKT的面积分别记为加、邑、S3,若耳=25,S3=1,则

£F=_713

【答案】713.

【分析】先设出四个直角三角形的面积之和为S,再根据Sz+S=H和邑-S=$3求出$2=13,即可求解.

【解答】解：设四个直角三角形的面积之和为S,

昆+5=耳=25,

.e.S—25—S2,

又-S2-S=S3=1,

20

:.S=S2-lf

.e.25—S2=星—1,

解得昆=13,

正方形£FGH的边长为：713.

则EF=而，

故答案为：A/13.

【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键.

9.（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、。在同一条直线上.利

用此图的面积表示式证明勾股定理.

【答案】证明过程见解答.

【分析】先推出ABEC是直角三角形，然后根据S梯形钙CDUSAABE+SABEC+SADEC，代入字母整理化简，即可证

明结论成立.

【解答】证明：由已知可得，

RtABAE=RtAEDC.

:.ZABE=ZDEC,

ZABE+ZAEB=90°,

:.ZDEC+ZAEB=90°,

:.ZBEC=90°,

.•.ABEC是直角三角形，

-S梯形ABC。=+^ABEC+^ADEC>

(a+Z?)(a+Z?)abC'Cab

-11-------,

2----2-----2-----2

a2+lab+b2c2+lab

...--------------------------=------------------,

22

/.a2+b2=c2•

【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出ABEC是直角三角形.

【题型3勾股定理的应用】

满分技法

21

（1）若不存在直角三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形.

⑵在运用勾股定理解决实际问题时，要从实际问题中抽象出数学问题，即建立直角三角形模型，把实

际的量抽象成线段的长度，进而转化为求直角三角形的边长。

⑶勾股定理可以帮助我们计算，也可以帮助我们建立方程，还可以帮助我们证明线段之间的平方关系.

⑷运用勾股定理求直角三角形的边长时，若未明确哪条边是斜边，应分类讨论

10.（2024春•庐阳区校级期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断

A.6米B.8米C.10米D.16米

【答案】D

【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长.

【解答】解：-62+82=1001

7100=10.

.-.10+6=16（米）.

，树折断之前有16米.

故选：D.

【点评】此题考查了勾股定理的应用.培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是

解题以及学好数学的关键.

11.（2024春•蜀山区期中）如图，梯子的靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5加，梯子的

顶端B到地面的距离为12m,现将梯子的底端A向外移动到4,使梯子的底端4到墙根O的距离

等于6帆，同时梯子的顶端3下降至那么3斤（）

B.大于1m

D.小于或等于1m

22

【分析】在RtAAOB中依据勾股定理可知AB?=169,在及△AO眩中依据勾股定理可求得03'的长，从而

可求得期的长.

【解答】解：在RtAAOB中，由勾股定理可知AB?=492+032=169,

在用△A!OB'中由勾股定理可知AB''=AO1+OB'2.

AB=AB,

:.A!O-+OB'-

OB'=7169-36=7133，

BB'=OB-OB'=n--Jiyi<1.

故选：A.

【点评】本题主要考查的是勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等

于斜边的平方.

12.（2024春•大观区校级期中）某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示，学校计划在空地上种植草

皮，经测量N4=90。，AB=3m,AD=4m,CD=12m,BC=13m.若每平方米草皮需要200元，问学校

需要投入多少资金买草皮？

A_____D

【答案】7200元.

【分析】连接班>,根据勾股定理可得BD=5m,再由勾股定理的逆定理可得ABDC是直角三角形，然后根

据四边形ABCD的面积为S[BD+S^BD，即可求解.

【解答】解：如图，连接BD,

AD

在RtAABD中，ZA=90°,AB=3m,AD=4〃z,

BD=7AB2+AD2=5m，

CD=12m,BC=13m,

BD2+CD2=25+122=132=BC2

.•.ABDC是直角三角形，且NBDC=90。,

23

2

四边形ABCD的面积为5MBD+“CBO=1^5XA£>+1BDXCD=1X3X4+1X5X12=36?7J,

36x200=7200（:元），

即学校需要投入7200元资金买草皮.

【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形.

13.（2024春•金安区校级期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一

端向右走，绳端从C移动到E,同时小船从A移动到3,绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F

三点在一条直线上，且AF_LCF于点尸，若CF=8米，AF=15米，AB=9米，求男子向右移动的距离CE.

【答案】小男孩需向右移动的距离为7米.

【分析】由勾股定理求出AC、3c的长，即可解决问题.

【解答】解：连接至，如图所示：

则点A、B、P三点共线，

在RtACFA中，由勾股定理得：AC=V152+82-17（米），

BF=AF-AB=15-9=6（米），

在RtACFB中，由勾股定理得：BC=VCF2+BF2=A/82+62=10（米），

由（1）得：AC=BC+CE,

:.CE=AC-BC=11-10=1（米），

，小男孩需向右移动的距离为7米.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出AC、3c的长是解题的关键.

14.（2024春•庐阳区校级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹

竿底端O到左墙角的距离OC为2米，顶端3距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿

斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为3米，顶端E距墙顶。的距离DE为2米，点A、B、C在

一条直线上，点。、E、尸在一条直线上，ACLCF,DF±CF.

求：（1）墙的高度；

【答案】（1）墙的高度为2.5米;

24

(2)竹竿的长度为2.5米.

【分析】(1)先根据勾股定理求出OB的长，同理可得出CF的长，进而可得出结论；

(2)O32=Bc2+oc2=a-l)2+22.将(1)中的数据代入求值.

【解答】解：⑴设墙高为尤米，则3c=(》-1)米，EF=(x-2)米.

在RtAOBC中，根据勾股定理，WOB2=BC2+0C2=(x-1)2+22.

在RtAOEF中，根据勾股定理，0E2=EF2+OF2=(x-2)2+32.

OB=OE,

OB2=OE2,即(x-2)2+22=(x-2)2+32.

解得：%=2.5.

答：墙的高度为2.5米；

(2)由(1)知，OB=OE=2.5,S.OB2=BC2+OC2,

所以OB?=(尤一1)2+2?=(2.5-1)2+22=6.25.

所以03=2.5米.

答：竹竿的长度为2.5米.

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实

际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思

想的应用.

15.(2024春•庐江县期中)某校八年(1)班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂

直高度CE,他们进行了如下操作：

①测得水平距离的长为12米：

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米：

③牵线放风筝的小明的身高为1.62米.

(1)求风筝的垂直高度CE:

(2)如果小明想风筝沿CD方向再上升4米，则他应该再放出多少米线？

【答案】(1)风筝的高度CE为17.62米;

25

（2）他应该再放出（4后-20）米.

【分析】（1）利用勾股定理求出8的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度;

（2）根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：（1）在RtACDB中，

由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=202-122=256,

所以，8=16（负值舍去），

所以，CE=CD+。£=16+1.62=17.62（米），

答：风筝的高度CE为17.62米；

（2）如图所示：延长。C至连接夕0,

DM=20米，

■■■BM=^DM2+BD2=V202+122=4•（米），

8〃-8c=（4庖-20）米，

•••他应该再放出（4A/34-20）米.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键.

【题型4平面展开-最短路径问题】

满分技法

立体图形平面化，解决最短路径问题求立体图形上两点间的最短距离时，可先将立体图形展开，使这两

点在同一个平面内，再利用勾股定理求出两点之间线段的长度.但需要注意，个立体图形的展开方式可

能不止一种，要从中选出最短路径.

16.（2023秋•泗县期中）如图，圆柱高为7cm,底面周长为48sz,蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点3

的最短路程是（）

26

A.31cmB.32cmC.25cmD.24cm

【答案】C

【分析】沿过A点和过5点的母线剪开，展成平面，连接AB,则4?的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到3

点的最短路程，求出AC和3c的长，根据勾股定理求出斜边即可.

【解答】解：如图所示：沿过A点和过3点的母线剪开，展成平面，连接AB，

则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到3点的最短路程，

AC='x48=24(cm),NC=90°,BC=7cm,

2

由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=25cm-

【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱

表面从A点爬到B点、的最短路程.

17.(2024春•合肥期中)有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80a〃，高AB=50cm,

水深AE=40c〃工，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且FG=30cm,一只蚂蚁想

从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑.蚂蚁爬行的最短路线为

【答案】10而.

【分析】作出A关于3C的对称点A,连接4G,与BC交于点、Q,此时AQ+QG最短；4G为直角△4EG

的斜边，根据勾股定理求解即可.

【解答】解：如图所示作出A关于3c的对称点A,连接AG,与3c交于点。，小虫沿着AfQfG的

27

路线爬行时路程最短.

AQ+QG=A'Q+QG=A'G=S/A'E2+EG2=10标（c/）

最短路线长为-

故答案为：10府

【点评】本题考查平面展开？最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解.

18.（2023秋•埔桥区校级期中）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块.已知AD=6

米，AB=4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到

达C处需要走的最短路程是10米.

【分析】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答.

【解答】解：如图，将木块展开，AC即为所求，

贝ijAB=4+2+2=8（米），3C=AD=6米，

.1最短路径为：AC=^AB2+BC2=A/82+62=10（米）.

【点评】本题主要考查了平面展开-最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想

28

象能力.

19.（2023春•花山区校级期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子.为了美观，每根柱子

的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的3点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，

高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为二米.

【答案】5.

【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进