四边形压轴题综合（解析版）-2024年中考数学数学冲刺数学

培优冲刺03四边形压轴题综合

籍优题型大集合

1、四边形与翻折的综合

2、四边形与旋转的综合

3、四边形与新定义的综合

4、四边形与中点的综合

°忧题型大提*

题型一：四边形与翻折的综合

有翻折必有全等，并且是轴对称类型的全等，所以，当四边形压轴题出现翻折或折叠时，一般都

是从轴对称类的全等入手思考！

【中考真题练】

1.（2023•西宁）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数

学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动.

【操作】如图1,在矩形ABC。中，点〃在边AD上，将矩形纸片ABCD沿所在的直线折叠，使点

。落在点。'处，MD'与8C交于点N.

【猜想】MN=CN.

【验证】请将下列证明过程补充完整：

•..矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，

ZCMD=ZCMD'

•••四边形ABC。是矩形，

：.AD//BC（矩形的对边平行），

:.NCMD=/MCN（两直线平行，内错角相等）,

NCMD'=/MCN（等量代换），

:.MN=CN（等角对等边）.

【应用】

如图2,继续将矩形纸片A8C。折叠，使AM恰好落在直线W上，点A落在点A'处，点B落在点2,

处，折痕为ME.

（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；

（2）若C£）=2,MD=4,求EC的长.

【分析】【验证】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出NCMO=/WCN,则

ZCMD'=NMCN,根据等腰三角形的判定即可得解；

【应用】（1）根据折叠的性质得到/AME=NA'ME,根据矩形的性质推出NAME=NMEM则NA'

ME=NMEN,根据等腰三角形的判定即可得出MN=EN,结合MN=CN即可得解；

（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出NO=/D'=90°,DC=D'C=2,MD=MD'=4,没MN=NC

=x,则ND'=4-x,根据勾股定理求解即可.

【解答】解：【验证】•••矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，

：.ZCMD=ZCMD',

:四边形ABC。是矩形，

C.AD//BC（矩形的对边平行）,

.../CMO=/MCN（两直线平行，内错角相等），

：.ZCMD'=/MCN（等量代换），

：.MN=CN（等角对等边）.

故答案为：ZCMD'；/MCN；两直线平行，内错角相等；ZCMD'=/MCN；等角对等边；

【应用】（1）EC=2MN；理由如下：

:由四边形折叠得到四边形A'B'EM,

：.ZAME^ZA'ME,

:四边形ABC。是矩形，

：.AD//BC（矩形的对边平行），

（两直线平行，内错角相等），

ZAZME=ZMEN,

：.MN=EN（等角对等边），

,:MN=CN,

：.MN=EN=NC,

即EC=2MN；

（2）；矩形A2CD沿MC所在直线折叠，

：.ZD=ZD'=90°,DC=D'C=2,MD=MD'=4,

设MN=NC=x,

:.ND'=MD'-MN=4-x,

在RtAND'C中，Z£>'=90°，

：.ND'2+D'C2=NC2,

(4-x)2+22=X2,

解得乂豆，

X2

:.MN=$,

2

：.EC=2MN=5.

2.(2023•衢州)如图1,点。为矩形ABC。的对称中心，AB=4,AD=8,点E为边上一点(0<AE

<3),连结£。并延长，交BC于点F.四边形ABFE与A'B1PE关于所在直线成轴对称，线段)

F交AD边于点G.

(1)求证：GE=GF.

(2)当AE=2OG时，求AE的长.

(3)令AE=a,DG=b.

①求证：(4-a)(4-6)=4.

②如图2,连结OB',OD,分别交A。，B'F于点H,K.记四边形。KG8的面积为Si,△OGK的面

S,

积为S2,当。=1时，求的值.

【分析】(1)由四边形ABC。是矩形，可得NGEF=/BFE,而四边形ABFE与A'B'FE关于EF所

在直线成轴对称，有/BFE=NGFE,故/GEF=/GFE,GE=GF；

(2)过G作GHLBC于孙设DG=x,可知AE=2x,GE=AD-AE-DG=8-3x=GF,根据点0为

矩形A8CQ的对称中心，可得b=AE=2x,故FH=CF-CH=x,在中，JT+42=(8-3x)2,

解得尤的值从而可得AE的长为6-2我；

(3)①过。作OQLAD于。，连接。4,OD,OG,由点。为矩形ABC。的对称中心，EF过点、O,可

2

得。为EF中点，0A=。。，OQ=1AB=2,证明△GOQS/XOE。，得医=毁，gpGQ-EQ=OQ,故

2OQEQ

GQ*EQ=4,即可得(4-a)(4-Z?)=4；

②连接B'。，OG,OB,证明B'F=DE,OD=OB=OB',可得△OOG四/XBOG(SSS),ZODG=ZOB'G,

从而△OGK名△B'GH(ASA),DK=B'H,GK=GH,即可证aOGKqZkOGH(SSS),得SAOGK=SA

Si2SAnrv

OGH,有」=—而NEG尸=NOGB,GE=GF,GD=GB)知跖〃B。，可得△OK/S^QKB,

52$2

LEGFsLDGB',得@L=.OF,£j_=Z'zkOGK=.2UK=20F_=EF,又^EGFSADGB',有EF

DKB'DS2S2DKB'DB'DB'D

13

=SL当4=1时，b=\,即AE=1,DG=里,即可得：！=EF=煦=3=21.

GD33S2DGDA8

3

【解答】(1)证明：・・•四边形ABC。是矩形，

：.AD//BC,

：.NGEF=NBFE,

•・•四边形ABbE与A'B'也关于EF所在直线成轴对称，

:・/BFE=/GFE,

：.ZGEF=/GFE,

：.GE=GF；

(2)解：过G作GH_L3C于"，如图：

GE=AD-AE-0G=8-3x=GR

VZGHC=ZC=ZD=90°,

・•・四边形GHC。是矩形，

：.GH=CD=AB=4,CH=DG=x,

•・•点O为矩形ABCD的对称中心，

.\CF=AE=2x,

：.FH=CF-CH=x,

在RtZ\GFH中，FH2+GH2=GF2,

.*.X2+42=(8-3x)

解得尤=3+%(此时AE大于AD舍去)或x=3-«,

.\AE=2x=6-2V3;

的长为6-2«；

(3)①证明：过。作OQ_LA£＞于。连接。4,OD,0G,如图:

:点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O,

.•.O为EF中点，OA=OD,OQ=1AB=2,

:GE=GF,

：.OGLEF,

：./GOQ=90°-NEOQ=ZQEO,

\'ZGQO=90°=ZOQE,

:.XGOQsXOEQ,

.•.医=强，即GQ-EQ=OQ2,

OQEQ

；.G0EQ=4,

\"OA=OD,OQ±AD,

：.AQ=DQ=^AD=4,

：.EQ=AQ-AE=4-a,GQ=DQ-GD=4-b,

(4-a)(4-b)=4；

②解：连接OG,OB,如图：

•.•四边形ABFE与A'B'PE关于所所在直线成轴对称,

：.BF=B'F,

:点O为矩形ABCD的对称中心，

：.BF=DE,

：.B'F=DE,

同理00=08=08,

由（1）知GF=GE,

J.B'F-GF=DE-GE,即B'G=DG,

'：OG=OG,

:•丛DOG空丛B'OG(SSS),

:・NODG=NOB'G,

■:DG=BG,NDGK=NB，GH,

：./\DGK^/\B'GH(ASA),

:・DK=BHGK=GH,

：.OD-DK=OB'-BH即OK=OH,

9：OG=OG,

:•△OGK^AOGHCSSS),

SAOGK=SAOGH，

••SI2s4OGK,

.S1_2SAQGK

F飞厂，

:/EGF=NDGB,GE=GF,GD=GB',

：.ZGEF=ZGFE=ZGDB'=ZGB'D,

：.EF//B'D,

:.AOKFsADKB,△EGFS^DGB',

•0K=OF

"DKB7D；

S

..AQGK=OK

's2DK'

.S1—2S^OGK=20K=20F=EF

"s7--"DFByD-D'

■:AEGFsADGB',

•EF=GE

DGD'

当4=1时，由①知(4-1)X(4-/?)=4,

:.b=3.,

3

：.AE^1,DG=邑,

3

：.GE^AD-AE-0G=4

3

13

・‘I=EF=GE=_1_=13

?

"S2BDGDJ.

3

的值为」3.

528

3.（2023•烟台）【问题背景】

如图1,数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形48C。进行如下操作：①分别以

点、B,C为圆心，以大于2BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E,凡作直线EF交8c于点。，连接

2

49；②将△A20沿49翻折，点8的对应点落在点P处，作射线4尸交于点。.

【问题提出】

在矩形A3CZ）中，A£>=5,AB=3,求线段CQ的长；

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接O。，如图2.经过推理、计算可求出线段CQ的长；

方案二：将AABO绕点。旋转180°至△RCO处,如图3.经过推理、计算可求出线段C。的长.请你

任选其中一种方案求线段CQ的长.

A--------------------DA——--------------------D\D

B'......、L-----------rB>......:、Ll---------r

0c0c0\C

小/\

双喋

图1图2图3\R

【分析】方案一：连接。。，由翻折的不变性，知AP=AB=3,OP=OB=2.5,证明△。尸。丝△QCO（HL）,

推出PQ=CQ,设尸。=CQ=x,在RtZiAOQ中，利用勾股定理列式计算求解即可；

方案二：将△AB。绕点。旋转180°至ARCO处,证明NOAQ=NR,推出。4=。穴，设CQ=x,同方

案一即可求解.

【解答】解：方案一：连接。。，如图，

B：产

•..四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD=3,AD=BC=5,

由作图知BO=OC=1.BC=2.5,

2

由翻折的不变性，知4P=AB=3,OP=OB=2.5,ZAPO=ZB=90°,

：.OP=OC=2.5,ZQPO=ZC=90°,又0Q=0。,

：./\QPO^/\QCO(HL),

：.PQ=CQ,

设尸。=CQ=x，则AQ=3+x,OQ=3-x,

QAQ

在RtZ\AZ)Q中，A£>2+£)2=2.即52+(3_%)2=(3+x)2

解得x=空，

12

线段CQ的长为丝；

12

方案二：将△AB。绕点。旋转180°至△RC。处，如图，

:四边形ABC。是矩形，

.•.AB=Cr>=3,AD=BC=5,

由作图知BO=OC=LC=2.5,

2

由旋转的不变性，知CR=AB=3,ZBAO=ZR,ZB=ZOCR=90°,

则NOCK+/OCD=90°+90°=180°,

：.D,C、R共线，

由翻折的不变性，知/A4O=NOAQ,

：.ZOAQ=ZR,

：.QA^QR,

设CQ=x,贝ijQA=QR=3+x,DQ=3-x,

在RtZXADQ中，AD1+QD1=A(^,即52+(3-x)2=(3+x)2,

12

【中考模拟练】

1.(2024•天山区校级一模)如图，正方形4BCD边长为1,点E在边AB上(不与A,8重合)，将△AOE

沿直线DE折叠，点A落在点Ai处，连接A1B,将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A1B,连接AiA,AiC,

A2c给出下列四个结论：

①△ABAig△CBA2；

@ZAD£+ZAICB=45°；

③点P是直线DE上动点，则CP+AiP的最小值为我;

④当/AZ)E=30°时，4A1BE的面积为3一遮.

6

其中正确的结论个数是()

【分析】①正确.根据SAS证明三角形全等即可；

②正确.过点D作。T_LCAi于点T,证明，NC£)T=NBCAi即可；

③正确.连接B4,AC.因为A,4关于DE对称，推出Rl=B4i,推出B4i+PC=B4+PC2AC=&,

可得结论；

④错误.过点4作于点H,求出仍，A1H,可得结论.

【解答】解：：四边形ABC。是正方形,

：.BA=BC,ZABC=9Q°,

VZAIBA2=ZABC=90°,

ZABAi=ZCBA2,

'：BAI=BA2,

：.AABA1^ACBA2(SAS),故①正确;

过点。作。7UC41于点T,

,：CD^DA\,

；.NCDT=NAiDT,

VZADE=ZAiDE,/ADC=90°,

AZADE+ZCDT=45°,

ZCDT+ZDCT=9Q°,ZDCT+ZBCAi=90a,

：.ZCDT=ZBCAi,

：.ZADE+ZBCAi=45Q,故②正确;

连接B4,AC.

VA,4关于。£对称，

：.PA=PAi,

：.PAi+PC=E4+PC2AC=V2，

..•M+PC的最小值为&,故③正确；

过点Ai作AiHLAB于点H,

VZADE=30°,

.,.AE=AiE=AD,tan30°=^1_,

3

：.EB=AB-AE=i-近，

3

VZAiEB=60°,

.•.AiH=4E-sin60°=V1_X?Z1_=A,

322

.•.△ALBE的面积="!><（i-1）x1=2z近，故④错误;

23212

故选：C.

2.（2024•曲阜市一模）如图1,菱形纸片ABC。的边长为2,ZABC=60°,如图2,翻折/ABC,ZADC,

使两个角的顶点重合于对角线8。上一点尸，EF,GH分别是折痕.设AE=》（0<x<2）,给出下列判

断：

①当x=l时，。尸的长为北；

©EF+GH的值随x的变化而变化；

③六边形AEFCHG面积的最大值是百巨;

2

④六边形AEBCHG周长的值不变.

其中正确的是（）

D.①③④

【分析】先确定出AABC是等边三角形，进而判断出△8EF是等边三角形，当x=l时，求出BP=LBD,

2

即可判断出①正确，再用x表示出ERBP,DP,GH,然后取x赋予的值，即可求出EF+G/Z的值，判

断出②错误，利用菱形的面积减去两个三角形的面积判断出③错误，利用周长的计算方法即可判定出④

正确.

【解答】解：•••菱形ABC。的边长为2,

AB=BC=2,j

VZABC=60°,

：.AC=AB=2,8。=2«,

由折叠知，ABEF是等边三角形,

当x=1时，则AE=1,

：.BE=AB-AE=\,

由折叠知，BP=2X叵=如=AB£),

22

故①正确；

如图，设所与8。交于Af,GH于BD交汗■N,

\'AE=x,

.\BE=AB-AE=2-x,

•・・43跖是等边三角形，

:・EF=BE=2-x,

：.BM=43EM=V3X—EF=2/1-(2-x),

22

:.BP=2BM=M(2-x),

：.DP=BD-BP=2y[3-73(2-x)=«x,

：.DN=l.DP=^-x,

22

GH=2GN=2X_lx=x,

2

:.EF+GH=2,所以②错误；

当0<x<2时，

\'AE=xf

：・BE=2-x,

:,EF=2-xf

:.BP=M（2-X）,

:.DP=MX,

：.GH=2X2L==DG=DH,

2X

/.六边形AEFCHG面积=S菱形ABCD-SABEF-SADGH

=JLX2X2«-义i（2-x）2-近？

244

=2A/3-近（X-1）2-返

22

=-虫_（x-1）2+j/^„

22

当尤=1时，六边形AEPCHG面积最大为宜叵，所以③正确，

2

六边形AEFCHGJU=AE+EF+FC+CH+HG+AG

=x+2-x+x+2-x+x+2-x=6是定值，

所以④正确，即：正确的有①③④，

故选：D.

3.（2024•辽宁模拟）如图，在矩形A8C。中，AB=2,BC=2/S，点E为射线加上一点（点E不与点8

重合），将ABCE沿EC折叠，得至必FCE,点P为线段FC上一点，再将沿EP折叠，得到

PG的延长线与边BC相交于点Q.

（1）如图1,连接E。，求证：QB=QG.

（2）如图2,当点E与点A重合时，若点G落在边上，连接8REC与2尸相交于点M,与尸。相

交于点N,求MN的长.

（3）若点G落在边AO上，且BQ=^^,CE所在直线与所在直线相交于点

①如图3,当点E在线段BA延长线上时，求8G的长；

②当点E在线段上时，请直接写出HG的长.

（图1）（图2）（图3）

【分析】（1）根据矩形和折叠的性质证明RtAEBQgRtzXEG。（也），即可得Q8=QG；

（2）先证明四边形EBQG是矩形，得BQ=EG=2,贝I]CQ=BC-8。=2-2,在R/ABC中，由

tan/ACB2一一二^可得/ACB=30°，解直角三角形求出CM=BC・cos30°=2正义近=3,

tan乙AUDBC每32

CN=—"l/唱-2-4-生应，即可得MN的长.

cos30733

~2~

(3)①过点G作GR_LBC,垂足为R,则四边形A2RG是矩形.AG=BR,GR=AB=2.在RtZ\G0R中，

根据勾股定理得。R=隼，贝I」AG=BR=BQWR用9+^~=2＞巧，在Rt^EAG中，根据勾股定理得4E

=1.贝!|EB=AE+AB=2+1=3,证明△£4Hs△EBC.根据相似三角形的性质得皿=与:'=誓,即

可求解;

②过点G作GRL2C,垂足为R,同①的方法即可求解.

【解答】(1)证明：•..四边形A2CD是矩形，

.*.ZB=90°,

由折叠知EG=EP=EB,NEGP=NF=NB=90°,

：.ZEGQ=180°-ZEGP=90°,

又，：EQ=EQ,

：.Rt/\EBQ^Rt/\EGQ(HL),

：.QB=QG；

(2)解：：将△BCE沿EC折叠，得到△/CE,

...EC垂直平分BF.

：.ZBMC=90°,

•.•四边形ABC。是矩形，

AZABC=ZBAD^90°,

由(1)知NEGQ=90°,EG=EF=EB=2,

四边形E8QG是矩形，

：.BQ=EG=2,

:.CQ=BC-BQ=26-2,

在放ABC中，

tan乙AUDBC33

AZACB=30°,

在RtZVBCM中，CM=BC'cos30°=2«x1_=3,

2

(2a

在RtACNQ中，CN=­；^o=^.--=4-生③,

cos302<3_3

~2~

•,W3、W3

,,MN=CM-CN=3-(4—--)=~---1；

oO

(3)解：①过点G作GRLBC,垂足为R,

(图3)

.•./GR2=90°.

由(1)得QG=QB=2^Z，

/.ZDAB=ZB=ZGRB=90°,

四边形ABRG是矩形.

:.AG=BR,GR=AB=2.

2o2V2

在Rt/XGQR中，QR=I/GQ)-2-'

•*,AG=BR=BQ+QR-

在Rt/XEAG中，AE2+AG2=EG2,

EG=EB=AE+AB=AE+2,

AE2+(2V2)2=(AE+2)2,解得AE=1.

：.EB=AE+AB=,2+1=3,

:四边形ABRG是矩形,

：.AH//BC.

••-•---=A-H--,AE

BCBE

•…AE-BC2V3

,，AHT^='

••HG=AG-

②过点G作GRLBC,垂足为R,

(图4)

同理得，QR=7GQ2-GR2=J(*■)2行=醇

：.AG=BQ-Q7?=3V2__亚=a，

22

在RtZ\EAG中，AE1+AG2=EG2,

'：EG=EB=AB-AE=2-AE,

.•.AE2+(V2)2=(2-A£)2,解得AE=>k

2

：.EB=AB-AE=2-A=2,

22

'：AH//BC.

:.AEAHsAEBC.

•••AH=AE，，

BCBE

.AH~2

2

.,.AH=,

3

:.HG=AH+AG=迎®

3

题型二：四边形与旋转的综合

旋转的性质是不改变图形的形状与大小，并且旋转中两对应点与旋转中心连线的三角形是等腰三

角形，各等腰三角形间均相似；所以四边形与旋转结合考察的综合题，谨记以下几点：①有旋转就会

出现全等三角形、新形成的等腰三角形、新形成的相似三角形、旋转相似必成对！

【中考真题练】

1.(2023•南充)如图，正方形ABC。中，点〃在边BC上，点E是AM的中点，连接E。，EC.

(1)求证：ED=EC；

(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点8的对应点8'落在AC上，连接MB'.当点M在边8C上运动

时(点〃不与8,C重合)，判断△CMB'的形状，并说明理由.

(3)在(2)的条件下，已知48=1,当NDEB'=45°时，求的长.

AD

【分析】(1)根据正方形的性质和直角三角形斜边中线的性质可证△血△EBC(SAS)，根据全等

三角形的性质即可得证；

(2)根据折叠的性质可得根据旋转的性质可得，EB1=EB,再根据直角三角形斜边的中线的性质可得

EB'=AE=ME,进一步可得/AB'M=90°,可得/CB'A/=90°,再根据正方形的性质可得/)

CM=45°,进一步可得"M=B'C,可证△MB'C是等腰直角三角形；

(3)延长BE交于点尸，根据三角形外角的性质可得N8E8'=90°,进一步可得NZ)EP=45°,

根据△EADg/\EBC,可得NAED=ZBEC,进一步可得NDEF=45°,再证明

根据相似三角形的性质可得CM：AM=EM：CM,可得CM2卷AM4设则CM=l-x,根据

勾股定理，AM2=1+?,列方程求解即可.

【解答】(1)证明：在正方形A8CD中，AD=BC,ZBAD=ZABC^9Q0,

为AM的中点，

：.AE=BE,

:./EAB=/EBA,

：.ZEAD=ZEBC,

在△EA。和△班C中，

'AE=BE

-ZEAD=ZEBC>

AD=BC

：./\EAD^/\EBC(SAS),

；.ED=EC；

(2)解：4CMB，是等腰直角三角形，理由如下：

根据旋转的性质可得，EB'=EB,

;EB=AE=ME,

:.EB'=AE=ME,

J.ZEAB'=ZEB'A,ZEMB'=ZEB'M,

,：ZEAB'+ZEB'A+ZEB'M+ZEMB'=180°,

ZAB'M=90°,

：.ZMB'C=90°,

在正方形A3CO中，ZACB=45°,

/.ZB'MC=45°,

：.B'M=B'C,

：.ACMBf是等腰直角三角形；

(3)解：延长3石交A。于点R如图所示:

*：/BEM=2/BAE,ZB'EM=2ZBfAE,

•：ZBAB1=45°,

AZBEB'=90°,

：.ZB'EF=90°,

VZDEB'=45°,

：・NDEF=45°,

AEADmAEBC,

：./AED=/BEC,

ZAEF=ZBEM,

：.ZCEM=ZDEF=45°,

VZMCA=45°,

:・/CEM=/MCA,

又,：/CME=ZAMC,

/.CM：AM=EM：CM,

2

・212

••CM=yAM

在正方形ABC。中，BC=AB=1.

设BM=x,贝ICM=1-x,

根据勾股定理，AM2=1+X2,

.,蒋(1+%2)=(I-x)2,

解得x=2-、后或X=2+F(舍去)，

・・・BM=2-V3.

BMC

2.（2023•绍兴）在平行四边形ABC。中（顶点A,B,C,。按逆时针方向排列），AB=12,AD=10,Z

B为锐角,AsinB=A.

5

（1）如图1,求AB边上的高CH的长;

（2）P是边AB上的一动点，点C,。同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C,D',

①如图2,当。落在射线CA上时，求BP的长;

②当△ACO是直角三角形时，求BP的长.

【分析】（1）由平行四边形的性质对边相等，和三角函数可求得结果；

（2）①由三角形全等和三角形相似可得出结论；

②三角形的直角顶点不确定，故要分类讨论，分三种情况讨论，求出结论.

【解答】解：（1）在回A8CD中，BC=AD=1Q,

在RtABC/7中，HC=BCsinB=1QXA=g.

5

(2)①如图，作CHLBA于点X,

22

由(1)得，BH^VBC-CH=V102-82=6,

作CQLBA交84延长线于点0,则NCHP=NPQC=90°,

AZCPQ+ZPCQ=9Q0,

'：ZCPQ+ZCPH=9Q°,

：.ZPCQ=ZCPH,

由旋转知PC=PC,

:ZQC丝△CHP(.AAS).

设尤，则尸。="=8,CQ=PH=6-x,QA=PQ-B4=x-4.

'：CQ±AB,CHLAB,

：.CQ//CH,

：.AAQCs^AHC,

•.•-C-’--Q=-Q-A,

CHHA

•・--6--~-x=-x---4，

86

•丫=34

7

.-.BP=21,

7

②由旋转得△PCD四△PC'D',CD=CD

CDLCD'

又■:AB〃CD,

：.CD'±AB

情况一：当以C'为直角顶点时，如图.

.•.C'落在线段加延长线上.

'JPCLPC,

：.PC±AB,

由（1）知，PC=8,

.\BP=6.

情况二：当以A为直角顶点时，如图,

设CD与射线BA的交点为T,

作SLAB于点H.

VPCXPC,

：.ZCPH+ZTPC^90°,

•..点C,。同时绕点尸按逆时针方向旋转90°得点C,D,,

：.ZCPD^ZCPD'=90°,PC=PD,PC=PD',

：.ZCPD=ZCPD',

.♦.△PCT注△PC。’(SAS),

：.ZPCD=ZPCD',

'：AB//CD,

：./BPC=ZPCD=/PCD,

'：ZCPT+ZCPB=90°,

：.ZCPT+ZPCT^90°,

ZPTC=90°=ZCHP,

四△PC'T(AAS),

：.CT=PH,PT=CH=8.

设C'T=PH=t,贝！］AP=6-f,

：.AT=PT-PA=2+t.

'：ZCAD'=90°,CD'LAB,

：./\ATD'sXCTA,

•ATCyT

「TD，=TA，

：.AT1=CTTD',

：.(2+t)2=t(12-r),

化简得p-4f+2=o,

解得t=2+V2.

：.BP=BH+HP=8±V2>

情况三：当以。为直角顶点时，

点尸落在册的延长线上，不符合题意.

综上所述，BP=6或8土&.

②方法二：

动静互换：将C、。看成静止的，点A绕尸点顺时针旋转90°,

AAB41是等腰直角三角形,

点轨迹是在/B4E=45°的射线AE上，

当△A1CD为直角三角形时，

(/)当NA1CZ)=9O。时，

.".ZBPlAi=90°,

•■­fiP1=V102-82=6;

（n）当点A为直角时，

以CD为直径作圆。交AE于点42、43.如图所示,

则△AOE为等腰直角三角形，

VAO=8,

；.AE=8&,。尸=4衣，

'.AIF=A3F=2,AF=4\[2>

；.AA2=4&+2,

„=4+料

BPi=n-（4+V2）=8-近,

（/）AA3=4&-2,

：.AA3=4-V2，

.*.BP3=12-（4-V2）=8+我，

综上所述：BP=6或8±近.

3.（2023•丹东）在△ABC中，ZBAC=90°,ZABC=30°,AB=6,点。是BC的中点.四边形。EFG

是菱形（。，E,F,G按逆时针顺序排列），ZEZ）G=60°,且。E=2,菱形。EFG可以绕点。旋转,

连接AG和CE,设直线AG和直线CE所夹的锐角为a.

图①图②备用图

（1）在菱形。EFG绕点。旋转的过程中，当点E在线段。C上时，如图①，请直接写出AG与CE的数

量关系及a的值；

（2）当菱形。灰G绕点。旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明

过程；若不成立，请说明理由；

(3)设直线AG与直线CE的交点为P,在菱形。所G绕点。旋转一周的过程中，当跖所在的直线经

过点B时，请直接写出△入2(？的面积.

【分析】(1)由AG=A£>-G£>=2«-2,CE^CD-DE=2y/3-2=AG,即可求解；

(2)证明△AOG四△COE(SAS),进而求解；

(3)证明△BDE、ZVOGC均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由(1)、(2)知，/MPC=60°,

即可求解；当3、_F重合时，也符合题意，由(1)、(2)知，ZMPC=60°,贝!|tan/AEC=3^=―

AC273

=2

—7T

在△APC中，用解直角三角形的方法即可求解.

【解答】(1)解：AG=CE,a=60°,理由：

在△ABC中，ZBAC=90°,ZABC=30°,AB=6,

贝UAC=ABtan30°=2«,贝UBC=2AC=4百，

:点。是8C的中点，则BD=CD=AD=2y/3,

则AG=AD-GD=2-/3-2,CE=CD-DE=2如-2=AG,

在△AC。中，AD=CD,ZC=60°,

则△AC£>为等边三角形，则NAZ)C=60°=a；

(2)(1)的结论成立，理由：

证明：延长AG交CD于点T,交CE于点N,

VZADG+ZGDC=6Q°=ZGDC+ZCDE,

：.ZADG=ZCDE,

"JAD^CD,GD=ED,

:.AADG四ACDE(SAS),

：.AG=CE,NDCE=NDAN,

ZATD=ZCTN,

ZANC=ZADC=60°=a；

(3)解：当8、E、尸共线时，如下图，连接AZ),

根据图形的对称性，当2、E、尸共线时，且点。是BC的中点,

则RG、A共线，此时点G、尸共点，

'：ZEDG=60°,则N8DE=60°,

则/E8C=/ECB=30°,

则/ACG=30°+60°=90°

则BH=HD=DM=CM=LBC=M，

4

由（1）知△AOC为等边三角形，

由（1）、（2）知，ZMPC=60°,

在Rt/XACG中，AC=2我，则CG=2,

贝ijAiAPC的面积=XAC・GC=J-X2X2V3=2A/3；

22

当B、歹重合时，也符合题意，如下图：

飞

由(1)、(2)知，ZMPC=60°,

在RtZXAEC中，AC=243,AE=AB=BE=6-2=4,

则tan/AEC=^=—^=3，

AC273V3

设则尸M=x,则CM=——翅——=1且=3x,

tanZACE_2_2

V3

而AC2=AM2+CM2,

即12=3x2+—x2,

4

解得：%=X-

则△APC的面积=」＞xAAPPC=Jlx«xX（x+2x）=理返；

2227

综上，△APC的面积为20百或2如.

7

【中考模拟练】

1.（2023•宁阳县一模）如图，RtaABE中，ZB=90°,AB=BE,将△ABE绕点A逆时针旋转45°,得

到过。作。CL3E交BE的延长线于点C,连接①/并延长交。C于点R连接。£交B尸于点

O.下列结论：

①DE平分/HDC；@DO=OE；③H是8尸的中点；@BC-CF=2CE；

@CD=HF,其中正确的有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【分析】由旋转的性质可得Nn4E=NA班=45°,AD=AE=®BE,DH=BE,AH^AB,ZABE=Z

AHD=90°,通过证明四边形ABC。是矩形，可得AD=BC=®BE,NBCD=NDHE

=90°,由“乩”可证RtADEC丝RtADE8,可得HE=EC,/AED=NDEC=67.5°,ZCDE=ZHDE

=22.5°,可判断①；由角的数量关系和等腰三角形的判定和性质，可判断②③；由相似三角形的判定

和性质可得CF=2HN=(2-V2)BE,由线段的和差关系可判断④；由NHFD中NHDF,可得HF¥

DH,可判断⑤，即可求解.

【解答]解：\'ZABE=90°,AB=BE,

：.ZAEB^ZBAE^45°,AE=&BE,

,/将aABE绕点A逆时针旋转45°,

AZDAE^ZAEB^45°,AD=AE=^BE,DH=BE,AH^AB,/ABE=乙田£)=90。，

/.ZDAB=ZABE=90°,AH=DH=AB=BE,

又•.•OC_LBE,

四边形ABC。是矩形，

J.AB^CD^DH,AD=BC=y[iBE,NBCD=/DHE=90°,

"：DH=DC,DE=DE,

:.RtADEC注RtADEH(HL),

:.HE=EC,/AED=NDEC=615°,/CDE=/HDE=225°,

；.DE平分/HDC,故①正确；

\'AB^AH,NBA"45°,

ZABH=ZAHB=61.5

ZOHE=ZOEH=67.5°,

：.OH=OE,ZDHO=22.5°=NHDO,

：.DO=HO,

：.OE=ODf故②正确；

如图，连接CH,

：.ZCBH=22.5°,

:・/BFC=675°,

♦：HE=EC,/AEB=45°,

:・NECH=NEHC=22.5°,

：.ZHBC=ZHCE,/FCH=675°,

:,BH=CH,ZFCH=ZBFC9

:,HC=HF,

:,BH=HF,

・••点〃是3尸的中点，故③正确，

如图，过点“作"NLBC于N,

:•△BHNs^BFC,

・BHHN1

・■同=

:,FC=2HN,

♦:AE=®BE,AH=BE,

：.HE=（V2-1）BE=CE,

■:HN2BC,NAE3=45°,

：.HN=亚”£=亚（72-1）BE,

22

:.CF=2HN=（2-我）BE,

'：BC-CF=BE+CE-CF=BE+（企-1）BE-（2-近）BE=2（圾-1）BE,

：.BC-CF=2CE,故④正确；

VZHFD=180°-67.5=112.5°,/HDF=45°,

ZHFD^ZHDF,

:.HFWDH,

:.HF二CD,故⑤不合题意，

故选：B.

2.(2024•永修县一模)在平面直角坐标系中，正方形ABC。的边在y轴正半轴上，边在第一象限，

且A(0,3)、B(5,3),将正方形A8CD绕点A顺时针旋转a(0°<a<180°),若点8的对应点

B,恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C'的坐标为(7,4)或(5,-2)或(-1,-4).

【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点8的对应点夕恰好落在x轴正半轴上时，②

点2的对应点次恰好落在y轴负半轴上时，③点2的对应点次恰好落在尤轴负半轴上时，根据旋转

的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点。的坐标.

【解答】解：因为正方形A2CD的边在y轴正半轴上，边2C在第一象限，且点A(0,3)、B(5,

3),

所以画图如下：

8也c

--------------------------

I1Ijl11>

234567x

当正方形A2C£>绕点A顺时针旋转a(0°<a<180°),

①点8的对应点"恰好落在无轴正半轴上时，如图,

"：AB'=AB=5,OA=3,

VZAB'O+ZOAB'=