模拟检测卷1（理科）-2023年高考数学二轮复习讲练测（解析版）

2023年高考数学模拟考试卷1

高三数学（理科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1,本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：高中全部知识点。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足z（l+i）=（z+l）（2i-l）,则复数z的实部与虚部的和为（）

1

A.1B.-1C.-D.——

55

【答案】D

43

【分析】根据复数的运算法则求出复数z=-+则得到答案•

【详解】z（l+i）=z（2i-l）+（2i-l）

2i-l_(2i-l)(2+i)-4+3i43.

z(2-i)=2i-l,-------F—1

55

431

故实部与虚部的和为-g+：=-丁

故选：D.

2.已知=五口的定义域为4集合3={xeR|l<ax<2},若B=则实数。的取

值范围是（）

A.[-2,1]B.[-1,1]C.（f,一2]D.（-8,T31,+8）

【答案】B

【分析】先根据二次不等式求出集合A,再分类讨论集合瓦根据集合间包含关系即可求解.

【详解】/（幻=77工的定义域为A,所以/-120,所以X21或x<T,①当。=0时，

8={无€刘1<0》<2}=0,满足2勺4,所以4=0符合题意；

②当a>0时，B={xeR\-<x<-},所以若

aa

19

则有一21或一工一1,所以0<〃《1或〃工一2（舍）

aa

9117

③当。<0时，B={xeR|-<x<-},所以若3勺4,则有一V-1或一21(舍),

aaaa

-1<a<0,综上所述，ae[-l,l],故选：B.

3.在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（4,单位：m）与

制动距离（4,单位：m）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车

的初速度v（单位：km/h）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述4,由与v

的函数关系的是（）

A.dt=av,d、=B.4=av,d2=附

2

C.dx=a-^v,d2=/3vD.dx=a4v,d2=/3v

【答案】B

【分析】设4(v)=〃v),d2(v)=g(v)，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即

可得到答案.

【详解】设4(v)=/(v),d2(y)=g(y).

由图象知，4")=/®过点(40,8.5),(50,10.3),(60,12.5),(70,14.6),(80,16.7),(90,18.7),

(100,20.8),(110,22.9),(120,25),(130,27.1),(140,29.2),(150,31.3),(160,33.3),(170,35.4),

(180,37.5),

作出散点图，如图1.

v-单位：km/h

40

30

20

10

单位：m

O20406080100120140160180""不

图1

由图1可得，4与口呈现线性关系，可选择用4=。叫

4。)=且。)过点(40,8.5),(50,16.2),(60,23.2),(70,31.4),(80,36),(90,52),(100,64.6),

(110,78.1),(120,93),(130,108.5),(140,123),(150,144.1),(160,164.3),(170,183.6),

(180,208).

作出散点图，如图2.

~单位：km/h

200-.

150-•

*

100-••

*

50'°

*

•单位：m

~o4080120160180办

图2

由图2可得，4与v呈现非线性关系，比较之下，可选择用刈=©’.

故选：B.

皿x>0

4.已知函数〃x)=X''则函数y=〃l-x)的图象大致是()

xex,x<0,

【答案】B

【分析】分段求出函数y=/(i-x)的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答

案.

【详解】当i-x>0,即X<1时，J=/(l-x)=ln(1~x),

1-x

-----•(1-x)+ln(l-x)

y'=1-X-----------------------l+ln(l-x)

(ifdp

令，'>0,得X<1—e,令y<0,得1—e<x<l,

所以函数y=在(-s,l-e)上为增函数，在(l-e,l)上为减函数，由此得A和C和D

不正确；

当1-xWO,即时，y=/(I-x)=(1-,

y=(l-x),e1-v+(l-x)(e1-xy=-e1^-(l-x)e1^x=-e1-v(2-x),

令，’>。，得x>2,令y'<0,得lWx<2,

所以函数y=/(l-x)在(2,+co)上为增函数，在工2)上为减函数，由此得B正确；

故选：B

5.若函数/lx)存在一个极大值/&)与一个极小值/(%)满足/(%)>/■&)，则/(无)至少

有()个单调区间.

A.3B.4C.5D.6

［答案］B

【彳析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.

【详解】若函数/(X)存在一个极大值/(西)与一个极小值/(9)，则/(尤)至少有3个单调

区间，

若/(x)有3个单调区间，

不妨设了(X)的定义域为(。,6)，若。<%<尤2<8，其中。可以为一°°，6可以为+℃,

则在(。,大),伍力)上单调递增，在(和马)上单调递减，(若“X)定义域为(。/)内不连

续不影响总体单调性)，

故"/)<•/&)，不合题意，

^a<x2<x1<b,则“X)在(a,%),(七,8)上单调递减，在(马，不)上单调递增，有

/@)<〃西)，不合题意；

若〃无)有4个单调区间，

例如“X)=X+上的定义域为{x|XX0},则广(x)=*,

%X

令/4对>0,解得X>1或》<一1,

则”X)在(―,-1),(1,+«)上单调递增，在(-1,0),(0,1)上单调递减，

故函数/(X)存在一个极大值〃-1)=-2与一个极小值〃1)=2,且〃-1)<”1),满足题意，

此时了(无)有4个单调区间，

综上所述：/>(X)至少有4个单调区间.

故选：B.

x+y-l<0

9y—18x-2

6.已知实数x、y满足4xy+l>0,则2=+°的最小值为()

x-2y-2

y>-i

A.上I

3.—C.—D.2

222

【答案】A

【分析】由约束条件作出可行域，求出:渭的范围，再由z=*+?|=9q结合

函数的单调性求得答案.

【详解】解：令"匚f,则2="+”|=%+；,

则A（—2,-l）,B（2,-l）,C（0,l）

设点P（x,y）,D（2,2）,其中「在可行域内，.」="|=人阳,

x-2

1-21

由图可知当P在。点时，直线斜率最小，.」而=%8

110-22

11

tG—,+00z=9t+-te—,+oo

当尸在B点时，直线PO斜率不存在，，2，在2上为增函数,

113

,当公5时==万・故选:A.

7.在正方体ABCD-A4GA中，点P在正方形3CG4内，且不在棱上，则（）

A.在正方形。CGQ内一定存在一点Q,使得PQ/AC

B.在正方形。eq。内一定存在一点。，使得PQLAC

C.在正方形。CG2内一定存在一点。，使得平面尸。和〃平面A3C

D.在正方形DCG2内一定存在一点Q,使得AC,平面PQG

［答案］B

【彳析】对于A,通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B,找到特

殊点，说明在正方形QCG2内一定存在一点。，使得PQLAC,判断B;利用面面平行的

性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.

【详解】A、假设在正方形OCG2内一定存在一点Q，使得PQ〃AC,

作PEL8CQ尸，C。，垂足分别为瓦尸,连接耳尸，则尸跖。为矩形，且即与AC相交,

故PQ〃E尸,由于尸。〃AC,则AC〃毋，这与AC,EF相交矛盾，故A错误；

B、假设尸为正方形BCCg的中心，。为正方形。CG2的中心，

作尸，垂足分别为8,G,连接8,G,则PHG。为矩形，

则P0〃"G，且"G为BC,CD的中点，连接G",B。，

则GH〃皿)，因为AC13。，所以G”_LAC,即PQ，AC,故B正确;

C、在正方形DCC2内一定存在一点Q,使得平面尸QC〃平面A3C,

由于平面ABCc平面DCCR=CD，平面PQQ平面DCCR=Q2,

故co〃a。，而G2〃C£>，则。在GA上，这与题意矛盾，c错误；

D、假设在正方形。CGR内一定存在一点。，使得AC,平面PQG，

G。u平面p。G,则AC，G。，

又CG，平面ABCr),ACi平面ABCD,故C|C，AC,

而GCAGQ=G，GCGQu平面DCqR,故AC,平面DCCQ,

由于平面。CC|2,故C,O重合，与题意不符，故D错误，

故选：B

8.对于平面上点尸和曲线C,任取C上一点Q,若线段尸。的长度存在最小值，则称该值为

点尸到曲线C的距离，记作”GP,C).若曲线C是边长为6的等边三角形，则点集

D=Md(P,C)<l｝所表示的图形的面积为()_

A.36B.36-3-73

C.36-373+271D.36—34+兀

【答案】D

【分析】根据题意画出到曲线C的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.

【详解】根据题意作出点集D={P|d（P，C）41}的区域如图阴影所示，

其中四边形ADEC,ABKM,8C尸G为矩形且边长分别为1,6,圆都是以1为半径的，过点

/作WLAC于N,连接AL则M=l,NNAI=30,所以AN=7^,

则.H〃是以6-26为边长的等边三角形，

矩形ABKM的面积H=1x6=6,

27r12兀71

ZDAM=—,扇形ADM的面积为S2=L.xl=j

3233

5ABc=-xM2-sin60=1X62X^=9V3,

222

2

SW7=1x|HZ|-sin60=9争（6一2⑹?=12石一18,

所以S=3S]+3S?+（$,^0-S9）=3x6+3x—+9>/3—^12^-18j=36-3A/3+TT.

故选：D.

9.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定.其

中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）

A.15种B.28种C.31种D.63种

【答案】C

【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过

分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.

【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，

所以满足条件的去法数为C；+C；+C+C；+C；=16种；

若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有

C；+C；+C；+C：=15种；

故该宿舍同学的去法共有16+15=31种.

故选：C.

10.已知椭圆C的焦点为4（0,-1）,乙（0,1）,过F?的直线与c交于P,。两点，若

|即|=3优。|,|尸。|=?。闻，则椭圆C的标准方程为（）

【答案】B

【分析】由已知可设内。|=私归词=3〃7可求出所有线段用机表示，在例中由余弦定

理得/耳尸乙=90°从而可求.

【详解】如图，由已知可设内。|=私|尸局=3〃?，又因为用.•』Q4|=5根

根据椭圆的定义|QE|+|Q周=2。,「.6机=2〃,「.a=3m,—2a—\PF^=2a—a=a=3,m

在2咽中由余弦定理得cos/F\PQ=闸：呷-押=16加+9/-25疗=。，所以

-2忖0卜|尸周2-4m-3m

NF]PQ=90°

22

:.\PF2^+\PF^^>9m+9m=4:.m=^-,a=3m=y/2^b=l

2

故椭圆方程为：匕+Y=1故选：B

2

11.已知函数〃x）=2sin（2x+。，对于任意的ae[-后1）,方程〃力=40<处根）恰有

一个实数根，则机的取值范围为（）

【答案】D

【分析】将方程的根的问题转化为函数y=〃x）的图象与直线y=a有且仅有1个交点，画

出图象，数形结合得到不等式组，求出机的取值范围.

（详解】方程〃x）=a（o<xwm）恰有一个实数根，等价于函数y=/（X）的图象与直线y=a

有且仅有1个交点.

R（兀兀

当0<x<根得：2x+—G—,2m+—,

6<66_

TT47rSjr\

结合函数y=〃x）的图象可知，2m+-ey,yI,

12.已知a=0.7e04,6=elnl.4,c=0.98,则”,dc的大小关系是（）

A.a>c>bB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】构造函数x>0,利用导函数得到其单调性，从而得到

ee

当且仅当％=e时等号成立，变形后得到In2xw2v,当x时，等号成立，令》=0.7后

e2

得到bvc；

再构造8(耳=尸-彳，利用导函数得到其单调性，得到尸"，当且仅当x=l时，等号成

立，

变形后得到e2i>2x,当x=0.5时，等号成立，令彳=0.7得到〃>c,从而得到。>c>4

【详解】构造〃x)=lnr-」x,x>0,

e

贝|)广(入户当0<x<e时，/^x)>0,当工〉e时，/'(力<0,

所以/(%)=1通-，％在0<x<e上单调递增，在％>e上单调递减，

e

所以/(尤)V/(e)=lne-1=0,

故InxW’x,当且仅当X=e时等号成立，

e

因为12>o,所以lux?w±=>21n%W土nlnxW±=>1口2%40^-=2兀2,

ee2e2ee

当x=Yi时，等号成立，

2

9QQQ

当x=0.7时，Ini.4<-x(0.7)2=elnl.4<0.98,所以6<c

ee

构造g(x)=e'i-x,则g'(x)=e'T—1,当x>l时，g,(x)>0,当x<l时，g,(x)<0,

所以g(x)=e*T-x在％>1单调递增，在x<l上单调递减，

故g(x)2g(l)=0,所以ei2龙，当且仅当x=l时，等号成立，

故右Wxne2iN2x,当且仅当x=0.5时，等号成立，

令x=0.7,则e04>L4=>0.7ea4>0.98,所以〃>c,

综上:a>c>6，

故选：A

【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行

求解.

第II卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设i,J是x,y轴正方向上的单位向量，2a-b=i-3j,3+3&=117+9；,则向量a,

b的夹角为.

【答案】7

4

【分析】分别求出〃，6的表达式，利用定义求出a,b的夹角即可.

【详解】2a-b=f一3)①,

a+3b=lli+9j②，

①x3+②得7〃=14i,「.〃=2i,

—2x②+①得—7b=—21，—A=3i+3,，a-b=3i^3+j，=话+i,§=

14=2,\b\=V？TF=3V2,•••cos｛a,*而==冬三

22

14.已知双曲线C:=-*=l(a>0,b>0)的焦距为2c,过C的右焦点/的直线/与C的两条渐

ab

近线分别交于A,3两点，。为坐标原点，若6=。8$//皿0且用=3E4,则C的渐近线方程

为.

【答案】y=±6x

【分析】根据题设条件确定ABLCM,进而可确定|。4|=々|必="从而在直角AAOB中,

2h

tanZAOB=tan(71-)=一,结合正切的二倍角公式求解.

a

【详解】因为正5=3E4,画出示意图如图，设NAO尸=a,

2

所以sin2ZAF(9=5，贝I]sinNAPO=-

cC

nh71

所以tanNATO=—.又tana=—,所以44/0+0=—,

ba2

所以AB_LQ4,^iSsinZAFO==-,cosZAFO=M=,

cccc

所以|Q4|=a,|即=6.又因为尸2=3K4,

2b

所以=2).在直角A4O5中，tan/AOB=tan(7i-2a)=—,

2b

ll1,c2tana〃..

所以tan2e=--2-b-=------—=一广，化间得：==2,所以一.h=3r,~

a1-tan(7b/a

[2

a

则渐近线方程为：y=±^2x,

故答案为：y=+A/2X.

a+2,”为奇数

n2

15.已知数列｛%｝满足首项4=1,an+i则数列｛%｝的前〃项的和为

3an,〃为偶数

【答案】4x3"-4/7-4

【分析】当〃为奇数时，由递推关系得。”+2=31=3(%+2),构造｛%+3｝为等比数列，可

求出通项，结合%+i=%+2即可分组求和.

【详解】当"为奇数时,。“+2=3%=3"“+2),即a.+3=3(%+3),此时｛%+3｝为以

q+3=4为首项，公比为3的等比数列，

故—日仓’—仓化(M=4?3等即…?3?3.

$2“=卬+%+%+%++%-i+%=q+(%+2)+%+3+2)++%-i+(%“-i+2)

=2(4+%+-1)+2〃=2(4?3°3+4?313+.+4?3"-13)+2〃

=2W?—-------L3n+2w=4?3"4M-4

1-3

故答案为:4x3"-4-n-4

【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当“

为奇数或〃为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2〃项的和.

16.在三角形ABC中，BC=2,AB=2AC,。为BC的中点，贝han/ADC的最大值为

【答案】1##11

【分析】设出AC=x,贝UAB=2x,由NAD3+NADC=TT得到COSNAD3+COSNAT>C=0,

3

结合余弦定理得到AZ)2=|x2-l,从而得到c°sNAOC=W।亍丁二，由三角形三边关系得

—x-1

2

到Q<2,换元后得到c-L+2,由基本不等式求出最小值，结合

〃x)=cosx在(0,3上单调递减，g(K)=tan丈在(0,热单调递增，可求出tan/ADC的最大值.

【详解】设AC=x,则A?=2尤，

因为。为BC的中点，BC=2,

所以3D=OC=1,

由三角形三边关系可知：2%+%>2且2%-尤V2,解得：-<x<2,

在三角形A3。中，由余弦定理得：cosNAD3="^土@L，

2AD

4D2+1—r2

在三角形AC。中，由余弦定理得：cos/ADC=十1x,

2AD

因为NAZM+NAZ)C=7i,

所以cosZADB+cosZADC=3+1-(2同一+3+1"=0,

2AD2AD

解得：A£>2=|X2-1,

-x2-l+l-x2

23

由余弦定理得：cosZADC=,—<A：<2,

2bT4

令g—-1=f

333

cosZADC=—

10io5

当且仅当W，即E时，等号成立，此时|x-=l,2百

解得：X=------

5

因为COS/AOCN]>0,故

由于=cosx在（0,3上单调递减，g（x）=tanA■在（0,空单调递增,

故当cos/ADC取得最小值时，tanZADC取得最大值，

此时sinZADC="-cos?NADC=1,tanZADC=1.

4

故答案为：

【点睛】三角形中常用结论，sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,tan（A+B）=-tanC,

本题中突破口为由ZADB+ZADC=it得到cosZADB+cosZADC=0,结合余弦定理得到

AD-=|x2-l,进而利用基本不等式求最值.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）数列｛叫满足%=5,点尸（凡,凡+1）在直线x-y+2=0上，设数列出｝的前〃

项和为S“，且满足2s“=32-3,〃eN*.

⑴求数列｛%｝和抄“｝的通项公式；

⑵是否存在人使得对任意的都有.

eN*,“eN*,bnbk

n

【答案】⑴%=21；bn=3

⑵存在k=l,2,使得对任意的“eN*,都有｝<+

b„bk

【分析】（1）根据等差数列的定义可得｛%｝为等差数列，由S”,包的关系可得他,｝为等比数

列，进而可求其通项，

（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.

【详解】（1）点尸口c用）在直线x-y+2=0上，所以%-。“=2

又？=5,

则数列｛4｝是首项为1，公差为2的等差数列.

an=2n-l

又当〃=1时，2S]=3伪-3得々=3,

当此2,由25“=32-3①，

得2s“一%-3②

由①一②整理得：bH=3bn_lt

4=3w0,2_iw0

・-^-=3

Ft'

・,・数列｛2｝是首项为3,公比为3的等比数列，故a=3〃

a2n-l

⑵设g=T=~

bn3

,2n+l2n—12n+1-6n+34—4n

pnc—c=------------------=-------------------=---------

«+in3〃+i3〃3〃+i3〃+i

当”=1时，G=q，当"N2时，c„+1<c„,

a

所以当”=1或2时，g取得最大值，即广n取得最大

所以存在k=1,2,使得对任意的“eN*,都有?

b„bk

（1）求证：AD1BC-,

（2）若M是棱ZM上一点，且两三角形的面积满足SBMD=2SBM4,求直线与平面ACD所

成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

63屈

\Z7-------

10

【分析】（1）取3c中点为。，证明平面AOD即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面ACD所成角的正弦值.

【详解】（1）设。是BC的中点，

连接AO,DO,由题知：AB=AC,DB=DC,则3C_LAO,BC±DO,

又AOcDO=O,AO,£>Ou平面AO£）,

所以8C1平面AOD,又ADu平面AOD,所以ADI3c.

（2）由题知，OA.BC、两两垂直，

以。为原点，。4,。伐。。方向分别为了，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示,

因为SBMD=2SBMA,所以AA/=§AD,设AB=2cz,贝!]OA=0。=,

则4（耳,0,0）,B（0,a,0）,C（0,-a,0）,0（0,0,岛），M^^a,0,^-a,

所以04=（迅0,°,0）,DA=（yj3a,0,-y/3aj,BM=^^-a,-a,^-a,

设平面ACD的法向量为。=（x,y,z）,

则厂厂，取X=l,可得为=一0」，

n.DA=<3ax-13az=0

设直线BM与平面ACD所成的角为巴

BMn3回

则sing=\cos(BM,n

10

所以直线BM与平面ACD所成角的正弦值为题.

19.(12分)甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有"个射击目标，他们击中每

一个目标的概率均为且相互独立.甲选手依次对所有〃个目标进行射击，且每击中一个

目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下

一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星.

(1)当〃=5时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；

(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜.

【答案】⑴得击

⑵当“=1,2,3时，乙更可能获胜；当〃时，甲更可能获胜.

【分析】(1)根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算

公式可得乙击中3个目标的概率；

(2)设X为甲累计获得的星数，F为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论〃=1,2,3

及的E(X),E(y),得出结论.

【详解】(1)当〃=5时，甲击中3个目标的概率为勺=C；xd)3x(=)2=[,

乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，

1

其概率为8=(彳)3X7=^.

2216

(2)设X为甲累计获得的星数，则X=0,1,2,-,77,设y为乙累计获得的星数，

则y=0,2,4,…,2〃，设击中了伍个目标，其中04〃心”，

11cm

则甲获得星数为m的概率为P(X=m)=C：(-)m(-)"-ra=寸，

所以甲累计获得星数为E(X)=oC+iC+;：C++-C；；

记SL0C+1C++n-C；=n-Cy(n-l)-C'n++0-C：,

n1

所以2S.="(C：+C：++C^=n-2,Sn=n-2-,

n

所以E(X)=

2

11

乙获得星数为2m(0<m<n-l)的概率为P(Y=2m)=

22m+1

当相二儿时，尸(y=2机)=：,

所以乙累计获得星数为E(y)=：+»++¥2+2,

0242（n-l）…,八242（n-l）

记（=5+级+可++下「’贝1]21=°+3+相++亍=’

所以看=21—7；=2（—+：++-）―2（/）=2一3,

E（y）=2-1,

13

当〃=1时，E（x）=-<£（y）=l,当”=2时，E（x）=l<£（y）=-,

37

当"=3时，E（X）=—<E（X）=—,当“24时，E（X）>2>E（y）

24

所以当”=1,2,3时，乙更可能获胜；当“24时，甲更可能获胜.

22

20.（12分）已知抛物线y2=46尤的焦点与椭圆。：5+%=1（。>6>0）的右焦点重合，直

线4」+；=1与圆尤?+丁=2相切.

ab

⑴求椭圆。的方程；

（2）设不过原点的直线4与椭圆。相交于不同的两点4B,M为线段A3的中点，。为坐标

原点，射线OM与椭圆。相交于点P,且。点在以A8为直径的圆上，记AOM,△BOP的

面积分别为S-S2,求去的取值范围.

系2v2

【答案】⑴一+3=1

o3

⑵3’丁

【分析】（1）根据条件建立关于。泊的方程组，即可求解椭圆方程；

ss

（2）根据数形结合可知寸=甘”=\O焉M\，分直线斜率不存在，或斜率为0,以及斜率不

»2、ABOP

为0,三种情况讨论去的值或范围.

【详解】⑴•••抛物线产=4氐的焦点为（省,0）,.•.c=指,

从而/=+3①，

一二五②,

•.•直线=1与圆/+丁=2相切，

aba1+b2

由①②得：a=A/6,b=V3，

，椭圆Q的方程为：—+j=l

o3

OM

（2）・・・加为线段AB的中点，，甘

»2VBOP

（i）当直线4的斜率不存在时,，2_Lx轴，由题意知。4_LOB,结合椭圆的对称性，不妨设

所在直线的方程为y=x,得只=2,

从v而=2,Xp=6,

3

（2）当直线4的斜率存在时，

设直线4：,二丘+根（加力。），人（石，x），⑶5,%）

y=kx+m

22222

由＜■xy可得：（2k+l）x+4Amx+2m-6=0,

163

由A=162一4（24？+1）（2根2-6）＞0可得：6左2_疗+3＞0（*）

._4km2m2-6

•・i2=-药'7r

;。点在以A5为直径的圆上，・•・Q4.OB=0，即玉兀2+%％=。，

七元2+,1，2=（1+k2）石％2+6（七+12）+加2=0,

即IN筌+"-券"=°，

^＞m2=2k1+2,（**）满足（*）式.

2kmm

，线段AB的中点M-

2r+l'2/+U'

L

若上=0时，由（**）可得：m2=2,此时•,•《=g^=，=¥，

力|Czi|A733

若时，射线OM所在的直线方程为

2k

1

y=x

2krg12k?

由，可得:-z,

222

土+工=12k+1

I63

.S,_\OM\=\xM+21

「星一|OP「L2k2+1、

S，B瓜

随着的增大而减小，•.妤＞o,

7

给卜AJ6指

练上’丁

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（石,弘）,（尤2，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或y）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为%+%、（或%+%、%丫2）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21.（12分）已知函数/'（x）=e*-办-a

⑴当。=1时，证明:/（x）20.

⑵若/（x）有两个零点玉,%（不＜%）且KfeRe?],求玉+七的取值范围.

【答案】（1）见解析；

「41

⑵31n2-2,「

e-1

x

【分析】（1）f（x）=e-x-lf求导得/（%）­=7（。）=0,则/（%）..0；

々十X|

（2）由题得d=〃再+”，=ax2+a,则俨-」二1,e+e巧=a（为+x+2）,

%+]2

e*—8=a(9—X),则占+4+2=(%_??+：爸")，从而设t=N-尤”[ln2,2],得到

—」(：+；),利用导数研究函数且“)=少?的值域，则得到占+%的范围.

【详解】(1)证明:当a=l时,/(x)=e-x-l,则尸(x)=e-l.

当X£(-00,0)时,/'(X)<0,当X£(0,+00)时,/'(%)〉0,

所以/(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

则八%篇=〃。)=。,故/(初。

(2)由题意得e为一a%—〃=匕巧一心—Q=0，

贝|e*=ax1+a,e巧=ax2+a,

JQ+]

从而e巧』=2+],e"'+e爸=。(玉+w+2),e*2—e'l=a(xj_&)，

故玉+々+2=

因为港e[2d],所以6,25424],即％—^e[ln2,2],

r(l+eQ

设/=%-3w[ln2,2],则/+w+2=

e'-l

设g«)=岩，/、e2r-2rez-l

，则"17^

e—1

设/?(/)=e"-2fe'-1,则h'(f)=2e'(e'-r-1),

由⑴可知"⑺=2e'(e'—T..O在R上恒成立，

从而恤)=e"-2汨-1在[In2,2]上单调递增，

故万⑺5=〃(山2)=4-4In2-1>0,即g'⑺>。在[in2,2]上恒成立,

2(l+e2f

所以g⑺在Un2,2]上单调递增,所以再+9+2e31n2,\,

e—1