2024湖南中考数学二轮训练：规律探索题 (含答案)

2024湖南中考数学二轮专题训练题型一规律探索题

类型一数式规律

湖南中考真题精选

1.观察下列等式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,…，试猜想，32。16

的个位数字是.

2.观察等式：2+22=23—2,2+22+23=24—2,2+212+23+24=25-2,已知按一定规

律排列的一组数：2100,2101,2%…,2199,若21。。=%,用含〃?的代数式表示这组数的和

是.

3.观察下面的变化规律：

2=]12=112=112=11

1x33’3x535’5x757’7x979

根据上面的规律计算：

---1-----1-----1--I-------=

1x33*55x72019x2021------------

4.天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历.有十天干与十二地支，如

下表：

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

4567890123

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

456789101112123

算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支.如2008年，尾数

8为戊，2008除以12余数为4,4为子，那么2008年就是戊子年.2021年是伟大、光荣、正

确的中国共产党成立100周年，则2021年是年.(用天干地支纪年法表示)

针对训练

1.按一定规律排列的单项式：a2,4a3,9a316定,25a6,...»第〃个单项式是()

A.n2an+iB.n2an~x

C.nnan+lD.5+1)2Q〃

2.观察下列等式:

、

第一个等式：a\——1=-1x(l——)

1x434

一1—1/1

第二个等式:。2=-----=-x(------

4义7347

第三个等式:

第四个等式:

按照上述规律，则防+。2+。3+。4+...+。2022=()

人2021「2022「2020「6066

A.------B.------C.------D.------

2022606720216067

3.一组按规律排列的代数式：q+2b,q2—263,q3+2b5,Q4—2Z/7,则第n个式子是.

4.［创新考法］某种植物的生长过程中可按如图表示，该植物最初只有一个枝干，看作植物

生长的第1层，随着生长，枝干会分出两个新的枝干作为第2层，每个新的枝干继续生长又

会分出两个新枝干形成第3层，…，按照这个规律，该植物第8层枝干的个数为.

卒...

第4题图

5.［创新考法］如图，屋顶的某一斜面可以看作等腰梯形，其表面铺设了瓦片，从第二排开

始每一排比前一排少铺2块瓦片，已知第九排铺设了84块瓦片，则前三排铺设的瓦片总数

为块.

星攻

■f

第5题图

6.如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第行第列.

I

23

456

78910

1112B14”

第6题图

7.观察以下等式:

32-12

第1个等式:~L=l+1；

4

42—22

第2个等式:~-=1+2；

4

第3个等式：任3=1+3；

4

£2—42

第4个等式：04=1+4；

4

第5个等式：二二三=1+5；

4

按照以上规律，解决下列问题：

⑴写出第6个等式：；

(2)写出你猜想的第〃个等式：.(用含〃的等式表示)

类型二图形累加规律

湖南中考真题精选

1.刘莎同学用火柴棒依图中的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第

________个.

第1题图

2.古希腊数学家把1,3,6,10,15,21,…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以

用如图表示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为ai=l,第二个图形表示的三

角形数记为。2=3,…，则第〃个图形表示的三角形数斯=.（用含〃的式子表达）

第2题图

3.如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1x1个小正方

形，所有线段的和为4,第二个图形有2x2个小正方形，所有线段的和为12,第三个图形

有3x3个小正方形，所有线段的和为24,按此规律，则第〃个网格中所有线段的和为

.（用含〃的代数式表示）

第3题图

针对训练

1.如图是一组形似“山”字的图案，它们是由边长相等的小正方形组合而成，图①有8个小

正方形，图②有13个小正方形，图③有18个小正方形，…，按照这个规律，第〃个图形中,

小正方形的个数为（）

unnrii口i1

(D也

第1题图

A.2n~5B.2〃+5C.5n+3D.5n—3

2.观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依此规律，第20个图形中★的个数是（)

••

♦

•****

我1个822我3个IU个

第2题图

A.398B.439C.450D.472

3.如图，是由黑白两色的圆按照一定的方法摆放而成的图形，按照这样的方法摆放下去,

能满足黑色圆的个数是白色圆个数的2倍还多1个的图形是（）

第3题图

A.第11个B.第12个C.第13个D.第14个

4.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第

二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…；照这样拼图，则第〃

个图形需要根火柴棍.

第4题图

5.如图是由等腰三角形与正方形按一定规律组成的图形，按此规律，第〃个图形中的三角

形个数是.（用含〃的代数式表示）

打个H2个M3个打个

第5题图

6.如图是一组有规律的图案，第1个图案中有1个“•”，第2个图案中有5个“•”，第3个图

案中有9个“•”，第4个图案中有13个“•”，…，按此规律排下去，第〃个图案中有

个（用含〃的代数式表示）

第2个D

第6题图

7.如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a,宽为6,

则第⑪个图案的周长为.

8.如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第〃个图形中

三角形的个数比圆的个数多个.（用含〃的代数式表示）

△△△△

△△

。

鼻△△0△△O△

△OAOAA△A

△△

累

曲

个

个

第8题图

类型三图形中点的坐标规律

湖南中考真题精选

1.如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，Pl,Pl,Pi,均

在格点上，其顺序按图中“一”方向排列.如P（0,0）,尸2（0,1）,尸3（1,1）,尸4（1,-1）,P5（-

1,-1）,P6（—1,2）,根据这个规律，点尸2016的坐标为.

第1题图

2.正方形481GO,A2B2C2C1,43B3C3c2,…按如图的方式放置，点小,A2,在，…和点

Cl,C2,。3,…分别在直线＞=X+1和X轴上，则点历018的纵坐标是.

第2题图

3.如图，△48必2,AA2B3A3,都是一边在x轴上的等边三角形，

点、Bi,&,83,…，&都在反比例函数＞=组（》＞0）的图象上，点小，A2,Ai，4都在

X轴上，则4的坐标为.

第3题图

针对训练

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内有一条折线，构成这条线段的端点的坐标

是这样的：4(1,1)、A2(l,2)、A3(2,2)、4(2,3)、A5(3,3)、4(3,4)、A7(4,4),...»

依此规律，点/71的坐标为()

第1题图

A.(36,36)B.(36,37)

C.(71,71)D.(71,72)

2.如图，在正方形48CD中，顶点B,C,。在坐标轴上，且3(4,0),以为边构

造菱形将菱形/BE尸与正方形/BCD组成的图形绕点。顺时针旋转，每次旋转45。,

则第164次旋转结束时，点F164的坐标为()

A.(-4,4yl2)B.(-4,—4卷

C.(4也，-4)D.(—4也，-4)

3.在平面直角坐标系中，等边△/。2如图放置，点/的坐标为(1,0),每一次将绕着

点。逆时针方向旋转60。，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△4O8i,第二

次旋转后得到△也。外,…，依次类推，则点42021的坐标为()

A.(—22°2。，一3x2202。)B.(22°21,一3*22。21)

20202021

C.Q202。，-A/3X2)D.(-2,一3X22021)

第3题图

4.如图，直线/的函数表达式为y=x—1,在直线/上顺次取点4(2,1),A2(3,2),A3(4,

3),4(5,4),A„(n+1,n).构成形如“1”的图形的阴影部分面积分别表示为&,

S3,Sn>则&021—•

第4题图

5.如图，在平面直角坐标系中，已知点/(0,3)、5(5,0),将Rt4048绕原点顺时针旋转

90。得到RtA^iO5i,再将RtA^iO^i绕原点顺时针旋转90。得到RtAA2OB2,依次旋转分别

得至I」RtZ\/3O53,RtAA4OB4,RtAA5OB5,斜边的中点依次记为马，Pi，Pi,P3,…,

尸”.贝(IRtZ\N2022O82022斜边的中点22022的坐标为.

第5题图

6.如图，在平面直角坐标系中，菱形CU8C的边。。在X轴的正半轴上，且点C的坐标为

“2,0),/OC3=45。.将菱形CU8C绕点。顺时针旋转45。后得到菱形。4SG,…，依此

方式，绕点。连续旋转2021次后得到菱形。也02近2021。2021,则点也021的坐标为

第6题图

7.如图，抛物线的解析式为y=N,点出的坐标为(1,1),连接0/1；过出作//1，。小，

分别交y轴、抛物线于点P、Bi；过Bi作分别交y轴、抛物线于点尸2、也；

过也作/少2，囱也，分别交y轴、抛物线于点入、瓦;...；按照如此规律进行下去，则点

Pn(n为正整数)的坐标是.

第7题图

8.如图，已知点出在x轴上，坐标为(1,0),直线/：y=x+l与y轴交于点Bi,以

为边作正方形431cbD1，延长GA分别交x轴、y轴于点名、B],以上瓦为边作正方形

AzB2c加2,延长S>2分别交X轴、y轴于点以、按照这个操作进行下去，点C,的

坐标为.

第8题图

参考答案

类型一数式规律

湖南中考真题精选

1.1【解析】从前几个3的幕来看，它的个位数依次是3,9,7,1,第5个数与第一个数

的个位数相同，：3的整数次幕是每四个数一个循环，2016+4=504,.•.它的个位数与34的

个位数相同，即为1.

2.m2~m【解析】由题意规律可得2+22+2'+…+299=2"。一2/.,2100=m,.'.2+22+23

+...+2"+2=2100=m=2°OT,V2+22+23+...+2"+2100=2101-2,：.2101=2+22+23+...

+2"+2100+2=m+m=2m=2im.2102=2+22+23+...+299+2l00+2101+2=m+m+2m=

4m=22m.2w3=2+22+23+...+2"+2100+2101+2102+2=m+m+2m+4m=8m=23m....,

.•.2199=29%.故2100+2101+2102+...+2199=20m+21m+...+2"m=w(20+21+...+299)=

m(2100—1)=«7(/77—l)=m2—m.

2020

【解析】由题干信息可抽象出一般规律:------------Z--------二」——故2

2021(2〃-1)(2H+1)2n—12〃+1lx3

2।22

3x55x72019x2021卜人-六

+11___1____L____1=2020

…十(201920192021=-12021-2021，

4.辛丑【解析】・・・2021的个位数是1,对应“天干”中的“辛”；2021・12得到余数是5,

对应“地支”中的“丑”，・・・2021年是辛丑年.

针对训练

1.A【解析】单项式的系数规律为l=y,4=22,9=32,16=42,…，・••第〃个单项式的

系数为层，。的指数规律为2=1+1,3=2+1,4=3+1,5=4+1,…，.,•第〃个单项式

字母。的指数为几十1,・•・第〃个单项式是〃2〃〃+i.

1/11、当〃=2022时,q2022=1x(~~—

2.B【解析】由题意可得，斯一x(),6067)

33n-23〃+136064

・•皿+怎+。3+04+...+侬22甘X(l—()+/O…+/(盘—卷+

、、

+,,-1\------------1----)=1—X(1-------1-)=--2-0--2-2-

…60646067360676067,

3“十(一1尸+1-262「1【解析】•••当"为奇数时，(-1)"口=1,当〃为偶数时，(-1)E=

—1)...第n个式子是an-\-(—l')n+1-2b2nl.

4.128【解析】：第1层的枝干个数为1=2。，第2层的枝干个数为2=21第3层的枝干

个数为4=22,第4层的枝干个数为8=23,…，按照这个规律，第8层的枝干个数为27=

128.

5.294【解析】:•从第二排开始每一排比前一排少铺2块瓦片，.•.第八排铺设了84+2x(9

-8)=86块瓦片，第七排铺设了84+2*(9—7)=88块瓦片，第六排铺设了84+2*(9—6)=

90块瓦片，…，依次类推，第三排铺设了84+2x(9—3)=96块瓦片，第二排铺设了98块瓦

片，第一排铺设了100块瓦片，.••前三排铺设的瓦片总数为96+98+100=294块.

6.64,5【解析】由题图可知，第一行1个数字，第二行2个数字，第三行3个数字，...，

则第〃行"个数字，前"行-共田「个数字，•.•.<2。21<言65,2021-^

=2021-2016=5,.1.2021是表中第64行第5歹！J.

父2—£2

7解：⑴；=1+6；

(〃+2)2-4=1+〃.

4

类型二图形累加规律

湖南中考真题精选

1.2017【解析】由图可以找出规律：第"个图形需要5"+1(其中〃是正整数)个火柴棒，

.•.设5〃+1=10086,解得“=2017.

2.n("+1)【解析】第1个图形表示的三角形数为1,第2个图形表示的三角形数为1

2

+2=3,第3个图形表示的三角形数为1+2+3=6,第4个图形表示的三角形数为1+2+3

+4=10,...第〃个图形表不的三角形数为1+2+3+4+...+(〃-1)+“=〃.

3.2»(«+1)【解析】：第一个图形有1x1个小正方形，所有线段的和为4=2xlx2,第二

个图形有2x2个小正方形，所有线段的和为12=2x2x3,第三个图形有3x3个小正方形，所

有线段的和为24=2x3x4,…,按此规律，则第"个网格中所有线段的和为2〃(〃+1).

针对训练

1.C【解析】第1个图形中，小正方形的个数为8,第2个图形中，小正方形的个数为8

+5=13,第3个图形中，小正方形的个数为8+5x2=18,…，...第〃个图形中，小正方形

的个数为8+5x(”-1)=5〃+3.

2.B【解析】观察图形可得，第1个图形中★的数量为22—2=2,第2个图形中★的数量

为32—2=7,第3个图形中★的数量为42—2=14,第4个图形中★的数量为52-2=23,

...第n个图形中★的数量为(〃+1)2—2,.•.第20个图形中★的数量为212—2=439.

3.D【解析】由题图知，白色圆的个数分别为6,9,12,15,18,…，故第"个图形中白

色圆的个数为3(〃+1)个，黑色圆的个数分别为0,1,3,6,10,故第"个图形中黑色

圆的个数为"个,当"=2x3(〃+l)+l时,解得〃=14或“=—1(不符合题

意，舍去)，，满足条件的图形是第14个.

4.2»+1【解析】由题图可知，拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需

要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2x2=7根火柴棍拼成第〃个图

形共需要3+2x(”一1)=(2〃+1)根火柴棍.

5.3«+1【解析】第1个图形中三角形的个数为1+3=4,第2个图形中三角形的个数为1

+3+3=7,第3个图形中三角形的个数为1+3+3+3=10,…，依次类推，第"个图形中

三角形的个数为3"+1.

6.4〃一3【解析】第1个图案中有4、0+1=1个人”，第2个图案中有4x(2—1)+1=5个“•”，

第3个图案中有4x(3-1)+1=9个“•”，第4个图案中有4x(4—1)+1=13个“，，…，，第

n个图案中有4x(〃一1)+1=(4"—3)个

7.22a+2b【解析】观察图案的变化可知第①个图案的周长为2(a+6),第②个图案的周长

为2x2(a+6)—2x(2—1)6,第③个图案的周长为3、2(。+6)—2x(3—1)6,…，则第〃个图案

的周长为〃x2(a+6)-2(〃一1)6,第⑪个图案的周长为2x(11—l)6=22a+26.

8.2»+1【解析】第1个图中有1个圆，有(1x3+1)个三角形，第2个图中有2个圆，有(2x3

+1)个三角形，第3个图中有3个圆，有(3x3+1)个三角形，以此类推，第"个图中有〃个

圆，有(〃x3+l)个三角形，.•.第n个图中三角形的个数比圆的个数多合3+1—〃=(2“+1)个.

类型三图形中点的坐标规律

湖南中考真题精选

1.(504,-504)【解析】由图象可知，Pi,居,尸8,P12,在同一条直线y=-x(xN0)

上，此时可观察到当"为4的倍数时，P“的坐标为(；，一；)，尸2016(平，一半)，即(504,

-504).

2.22。"【解析】•.•直线y=x+l,当x=0时，y=l,：.A(0,1),为正方形,

，421=1,点比的坐标为(3,2),.♦.Bi的纵坐标是1=2。，31的横坐标是—；.82

的纵坐标是1+1=2］，星的横坐标是3=22—1,二员的纵坐标是2+2=4=22,员的横坐标

是7=23—1,.•.据此可以得到'的纵坐标是2"一1,正的横坐标是2”一1,即点瓦。18的纵坐

标为22。".

3.(2西，0)【解析】如解图，过点S作轴于点C,过点生作班轴于点。，

过点当作以ELc轴于点£,•.•△。4由1为等边三角形，；./51。。=60。，.121148。。=器'

=3，BiC=\)3OC,设。。的长度为x,则S的坐标为(x,3x),代入函数关系式可得他必

=0解得x=l或X=-1(舍去)，.\CM1=2OC=2,，4(2,0)；设的长度为夕，同理，

&为加y,灯的坐标表示为(2+y,0),代入函数关系式可得(2+yW3y=加，解得夕=他

一1或夕=一/一1(舍去).••40=/-1,4出=2也-2,。e=2+2也一2=2仍，，/2(2也,

0）；设/力1的长度为Z,同理，氏后为加Z,无的坐标表示为（2也+z,々3z）,代入函数关系

式可得（2/+z）加z=他，解得z=3—/或z=一贴一也（舍去），.,.NzET=3一啦，/必3=

2出一2\[2,。/3=2@+23一2/=2韵，：.A3（2yj3,0）.综上可得4（2«,0）.

第3题解图

针对训练

1.A【解析】观察这些端点的坐标，有以下规律：当n为奇数时，第n个点的坐标为（宁,

生;）；当〃为偶数时，第〃个点的坐标为（，，|«+1）.由此可知，点小1的坐标为（36,36）.

2.D【解析】•.•点8的坐标为（4,0）,.•.03=4,由正方形的性质得。4=4,.•./8=4也,

■:四边形4BEF为菱形，；.AF=AB=4啦，；.F（4也,4）.由题意可知，旋转每8次为一个

循环，164+8=20……4,...第164次旋转结束时，点尸164与点尸关于原点对称，，点尸164

的坐标为（一4也，—4）.

3.C【解析】•.•每一次将△N08绕点。逆时针旋转60。，州=6,.♦.每6次旋转为一个

60°

循环.：2021+6=336……5,...点/2021在射线。4上，易知点4在第四象限，S.ZAOA5

=60°.VO^=1=2°,O^I=2=21,O^2=22,…，。42（m=2202i,.,•点A2021的横坐标为O^202rcos

60°=22。2。，纵坐标为一。4202「5亩60°=—3><22。2。，，点/2021的坐标为（22°2。，-^3x22020）.

4.4044【解析】由题意知Si=3x2—2xl,4=4x3—3x2,53=5x4—4x3,：.Sn=（n+2）（n

+l）-（n+l>=2«+2,.•.当“=2021时，&02i=2x2021+2=4044.

sa

5.（--