湖南省娄底市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

2023年下学期九年级期末质量检测数学

一、选择题（本大题共12道小题，共36分）

1.下列函数是y关于x的反比例函数的是（）

_1X

A.B.y=—C.y=——D.y=-]

Vx+1X2)2x

2.已知±,则下列式子不成立的是（)

》5

53

A.5x=3yB.3x=5yC.­=一D.二

y%x3

3.方程X2=x的根是（）

A.x=0B.x=±lC.\=0,x2=lD,X=1

4.如图，△ABC中，ZC=9O°,AC=2,BC=1,则cosB的值是

B,逆C.好

A.

225

5.关于反比例函数了=-2的图象和性质，下列说法不正确的是（）

X

A.函数图象经过点（-3,2）B.函数图象在第二、四象限

C.比例系数是-6D.当x>0时，了随x的增大而减小

6.一个学习小组有x人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，则

（）

A.L（X-1）=56B.L（X+1）=56C.xG-l）=56D.x（x+l）=56

22

7.在三角形48。中，已知点/（一6,3）,5（-6,-4）,以原点。为位似中心，相似比为：，把

缩小，则点A的对称点A的坐标是（）

A.（-2,1）B.（-8,4）

C.（-8,4）或（8,-4）D,（-2,1）或（2,-1）

8.如图所示（图像在第二象限），若点A在反比例函数了=勺（左片0）的图像上，NMLx轴

X

于点M,A/MO的面积为3,则上的值为（

C.-3D.-6

9.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口/处

立一根垂直于井口的木杆从木杆的顶端8观察井水水岸D,视线8。与井口的直径NC

交于点E,如果测得43=1米,/C=L6米，/£=0.4米，那么CD为（）米.

A.5B.4D.2

10.西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如

图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱4C高为。，已知，冬至时北京的正

午日光入射角/N3C约为26.5。，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即2c的长）约为

冬至线立春春分立夏夏至线

立冬秋分立秋

A.〃sin26.5°B.-----------C.QCOS2650D.-----------

cos26.5°tan26.5°

k

11.如图，直线y=x+2与反比例函y=—的图像在第一象限交于点P.若OP=同,则左的

x

值为（）

A.6B.8C.10D.12

12.如图，已知顶点为（-3,-6）的抛物线经过点（-1,-4）,则下列结论

B.ax2+bx+c>-6

C.若点（-2,m）,（-5,H）在抛物线上，则冽〉〃

D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1

二、填空题（本大题共6道小题，共18分）

13.从1000个零件中任意抽取100个检测，有2个不合格，估计这1000个零件中合格的

零件约有一个.

14.若y=（加+l）x加2f+3%是j；关于x的二次函数，则加=.

15.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着，黄金分割”，如图，P为AB

的黄金分割点（4尸>依），如果N3的长度为8cm,那么/尸的长度为cm.

A

B'

16.如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙长为15m）,另外三边用长为16m的篱笆

围成，则这个苗圃园面积的最大值为

苗圃园

17.定义：在平面直角坐标系中，点M8,y）到直线/：＞=履+6的距离1=任二

00〃2+1

问：点（-2,3））到尸学一；的距离为——■

18.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中少如图所示，贝!]sin

三、解答题（共66分，第19、20题各6分；第21、22题各8分；第23、%题

各9分；第25、26题各10分）

19.计算：4^/3cos30°-^2sin450+2cos60°tan45°.

20.已知关于x的一元二次方程尤2-2x-a=0有实数根.

（1）求m的取值范围；

（2）若两实数根分别为X1和X?,且无：+尤,2=6,求加的值.

21.如图，在矩形48CD中，AB=6,BC=4,E是边上的一点（不与B、C重合）,

DF1AE,垂足为尸.

(1)求证：AABEs^DFA；

(2)若S=—S,求3E的长.

△DFA3LABE

22.人口自然增长率（人口自然增长率=人口出生率-人口死亡率）是反映人口自然增长的

趋势和速度的指标.根据对多年的人口出生率和死亡率的数据进行了整理、描述和分析，形

成了如下统计表和统计图.

20152016201720182019202020212022

指标

年年年年年年年年

人口出生率

11.9913.5712.6410.8610.48.527.526.77

(%0)

人口死亡率

7.077.047.067.087.097.077.187.37

(%0)

2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年

(1)求2022年的人口自然增长率.

(2)从2015年—2022年，年的人口自然增长率最大.

(3)下列推断合理的是.(只填序号)

①2015年—2016年，人口出生率呈上升趋势；2016年—2022年，人口出生率呈下降趋势;

②人口自然增长率从2016年起持续呈下降趋势，是因为人口死亡率持续呈上升趋势；

③优化三孩生育政策有利于应对我国人口减少问题.

23.为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技

设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为

600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销

售单价单位:万元)成一次函数关系.

(1)求年销售量了与销售单价x的函数关系式；

(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年

利润.则该设备的销售单价应是多少万元？

24.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现，在计算tanl5。时，如图1,在

Rt^/CB中，ZC=90°,ZABC=30°,延长C8使2。=48,连接4D,得/D=15。，所以

(1)类比这种方法，求得tan22.5o=；

(2)如图2,锐角N/8C=a,已知tana=加，求证：tan%=如±1二1.

2m

25.如图，一次函数〉=》+1与反比例函数)=勺的图像相交于点4(2,3)和点3.

X

(1)求反比例函数的解析式;

(2)过点B作届二轴于C，求九’;

(3)过点8作轴于C,问：是否在y轴上存在一点。，使得AD+CD的值最小，若存

在，求出。的坐标；若不存在，说明理由.

26.如图，在平面直角坐标系中，点4(1,2),5(5,0),抛物线y=g-2ax(a>0)交x轴正

半轴于点C,连结40,AB.

(1)求点C的坐标和直线AB的表达式;

⑵设抛物线y=办2-2ax(a>0)分别交边R4,8/延长线于点。，E.

①若△CDB与△30/相似，求抛物线表达式;

②若△ONE是等腰三角形，则。的值为(请直接写出答案即可).

参考答案与解析

1.C

【分析】直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案.

【详解】解：A、丫=工是y与x+1成反比例，故此选项不合题意；

B,y=—,是y与X2成反比例，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意；

X2

C、y=-1,符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；

2x

Y

D、y=-£是正比例函数，故此选项不合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题的关键.

2.B

【分析】本题考查比例的性质，利用比例的性质进行计算或变形对各选项逐一判断即可.解

题的关键是掌握比例的基本性质：如果£=三或。:6=c:d,那么ad=be,反之也成立；由

ba

a。八…।,一一，।「dcabdb

W=还可以推出如下比例式：—=一、一=—>一=—.

babacaca

x3

【详解】解：A,v-=1,

y5

;.5x=3y,原式成立，故此选项不符合题意；

cx3

B、v-=-,

歹5

5x=3y,原式不成立，故此选项符合题意；

x3

C、・•一=£，

y5

53

・•・一=-,原式成立，故此选项不符合题意；

y%

.•-2=-,原式成立，故此选项不符合题意.

x3

故选：B.

3.C

【分析】本题考查解一元二次方程，移项后再因式分解即可求得两根.解题的关键是掌握一

元二次方程的常用解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

【详解】解：X2=X,

X2-X=0，

x(x-l)=0,

.•.x=0或x—1=0,

解得：X=0,X=1.

12

故选：C.

4.C

【详解】试题分析：在Rt/kABC中，ZC=9O°,AC=2,BC=1,

由勾股定理，得AB=J/C2+5C2=邪.cosB=——=,

AB5

故选c.

考点：锐角三角函数的定义.

5.D

【分析】本题考查反比例函数的定义及反比例函数图象和性质，依据函数图象上点的坐标特

征判断选项A；依据反比例函数的定义判断选项C；依据反比例函数图象的性质判断选项B

和D作答.解题的关键是掌握反比例函数图象和性质：①当人＞0时，图象分别位于第一、

三象限，在每一个象限内，了随x的增大而减小；②当上＜0时，图象分别位于第二、四象

限，在每一个象限内，了随x的增大而增大.

【详解】解：A.当了=一3时，得y=-二=2,

・•・函数图象经过点(-3,2),原说法正确，故此选项不符合题意；

B.k=-6＜0,

・・・函数图像在第二、四象限，原说法正确，故此选项不符合题意;

c.•.•反比例函数的解析式为了=-2,

X

・•.比例系数是-6,原说法正确，故此选项不符合题意；

D.,左=-6<0,

・•.图像分别位于第二、四象限，在每一个象限内，了随x的增大而增大，

.•.当x>o时，了随x的增大而增大，原说法不正确，故此选项符合题意.

故选：D.

6.C

【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，由这个小组有无人，则每人需送出贺卡

Q-1）张，根据全组共送出贺卡56张，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.找准等

量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

【详解】解：因为这个小组有x人，则每人需送出贺卡6-1）张，

依题意得：x（x-l）=56.

故选：C.

7.D

【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为鼠那么

位似图形对应点的坐标的比等于左或-左，即可求得答案..

【详解】解：•••以原点O为位似中心，相似比为:，把缩小，点/的坐标为（-6,3）,

・•・点/的对称点H的坐标为1-6x；,3xJ或一即（-2,1）或（2,-1）,故D

正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了位似图形与坐标的关系.此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，

如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标比等于土斤.

8.D

【分析】本题考查反比例函数了=勺（左力0）中左的几何意义（即过双曲线上任意一点引x轴、

X

了轴垂线，所得矩形面积为同），过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标

轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即s=；W，据此解答即可.正确理解上的

几何意义是解题的关键.

【详解】解：•.・/“，%轴于点“，A/MO的面积为3,

・弓闷=3,即网=6,

/.左=±6,

又•••图像在二象限，

.,.左<0,

k=—6,

故选：D.

9.C

【分析】由题意知："BE八CDE,得出对应边成比例即可得出CD

【详解】解：由题意知：ABWCD,则®E=NC,Z.B=Z.CDE,

•••"BE~△CDE,

AB_AE

''~CD~~CE9

10.4

，，C5-1.6-O.4,

:・CD=3,

经检验，CZ>3是所列方程的解，

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△45E〜△CDE是解决问题的关键.

10.D

【分析】根据题意和图形，可以用含。的式子表示出8C的长，从而可以解答本题.

【详解】解：由题意可得,

ACa

立柱根部与圭表的冬至线的距离为

tanZABCtan26.5°

故选：D.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解

答.

11.B

【分析】设PQ,X+2）,再利用。尸=同，建立方程，再解方程可得答案.

【详解】解：由题意设尸（无,x+2）,

QOP=V20,

x?+(x+2)2=(函I

整理得：x2+2x-8=0,

\(x+4)G-2)=0,

\x=-4,x=2,

12

•.•尸在第一象限,则尸（2,4）,

\k=xy=2'4=8,

故选B

【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理的应用，掌握“利用勾

股定理求解点P的坐标''是解本题的关键.

12.C

【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断.

【详解】A、图象与x轴有两个交点，方程办2+6x+c=0有两个不相等的实数根，fe-4ac>0

所以上>4℃,故A选项正确；

B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为-6,所以ax2+6x+cN-6,

故B选项正确；

C、抛物线的对称轴为直线x=-3,因为-5离对称轴的距离大于-2离对称轴的距离，所以

m<n,故C选项错误；

D、根据抛物线的对称性可知，（-1,-4）关于对称轴的对称点为（-5,-4）,所以关于

x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1,故D选项正确.

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运

用数形结合是解题的关键.

13.980

【详解】分析：根据100件中进行质检，发现其中有2件不合格，求出合格率，再乘以总产

品即可得出答案.

详解：ROO件中进行质检，发现其中有2件不合格，

...合格率为（100-2）-100=98%,

.•.1000个零件中合格品约为：1000义98%=980个.

故答案为980.

点睛：本题考查了用样本估计总体的知识，和实际生活结合比较紧密，生产中遇到的估算产

量问题，通常采用样本估计总体的方法.

14.2

【分析】该题主要考查了二次函数的定义牢固掌握定义是解题的关键.根据y="2+6x+c

（。是不为。的常数）是二次函数，可得答案.

【详解】解：,.,>=（加+l）xwf+3x是y关于X的二次函数，

ZM2-/«=2且"7+1w0,

解得：m=2.

故答案为：2.

15.4>/5-4

【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线

段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点.根据力尸=史二1/2,

2

即可作答.

【详解】解：・"为48的黄金分割点（/P>尸2）

22

故答案为：4、后一4

16.32

【分析】围，利用二次函数的性质可得最值情况.

【详解】解:设垂直于墙面的长为皿1,则平行于墙面的长为（16-2x）m,由题意可知：

y=x（16-2x）=-2（x-41+32,且x<8,

•・,墙长为15m,

.*.16-2x<15,

0.5<x<8,

・•・当x=4时，>取得最大值，最大值为32；

故答案为：32.

【点睛】此题考查了二次函数的应用以及矩形的性质.解题的关键是根据题意构建二次函数

模型，然后根据二次函数的性质求解即可.

17.4

3

【分析】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，根据题意得出：k=-,

4

二=一2,b=-^,yo=3,进而可得出答案.

31

【详解】解：根据题意得出：k=-,%=-2,b=--y=3,

40290

3X（_2）+］」「3-2-1-3

.♦.点（—2,3））到y=-x--的距离为d=-----.------=-------5------=4，

42/3、2.2

故答案为：4.

18.亚

7

【分析】连接DE,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出Na=30。，同理可得出:

zCDE=zCED=30°=Za,由zAEC=60°结合NAED=Z_AEC+NCED可得出zAED=90°，设等边

三角形的边长为a,则AE=2a,DE=、ga,利用勾股定理可得出AD的长，由三角函数定义

即可得出答案.

【详解】解：连接DE,如图所示：

在AABC中，ZABC=12O°,BA=BC,

.,.Za=30°,

同理得：zCDE=zCED=30°=Za.

又•./AEC=60°,

.­.ZAED=ZAEC+Z.CED=9O°.

设等边三角形的边长为a,则AE=2a,DE=2xsin60o,a=73a>

•••AD=4E2+DE?=J(2“)2+(\3a)2=V7a，

.•.sin(a+|3)=四=华=空.

ADyHa7

故答案为：”.

7

【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐

角等于4a+4P的直角三角形是解题的关键.

19.6

【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而利用二次根式的混合运算法则化简得

出答案.

【详解】解：4>/3cos300-V2sin450+2cos60°tan45°

=4>/3x-y/2x-+2x—xl

222

=6-1+1

=6

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，正确记忆相关数据是

解题关键.

20.(I)m>-1

(2)TW=1

【分析】(1)由一元二次方程有实数根可得△=历-4四=4+4冽N0,解不等式即可；

(2)由X］和％是方程X2-2x-加=0的两个实数根，根据根与系数的关系可得%+%=2，

XjX=-m,又由x/+%2=(XJ4)2-211・％=6,可得方程22+2加=6,求解方程即可.

【详解】(1)解：・.・关于X的一元二次方程X2-2x-加=0有实数根，

-4QC=4+4论0,

解得：m>-1;

(2)解：,.X/和马是方程%2-2%-加=0的两个实数根，

yx+x=2,x/2=一m，

•••X/2+%2=(X/+%)2-21产2=6,

.,.22+2加=6,

解得：m=\.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根

与系数的关系.

21.(1)证明见解析

(2)273

【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，

(1)由矩形性质得进而由平行线的性质得44匹=/。/尸，再根据两角对应相

等的两个三角形相似；

AT—

(2)根据相似三角形的性质可得不=退，继而得到/E=46,再根据勾股定理计算

AD

BE=<AE2—AB2即可；

掌握矩形的性质与相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【详解】(1)证明：•・•四边形是矩形，48=6,5C=4,

/.D5=90o,AD//BC,AD=BC=4,

・•.AAEB=NDAF,

-DFLAE,

.-.ZDK4=90°,

・•./B=ZDFA,

•••AABEs£\DFA；

(2)vAABE^ADFA,S=-S,

ADFA3XABE

AEVS

---1-M4B日=3,

ADS

△DFA

4E_/rAE_r-

近=8或而(负数不符合题意，舍去),

・•・AEmAD=4B

・•.BE=ylAE2-AB2

・・・5E的长为2jJ.

22.(l)-0.6%o

(2)2016；

⑶①③

【分析】本题考查了统计表，掌握统计表意义是解题的关键.

(1)根据人口自然增长率=人口出生率-人口死亡率，解答即可.

(2)根据统计表和统计图解答即可.

(3)根据统计表和统计图解答即可.

【详解】(1)解:6.77%。-7.37%。=-0.6%。.

答：2022年的人口自然增长率是-0.6%。.

(2)根据统计表和统计可以看出2016人口出生率最大，人口死亡率最低，

所以2016年的人口自然增长率最大，

故答案为：2016；

(3)2015年-2016年，人口出生率呈上升趋势2016年—2022年，人口出生率呈下降趋势,

故①合理；

人口自然增长率从2016年起人口出生率是持续呈下降趋势，故②不合理；

由于人口出生率下降，所以优化三孩生育政策有利于应对我国人口减少问题.

故选：①③.

23.(1)y=-10x+1000；(2)该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价

应是50万元.

【分析】(1)根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系

式；

(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x-30)万元，销售数量为

(-lOx+1000)台，根据总利润=单台利润x销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解

之取其小于70的值即可得出结论.

【详解】(1)设年销售量V与销售单价x的函数关系式为>=依+6(厚0),

40左+6=600

将(40,600)、(45,550)代入y=fcv+6,得:

45k+b=550

*=-10

解得:

6=1000

•••年销售量V与销售单价X的函数关系式为y=-10X+1000.

(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x-30)万元，销售数量为

(-10x+1000)台，

根据题意得：(x-30)(-lOx+lOOO)=10000,

整理，得：x2-130x+4000=0,

解得：X7=50,x2=80.

•••此设备的销售单价不得高于70万元，

二无=50.

答：该设备的销售单价应是50万元/台.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是:

(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元

二次方程.

24.(1)72-1

(2)见解析

【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题

的关键.

(1)作Rt4/BC,使NC=9(F,N48C=45。，延长C2到。，使连接设

4C=x,则8C=x,AB=8,求出CD=《+&)x,即可求解；

(2)延长使连接4D,得40=%，设BC=1,由tana=仅得到/C=加，

2

/8=而有，CD=y'嬴工T+1,根据正切的定义代入化简即可证明.

【详解】(1)解：作RtA43C,使NC=90。，乙48c=45。，延长C3到。，使BD=AB,

连接力。，

tan22.5。=tanND=备

=y/2—1

故答案为：＞/2-1;

⑵证明：延长磁使助=/凡连接私得N。戒,

设3c=1,

•「tana=m,

/.AC=m,AB=J加2+1,

CD=J加2+1+1

6

25.⑴y=_

x

(2)5

(3)存在，。(0,-1)

【分析】(1)根据反比例函数了=勺的图像过点“(2,3),可求出发的值，进而确定反比例函

X

数关系式；

(2)求出点8的坐标，得出点c的坐标，根据三角形面积计算公式进行计算即可；

(3)作c关于7轴的对称点C',连接3C交y轴于点。，连接C。，此时8O+CO最小，

求出直线BC'的解析式进而得出与〉轴的交点坐标即可.

【详解】(1)解：•反比例函数尸勺过点工(2,3),

X

y=2x3=6,

・••反比例函数的关系式为y=&；

X

(2)•・,一次函数》=%+1与反比例函数歹=9的图像相交于点力(2,3)和点5,

x

y=x+l

<6,

歹二一

Ix

[x=-3[x=2

解得：1。，2

也=-20=3

二.8(-3,-2),

又「BCLx轴，

•••点C(-3,0),

设、分别为点、的横坐标，、分别为点、的纵坐标,

XAXCACBTCVBC

S=—(jv—y)G—x)=--To—(―2)ir2—(―3)-|=5,

LJL

AABC2CBAC2」

即S=5；

aABC

(3)存在，理由为：

如图，作c关于了轴的对称点c,连接3c‘交了轴于点。，连接c。，

CD=Ct),

BD+CD=BD+CD=BC,此时8D+CD最小，

••­C(-3,0),

.•C(3,0),

设直线8。的解析式为9=s+”,过点8(T-2),C(3,0),

f-3m+n=-2

・13/+〃=0'

ri

m=—

解得3,

n=-l

・•・一次函数的解析式为y=；x-l,

当x=0时，得：y=-l,

.-.£>(0,-1).

【