5.2.1三角函数的概念课件高一上学期数学人教A版

第五章三角函数三角函数的概念人教A版

数学必修第一册课程标准1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.3.能利用三角函数的定义,理解正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.4.通过对任意角三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.基础落实·必备知识一遍过知识点1

三角函数的概念1.概念

前提如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与

相交于点P(x,y)

定义正弦函数把

叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα函数值y是角α的终边与所在单位圆交点的纵坐标

余弦函数把

叫做α的余弦函数,记作cosα,即

正切函数把

叫做α的正切,记作tanα,即

=tanα(x≠0)

三角函数我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数单位圆

点P的纵坐标y点P的横坐标xx=cosα2.三角函数的解析式和定义域如下表所示

类型解析式定义域正弦函数y=sinx

余弦函数y=cosx

正切函数y=tanx

即角x的终边不能在y轴上

RR思考辨析通过阅读课本179页例2,你认为三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关?提示

三角函数值是比值,它的大小与点P在角α终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.自主诊断

B2.[北师大版教材习题]已知角β的终边经过点M(-3,-1),则sinβ=

,cosβ=

.

知识点2

三角函数值的符号sinα,cosα,tanα在各象限的符号如下:记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”名师点睛正弦函数值的符号取决于角α终边上一点P(x,y)的纵坐标y的符号,点P在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于点P横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于点P横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.思考辨析终边在x轴的正半轴上的角的余弦大于0还是小于0?提示

大于0.因为x轴的正半轴上的点的横坐标都大于0,所以其余弦值大于0.自主诊断1.已知α是第二象限角,则点P(cosα,tanα)在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限C解析

因为α是第二象限角,所以cos

α<0,tan

α<0,所以P(cos

α,tan

α)在第三象限.故选C.2.[北师大版教材习题]在单位圆中,确定下列三角函数值的符号.

知识点3

诱导公式一1.语言表示:终边相同的角的

三角函数的值相等.

2.式子表示:(1)sin(α+k·2π)=

,

(2)cos(α+k·2π)=

,

(3)tan(α+k·2π)=

,其中k∈Z.

思考辨析设角α的终边在x轴正半轴上,则cosα等于多少?同一

sinαcosαtanα提示

因为此时角α与单位圆的交点坐标为(1,0),所以cos

α=1.

自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(

)(2)若两个角α,β的正弦值相等,那么α=β.(

)√×2重难探究·能力素养速提升探究点一利用三角函数的定义求三角函数值【例1-1】

求解下列各题:(1)若角α的终边与单位圆的交点是P(x<0),则sinα=

,cosα=

,tanα=

;

【例1-2】

已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cosα-sinα=

.

解析

∵角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,设终边上一点P(x,y),|OP|=r≠0(O为坐标原点).不妨令x=-3,则y=-4,变式探究在本例中将“射线4x-3y=0(x≤0)”改为“直线4x-3y=0(x≠0)”.规律方法利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的几种情况(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上的点,则sin

α=y,cos

α=x,(3)若已知角α终边上一点P(x,y)(不与原点重合)不是单位圆上一点,则先求

(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.

变式训练1(1)已知角α的终边经过点

,则sinα=

,cosα=

,tanα=

;

探究点二三角函数值符号的运用【例2】

(1)若sinαtanα<0,且

<0,则角α是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α异号,从而α为第二或第三象限角.由

<0可知cos

α,tan

α异号,从而α为第三或第四象限角.综上可知,α为第三象限角.故选C.(2)[人教B版教材例题]确定下列各值的符号:规律方法判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限;(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.变式训练2(1)[2024辽宁高一期中]已知P(sin1,cos2),则点P所在象限为(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限D解析

因为1是第一象限角,2是第二象限角,所以sin

1>0,cos

2<0,所以点P所在象限为第四象限.故选D.(2)判断下列各式的符号:①sin105°cos230°;解

∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0,∴sin

105°cos

230°<0.探究点三诱导公式一的应用【例3】

求下列各式的值:(1)sin(-1380°)+cos390°+tan(-300°);规律方法诱导公式一的应用策略(1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π范围内的角的三角函数值,以便实现把角大化小,负化正.变式训练3求下列三角函数值:学以致用·随堂检测促达标12345B123452.若角α的终边过点(5,12),则cosα-sinα=(

)C123453.(多选题)若sinθcosθ>0,则θ是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角AC解析

因为sin

θcos

θ>0,所以sin

θ<0,cos

θ<0或