1.2.1等差数列及其通项公式（第1课时）课件高二上学期数学选择性

等差数列及其通项公式第1课时等差数列的概念及通项公式第1章数列湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.理解等差数列、等差中项的概念;2.掌握等差数列的通项公式,能运用公式解决相关问题;3.掌握等差数列的判定与证明方法.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

基础落实·必备知识一遍过知识点1等差数列一般地,如果一个数列从

起,每一项与它的前一项之差都等于

,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的

,公差通常用字母

表示.

顺序不能颠倒

第2项

同一个常数

公差

d名师点睛1.定义中的“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相对应;2.定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求说明作差的两项必须相邻;3.等差数列的公差的取值范围是全体实数;4.常数列是公差为0的等差数列.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列的公差是相邻两项的差.(

)(2)若两个等差数列的首项相同,公差也相同,则两个数列完全相同.(

)2.定义中的“同一个常数”能改为“一个常数”吗?××提示

不能.知识点2等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则an=

是数列的通项公式.

名师点睛等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d,n的关系式,所以由首项a1和公差d可以求数列的任意一项.a1+(n-1)d过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.(

)(2)由等差数列的通项公式可知,已知an,a1,d,n中的三个可求另一个.(

)2.如何利用符号语言描述数列{an}是等差数列?√√提示

an+1-an=d(d为常数,n∈N+).3.若等差数列的首项为a1,公差d=0,则数列的通项公式有何特征?提示an=a1.知识点3等差中项在两个数a,b之间插入数M,使a,M,b成等差数列,则M称为a与b的等差中项.名师点睛1.若M为a与b的等差中项,则M=.2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项唯一.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.(

)(2)若{an}是一个有穷的等差数列,则数列中的任何一项都是其相邻两项的等差中项.(

)2.如果在数列{an}中,an是an-1和an+1的等差中项(n≥2),那么数列{an}是等差数列吗?为什么?√×提示

是.因为an是an-1和an+1的等差中项(n≥2),所以an-1,an,an+1成等差数列,故an-an-1=an+1-an(n≥2),由等差数列的定义知数列{an}是等差数列.重难探究·能力素养速提升探究点一等差数列的通项公式及其应用【例1】

(1)已知数列{an}是首项为0,公差为4的等差数列,若an=2024,则n=(

)A.504 B.505C.506 D.507D解析

根据题意,数列{an}是首项a1=0,公差d=4的等差数列,则an=a1+(n-1)d=4n-4,若an=2

024,则有4n-4=2

024,解得n=507.(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是(

)A.第13项 B.第14项C.第15项 D.第16项C解析

首项a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.解不等式43-3n<0,得n>.因为n∈N+,所以n≥15,即第一个负数项是第15项.(3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为

.

an=5n-3规律方法

等差数列通项公式的应用方法与技巧等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果已知其中的任意三个,那么就可以由通项公式求出第四个,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.变式训练1判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…中的项.如果是,指明是第几项;如果不是,试说明理由.解

记该等差数列为{an},公差为d,由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.由题意,令-401=-4n-1,得n=100,即-401是这个数列的第100项.探究点二等差中项及其应用【例2】

若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2024项.分析

先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入n=2

024求解.规律方法

等差中项的应用策略(1)求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得A=.(2)证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.变式训练2(1)等差数列1,2a,4a2,…的第5项等于(

)A. B.1

C.5

D.16B解析

因为1,2a,4a2,…成等差数列,所以4a=1+4a2,解得a=,所以这个等差数列的每一项均为1.故选B.(2)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为

.

3解析

由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得m+n=6.所以m和n的等差中项为

=3.探究点三等差数列定义的应用角度1应用等差数列的定义解题

D规律方法

等差数列定义的应用方法求解数列问题时,若已知条件中隐含等差数列的定义形式,则可以转化为等差数列问题求解.变式训练3在数列{an}中,a1=2,a2=1,(n≥2),则其通项公式为an=

.

角度2等差数列的证明

(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.分析

(1)根据已知条件,先用an表示bn,用an+1表示bn+1,然后证明bn+1-bn为常数;(2)结合{bn}是等差数列及an与bn的关系求{an}的通项公式.规律方法

用定义法判定数列{an}是等差数列的基本步骤:(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.变式训练4在数列{an}中,a1=3,且满足an+1=an+2n+2,bn=an-n2(n∈N+),求证:数列{bn}是等差数列,并求{bn}的通项公式.证明因为an+1=an+2n+2,所以an+1-(n+1)2=an-n2+1,故bn+1-bn=1.所以数列{bn}是等差数列,且公差为1,而b1=a1-1=2,故bn=2+(n-1)=n+1.本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列的概念、通项公式;(2)等差中项.2.方法归纳:定义法判断等差数列、累加法推导数列的通项公式、方程(组)求解等差数列的基本量.3.注意事项:等差数列的概念强调从第2项起,“每一项与前一项的差”为“同一个常数”,证明等差数列主要是证明an-an-1(n≥2)的值是一个常数.学以致用·随堂检测促达标A级必备知识基础练12345678910111213141.在等差数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(

)A.6 B.8

C.16

D.32B解析

因为在等差数列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,则a4=a1+3d=2+3×2=8,故选B.12345678910111213142.[2024甘肃临夏高二期中]已知数列{an}是等差数列,a3=2,公差d=,则其首项a1=(

)A.3 B.4C.5 D.6A解析

∵a3=a1+2d=2,公差d=,则a1=a3-2d=2+1=3.故选A.12345678910111213143.在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,则a10=(

)A.25 B.28

C.31

D.34B解析

因为在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,所以2a1+10d=32,a1+d=4,解得a1=1,d=3,所以a10=a1+9d=28,故选B.12345678910111213144.若等差数列{an}的公差d=2,a8∶a7=7∶8,则a1=(

)A.-15 B.-28 C.15

D.28B解析

设a8=7k,a7=8k,k∈R,则a8-a7=7k-8k=-k=2,则k=-2.即a7=-16,故a1=a7-6d=-16-12=-28,故选B.1234567891011121314B12345678910111213146.(多选题)已知数列{an}为等差数列,则下列说法正确的是(

)A.数列{an+b}(b为常数)是等差数列B.数列{-an}是等差数列C.数列{}是等差数列D.an+1是an与an+2的等差中项ABD1234567891011121314解析

记数列{an}的公差为d,则an+1-an=d.(an+1+b)-(an+b)=d,故A正确;(-an+1)-(-an)=-(an+1-an)=-d,所以数列{-an}是等差数列,故B正确;根据等差数列的定义可知2an+1=an+an+2,所以an+1是an与an+2的等差中项,故D正确.故选ABD.12345678910111213147.已知等差数列{an}的前3项依次是-1,a-1,1,则a=

,通项公式an=

.

1n-2解析

因为-1,a-1,1构成等差数列,所以2(a-1)=-1+1=0,解得a=1.因为a1=-1,d=1,所以an=n-2.12345678910111213148.若a≠b,则等差数列a,x1,x2,b的公差是(

)B级关键能力提升练C解析

由等差数列的通项公式,得b=a+(4-1)d,所以d=.12345678910111213149.在数列{an}中,a1=-1,a3=3,an+2=2an+1-an(n∈N+),则a10=(

)A.10 B.17

C.21

D.35B解析

∵an+2=2an+1-an(n∈N+),∴an+2+an=2an+1,即数列{an}是等差数列.设{an}的公差为d,∵a1=-1,a3=3,∴a3=a1+2d,即3=-1+2d,得d=2.则an=-1+(n-1)×2=2n-3,故a10=2×10-3=17.123456789101112131410.[2024甘肃白银高二期中](多选题)若各项均为正数的数列{an}是等差数列,且a2=5,则(

)A.当a3=7时,a7=15B.a4的取值范围是[5,15)C.当a7为整数时,a7的最大值为29D.公差d的取值范围是(0,5)ABC解析

当a2=5,a3=7时,公差d=2,a7=a3+4d=7+8=15,故A正确;因为{an}各项均为正数,所以a1=5-d>0,即d<5,且d≥0,所以公差d的取值范围是[0,5),故D错误;因为a4=5+2d,所以a4的取值范围是[5,15),故B正确;a7=5+5d∈[5,30),当a7为整数时,a7的最大值为29,故C正确.故选ABC.1234567891011121314123456789101112131412.[2024甘肃陇南高二期末]已知数列{log2(an-1)}(n∈N+)为等差数列,且a1=3,a3=9,则数列{an}的通项公式为

.

an=2n+1解析

设等差数列{log2(a