四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题（解析版）

2025届高三开学摸底联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】由题易得．故选:B．2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的模长公式求解即可.详解】由题知，所以．故选:D．3.抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可得出答案.【详解】因为抛物线的标准方程为：，焦点在轴正半轴上，且，所以焦点坐标为，故选:B.4.双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过双曲线的几何量，结合离心率直接求解即可．【详解】由，得，所以，即双曲线的离心率．故选：B．5.将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：，则2025在第（）组．A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的前项和公式计算即可．【详解】由题意可设前组里含有的正整数的个数为，则，由于，，故2025在第11组．故选：C．6.在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意由结合余弦定理可得，从而求得，再利用等面积法即可求解.【详解】由可知，，所以，所以．在中，由等面积法得，即，即，解得，故正确.故选:A.7.已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意先求出外接圆半径，再求出中点到外接圆圆心的距离，从而可求解.【详解】设球的半径为外接圆圆心为，半径为的边长为．因为是面积为的等边三角形，所以，解得，所以，所以，解得，则，则球的表面积为，故正确.故选：B.8.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】根据三角恒等变换可得，即可根据平移得，利用整体法，结合三角函数的性质可将问题转化为的根，即可求解.【详解】故，因为当时，由于，所以在上的值域为，所以解得，即的零点即为的根，则或，即或，所以函数在上的零点有，共8个．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（）A.2 B.0 C. D.【答案】CD【解析】【分析】进行参变分离，设，判断函数的单调性，求出最值即可求出的取值范围，即可求解．【详解】因为命题“”为真命题，所以．令，根据增函数减去减函数知：为增函数，当时，有最小值，故实数的取值范围为．故选：CD．10.已知随机变量，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据正态分布的概念，识别期望与方差，利用期望和方差的性质计算，利用正太分布的图象及正态分布的对称性来求解即可．【详解】由随机变量，得，，，，故A正确；，故B正确；，故C错误；两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确．故选：ABD．11.若定义在R上的偶函数y=fx，对任意两个不相等的实数，都有，则称y=fx为“函数”．下列函数为“函数”的是（A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可得“函数”的条件为：fx在上单调递减，在上单调递增，且fx为偶函数，对各项进行分析，从而可求解.【详解】根据题意，对任意两个不相等的实数，都有，变形可得，即．若，则，可得，即fx1>fx所以fx在上单调递增．对A：定义域为，且，则fx为偶函数，根据二次函数性质可得fx在上单调递减，在上单调递增，符合题意，故正确；对：定义域为，且，则fx为偶函数，函数，在上单调递增，在上单调递减，函数为增函数，根据复合函数定义可知函数上单调递增，在上单调递减，故不符合题意，故错误；对C：，定义域为，且，则fx为偶函数，且，则fx在上单调递减，在上单调递增，故符合题意，故正确；对D：，定义域为，且满足，则fx为偶函数，当x>0时，，由为减函数，为增函数，则在上单调递减，同理可得fx在上单调递增，故符合题意，故正确.故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，含的项的系数为____________．【答案】【解析】【分析】根据二项展开式可得，从而可求解.【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为，令，可得，所以，故含的项的系数为80.故答案：80.13.已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】根据题意可得在上单调递增，则得f'1<0f'2【详解】由题意可得fx在时有最小值，即在1,2上有极小值即可，因为在上单调递增，所以只需f'1即m+2<0,4+e这时存在x0∈1,2，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是．故答案为：.14.如图，已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】由平面向量的线性运算和数量积运算可得，结合的取值范围，计算即可．【详解】如图，为圆心，连接，则．因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以，则，即的取值范围是，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．在对某品牌10个子工厂投资及利润的统计后，得到如下表格，分别表示第个子工厂的投资（单位：万元）和纯利润（单位：万元）．投入万元32313336373839434546纯利润万元25303437394142444850（1）依据表中的统计数据，请判断投资与纯利润是否具有较强的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较强．计算时精确度为0.01）（2）求关于的经验回归方程（精确到0.01）．参考数据：，．参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．【答案】（1）是（2）【解析】【分析】（1）根据题中给出的数据，，代入相关系数公式即可求解；（2）根据题中数据求出，然后求出，从而可求解.【小问1详解】依题意知，，所以相关系数，所以与之间具有较强的线性相关关系.【小问2详解】依题意知，又因为，所以，所以，所以关于的经验回归方程为.16.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的关系，作差可得为等比数列，即可由等比通项求解，（2）利用错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解.【小问1详解】当时，，即，当时，①，②，①-②得，即，所以．因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列．则，即．小问2详解】由（1）得，，所以，，故，所以．17.如图，在三棱柱中，平面．（1）求证：平面；（2）设点满足，若平面与平面的夹角为，求实数．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据题意由线面垂直求出，再利用线面垂直即可求解；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用空间向量法求出面面夹角，从而可求解.【小问1详解】证明：平面平面，．又，且平面，平面．平面．又平面，平面．【小问2详解】由（1）知四边形为正方形，即，且有，以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．，．设平面的一个法向量为，由得：，取．由（1）知平面平面的一个法向量为，，解得.所以.18.已知函数，当时，．（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性；（3）设，证明：对任意两个不等实数，不等式恒成立．【答案】（1）1（2）在上单调递增（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数的单调性，即可根据求解，（2）求导，根据导数的符号即可求解，（3）对式子变形后构造函数，即可求导，根据单调性求解最值求解.【小问1详解】由均在单调递增知在上单调递增，由当时，，可知，即．【小问2详解】由（1）知，的定义域为，．令，所以，所以在上单调递增．【小问3详解】．不妨设，则要证明，只需证明，即，即证．设，则只需证明，化简得．设，则在上恒成立，在上单调递增，当时，，即，得证．【点睛】方法点睛：1.导函数中常用两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19.定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；（3）设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．【答案】（1）（2）证明见解析，点的坐标为（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的焦点坐标、点在椭圆上以及，，的关系列出等式即可求出椭圆的标准方程；（2）设，根据“共轭点对”得到直线方程为，再联立方程求解；（2）将直线的方程与椭圆方程联立，求出，的坐标，设点，，，，利用点差法得到，设过点且与直线平行的直线的方程为，求出直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，进而证明四边形面积小于．【小问1详解】由题，椭圆的另一焦点为F21,0因此，所以，所以椭圆的标准方程为．【小问2详解】设“共轭点对”中点的坐标为Bx,y根据“共轭点对”定义：点的坐标满足所以或于是有两个点满足，且点的坐标为．【小问3详解】设．设所在直线为，则的方程为．设点，则两式相减得．又，于是，则，所以线段的中点在直线上．所以线段被直线平分．设点到直线的距离为，则四边形的面积．又，则有．设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，取得最大值．由消去得令，解得．当时，方程为，即，解得，则此时点或点必有一个和点重合，不符