小升初典型奥数：牛吃草问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册

牛吃草问题牛吃草问题【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年8月编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年8月目录导航资料说明第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。第一部分第一部分知识精讲知识清单方法技巧知识清单方法技巧【知识点归纳】牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量﹣﹣每天（每周）新长出的草的数量．基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量．基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量．基本公式：生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）；原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量；牛吃草问题常用到四个基本公式：牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数﹣吃的较少天数）；（2）原有草量＝牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数；（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）；（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度．这四个公式是解决消长问题的基础．由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式．这类问题的基本数量关系是：1、（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草量．2、牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草．第二部分第二部分典型例题例题1：有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3亩、10亩和24亩，12头牛4星期吃完第一片牧场的草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？【答案】36头【分析】吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.为了计算简便，不妨假定牧场面积用3亩作“单位”来计算，注意10=3×3，21=7×3，因此题目中第二个条件，可以改变为7头牛9星期吃完3亩草地上原有草和新长出来的草．【详解】对3亩草地来说，原有草+4星期新长的草=12×4.原有草+9星期新长的草=7×9.由此可得出，每星期新长的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3.那么原有草是7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是（36+3×18）×（24÷3）=90×7.2这些草能让90×7.2÷18=36（头）牛吃18个星期.答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.例题2：牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？【答案】12天【详解】根据题意，设每头牛每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供21头牛吃的天数．解：设每头牛每天吃“1”份草．每天新生草量为：（23×9-27×6）÷（9-6）=（207-162）÷3=45÷3=15（份）原有草量为：27×6-15×6=72（份）21头牛吃的天数：72÷（21-15）=72÷6=12（天）答：这片牧草可供21头牛吃12天．例题3：一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量．如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天．这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？【答案】36天【分析】这道题我们要借助三元一次方程的思想，最终的目的还是要转化为单一动物．【详解】设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析牛和羊

45天45天牛和羊吃草量＝原有草量＋45天新长草量（1）牛和鹅

60天60天牛和鹅吃草量＝原有草量＋60天新长草量（2）鹅和羊（相当于1牛）90天90天牛（鹅和羊）吃草量＝原有草量＋90天新长草量（3）由（1）×2－（3）可得：90天羊吃草量＝原有草量羊每天吃草量＝原有草量÷90；由（3）分析知道：90天鹅吃草量＝90天新长草量，鹅每天吃草量＝每天新长草量；将分析的结果带入（2）得：原有草量＝60，带入（3）得90天羊吃草量＝60

羊每天吃草量＝2这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃：60÷（1＋23例题4：120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？【答案】360头【详解】设1头牛1天吃1份牧草．120头牛28天吃掉120×28＝3360份，说明每公顷牧场28天提供3360÷10＝336份牧草；210头牛63天吃掉210×63＝13230份，说明每公顷牧场63天提供13230÷30＝441份牧草；每公顷牧场63－28＝35天多提供441－336＝105份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为105÷35＝3份，原有草量为336－28×3＝252份．如果是72公顷的牧场，原有草量为252×72＝18144份，每天新长出3×72＝216份，126天共计提供牧草18144＋126×216＝45360份，可供45360÷126＝360头牛吃126天．例题5：两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．那么，井深多少米？【答案】15米【分析】一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，白天爬；20×5=100（分米）；另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底，白天爬：15×6=90（分米）．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．说明，每夜下滑：100﹣90=10（分米）．那么井深就是：（10+20）×5=150（分米）=15（米），或：（15+10）×6=150（分米）=15（米）．【详解】（20×5﹣15×6+20）×5，=30×5，=150（分米）=15（米）．答：井深15米．第三部分第三部分高频真题1．一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽．如果有牛21头，几天能把草吃尽？2．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入一些水，如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完．现在要想在2小时内淘完，需要多少人？3．一水库原有存水量一定，河水每天入库．5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？4．有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完？5．一个小水库的存水量一定，河流均匀流入库内．5台抽水机10天可以把水抽干；6台抽水机8天可以把水抽干．若要4天抽干，需要同样的抽水机多少台？6．一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完．问没有卖掉4头牛之前，这一群牛共有多少头？7．有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？8．春天养殖厂在2004年的夏天严重缺水，需要从离养殖厂2000米处的河里抽水，如果用3台抽水机抽6天水量刚好充足；如果用4台抽水机抽4天水量刚好充足，那么要在2天内把水量抽足，需要多少台抽水机？（途中每天水蒸发量相等）9．某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加．为了防洪，需开闸泄洪．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线．现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？10．建筑工地开工前已经运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖。如果派36个工人砌墙，24天可以把砖用完；如果派40个工人砌墙，20天可以把砖用完。现派工人若干名，砌8天后，有5名工人参加表彰大会，其余工人又工作两天，才把场上的砖用完，问原来派多少名工人？11．某足球赛检票前几分钟就有观众排队，每分钟来的观众人数一样多，从开始检票到等候入场的队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口需30分钟。如果要使队伍25分钟消失，需要同时开几个入场口？12．一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当与4只羊的吃草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？13．有一片牧场，草每天都在均匀的生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完．那么：（1）要让草永远吃不完，最多放养多少头牛；（2）如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？14．一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完。假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完？15．假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上资源可供137.5亿人生活112.5年，或可供112.5亿人生活262.5年，为使人类能不断繁衍，那么地球上最多能养活多少亿人？16．某牧场的牧草匀速生长，已知27头牛6天可以吃完牧草，23头牛9天可以吃完牧草。一群牛12天吃完这片牧草，这群牛有多少头？17．星星家有一片草场，原有一些草，草场每天长出的草一样多，如果用来养12匹马可以吃12天，如果用来养6匹马可以吃30天，如果养8匹马，可以吃多少天？18．有一个蓄水池装了根相同的水管，其中一根是进水管，其余根是出水管。开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水。后来，想打开出水管，使池内的水全部排光。如果同时打开根出水管，则小时可排尽池内的水；如果仅打开根出水管，则需小时才能排尽池内的水。若要在小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？19．科技馆9点营业，每分钟来的人数相同．如果开5个窗口，则9点5分可无人排队；如果开3个窗口，则9点9分可没有人，求8点几分第一个游客到？20．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？21．由于天气逐渐寒冷，牧场的草不仅不生长反而以固定的速度在减少．已知某块草地的草可供20头牛吃5天，可供15头牛吃6天，照这样计算，可以供几头牛吃10天？22．一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天？23．把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃80天？24．一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干．那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？25．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完．如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？26．2022年2月4日是北京冬奥会开幕的日子，很多观众在检票之前就已经排队等候。设每分钟来的观众一样多，从开始检票到等候检票的队伍全部入园，若同时开8个检票口需60分钟；同时开10个检票口需30分钟，为了使15分钟内检票队伍全部入园，至少需要开多少个检票口？27．4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？（每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等）28．一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？29．有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？30．一个牧场上的青草每天都匀速生长．这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完．这群牛原来有多少头？31．有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完．这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？32．一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？33．因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少．已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？34．一片青草地，每天都匀速长出青草，如果这片草地可供24头牛吃6天或20头牛吃10天．那么这片草地可供19头牛吃几天？35．整片牧场上的草长得一样密，一样地快．已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天．如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？36．两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜．问井深是多少？37．牧场上长满了牧草，可供27头牛吃一周，或可供23头牛吃9周，如果牧草每周匀速生长，问原来的草量可供几头牛吃1周？38．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？39．甲、乙、丙三车同时从地出发到地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度．40．东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？41．画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．42．日立造纸厂有一水池，装有一根进水管和若干根同样粗细的出水管。先打开进水管，水均匀的流入池中，当水注满全池的时，若同时打开6根出水管15分钟，可将池内的水放干，若同时打开7根出水管12分钟可将池内的水放干，若所有的出水管都同时打开，10分钟就可将池内的水放干，那么这个水池装有多少根出水管？43．8头牛和3只羊每天共吃青草136千克，2头牛和2只羊每天共吃青草44千克，李大爷养了6头牛和1只羊每天要准备多少千克的青草？参考答案：1．12天【分析】摘录条件：27头

6天

原有草+6天生长草23头

9天

原有草+9天生长草21头

？天

原有草+？天生长草解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化．设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45．为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？【详解】第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207每天生长草量45÷3=15原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=7221头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）2．17人【详解】设每人每小时淘水1份，根据“如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完．”可以求出每小时漏水的份数，列式是：（5×10-5×8）÷（10-5）=2（份）；进而可以求出原来水的份数：8×5-2×5=30（份）；现在要想在2小时内淘完，需要的人数为：（30+2×2）÷2=17（人）．解：设每人每小时淘水1份．（1×10－5×8）÷（10－5）=10÷5=2（份）（30＋2×2）÷2=34÷2=17（人）答：现在要想在2小时内淘完，需要17人．3．12台【详解】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).原有的水可供多少台抽水机抽1天？(台).若6天抽完，共需抽水机多少台？(台).4．10天【详解】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。5．11台【分析】设一台抽水机一天抽水量为1份，则5台抽水机10天抽的水量为5×10=50（份）；6台抽水机8天抽的水量为6×8=48（份）从图上可以看出，5台抽水机10天抽水量与6台抽水机8天抽水量的差恰好是10－8=2（天）河水流入的量．【详解】解：河水每天流入水库的水量为：（5×10－6×8）÷（10－8）=1(份)水库原有水量为：5×10－1×10=40（份）4天抽干水库需要的抽水机台数：（40+1×4）÷4=11（台）答：若要4天抽干，需要同样的抽水机11台．6．没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头【详解】解：设每头牛每天吃的草量为单位1，由“17头牛30天可将草吃完”，得知总草量为：17×30＝510（1）再由“19头牛24天可将草吃完”，求得总草量为19×24=456（2）因为总草量（1）与总草量（2）的差510-456＝54（单位1）所以总草量（1）比总草量（2）多长的时间为30一24=6（天）牧场草每天生长的草量为54÷6=9由此可知：牧场原有的草量为510-9×30＝240或者456－9×24＝240由于牧场的草共生长的时间为6+2=8（天）所以牧场生长的草量为9×8=72（单位1）进而可知牧场在8天内的总草量为240+72=312（单位1）假设没有卖牛，即让卖掉的4头牛也吃了8天，算得总草量为312+4×2＝320（单位1）因此，这群牛的头数为320+8＝40（头）答：没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头．7．44头【分析】这道题中两块草地的面积不同，但是没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。我们可以把两块草地转化为一块草地来计算。【详解】30×12＝360（份）20×3×4＝240（份）（360－240）÷（12－4）＝120÷8＝15（份）360－12×15＝360－180＝180（份）（180＋180÷3）÷10＋（15＋15÷3）＝（180＋60）÷10＋（15＋5）＝240÷10＋20＝24＋20＝44（头）答：44头牛10天能同时吃完两块草地上的草。【点睛】面积有倍数关系和动物的食量有倍数关系本质上是相同的，我们都要把它们转化为单一的面积或动物后再进行计算。8．7台【分析】根据已知条件“用3台同样的抽水机抽6天水量刚好充足，用4台这样的抽水机抽4天水量刚好充足”可求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量，然后求出问题的解。【详解】解：设每台抽水机每天的抽水量为1份。每天的蒸发量：（3×6-4×4）÷（6-4）=（18-16）÷2=2÷2=1（份）养殖厂需要的水量：3×6-1×6=12（份）2天内把水抽干需要抽水机的台数：（12+2×1）÷2=（12+2）÷2=14÷2=7（台）答：要在2天内把水量抽足，需要7台抽水机。【点睛】求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量，是解答本题的关键。9．4个【详解】设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份．（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）10．65名【分析】砖的总数量可以分为工地上原有的砖和新运进的砖两部分，工地上原有的砖是不变的，新运进的砖虽然在变化，但因为是匀速变化，所以工地上每天新运进的砖的数量是相同的，即每天新运进的砖的数量是不变的。可求出每天新运进的砖的数量，再求出工地上原有的砖的数量，最后求出问题。【详解】解：假设每人每天砌砖的块数为单位“1”。每天运进砖的数量是：（36×24-40×20）÷（24-20）=（864-800）÷4=16（份）原有砖的数量：40×20-16×20=480（份）(3)原来派的工人数：[480+16×（8+2）+5×2]÷（8+2）=[480+16×10+5×2]÷（8+2）=[480+160+10]÷10=650÷10=65（名）答：原来派65名工人砌墙。【点睛】求出每天新运进的砖的数量和工地上原有的砖的数量是解答本题的关键。11．7个【分析】设每个入场口每分钟进1份人，根据两种情况求出原有的人数和每分钟来的人数，然后考虑队伍25分钟消失需要开几个口。【详解】=1（人/分钟）（人）=7（个）答：需要同时开7个入场口。【点睛】本题实质上考查的是牛吃草问题，这里人相当于是草，入场口相当于是牛。12．10天【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。求出每天新长出草的量。再将某一组的用草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。解题时把羊转化成牛或把牛转化成羊。【详解】先把120只羊和32只羊转换成牛：120÷4=30（头）32÷4=8（头）设每头牛每天吃草量为1份。每天新生长的草量：（30×20-36×15）÷（20-15）=（600-540）÷5=60÷5=12（份）这片牧草原有草量：36×15-12×15=360（份）40头牛和32只羊一共吃的天数：360÷[（40+8）-12]=360÷[48-12]=360÷36=10（天）答：这片牧场可供40头牛和32只羊一起吃10天。【点睛】本题是较为复杂的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答。13．（1）12头（2）3天【详解】试题分析：（1）设每头牛每天吃1份草．24只羊，则6天吃完草，说明6天长的草+原来的草共：24×6=144份；21只羊，8天吃完，说明8天长的草+原来的草共21×8=168份；所以（8﹣6=2）天长的草为168﹣144=24份，即每天长12份，这样原来草为144﹣6×12=72份，那么草地每天长的草够12头牛吃一天．若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放12头牛．（2）那么草地每天长的草够12头羊吃一天．如果放36头牛，那么让其中的12头吃长出来的草；还剩下36﹣12=24（头）吃原来的72份，这样可以吃的天数为：72÷24=3（天）．解：（1）设每头牛每天吃1份草；草的生长速度即每天长的份数为：（21×8﹣24×6）÷（8﹣6），=（168﹣144）÷2，=24÷2，=12（份）；那么草地每天长的草够12头牛吃一天，若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放12头牛；答：最多放12头牛吃这片牧草，才能使这片草永远吃不完．（2）原来草的份数为：144﹣6×12=72（份）如果放36头牛，那么让其中的12头吃长出来的草；还剩下36﹣12=24（头）吃原来的72份，这样可以吃的天数为：72÷24=3（天）．答：如果放牧36只牛，则3天可以吃完牧草．点评：这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口．14．64头【分析】因为草的生长量每天相等，所以先求出每天草的生长量，再求原来有多少草；将原有的草加上生长的草，再除以6天即可求出。【详解】设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：＝44÷2＝22原有草量为：＝450－198＝252＝384÷6＝64（头）答：放64头牛6天可以把草吃完。【点睛】熟练掌握牛吃草问题的一般解法是解决本题的关键。15．93.75亿人【详解】要求地球上最多能养活多少人？就是使人类不断繁衍增长的人口的速度等于地球上新生成的资源的增长速度，所以要求出地球上一年新生的能源是多少？因为地球上新生成的资源的增长速度是一定的，所以可用（137.5亿人生活112.5年的总份数-112.5亿人生活262.5年的总份数）÷（两者的年数差）=一年新生的能源总份数．解：设一亿人一年消耗的能源是1份．那么一年新生的能源是：（262.5×112.5-137.5×112.5）÷（262.5-112.5）=112.5×（262.5-137.5）÷（262.5-112.5）=14062.5÷150=93.75（份）要想使得人类不断生存下去，则每年消耗的能源最多就是每年新生的能源，那么最多的人口是：93.75÷1=93.75（亿人）．答：地球上最多能养活93.75亿人．16．21头【分析】牛的头数×吃的天数＝原有牧草和相应天数生长的牧草，因此（23×9－27×6）表示（9－6）天生长的牧草，用除法求出每天生长出来的牧草，牛的头数×吃的天数－每天生长的牧草×吃的天数＝原有牧草，原有的牧草加12天新增的牧草，最后再除以12，就可以求出一共有牛的头数。【详解】（23×9－27×6）÷（9－6）＝（207－162）÷3＝45÷3＝15（份）27×6－15×6＝（27－15）×6＝12×6＝72（份）（72＋12×15）÷12＝（72＋180）÷12＝252÷12＝21（头）答：这群牛有21头。【点睛】解决“牛吃草”问题的关键是要求出牧场上的“老草”有多少，“新长出的草”是多少。17．20天【分析】牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。其基本数量关系是：（牛的头数×吃草较多的天数－牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃的较少的天数）＝草地每天新长草量。牛的头数×吃草天数－每天新长量×吃草天数＝草地原有的草。设每匹马每天的吃草量假设为1份，则12匹马可以吃12天可以吃144份草，6匹马可以吃30天可以吃180份草，则两种吃草方式多了36份草，是18天多出来的，草场每天长的草量为2份。144份草里面分为原来的草和新长的草，12天每天新长草2分，一共长草24份，原来的草就是120份。设养8匹马可以吃x天，根据数量关系：原来的草＋新长的草＝8匹马吃的草。【详解】设每匹马每天的吃草量假设为1份。草场每天长的草量为：（30×6×1－12×12×1）÷（30－12）＝（180－144）÷18＝36÷18＝2（份）原来草场的草为：12×12－2×12＝144－24＝120（份）解：设养8匹马可以吃x天。120＋2x＝8x8x－2x＝1206x＝120x＝120÷6x＝20答：如果养8匹马，可以吃20天。【点睛】牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——一定时间内新长出的草的数量。18．6根【分析】设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为，池内原有水量为。要在小时内排尽池内的水，应当同时打开根出水管。【详解】＝6÷3＝2＝6×3＝18＝4＋2＝6（根）答：那么应当同时打开6根出水管。【点睛】此题实际上是著名的“牛吃草问题”的变形，关键根据两次“如果”求出进水管每小时进水量是解题的关键。19．8时15分【详解】9时开门，开3个入口，9：09就结束入场，开5个入口，9：05就结束入场，来人的速度为：开门之前来人为第一个观众来的时间距开门时间，（分）再用9时减去45分即可求出答案．（分）9时－45分＝8时15分．答：第一个游客达到博物馆的时间是8时15分．【点睛】牛吃草问题20．54分钟【分析】水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.【详解】先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60=240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90，其中90分钟内流入水量是4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）.答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.21．5头【详解】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：，原有草量为：；10天吃完需要牛的头数是：(头)．22．9天【分析】设一头牛一天的吃草量为1份，则16头牛15天吃草16×15＝240份，包括原有的草以及15天新生长的新草；100只羊相当于100÷4＝25只牛，25只牛6天吃草25×6＝150份，包括原有的草以及6天新生长的草。则每天新生长的草为（240－150）÷（15－6）＝10份；则原有的草量为：240－10×15＝90份，8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天，据此分析解答。【详解】每天新生长的草：（240－150）÷（15－6）＝10（份）原有的草量为：240－10×15＝90（份）100÷4＝25（头）48÷4＝12（头）90÷（8＋12－10）＝90÷10＝9（天）答：可以吃9天。【点睛】此题考查牛吃草问题，解题的关键在于求出每天新生的草够几头牛吃。23．42头【详解】试题分析：这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5公顷面积原有草量+5公顷面积30天长的草=10×30=300份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积30天长的草是300÷5=60份；因为第二块草地15公顷面积原有草量+15公顷面积45天长的草=28×45=1260份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积45天长的草是1260÷15=84份，所以45﹣30=15天，每公顷面积长84﹣60=24份；则每公顷面积每天长24÷15=1.6份．所以，每公顷原有草量60﹣30×1.6=12份，第三块地面积是24公顷，所以每天要长1.6×24=38.4份，原有草就有24×12=288份，新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6头牛所以，一共需要38.4+3.6=42头牛来吃．解：设每头牛每天的吃草量为1，则每公顷30天的总草量为：10×30÷5=60；每公顷45天的总草量为：28×45÷15=84；那么每公顷每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）=1.6；每公顷原有草量为：60﹣1.6×30=12；那么24公顷原有草量为：12×24=288；24公顷80天新长草量为24×1.6×80=3072；24公顷80天共有草量3072+288=3360；所以有3360÷80=42（头）．答：第三块地可供42头牛吃80天．点评：本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量﹣生长的草量=消耗原有草量”这个关系式认真分析解决．24．5小时【详解】设一台抽水机一小时抽水一份．则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池内原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时25．17人【详解】这道题是“牛吃草问题”的一个变化题。已流进的水，加上3小时流进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是36人用1小时才能舀完。已流进的水，加上10小时流进的水，每小时需要（5×10）人舀完，也就是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内流进的水及船中已流进的水。1小时流进的水，几人用1小时能舀完：（5×10－12×3）÷（10－3）＝2（人）已流进的水：（12－2）×3＝30（份））已流进的水加上2小时流进的水，需多少人1小时舀完：30＋2×2＝34（人）用2小时来舀完这些水需要：34÷2＝17（人）26．14个【分析】假设每分钟每个检票口检票1人。根据乘法的意义，用1×8×60即可求出60分钟检票的总人数，用1×10×30即可求出30分钟检查的总人数，根据除法的意义，用60分钟检票的总人数减去30分钟检查的总人数，除以（60－30）分钟，即可求出每分钟增加的人数，即6人，再用60分钟检票的总人数－60分钟×每分钟增加的人数即可求出开始检票前排队的人数；如果15分钟内要检查完，则15分钟×每分钟增加的人数＋开始检票前排队的人数即可求出总人数，已知每分钟每个检票口检票1人，则15分钟每个检票口检查15人，用总人数除以15，即可求出检票口的总个数。【详解】假设每分钟每个检票口检票1人，每分钟增加的人数：（1×8×60－1×10×30）÷（60－30）＝（480－300）÷（60－30）＝180÷30＝6（人）开始检票前排队的人数：1×8×60－60×6＝480－360＝120（人）（15×6＋120）÷15＝（90＋120）÷15＝210÷15＝14（个）答：至少需要开14个检票口。【点睛】本题考查了牛吃草问题，可用假设法解决问题，求出每分钟增加量和开始检票前的数量是解答本题的关键。27．天【分析】题中是3块面积不同的草地，要解决这个问题，可以将3块草地的面积统一起来；10、30、40的最小公倍数是120，所以统一为120公顷，然后再按照一般的牛吃草问题求解。【详解】将3块草地的面积统一为120公顷；设1头牛1天的吃草量为“1”，原条件可转化为：120公顷牧场48头牛28天吃完；120公顷牧场28头牛63天吃完；那么120公顷牧场每天新生长的草量为：120公顷牧场原有草量为：则40公顷牧场每天新生长的草量为，40公顷牧场原有草量为；在60头牛里先分出4头牛来吃新生长的草，剩余的56头牛来吃原有的草，可以吃：（天）答：60头牛6天可以吃完40公顷牧场上全部牧草。【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，当有多块草地的时候，可以设法将草地面积转化成一样的。28．20分钟【详解】设1人1分钟淘出的水量是“1”，分钟的进水量为，所以每分钟的进水量为，那么原有水量为：．5人淘水需要(分钟)把水淘完．29．天【分析】根据题目给出的两种情况，可以求出1200平方米的牧场的原草量和草的增长速度，然后可以求出3600平方米的牧场的原草量和草的增长速度，然后再考虑3600平方米的牧场可供75头牛吃多少天。【详解】设一头牛一天吃1份草；10头牛20天，10×20＝200，原有草量＋20天生长的草量，15头牛10天，15×10＝150，原有草量＋10天生长的草量，从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，即1天生长草量＝50÷10＝5；那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；原有草量：100×（3600÷1200）＝300。75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完。答：可供75头牛吃5天。【点睛】本题考查的是牛吃草问题，求出原草量和草的增长速度是求解问题的关键。30．25头【详解】设每头牛每天的吃草量为1份．每天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量为（27-15）×6=72份．如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份．所以这群牛原来有200÷8=25头31．4人

10天【详解】一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1”

6人

4天

6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒

4人

5天

4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天．原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）．32．12天【分析】设1匹马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析：马和牛

15天

15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量（1）马和羊

20天

20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量（2）牛和羊（同马）

30天

30天马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量（3）由（1）×2－（3）可得：30天牛吃草量＝原有草量÷牛每天吃草量＝原有草量÷30；由（3）分析知道：30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草量；将分析的结果带入（2）得：原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20，得牛每天吃草量＝。这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20÷（1＋）＝12（天）。【详解】20÷30＝20÷（1＋）＝20÷1＝12（天）答：现在让马、牛、羊一起去吃草，12天可以将这片牧草吃尽。【点睛】此题属于典型的牛吃草问题，解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——一定时间内新长出的草的数量。33．6头【分析】根据题意，设每头牛每天吃草量为1份。33头牛5天的吃草量为（33×5）份，24头牛6天的吃草量为（24×6）份，两种方式相差（33×5－24×6）份，再除以相差的天数（6－5）天，求出牧场上的草每天减少的量；再用33头牛5天的吃草量加上草5天减少的量，求出牧场上原有的草量；最后用原有的草量减去10天减少的草量，再除以10天，即可求出这个牧场可供几多少头牛吃10天。【详解】设每头牛每天吃草量为1份。每天草的减少量：（33×5－24×6）÷（6－5）＝（165－144）÷1＝21÷1＝21（份）原有草量：33×5＋21×5＝165＋105＝270（份）可供吃10天的牛有：（270－21×10）÷10＝（270－210）÷10＝60÷10＝6（头）答：这个牧场可供6头牛吃10天。【点睛】本题考查牛吃草问题，关键是求出草每天减少的数量和原有的草量。34．12天【详解】略35．20头【分析】本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程．若能消去a，b，c，便可解决问题．【详解】解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有②-①，得36b=120C．④③-②，得96xc=1800c＋36b．⑤将④代入⑤，得96xc＝1800c+120c．解得x=20．答：有20头牛．36．150分米【详解】蜗牛黑夜下滑的速度为﹙20×5-15×6﹚÷﹙6-5