复杂动态规划问题的启发式求解

1/1复杂动态规划问题的启发式求解第一部分复杂动态规划问题的特征与挑战 2第二部分启发式求解方法的原理及其类型 5第三部分贪心算法在动态规划中的应用 7第四部分局部搜索算法用于求解动态规划 10第五部分建设性启发式算法的框架及步骤 12第六部分元启发式算法解决复杂动态规划 15第七部分基于启发式的并行动态规划 18第八部分启发式求解动态规划的性能评估 21

第一部分复杂动态规划问题的特征与挑战关键词关键要点复杂动态规划问题的规模

1.状态空间和动作空间尺寸巨大，导致计算复杂度呈指数级增长。

2.问题规模随着输入数据和状态变量的增加而迅速增加，使得精确求解成为一项挑战。

复杂动态规划问题的非线性

1.状态之间的转换和收益函数是非线性的，导致难以预测问题的行为。

2.非线性会产生局部最优解，使全局最优解的搜索变得更加困难。

复杂动态规划问题的约束

1.问题可能受限于各种约束，如资源限制、时间约束和可行性约束。

2.约束使搜索空间缩小，但同时也会增加问题的复杂性，因为必须考虑这些约束。

复杂动态规划问题的随机性

1.问题中可能涉及随机事件或不确定性，导致状态转换和收益函数的随机性。

2.随机性增加了预测和求解问题的难度，因为未来的状态和收益无法准确预测。

复杂动态规划问题的多准则

1.问题可能涉及多个相互冲突的准则，如成本、时间和质量。

2.多准则优化需要考虑权衡不同的目标，这会增加问题的复杂性。

复杂动态规划问题的实时性

1.问题可能需要在实时或近实时的情况下求解，这给计算时间和资源分配带来了挑战。

2.实时性要求算法具有高效性和响应能力，以便在时间紧迫的情况下做出决策。复杂动态规划问题的特征

复杂动态规划问题通常表现出以下特征：

*状态空间巨大：问题的状态空间可能非常大，以至于无法穷举所有状态。

*值函数重叠：不同状态之间的值函数可能高度重叠，导致难以有效地计算出最优解。

*约束复杂：问题可能受到多重约束的限制，这些约束会限制可行的状态和动作。

*信息不完全：在某些情况下，问题的部分信息可能不可用，这会增加解决难度的复杂性。

*目标函数复杂：目标函数可能是非线性的、多模态的或不连续的，这使得寻找最优解变得更加困难。

复杂动态规划问题的挑战

由于上述特征，解决复杂动态规划问题面临着以下挑战：

*计算成本高：穷举所有状态和动作的成本可能非常高，以至于对于实际规模的问题来说不可行。

*存储需求大：存储问题状态和值函数所需的空间可能非常大，这可能会限制问题规模或需要使用近似技术。

*难于并行化：由于动态规划的递归性质，将问题并行化可能很困难，这会限制求解大型问题的速度。

*局部最优陷阱：目标函数的复杂性可能会导致局部最优解，这可能会阻碍找到全局最优解。

*信息不完整的影响：信息不完整可能会导致模型不准确，从而产生误导性的结果。

应对复杂动态规划问题的启发式方法

为了应对复杂动态规划问题的挑战，研究人员已经开发了各种启发式方法，这些方法通过牺牲最优解来降低计算成本和存储需求。常见的启发式方法包括：

*贪婪算法：在每个步骤中选择当前最优的动作，而无需考虑未来的影响。

*回溯法：从一个初始状态出发，探索不同的动作序列，并根据目标函数的值保留或丢弃这些序列。

*迭代加深搜索：逐步增加搜索深度，直到找到满足预定义标准的解。

*模拟退火：模仿物理系统缓慢冷却的过程，以找到目标函数的全局最优解。

*遗传算法：使用受生物进化启发的技术来生成和优化解决问题的候选解。

案例研究：背包问题

背包问题是一个经典的复杂动态规划问题，涉及在容量有限的背包中选择一组物品装入以最大化总价值。可以使用以下启发式方法解决背包问题：

*贪婪算法：根据单位价值排序物品，并依次将物品装入背包，直到背包装满。

*回溯法：从一个空背包开始，探索添加和移除物品的不同组合，并根据背包的总价值保留或丢弃这些组合。

*遗传算法：生成一组背包解决方案，并使用遗传操作（如交叉和突变）来创建新解决方案，以最大化背包的总价值。

结论

复杂动态规划问题因其状态空间大、值函数重叠和约束复杂等特征而难以解决。为了应对这些挑战，研究人员已经开发了各种启发式方法，这些方法通过牺牲最优解来降低计算成本和存储需求。虽然启发式方法可能无法总是找到最优解，但它们通常可以提供高质量的近似解，尤其是在问题规模较大时。第二部分启发式求解方法的原理及其类型启发式求解方法的原理

启发式求解方法是一种通过模拟自然界或其他系统中的行为来解决复杂动态规划问题的过程。它们利用启发式，即基于经验或观察的规则，来生成潜在的解决方案并迭代优化。

启发式求解方法的类型

启发式求解方法有多种类型，每种类型都针对特定类型的复杂动态规划问题进行定制。最常见的类型包括：

模拟退火(SA)

SA模仿金属退火的过程，在该过程中，金属被加热并缓慢冷却以获得最优晶体结构。SA通过在解决方案空间中随机移动并逐渐降低温度来减少最终解决方案中的局部最小值。

禁忌搜索(TS)

TS维护一个过去访问的解决方案列表，称为禁忌表。在搜索过程中，禁忌表防止算法重新访问先前评估过的解决方案，从而避免陷入循环。

遗传算法(GA)

GA基于生物进化原理。候选解决方案被编码为染色体，并根据其适应度（即目标函数值）进行选择、交叉和变异。GA通过迭代进化过程来产生越来越优的解决方案。

粒子群优化(PSO)

PSO模仿鸟群或鱼群的行为。候选解决方案被视为粒子，它们在解决方案空间中移动，同时跟踪最佳个体和群体最佳值。粒子通过交换信息并协调其运动来向最优解收敛。

蚁群优化(ACO)

ACO模拟蚂蚁觅食行为。候选解决方案被视为蚂蚁，它们在解决方案空间中随机移动并留下信息素痕迹。信息素浓度高的部分吸引蚂蚁，随着时间的推移，这导致蚂蚁收敛到最优解。

其他算法

除了上述主要类型外，还有其他启发式求解方法，例如：

*海龟产卵算法(TRA)：模拟海龟产卵行为，海龟在最佳产卵点附近产卵。

*蜂蜜蜂群算法(BBA)：模拟蜜蜂采蜜行为，蜜蜂在高产蜜源附近聚集。

*萤火虫算法(FA)：模拟萤火虫发光和交配行为，萤火虫向更亮的萤火虫移动。

*灰狼优化算法(GWO)：模拟灰狼狩猎行为，灰狼群体协作寻找最佳猎物。

选择启发式求解方法

选择最合适的启发式求解方法取决于以下因素：

*问题的规模和复杂性

*问题约束和目标函数

*可用的计算资源

*算法的鲁棒性和稳定性

通过考虑这些因素，可以为复杂动态规划问题选择最有效的启发式求解方法。第三部分贪心算法在动态规划中的应用关键词关键要点【贪心算法在动态规划中的应用】

1.贪心策略：贪心算法采用一系列局部最优决策，以期得到全局最优解。在动态规划中，贪心策略通常用于做出立即产生最大收益的决策，而无需考虑后续决策的影响。

2.贪心算法的适用性：贪心算法适用于某些具有特定结构的动态规划问题。这些问题通常具有子问题最优性和最优子结构性质，这意味着子问题的最优解可以帮助解决整个问题的最优解。

3.贪心算法的优势：贪心算法实现简单、效率高。与其他动态规划算法相比，它们通常只需要计算问题的线性时间或多项式时间。

【贪心算法的实现】

贪心算法在动态规划中的应用

在动态规划问题中，贪心算法是一种启发式方法，它通过在每个步骤中做出局部最优决策，逐步构建一个全局最优解。其核心思想是：在每个阶段，贪心算法选择当前能够最大化目标函数或最小化代价函数的子问题或决策。

贪心算法的基本步骤：

1.将问题分解为一个由子问题组成的序列。

2.对每个子问题，计算出它所有可能决策的代价或收益。

3.在每个阶段，选择代价最低或收益最高的决策。

4.重复步骤2和3，直到子问题序列中的所有子问题都被求解。

5.将这些局部最优决策串联起来，形成一个全局最优解。

贪心算法在动态规划中的优点：

*算法简单高效：贪心算法易于实现，其时间复杂度通常为线性或多项式时间。

*保证局部最优：贪心算法在每个阶段都会选择局部最优决策，这可以确保当前阶段的解是局部最优的。

贪心算法在动态规划中的缺点：

*不能保证全局最优：虽然贪心算法在每个阶段都会做出局部最优决策，但它不能保证最终的全局解是全局最优的。

*对问题结构敏感：贪心算法的性能很大程度上取决于问题的结构。在某些情况下，它可能会产生很差的解。

贪心算法在动态规划中的应用示例：

最小生成树问题：

最小生成树问题是找到一个连接给定顶点集的所有顶点的无环连通子图，其边权和最小。贪心算法（例如Kruskal或Prim算法）可以用于解决此问题。它在每个阶段都选择尚未添加到生成树中的权重最小的边，直到生成树包含所有顶点。

背包问题：

背包问题是给定有限容量的背包和具有不同价值和重量的物品集合，在不超过背包容量的情况下，从物品集中选择一个子集以最大化总价值。贪心算法可以用于此问题。它在每个阶段都选择价值与重量比最大的物品，直到背包装满或所有物品都已被考虑。

哈夫曼编码：

哈夫曼编码是一种无损数据压缩技术。它通过为每个符号分配一个可变长度的编码来对数据进行编码，使得出现频率较高的符号具有较短的编码。贪心算法可以用于此问题。它在每个阶段都选择具有最小频率的两个符号，并为它们创建一个具有相同长度的新符号，直到只剩下一个符号。

其他应用：

贪心算法还可以应用于其他动态规划问题，例如：

*活动选择问题

*装箱问题

*最长公共子序列问题

*矩阵链乘问题

总的来说，贪心算法是一种在动态规划问题中寻找近似最优解的有效启发式方法。虽然它不能保证全局最优，但它可以提供快速且合理的解决方案。第四部分局部搜索算法用于求解动态规划关键词关键要点局部搜索算法用于求解动态规划

主题名称：局部搜索的基本原理

1.局部搜索算法从一个初始解出发，通过探索解空间寻找更好的解。

2.每一步，算法都会评估当前解的邻域，并选择一个更好的邻域解作为下一步。

3.算法重复这一过程，直到找到一个局部最优解或达到资源限制。

主题名称：局部搜索的类型

局部搜索算法用于求解动态规划

动态规划是一种求解复杂优化问题的有效方法，其本质上是将大问题分解为一系列相互重叠的子问题，并逐步求解。然而，对于某些规模较大的动态规划问题，求解全域最优解可能耗时且困难。局部搜索算法提供了一种启发式方法，可以在有限时间内找到高质量的局部最优解。

局部搜索算法

局部搜索算法从一个初始解开始，通过对当前解进行有限的扰动（即局部移动），以期得到一个更好的解。这些扰动通常遵循特定邻域结构，例如相邻状态交换或有限范围内的随机扰动。算法会迭代执行以下步骤，直到达到终止条件：

*从当前解生成一个邻域解。

*计算邻域解的评估值，例如目标函数或代价函数。

*如果邻域解比当前解更好，则更新当前解为邻域解。

局部搜索算法的优点在于其计算效率高，能够在合理的时间内找到局部最优解。然而，其缺点在于可能陷入局部最优解，无法找到全局最优解。

局部搜索算法应用于动态规划

局部搜索算法可以应用于动态规划问题，以求解局部最优解。一般步骤如下：

1.定义问题空间和邻域结构。问题空间是指所有可能的解的集合。邻域结构定义了从当前解可以生成的邻域解。

2.初始化解。通常从随机解或启发式方法生成的解开始。

3.迭代局部搜索。重复执行以下步骤，直到达到终止条件：

*从当前解生成一个邻域解。

*计算邻域解的评估值。

*如果邻域解比当前解更好，则更新当前解为邻域解。

4.返回局部最优解。算法终止时，返回当前解作为局部最优解。

优化局部搜索算法

为了提高局部搜索算法的性能，可以采用以下优化策略：

*多样化策略。引入随机扰动或探索不同的邻域结构，以避免陷入局部最优解。

*禁忌搜索策略。记录近期已探索的解，以防止算法陷入局部循环。

*模拟退火策略。逐步降低接受较差解的概率，以提高全局搜索能力。

*混合算法。将局部搜索算法与其他启发式方法或贪婪算法结合，以提高解决方案质量。

示例：背包问题

背包问题是一个经典的动态规划问题，目标是选择一组物品装入有限容量的背包，使物品总价值最大化。局部搜索算法可以应用于背包问题，如下所示：

*问题空间：所有可能的物品组合。

*邻域结构：相邻状态交换，即在当前解中随机选择两个物品并交换它们。

*评估值：物品总价值。

局部搜索算法从随机解开始，并不断进行物品交换，以寻求一个局部最优解。通过优化策略（例如禁忌搜索），可以提高算法的效率和解的质量。

结论

局部搜索算法为求解复杂动态规划问题提供了一种高效的启发式方法，可以在有限时间内得到高质量的局部最优解。通过优化策略，可以进一步提高算法的性能，从而获得更好的解决方案。虽然局部搜索算法无法保证找到全局最优解，但对于规模较大或计算资源有限的问题，它是一个实用且有效的选择。第五部分建设性启发式算法的框架及步骤关键词关键要点建设性启发式算法的框架

主题名称：初始化解构建

1.确定问题的可行解空间，并定义解的表示形式。

2.根据一定的准则生成初始解，如随机生成、贪婪算法或局部搜索。

3.评估初始解的质量，并作为后续搜索的基准。

主题名称：解空间探索

建设性启发式算法的框架

建设性启发式算法是一种逐步构建解决方案的启发式方法，特点是构建过程中基于启发规则，而不是穷举所有可能性。其框架通常包括以下步骤：

1.初始化阶段

*定义问题和目标函数。

*设置算法参数（如迭代次数、终止准则等）。

2.构建阶段

*开始构建解决方案，通常从初始空解开始。

*根据启发规则，逐步将元素添加到解中，直到达到目标。

3.改进阶段

*对已构建的解进行改进，以优化目标函数。

*常见的改进策略包括局部搜索、模拟退火等。

4.终止阶段

*算法满足预定义的终止准则（如达到最大迭代次数、目标函数达到某个阈值等）。

*取当前最佳解作为最终解决方案。

建设性启发式算法的步骤

1.可行解决方案的构造

*首先，使用构造性启发式来生成可行的初始解。

*这个解可能不是最优的，但它提供了算法的起点。

2.改进解决方案

*接下来，使用局部搜索技术来改进构造出来的初始解。

*局部搜索通过探索初始解的邻域（即，轻微修改后的解）来寻找更好的解。

3.探索解决方案空间

*如果局部搜索陷入局部最优，则算法会使用模拟退火或其他探索技术来探索更广泛的解决方案空间。

*这些技术允许算法从局部最优中逃逸并找到更好的解。

4.接受或拒绝解决方案

*在每个步骤中，算法都会评估新生成的解并决定是否接受它。

*接受的标准通常基于目标函数的改善或随机因素（如模拟退火中的温度）。

5.更新解决方案

*如果新解被接受，它将成为当前最佳解，并且搜索将继续从该解开始。

*如果新解被拒绝，则算法将继续探索解决方案空间。

6.终止准则

*算法将在满足预定义的终止准则时终止。

*这些准则可能包括达到最大迭代次数、目标函数达到所需阈值或没有进一步改进的空间。

评价建设性启发式算法

建设性启发式算法的评价通常基于以下指标：

*解的质量：算法生成解的质量，通常用目标函数值来衡量。

*收敛速度：算法在找到满意解所需的时间或迭代次数。

*鲁棒性：算法在解决不同类型的输入问题时的性能。

*计算复杂性：算法的时间和空间复杂度。

通过考虑这些指标，可以对不同建设性启发式算法的性能进行比较和选择最适合特定问题的算法。第六部分元启发式算法解决复杂动态规划关键词关键要点【蚁群优化算法】

1.模拟蚂蚁觅食行为，通过信息素引导搜索寻优解。

2.适用于具有正反馈回路的问题，如最短路径和旅行商问题。

3.通过局部信息的传递实现全局优化，具有较强的鲁棒性和自适应性。

【模拟退火算法】

元启发式算法解决复杂动态规划

引言

动态规划因其解决复杂问题中的最优解的能力而得到广泛应用。然而，对于规模较大的问题，传统动态规划算法的计算复杂度可能变得难以承受。为了克服这一限制，元启发式算法被用作一种替代方案。

元启发式算法

元启发式算法是一类受自然过程启发的优化算法。它们不保证找到全局最优解，但可以通过在可接受的时间内产生高质量的解决方案而实现近似最优性。一些常用的元启发式算法包括：

*遗传算法(GA)模拟自然进化过程，通过交叉和突变操作进化解决方案。

*禁忌搜索(TS)在搜索空间中探索，使用禁忌表来禁止最近访问过的解决方案。

*模拟退火(SA)受热力学原理启发，允许偶尔接受较差的解决方案，以避免陷入局部最优。

*粒子群优化(PSO)模仿鸟群或鱼群的集体行为，通过共享信息更新解决方案。

*蚁群优化(ACO)模拟蚂蚁寻找食物时留下的信息素痕迹，以引导解决方案走向潜在的最优区域。

元启发式算法解决动态规划

可以将元启发式算法应用于动态规划问题，以获得近似最优解。以下是常见的技术：

*初始化解决方案：使用随机生成或启发式方法生成一组初始解决方案。

*评估解决方案：使用动态规划的递推关系计算每个解决方案的质量。

*更新解决方案：根据所选的元启发式算法，更新解决方案以探索新的搜索区域。

*储存高性能解决方案：保持当前找到的最佳解决方案的记录。

*终止条件：当达到某个时间或迭代次数限制、或找到足够好的解决方案时，算法终止。

应用示例

元启发式算法已成功应用于解决各种复杂动态规划问题，包括：

*背包问题：在容量有限的情况下，从一组物品中选择价值最高的物品。

*旅行商问题：找到访问一组城市并返回起点所需的最短距离的路径。

*作业调度问题：分配任务到机器，以最小化总完成时间或最大化利用率。

*网络流问题：在网络中最大化或最小化流量，同时满足容量和其他约束条件。

*组合优化问题：涉及从离散集合中选择最佳组合以满足特定目标的问题。

优势

将元启发式算法应用于动态规划具有以下优势：

*近似最优性：它们可以快速找到高质量的解决方案，即使对于大型复杂的问题也是如此。

*鲁棒性：它们对初始解决方案或问题参数不敏感。

*广泛适用：它们可以应用于各种动态规划问题，无需修改算法。

局限性

元启发式算法也有一些局限性：

*计算时间：它们可能会比传统动态规划算法花更长的时间来运行。

*收敛性：它们可能不会始终收敛到全局最优解。

*参数设置：调整算法参数以匹配特定问题可能具有挑战性。

结论

元启发式算法提供了解决复杂动态规划问题的强大方法。虽然它们不保证全局最优性，但它们可以快速有效地找到近似最优解。通过了解元启发式算法的工作原理以及如何将它们应用于动态规划，研究人员和从业人员可以解决以前无法解决的问题。第七部分基于启发式的并行动态规划关键词关键要点【基于启发式的并行动态规划】

1.并行性：利用多核处理器或计算机集群并行执行动态规划算法的不同阶段或子问题。

2.分解：将复杂问题分解为可独立求解的子问题，并行执行这些子问题。

3.同步：协调并行执行的不同子问题，确保数据的正确性。

【启发式剪枝】

基于启发式的并行动态规划

并行动态规划（CDP）是一种动态规划算法，用于解决具有并行路径的复杂优化问题。它将问题分解为多个子问题，并行求解，然后将子问题的最优解合并为全局最优解。

基于启发式的CDP（HCDP）将启发式技术引入CDP，以指导子问题的求解，提高算法的效率。HCDP的主要目标是减少子问题的搜索空间，加快求解速度。

HCDP的工作原理

HCDP采用以下步骤：

1.问题分解：将原问题分解成多个相互独立的子问题。

2.启发式求解：使用启发式技术对每个子问题进行初步求解，获得近似最优解。

3.并行计算：将启发式求解过程并行化，同时求解多个子问题。

4.解合并：将子问题的近似最优解合并，形成全局近似最优解。

5.迭代改进：使用迭代算法进一步改进全局近似最优解，直到达到预定的终止条件。

启发式技术

HCDP中常用的启发式技术包括：

*贪婪算法：在每一步选择当前看起来最好的选项。

*局部搜索：从给定解决方案出发，通过局部调整寻找更好的解决方案。

*随机搜索：随机生成解决方案并评估其质量。

*禁忌搜索：避免陷入局部最优解，通过禁忌列表记录已探索过的解。

*模拟退火：逐步提高温度，允许探索较差的解决方案，以避免过早收敛到局部最优解。

HCDP的优点

HCDP相比于纯CDP具有以下优点：

*更快的求解速度：启发式技术可以大大减少搜索空间，加快子问题的求解速度。

*更高的求解质量：通过迭代改进，HCDP可以获得比纯CDP更接近全局最优解的近似解。

*更强的鲁棒性：HCDP对问题规模和复杂度不那么敏感，因为它使用了启发式方法。

*更灵活的建模：HCDP可以处理具有复杂约束和目标函数的问题，因为它允许使用各种启发式技术。

HCDP的应用

HCDP已成功应用于各种领域，包括：

*物流和供应链管理

*调度和规划

*资源分配

*网络优化

*金融和投资

案例研究

考虑一个配送问题，需要将货物从多个仓库配送到多个客户。传统CDP方法搜索空间很大，难以获得可行的解。

使用HCDP，可以将问题分解成仓库子问题和客户子问题。使用贪婪算法对每个仓库子问题进行启发式求解，选择最优配送路径。然后并行求解这些子问题，并使用禁忌搜索合并解，减少局部最优解的可能性。

通过迭代改进，HCDP获得了一个高质量的近似解，显示了复杂配送问题高效求解的潜力。

结论

基于启发式的并行动态规划（HCDP）通过将启发式技术与CDP相结合，提供了一种强大的方法来解决复杂动态规划问题。它可以加快求解速度，提高求解质量，增强鲁棒性，并允许更灵活的建模。HCDP在多个领域中都有广泛的应用，展示了其为优化问题求解提供实际解决方案的能力。第八部分启发式求解动态规划的性能评估关键词关键要点启发式求解动态规划的性能评估

趋势和前沿

在复杂动态规划问题的求解中，启发式算法作为一种高效的求解方法，其性能评估至关重要。评估的趋势和前沿集中于：

*算法效率评估：对算法时间复杂度、空间复杂度和实际运行时间进行全面度量。

*解质量评估：评估算法找到的解与最优解之间的差距，衡量算法的精确度。

*鲁棒性评估：考察算法对问题规模、输入数据的不同敏感性，评估其稳定性和泛化能力。

主题名称：算法效率评估

1.时间复杂度分析：评估启发式算法的时间复杂度，确定其在大规模问题中的可行性。

2.空间复杂度分析：评估算法所需的空间，确保其满足计算资源的限制。

3.实际运行时间测量：通过实验测量算法在实际数据集上的运行时间，验证算法效率的理论分析。

主题名称：解质量评估

启发式求解动态规划的性能评估

概述

在解决复杂动态规划问题时，启发式算法经常被用于近似求解。性能评估对于判断启发式算法的有效性和确定最佳算法至关重要。

评估指标

评估启发式求解动态规划算法的典型指标包括：

*解决方案质量：启发式解决方案与最优解决方案的相对误差或接近程度。

*计算时间：算法求解问题所需的时间。

*内存使用：算法运行所需的内存量。

*适用性：算法对问题规模和结构的敏感性，以及不同类型问题的有效性。

评估方法

性能评估可以采用以下方法进行：

*理论分析：分析算法的数学特性以预测其复杂度和误差界限。

*实验比较：将不同的启发式算法应用于相同的问题集，并比较它们的表现。

*精度与效率权衡：考察算法在提供不同精度的解决方案时所需的计算时间。

评估结果

启发式算法的性能评估结果通常呈现以下形式：

*误差曲线：显示解决方案误差随问题规模或时间预算的增加而变化。

*运行时间曲线：显示算法运行时间随问题规模或时间预算的增加而变化。

*表格总结：提供不同算法在不同指标下的性能比较，包括平均误差、平均运行时间和内存使用情况。

关键考虑因素

评估启发式求解动态规划算法的性能时，应考虑以下关键因素：

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