直线与圆、圆与圆的位置关系-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系

［考试要求］i.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关

系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

［链接教材•夯基固本】落实主干•激活技能

€>梳理・必备知识

1.直线Ax+By+C=Q与圆(%—a)2+(y—6)2=产&>0)的位置关系的判断

位置关系相交相切相离

公共点个数2个1个0个

几何法：设圆心到直线的距离人!华;d<rd=rd>r

判

件将注rhfAx+By+C=0,

定代数法：由，。，

1(%—a)2+(y—b)2=r2

方J>0/三0J<0

消元得到一元二次方程

法

根的判别式/

2.圆与圆的位置关系

若两圆的半径分别为小，〃2,两圆的圆心距为力则两圆的位置关系的判断方法

如下：

外离外切相交内切内含

图(@©

形岁@

量的关系d=r\+n尸1一VdVri+〃2d=\r\~r2\"〈卜1一可

［常用结论］

1.圆的切线方程的常用结论

(1)过圆12+产=”上一点尸(祝，次)的圆的切线方程为xox+yoy=r2.

(2)过圆(x—a)2+(y—6)2=/2上一点、P(xo,次)的圆的切线方程为(次一q)a一q)±(”o

~~bMy—b)=?.

(3)过圆/+/=产外一点M(M),次)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为

xox+y()y=r2.

(4)过圆：(X—Q)2+(y—6)2=户夕|--■点M(xo,次)作圆的两条切线，则两切点所在

直线方程为(xo—a)(x~47)+(yo—b)(y-1))=产.

2.圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆相交时公共弦所在直线的方程

设圆Ci：X2+V2+Z)IX+2TIV+FI=0,①

圆。2：X2+j>2+Z)2x+£，2j+772=0,②

若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①一②所得，即(01—

。2)%+(E1一瓦)》+(尸1—/2)=0.

(2)两个圆系方程

①过直线Nx+5y+C=0与圆》2+y2+£)丫+砂+b=0交点的圆系方程为7+产

+Z)x+gv+/+7(4c+旦v+C)=0(7GR).

②过圆C1：/+俨+£)武+£1^+£=0和圆。2：X2+72+£)2x+£，2j+F2=0交点的

：

圆系方程：》2+,2+。述+£1了+乃+4》2+了2+£)2%+£27+尸2)=0(4工一1)(该圆系

不含圆。2,解题时，注意检验圆G是否满足题意，以防漏解).

O激活,基本技能

一、易错易混辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交.()

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直

线方程.()

(4)过圆O：/+产=户外t点尸(xo,加)作圆的两条切线,切点分别为Z,B,则O,

P,A,5四点共圆且直线48的方程是xp+yoy：凡()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)V

二、教材经典衍生

1.(人教A版选择性必修第一册P93练习「改编)直线歹=x+l与圆/+廿=1的

位置关系为()

A.相切B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心D.相离

B［圆心为(0,0),至U直线y=x+l,即x—y+l=0的距离"=凳=今而

但是圆心不在直线y=x+l上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心.］

2.(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)圆x2+y2—2y=o与圆x2+y2—4=

0的位置关系是()

A.相交B.内切C.外切D.内含

B［两圆方程可化为/+8—1)2=1,。+俨=4.两圆圆心分别为01(0,1),02(0,

0),半径分别为71=1,「2=2.因为|01。2|=1=/2—7］，所以两圆内切.］

3.(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T9改编)若圆x2+/=4与圆/+产

+2办+4即一9=0相交，且公共弦长为2夜，则。=.

磬［圆/+产=4与圆/+俨+2^+4即一9=0的方程相减即为公共弦所在直

线方程：2ax+4ay—5=0,

22

圆x+y=4的圆心(0,0)到公共弦距离4a2'=舟'则公共弦长度为2/

=2A/4-d2,解得4=耳与

4.(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点2(3,5)作圆。：x2+y2~2x

—4y+l=0的切线，则切线的方程为.

5x—12y+45=0或x—3=0［化圆x2+v2-2x-4j+1=0为标准方程得(x—

+。-2)2=4,其圆心。为(1,2),半径为2,

因为|。4|='(3—1尸+(5—2)2=旧＞2,所以点幺(3,5)在圆外.显然，当切

线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x—3=0；当切线斜率存在时，

可设所求切线方程为y—5=Mx—3),即日一y+5-3左=0.又圆心为(1,2),半

径『2,而圆心到切线的距离公舄=2,即13—2用=2而I,所以仁*

此时直线方程为5x-12v+45=0.

故所求切线方程为5x—12y+45=0或》-3=0.］

［典例精研•核心考点］重难解惑•直击高考

考点一直线与圆的位置关系

［典例1］(1)直线/：机x—,v+l—机=0与圆C：f+o—1)2=5的位置关系是

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

(2)圆(x—3>+。-3)2=9上到直线3x+4j-ll=0的距离等于1的点的个数为

()

A.1B.2

C.3D.4

(1)A(2)C[(1)法一(代数法)：

.(mx—y+1—m=0,

由〈r

I%2+(y-1)2=5,

消去y,整理得(1+m2)x2—2m2x+m2—5=0,

因为/=16切2+200,所以直线/与圆相交.

法二(几何法)：因为圆心(0,1)到直线/的距离(Z，所以直线/与圆

Vm2+1

相交.

法三(点与圆的位置关系法)：直线/:机X—y+1—7〃=0过定点(1,1),因为点(1,

1)在圆c：f+g-1尸=5的内部，所以直线/与圆c相交.

(2)如图所示，因为圆心(3,3)到直线3x+4y—11=0的距离为空手型=2,又因

为圆的半径为3,所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个.]

名师点评

1.判断直线与圆的位置关系的常用方法

(1)几何法：利用d与r的关系.

(2)代数法：联立方程之后利用/判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

2.圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题

该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离求解.设圆的半径为「，圆心到直

线的距离为d.

如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为/,则需满足d=「+/.

如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为人则需满足"=「一人

图①图②

由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为/,则需满足r—

若圆上恰有四点到直线的距离为t,则需满足/.

[跟进训练]

1.(1)(多选)(2021•新高考n卷)已知直线/：ox+如一户=0与圆C：x2-\-y2=r1,

点/(a,b),则下列说法正确的是()

A.若点N在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点Z在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点Z在圆C外，则直线/与圆C相离

D.若点N在直线/上，则直线/与圆C相切

⑵(2022•新高考n卷)设点z(—2,3),8(0,a),若直线48关于y=a对称的直

线与圆(x+3)2+(y+2)2=l有公共点，则a的取值范围是.

(l)ABD(2)[|,|][(1)\,点一在圆C上,."2+)=2,圆心C(0,0)到直线/

的距离，直线/与圆C相切，A正确；

Va2+^2

♦.•点Z在圆。内，：.a2+b2<r2,圆心C(0,0)到直线/的距离二

直线/与圆C相离，B正确;

•.•点Z在圆C外，：.a2+b2>r2,圆心C(0,0)到直线/的距离d="=<r,<,.

直线/与圆C相交，C错误;

•点Z在直线/上，a~+b2=r2,圆心C(0,0)到直线/的距离d=;=r

Va2+/j2

・•.直线/与圆C相切，D正确.

故选ABD.

(2)因为左所以直线45关于y=a的对称直线为(3—a)x—2y+2a=0,所

以13(厂3)+4+yy1,整理可得6a2—Ua+3W0,解得工

V4+(3-a)z32

【教师备选资源】

1.已知点M(a,6)在圆。：N+y2=l外，则直线办+勿=1与圆。的位置关系

是()

A.相切B.相交

C.相离D.不确定

B[因为M(a,瓦)在圆。：9+产=1夕卜，

所以而圆心。到直线方+勿=1的距离

,\a,0+b•0-1|1

Va2+b27a2+b2，

所以直线与圆相交.]

2.若圆》2+俨=/。>0)上恒有4个点到直线/：X—〉—2=0的距离为1,则实数

r的取值范围是()

A.(V2+1,+8)B.(V2-1,V2+1)

C.(0,V2-1)D.(0,V2+1)

A[计算得圆心到直线/的距离为专=/>1,如图，直线/:x一歹一2=0与圆

相交，/1,/2与/平行，且与直线/的距离为1,故可以看出，圆的半径应该大于

圆心到直线/2的距离鱼+L]

考点二圆与圆的位置关系

[典例2](1)(2024•山东淄博模拟)“心手是“圆G：》2+产4与圆C2：(%

—a)2+(y+a)2=l有公切线”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(多选)(2023,辽宁抚顺二模)已知圆Ci：x2+y2=9与圆C2：(%—3)2+(y—4)2

=16,下列说法正确的是()

A.Ci与G的公切线恰有4条

B.Ci与C2相交弦的方程为3x+4y—9=0

C.G与C2相交弦的弦长为当

D.若尸,。分别是圆Q,D上的动点,则|PQ|max=12

⑶(2024,福建宁德模拟)已知圆C：(X-3)2+(y—4)2=1和两点/(一加，0),B(m,

0)(加〉0).若圆。上存在点尸,使得N4PB=90。,则实数加的取值范围为.

⑴A(2)BD(3)[4,6][(1)圆C：、2+^=4的圆心G(O,0),半径片=2,圆

。2：(X—Q)2+S+Q)2=1的圆心G(q,—a),半径/2=1,

若两圆有公切线，则Q©村门—「21，即Ja2+(_a)2》l,解得aW一号或a泻,

所以“。老”是“圆G：》2+产4与圆。2：(x-a)2+(v+t/)2=l有公切线”的

充分不必栗条件.

故选A.

(2)由已知得圆Ci的圆心Ci(0,0),半径片=3,圆。2的圆心。2(3,4),半径必

=4,

|CiC|=J(3—0)2+(4-0/=5,n-r\<d<r\+n,故两圆相交，所以C与

G的公切线恰有2条，G与G相交弦的方程为3x+4j-9=0,G到相交弦的距

离为最

故相交弦的弦长为2小—(J=g.若P,0分别是圆Cl,C2上的动点，则|P0|max

=|。1。2|+片+厂2=12.故选8口.

(3)VZAPB=90°,.,.点P的轨迹是以48为直径的圆O,半径为m,故点P是

圆。与圆。的交点，圆C:(x-3)2+(y-4)2=l的圆心为(3,4),半径尸=1,

=V32+42=5,因此两圆相切或相交，

艮百冽—1|WA/32+4?W加+1,解得4WMW6.]

名师点评1.判断两圆位置关系的方法

常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数

法.

2.两圆公共弦长的求法

先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d,弦长的一半g半

径r构成直角三角形，利用勾股定理求解，且/=2"二不

[跟进训练]

2.(1)圆/+(J—2)2=4与圆N+2机工+产+优2-1=。至少有三条公切线，则机

的取值范围是()

A.(-co,-V5]

B.(V5,+oo)

C.(-V5,V5)

D.(-8,-Vs]U+8)

(2)已知点4(0,2),0(0,0),若圆C：(x—a)2+(y—a+2)2=l上存在点”,使

MA-M0=3,则圆心C的横坐标a的取值范围为.

(3)(2022•新高考I卷)写出与圆3+产=1和@—3)2+8—4)2=16都相切的一条

直线的方程.

(1)D(2)[0,3](3)产一江+：或、=示一||或x=—1(从这三条公切线中任选

一条作答即可)[(1)由圆/+。一2)2=4,可得圆心坐标为(0,2),半径为2.

由圆好+2制工+了2+优2—1=0得(X+7〃)2+J?2=1,则圆心坐标为(一机，0),半径为

1.

因为两圆至少有三条公切线，

所以两圆外切或相离，所以STI2+4三3,

解得机W一花或能三匾.故选D.

(2)设M(x,j),因为Z(0,2),<9(0,0),

所以西5=(—x,2—y),MO=(—x,—y).

因为麻•M0=3,

所以(一x)(—x)+(2-y)(-y)=3,

化简得f+g—1)2=4,

所以点〃的轨迹是以(0,1)为圆心，2为半径的圆.

因为M在C:(x—a)2+(y—a+2)2=l上,

所以两圆必须相交或相切.

所以］-°)2+-2)-1)2<3,

解得0WaW3.

所以圆心C的横坐标a的取值范围为［0,3］.

(3)圆/+y=1的圆心为。(0,0),半径为1,圆(x—3)2+8—4)2=16的圆心01

为(3,4),半径为4,

两圆圆心距为八32+42=5,等于两圆半径之和，故两圆外切.如图，当切线为/

时，因为/co。］=1,所以左/=一；，设方程为y=一3+/(7>0),。到/的距离1=

1344

^^=1,解得，=。，所以/的方程为v=—

94',44

J1+i6

当切线为加时，设直线方程为日+y+2=0,其中2>0,k<0,

由题意向;

(k=-^,

解得!”24所以机的方程为y=2-x-fj.

|一乙32424

当切线为"时，易知切线方程为X=-1.］

考点三圆的切线、弦长问题

考向1切线问题

［典例3］已知点P(&+L2-/)，点M(3,1),圆C：(X—l)2+(y—2)2=4.求：

(1)过点P的圆C的切线方程；

(2)过点〃的圆C的切线方程，并求出切线长.

［解］由题意得圆心C(l,2),半径r=2.

(1)V(V2+1-l)2+(2-V2-2)2=4,

...点尸在圆C,L.

r,2-V2-2,

又环°=百匚T=—1，

切线的斜率左=一二-=1.

kpc

...过点尸的圆C的切线方程是＞一(2-V2)=X-(V2+1),即x-j+l-2V2=

0.

⑵：(3—1)2+(1-2)2=5>4,

.•.点〃在圆C外部.

当过点〃的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,

即x—3=0.

又点C(l,2)到直线x—3=0的距离d=3~1=2=r,

即此时满足题意，所以直线x=3是圆C的切线.

当切线的斜率存在时，设切线方程为y—1=左(》一3),

即kx—y+\—3k=Q,

则圆心C到切线的距离d=匕言用=尸=2,解得k=~.

Vfc2+14

切线方程为y—1=|(x—3),

即3x—4j—5=0.

综上可得，过点河的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4j-5=0.

V\MC\=J(3—1)2+(1-2)2=V5,

...过点Af的圆C的切线长为J|MC|2-/='5-4=1.

考向2弦长问题

[典例4](1)设圆/+产―2x—2y—2=0的圆心为C,直线/过(0,3),且与圆C

交于Z,8两点，若|48|=2四，则直线/的方程为()

A.3x+4y—12=0或4x—3y+9=0

B.3x+4y—12=0或x=0

C.4%—3»+9=0或x=0

D.3x—4y+12=0或4x+3y+9=0

(2)已知直线/：加x+y+3加-V5=0与圆12+y2=]2交于B两点，过B分

别作/的垂线与X轴交于c,。两点.若|4B|=2g,则|CD|=.

(1)B(2)4[(1)当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,联立方程得

.=0，^^x=0^弋/久=0，

*+y2—2%—2y—2=0,(y=1—V3(y=1+V3,

/.\AB\=243,符合题意.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为3；=丘+3,•.•圆万2+/一2%一2y—2=

0,即(X—1)2+。一1)2=4,其圆心为C(l,1),圆的半径r=2,圆心C(l,1)到

直线＞=丘+3的距离d=阳=猊，惇)2=己

...当¥+3=4,解得上=—3.•.直线/的方程为？=—&+3,即3x+4y—12=

/c'+l44

0.

综上，直线/的方程为3x+4j-12=0或x=0.故选B.

⑵由直线/:m+.y+3m一百=0知其过定点(―3,V3),圆心。到直线/的距离

为公整型

美尹/+(⑹2=12,解得机=一季又直线/的斜率为一掰=?

所以直线/的倾斜角a=：

6

画出符合题意的图形如图所示，过点C作CELAD,则N£)CE=E.在Rt^CQE

6

中，可得QD尸幽=2gx嚏=4.]

cosaV3

名师点评求圆的切线、弦长时需注意的问题

(1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线，特别注意斜

率不存在的情况.

(2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两

条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误.

[跟进训练]

3.(1)由直线y=x+l上的动点尸向圆C：(x—3)2+俨=1引切线，则切线长的最

小值为()

A.1B.2V2

C.V7D.3

(2)(2021•北京高考)已知圆C：x2+y2=4,直线/：y=kx+m,若当上的值发生

变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2,则他的取值为()

A.±2B.±V2

C.±V3D.±3

⑴C(2)C［(1)如图，切线长1PM=J|PC|2—1,显然当|PC|为C到直线y=x

+1的距离即号=2鱼时，|PM|的最小值为近，故选C.

(2)因为直线/截得圆C弦长的最小值为2,所以圆心C(0,0)到直线/的最大距

离tZmax=j22-Qx2)2=V3,由题意知直线I的方程为kx~y+m=Q,圆心C(0,

0)到直线I的距离d=-^==,当k=Q时，d取得最大值，为附=旧，解得m=±V3.

故选C.］

考点四与圆有关的综合问题

［典例5］已知圆。：x2+y2=2,直线/：y=kx-2.

(1)若直线/与圆。交于不同的两点48,当NZ05为锐角时，求左的取值范围;

(2)若左=：,尸是直线/上的动点，过尸作圆。的两条切线尸C,PD,切点为C,

D,探究：直线是否过定点.

［解］(1)设48的坐标分别为(XI,-),(X2,”),

将直线/:2代入，+产=2,

整理得(1+左2)N—4日+2=0,

・I_4/c_2

・・%1+%2-i+12，-1+12,

/=(一4左)2—8(1+/)>0,即左2>1,

当NAOB为锐角时，

OA•OB=x\X2~\~y\yi=xiX2+(Axi—2)(kx?-2)

=(1+^)x1x2—2k(x\+x2)+40,解得RV3,又k2>1,—V5VkV—1

1Irt

或

故上的取值范围为(一四，-l)u(l,V3),

(2)由题意知。，P,C,。四点共圆且在以。尸为直径的圆上.设尸(t,|t-2),

以0P为直径的圆的方程为x(x—r)+v(y-|t+2)=0,

x2—Zx+v2-Qt—2)y=0.

又C,。在圆。：/+产=2上，

两圆作差得/CD：rx+Qt-2)J-2=O,

即(％+£)/_2了_2=0,

1

%+7=0,x=-,

由2得

2v+2=0.尸一1,

直线CD过定点G，-1).

名师点评立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关

键.同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度.

［跟进训练］

4.已知直线/：4x+3y+10=0,半径为2的圆C与/相切，圆心。在x轴上且

在直线/的右上方.

⑴求圆C的方程；

(2)过点M(l,0)的直线与圆C交于Z,8两点(Z在x轴上方)，问在x轴正半轴

上是否存在定点N,使得x轴平分NNNB?若存在，请求出点N的坐标；若不存

在，请说明理由.

［解］⑴设圆心C(a,0)(a>-|),则嗯码=2=。=0或。=—5(舍)，所以圆C

的方程为x2+v2=4.

(2)当直线轴时，x轴平分NZNB.

当直线N5的斜率存在时，设直线Z5的方程为y=k(x—l),N9,0),A(xi,yi),

8(X2,J2),

%2+丫2=4

''得(左2+1)%2—2左2%+左2—4=0,

(y=k(x-1),

d、，I2/k2—4

所以阳+垃=豆五，%1%2=豆、

若X轴平分NZNB,则kAN=-kBN^—+且=00蛆口+蛆己=0=2%凶一。

%]-t%2—t%]一t%2-t

+1)(XI+X2)+2/=0今替了一笔詈+2/=00/=4.所以当点N为(4,0)时，能

使得ZANM=ZBNM总成立.

综上，存在定点N(4,0)满足题意.

课时分层作业(五十三)直线与圆、圆与圆

的位置关系

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.(2024•河北张家口模拟)已知点?(xo,/)为圆C：N+廿=2上的动点,则直

线/：xox—yop=2与圆。的位置关系为()

A.相交B.相离

C.相切D.相切或相交

C［由题意可得焉+*=2,于是圆心C到直线/的距离d=—r^=^=~r==V2=r,

J/42+।yo2v2

所以直线和圆相切.

故选C.]

2.(2023•吉林延边州二模)经过P(2,3)向圆/+产=4作切线，切线方程为()

A.5x—12j+26=0

B.13x-12j+10=0

C.5x—12y+26=0或x=2

D.13x—12y+10=0或x=2

C［当切线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线.

当切线斜率存在时，设切线方程为＞一3=左(》一2),

由(0,0)到切线距离为d=^^=2,得T，

此时切线方程为j—3=^(x—2),

即5x-12y+26=0.故选C.]

3.(2024,广东梅州模拟)若直线/：mx-\-ny+m=0将圆C：(%—2)2+j2=4分成

弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为()

A.工B.丹

2

D.金

c44

D[令直线/与圆C交于点Z,B,依题意，ZACB=12Q°,ZABC=30°,而圆

C的圆心C(2,0),半径尸=2,

因此点C到直线/的距离d=rsin30。=1,于是d=^-=1,整理得〃=包日m,

Vm2+n2

所以直线/的斜率左=一；=好.故选D.]

4.若曲线＞=74-N与直线胃=碓—2)+4有两个交点,则实数上的取值范围

是()

A.(p1]B.+oo)

C.(1,+8)D.(1,3]

A[根据题意画出图形，如图所示.

由题意可得，曲线了=斤，的图象为以(0,0)为圆心，2为半径的半圆，直线

/恒过2(2,4),当直线/与半圆相切时，圆心到直线/的距离d=r,即耳等=2,

解得左=：;当直线/过8点时，直线/的斜率左=—^==1,则直线/与半圆有

42—(—2)

两个不同的交点时，实数左的取值范围为(；，1].故选A.]

5.右一条光线从点Z(—2,—3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+(y—2)2=1相

切，则反射光线所在直线的斜率为()

5332

或

A-----或--

3523

B,或

54D..43

C或

------

434

-

D［点(一2,5—3)关于y轴的对称点为(2,-3),由题意知，反射光线所在的直

线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的

方程为y+3=k(x-2),即kx—y—2k—3=0.由反射光线与圆相切，得匕迎

=1,解得左=一［或左=—|.故选D.］

6.(2023•新高考I卷)过点(0,—2)与圆好十俨―以一1=0相切的两条直线的夹

角为a,则sina=()

A.1B.四

4

u.V—10nu.—遥

44

B［如图，由》2+72一以一1=0得(》-2)2+产=5,所以圆心坐标为(2,0),半径

r=V5,所以圆心到点(0,—2)的距离为J(2—0)2+(0+2>=2五,由于圆心与

点(0,—2)的连线平分角a,所以5出§=力=粤=空所以cos5=*，所以

sina=2sin^cos|=2x平x乎=平.故选B.］

7.(2023•山东济宁二模)在平面直角坐标系中，过点P(3,0)作圆O：(x—l)2+(y—

2旧)2=4的两条切线，切点分别为4B,则直线Z8的方程为()

A.x—V3y+3=0B.x+V^y+3=0

C.V3x—v+3=0D.V5x+y+3=0

A［圆O:(x—l)2+(y-2b)2=4的圆心为0(1,2呵,半径为2,

以尸(3,0),0(1,28)为直径，则尸O的中点坐标为N(2,V3),\P0\=

J(3-l)2+(0-2V3)2=4,

所以以N为圆心，P0为直径的圆的方程为(x-2)2+(y—g)2=4,

因为过点尸(3,0)作圆。：(x—1)2+。一2百)2=4的两条切线，切点分别为2,

B,所以48是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦48的方程为x—四

+3=0.故选A.]

8.(2024•山东师范大学附中校考模拟预测)在平面直角坐标系。孙中，点2(0,

3),直线/：y=2x—4.设圆C的半径为1,圆心在/上.若圆C上存在点

使K4|=2怨0|,则圆心C的横坐标。的取值范围为()

A.[若)B.(鸣eg罔D.得

D[因为圆心C的横坐标为a,则圆心。的坐标为(a,2a—4),则圆。的方程为

(x-a)2+(y-2a+4)2=l,设M(x,y),^\MA\=2\MO\,

可得JN+(y—30=2j/+y2,整理得》2+0；+1)2=4,则圆(x—qy+o—Za

+4)2=1与圆x2+(v+1)2=4有公共点，则2—1WJ(0-a)2+(—1—2a+4>W2

+1,

即1W5/—12a+9W9,解得OWaW3.故选D.]

二、多项选择题

9.(2023•广东肇庆二模)已知圆C：(x—1)2+。-2)2=25,直线/：(2m+l)x+(m

+l)j—7m—4=0,则()

A.直线/过定点(3,1)

B.直线/与圆。可能相离

C.圆C被了轴截得的弦长为4e

D.圆。被直线/截得的弦长最短时，直线/的方程为x+2y—5=0

2%+v—7—0(x=3

'得｛'即/恒

(x+y—4=0,ly=1,

过定点(3,1),A正确；点(3,1)与圆心(1,2)的距离d=花<5,故直线/与圆C

恒相交，B错误；令x=0,则(0—1)2+0—2)2=25,可得y=2±2乃，故圆C被

y轴截得的弦长为4e，C正确；要使直线/被圆C截得弦长最短，只需点(3,1)

与圆心(1,2)连线垂直于直线/,所以直线/的斜率为一生龙=2,可得机=—二

m+14

故直线I为2x-j-5=0,D错误.故选AC.]

10.(2021•新高考I卷)已知点尸在圆(x—5)2+。-5>=16上，点Z(4,0),8(0,

2),则()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点尸到直线Z5的距离大于2

C.当N0氏4最小时，|08|=3四

D.当NP"最大时，|08|=32

ACD[设圆(x—5)2+。一5)2=16的圆心为M(5,5),由题易知直线Z8的方程为

7+^=1,即x+2y—4=0,则圆心/到直线Z3的距离d=空竿型=皆>4,

42V5V5

所以直线45与圆河相离，所以点尸到直线AB的距离的最大值为4+d=4+*

V5

,4+^<5+喀=10,A正确.

V575

易知点尸到直线48的距离的最小值为d—4=]—4,黄一4V1整一4=1,B不

正确.

过点5作圆M的两条切线，切点分别为N,Q,如图所示，连接"B,MN,MQ,

则当ZPBA最小时，点尸与N重合，\PB\=y/\MB\2-\MN\2=752+(5-2)2-42

=3/，当NPBZ最大时，点P与Q重合，|PB|=3a,C,D都正确.故选ACD.

]

X

三、填空题

I.(2023•新高考n卷)已知直线X—即+1=0与。C：(X—1/+产=4交于2,

8两点，写出满足“△Z5C面积为的机的一个值：.

2(2,-2,"中任意一个均可)[设直线x—玫y+l=0为直线/,由条件

2

知。C的圆心C(l,0),半径R=2,C到直线/的距离4=,\AB\=2y/R2-d2

=214-(二声4由SA4BC=N,得2义声/义厂」=£,整理得2机2—5附

+2=0,解得机=±2或7〃=g故答案可以为21

12.(2024•南京师大附中模拟)已知圆。1"2+廿+2⑪+层—4=ogcR)与圆Cz：

d十俨一2勿一1+62=OSGR)只有一条公切线，则a+b的最小值为.

-V2[圆Ci：x2+V+2ax+a2—4=0的圆心Ci(—a,0),半径门=2,圆G：

d+廿―2勿—1+〃=0的圆心。2(0,b),半径「2=1,由两个圆只有一条公切线

可得两个圆内切，圆心距|。1。2尸，。2+匕2=2—1=1,

所以可得屋+〃=1,设。=(\)50{,Z)=sina,aGR,

所以a+b=/sin(a+；)©[—a,V2],当且仅当a+；=一]+2E,左©Z时，

即0£=—乎+2E,左©Z时，a+6的最小值为一企.]

4

13.已知点尸为直线/：x—,v+l=0上的动点，若在圆C：(x—2)2+8-1)2=1

上存在两点M,N,使得N〃PN=60。，则点尸的横坐标的取值范围为.

[0,2][圆C:(x—2)2+(y—1)2=1的圆心为C(2,1),半径尸=1,当PM,PN

与圆C相切且N〃PN=60。时，\PC\=2r=2,

以C(2,1)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x—2)2+。-1)2=4,

x-

-7v+1=0

71消去y并化简，得2x=0,

((x-2)2+(y-l)2=4

解得x=0或x=2,所以点尸的横坐标的取值范围为[0,2].]

14.已知。C：x2~i-y2—2x—2y—2=0,直线/：x+2y+2=0,Af为直线/上的动

点，过点M作0c的切线跖4,MB,切点为aB,当四边形M4C8的面积取最

小值时，直线Z8的方程为.

x+2y+l=0[OC:/