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文档简介

4.1.2圆的一般方程

圆的一般方程(1)当①

D2+E2-4F>0

时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为②

,半径长为③

.(1)x2和y2的系数相等且不为0;(2)不含xy项.x2+y2+Dx+Ey+F=0的说明(1)当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,它不表示任何图形.(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-

,y=-

,它表示一个点

.(3)当D2+E2-4F>0时,方程表示以

为圆心,

为半径长的圆.

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.x,y的二元二次方程,反之也成立.

(

✕)任意的关于x,y的二元二次方程不一定是圆的方程.x2+y2+2x=0表示以(-1,0)为圆心,1为半径长的圆.

(√)l将圆x2+y2-8x+2y+8=0平分,则l必过圆心(4,-1).

(√)x2+y2+x+1=0表示圆.

(

✕)因为D2+E2-4F=-3<0,所以方程不表示圆.x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆.

(√)方程可化为x2+y2+ax-ay=0.因为D2+E2-4F=2a2>0,所以方程表示圆.

与圆有关的轨迹问题

平面上一动点M,按照一定规则运动,形成的曲线叫做动点M的轨迹,在坐标系中,

这个轨迹可用一个方程表示,这个方程就是点M的轨迹方程.(1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)列出适合条件P的点M的集合{M|P(M)};(3)用坐标表示P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.也可简记为:建系、设点、列式、代换、化简、证明.

已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程(O为坐标

原点).思路点拨P与被动点M坐标之间的关系,把主动点P的坐标用被动点M的坐标表示,然后代入主动点满足的轨迹方程即可.思路二:定义法.动点的轨迹满足某种曲线的定义,然后根据定义直接写出动点的

轨迹方程.解析

解法一:设点M(x,y),点P(x0,y0),则

所以

因为点P(x0,y0)在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上,所以

+

-8x0-6y0+21=0,所以(2x)2+(2y)2-8×(2x)-6×(2y)+21=0,即点M的轨迹方程为x2+y2

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