七年级数学下册 实数压轴四大类型（解析版）

专题05实数压轴四大类型

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考点一：利用数轴化简根式

考点二：比较大小与实数估算

考点三：新定义问题

考点四：实数综合应用

典例精讲

【考点一：利用数轴化简根式】

【典例11(2023春•白城期中)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达

点、B,点A表示设点B所表示的数为

(1)实数m的值是2-;

(2)求|加+1田山-1|的值；

(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d,且有|2c+d|与苗d?_16互为相反数，

求2c-3d的平方根.

AB

-2-1012

【答案】⑴2-V2；

(2)2；

(3)±4.

【角军答]解：(1)m--、/"^+2=2-A/2；

(2),:m=2-五,贝!JM+1>0,m-KO,

/.|m+l|+|m-l|=m+l+l-m=2；

答：\m+\\+\m-1|的值为2.

(3)...|2c+@与4d2_]6互为相反数,

|2c+d[+4d2-16=。’

：.\2c+d\=0,且在2_]6=0,

解得：C=-2,d=4,或c=2,d=-4,

①当c—-2,d=4时，

所以2c-3d=-16,无平方根.

②当c=2,d=-4时，

••2c-3d=16,

2c-3d的平方根为±4,

答：2c-3d的平方根为±4.

【变式1-1](2023春•海林市期末)己知实数a,b,c在数轴上的位置如图，化简|a-c|-|。

-"的结果是()

]________I_______I_________________I_____

Ca0b

A.2a-b-cB.b-cC.-b-cD.-2a-b+c

【答案】A

【解答】解：由数轴可得cVaVOV。，

贝!Ja-c>0,a-b<0,

===

那么|a-c\-\a-b\a-c-(Z?-a)a-c-b-^-a2a-b-c9

故选：A.

【变式1-2](2023秋・济宁期末)实数〃2在数轴上的位置如图,则|〃-切-M\=-2a.

------11?------►

a----0-------------------b

【答案】-2a,

【解答】解：由数轴可得：a<O<b,\a\<\b\,

•*.\a-b\-\a+b\—b-a-a-b--2a.

故答案为：-2a.

【变式1-3](2022春•南通期末)如图，mb,c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数,试

化简：式^+|〃+例+,(a+b)3--

_|——,——I--------------!_>

BA0C

【答案】b.

【解答】解：由数轴可得：c>0,〃+。<0,b-c<0,

原式=c-〃-Z?+(a+Z?)+(Z?-c)

=b.

【变式1-4］（2022秋•农安县期中）已知：表示服b两个实数的点在数轴上的位置如图所

示，请你化简|a-b|+V（a+b）2,

-----------------------111----------------->

b------a--------------------o

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由图示知，b<a<Q.则a-b>0,a+b<Q.

所以原式=a-6-（a+b）=-2b.

【考点二：比较大小与实数估算】

【典例2】（2023秋•岳阳楼区期末）大家知道近的小数部分我们不可能全部地写出来，于

是可以用&-1来表示&的小数部分（因为血的整数部分是1,将这个数减去其整数

部分，差就是小数部分）.

（1）如果的小数部分为a,的整数部分为6,求a+6-的值1.

（2）已知：21+其中x是整数，且0<y<l,求x-y的相反数-27_.

【答案】（1）1;

（2）V10-27.

【解答】解：（1）vV4<V7<V9,BP2<V7<3,

4的整数部分为2,小数部分为-2，

.•.a=W-2，

,•,V9<Vll<Vi6,BP3<V11<4,

••./五的整数部分为3,小数部分为JU-3，

:・b=3,

a+b-W

=V7-2+3-V7

=3-2+V7-V7

=1,

故答案为：1;

（2）1.,V9<VTO<V16,BP3<V10<4,

A3+21<21+710<4+21,即24<21WTU<25,

V21+Vio=x+y,其中X是整数，且0<y<l,

.•.x=24,j=21+710-24=710-3,

**.x-y

=24-（V10-3）

=24-710+3

=24+3-百5

=27-V7O>

的相反数为：V10-27-

故答案为：V10-27.

【变式2-1］（2023秋•华容县期末）下列整数中，与10-J石最接近的是（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【解答］解:V9<13<16,

•,-3<V13<4,

.•.6<10-A/13<7,

V3.52=12,25,且12.25C13,

•*-VT3>3.5,

.*.10-V13<6.5,

与10-W5最接近的整数是6.

故选：B.

【变式2-2］（2022秋•驿城区期末）已知6+775的小数部分为a,6-百5的小数部分为b,

则（。+6）2023的值是（）

A.1B.-1C.10D.36

【答案】A

【解答】解：•♦•3<技<4,

/.9<6+710<10,2<6-V10<3

6-*Vio的小数部分为6-tVTo-9=VIo-3，6-VIo的小数部分为

（6-710-2）=4-710-

a=V10_3,b=4-V10

；•（a+b严23=（134一届产23

故选：A

【变式2-3］（2023秋•昌黎县期末）阅读下面的文字，解答问题：

大家知道我是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此血的小数部分我们不可能全

部写出来.将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为&的整数部分是1,于是

用a-1来表示正的小数部分.又例如：即2<小<3,的

整数部分是2,小数部分为4-2.

（1）的整数部分是4,小数部分是

（2）若〃分别是67/^的整数部分和小数部分，求3m-"2的值.

【答案】（1）4,V17-4；

（2）675-5.

【解答】解：（1）vV16<V17<V25.即4<旧<5,

的整数部分是4,小数部分是JF-4，

故答案为：4,717-4；

（2）vV4<V5<V9,BP2<V5<3,

/.-3<-V5<-2,

-3+6<6-娓<6-2,

3<6-V5<4,

，6f芯的整数部分是3,小数部分是6-V^-3=3-旗，

.■.7?j=3,n=3-V5>

3m-n2

=3X3-（3/）2

=9-（9+5-6^5）

=9-9-5+6^5

—6A/5-5.

【典例3】（2023秋•顺德区校级月考）比较大小，a<2.5；返二1>■填“>”

33

或

【答案】<,>.

【解答】解：：（讥）2=6,2.52=6.25,

而6<6.25,

/.V6<2.5,

V4<5,

/.2<V5,

1<V5-L

故答案为：＜,＞.

【变式3-1］（2023春•大洼区校级期末）比较大小：逅二1＞1.

22

【答案】＞.

【解答】解：：遍＞2,

V6-1〉1,

故答案为：＞.

【变式3-2］（2023秋•裕华区校级期中）若a=2炳,b=3&,c=J5+2,则a,b,c之

间的大小关系是（）

A.c>b>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】D

【解答】解：V72^1.414,遥=2.236,

.•.4^4.472,6-4.242,c^3.414,

•'•a>b>c9

故选：D.

【变式3-3］（2023春•益阳期末）2/、J砺、15三个数的大小关系是（）

A.2V14<15<V226B.7226<15<2^14

C.2V14<V226<15D.V226<2V14<15

【答案】A

【解答】解：2g=病，15=倔^,

V56<225<226,

AV56<V225<V226-

••-2V14<15<V226.

故选:A.

【考点三：新定义问题】

【典例4]（2023秋•碑林区校级月考）对于整数n,定义[4]为不大于、石的最大整数，

例如：[愿]=1,]=2，[V5]=2.对72进行如下操作：

72第一次[V72]=8第二次[V8]=2第三次[&]=1，即对72进行3次操作后变

为1,对整数机进行3次操作后变为2,则机的最大值为（）

A.80B.6400C.6560D.6561

【答案】C

【解答】解：A、[V80]=8，[V8]=2,[V2]=l,不符合题意；

B、lV6400]=8O,[屈]=8,[&]=2,不是最大，不符合题意；

C、W6560]=80，[V80]=&[a]=2，

.•.对6560只需进行3次操作后变为2,符合题意；

D.V[V6561]=8L[我T]=9，[内]=3，

...只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560,

：.m的最大值为6560.

故选：C.

【变式4-1]（2023春•青秀区校级期末）定义一种新运算“△"，a^b=（T-ab,则加

的值为（）

A.1-V2B.1+V2c.2-V2D.2W2

【答案】c

【解答】解：由题意得X1=2-&.

故选：C.

【变式4-2]（2023春•清丰县校级期末）对于实数4、b,定义mi"{a,/?}的含义为：当〃VZ?

时，min{a,b}=a；当d>b时，min{a,/?}=/?,例如：min{1,-2}=-2.已知min{yj30»

a}=a,mm{V30，6}=J而，且a和b为两个连续正整数，则2a-b的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解答】解：•.."威a]=a,min{-\[30,ft}=V30-

.,.a<V30，Z?>V30.

■：a,b是两个连续的正整数.

・・〃=5,。=6.

2a-0=2X5-6=4.

故选：D

【考点四：实数综合应用】

【典例5】（2023秋•市中区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6

和9.

（1）小正方形的边长为—娓它在2和3这两个连续整数之间;

（2）请求出图中阴影部分的面积.（结果保留根号）

【答案】（1）V6；2；3；（2）3^6-6-

【解答】解：（1）•••小正方形的面积为6,

...小正方形的边长为遥，

V4<6<9,

2<V6<3.

它在2和3这两个连续整数之间.

故答案为：V6；2；3.

（2）阴影部分的面积为：V6X（3-V6）=3V6-6.

【变式5-1］（2023•丰南区一模）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.

（1）求出这个魔方的棱长；

（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD求出阴影部分的面积及其边长.

（3）把正方形ABC。放到数轴上，如图②，使得点A与-1重合，那么点。在数轴上表

图①图②

【答案】见试题解答内容

【解答】»：（1）设魔方的棱长为X,

则丁=8,解得：x=2；

(2)•棱长为2,

每个小立方体的边长都是1,

正方形ABC。的边长为：V12+12=V2;

:・S正方形A5co=(加产=2；

(3)•正方形ABC。的边长为&，点A与-1重合，

...点。在数轴上表示的数为：-1-圾，

故答案为：-1-V2-

【变式5-2](2023春•无为市期末)(1)在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出

一块面积为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长；

(2)小强的手中有两块边长都为4cHi的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线

剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积.它的边长是整数吗？

若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间.

【答案】(1)5cm；

(2)面积为32。层,边长为/至cm,J森不是整数，5<V32<6.

【解答】解：(1)面积为25c序的正方形，其的边长为J元=5a〃，

答：面积为25。层的正方形，这个正方形的边长为5on；

(2)由拼图可知，大正方形的面积为325？，

所以边长为,

V52=25,62=36,而25<32<36,

•••5<V32<6,

答：这个大正方形的面积为32,m2,边长为J而CTO,J至不是整数，5<V32<6.

【变式5-3](2023春・鄂城区期中)观察：；4<7<9,；.2<*<3；.小的整数部分为2,

小数部分为我-2.

（1）西的整数部分是6,10一历的小数部分是7-历；

（2）小明将一个长为10c〃z,宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪

出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3,面积之和为75c»?,小明能否裁

剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理

由.

【答案】（1）6,7-V47；（2）小明无法裁剪这两个正方形.

【解答】解：（1）V36<47<49,

.•.6<V47<7,

•..丁万的整数部分是6,

10-商的整数部分是3,10-衣的小数部分是7-A/47-

故答案为：6,7-V47；

（2）设小正方形的边长为3XC777,则大正方形的边长为4xcm,

根据题意得：（4x）2+（3尤）2=75,

解得：x=a或x=_a（舍），

小正方形的边长为3如四,大正方形的边长为4V3cm,

：3百+4我=76=VI通>>7155=10，

小明无法裁剪这两个正方形.

d专题训练

选择题（共6小题）

1.如图，点A,C都是数轴上的点，AB=AC,则数轴上点C所表示的数为（）

A.1-V10B.-V5C.-V5+1D.-V10-1

【答案】A

【解答】解：A、B、-2处的点构成了直角三角形，

{32+F=V10,

\"AB=AC,

：.AC=yflQ,

•••c点所表示的数为-行+i,

故选：A.

2.实数a,b,。在数轴上的对应点的位置如图所示，若|b|=|c|,则下列结论错误的是（）

A.a+c<0B.a-b<0C.ab<QD.—<^Q

c

【答案】C

【解答】解：：依=|。|，

...原点在表示6和c的两点之间线段的中点处，

.,.a<b<0,|a|>|b|,c>0,|a|>|c|,

.\a+c<0,a-b<0,ab>0,2<。,

c

.,.A,B,。选项的计算正确，C选项的计算错误，

故选：C.

3.正方形纸板ABC。在数轴上的位置如图所示，点4。对应的数分别为1和0,若正方

形纸板ABC。绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2022对应的

点是（）

Ci——|B

।।DA।।।.

-2-101234

A.DB.CC.BD.A

【答案】C

【解答】解：•••正方形纸板ABC。在数轴上点A、。对应的数分别为1、0,

正方形ABC。的边长为1,

...转动时点A对应的数依次为1、5、9、……；

8点对应的数依次是2、6、10、……；

C点对应的数依次是3、7、11、……；

。点对应的数依次是4、8、12、……；

2022=4X505+2,

故对应的是第505次循环后，剩余第二个点，即8点.

故选c.

4.已知人6是表中两个相邻的数，且a<J丽<b,贝Ua=（）

X1919.119.219.319.419.519.619.719.819.920

X2361364.81368.64372.49376.36380.25384.16388.09392.04396.01400

A.19.4B.19.5C.19.6D.19.7

【答案】A

【解答】解：：19.42=376.3,19.52=380.2,

.\376.3<380<380.2,

.,.V376.3<7380<7380.2,

/.19.4<7380<19.5,

**•4=19.4»

故选：A.

5.已知a是（-2）2的负的平方根，b=|_^2।,c=如瓦,则a,b,c中最大的实数

与最小的实数的差是（）

A.-2B.6C.-8D.-A

2

【答案】B

【解答】解：是（-2）2的负的平方根，b=I，。=安瓦，

.•.4=-2,0=2,c--4,

・•・〃，Ac中最大的实数为2,最小的实数为-4,

.*.2-（-4）=6,

故选：B.

6.定义一种新运算“△”，aAb^a2-ab,则如的值为（）

A.1-72B.1+>/2C.2-V2D.2+V2

【答案】c

【解答】解：由题意得加6历）2_J2x1=2-7伤・

故选：C.

二.填空题（共3小题）

7.对于实数P,我们规定:用小｝表示不小于心的最小整数.例如：筋｝=2,｛愿｝=2,

现在对72进行如下操作：

72第一次｛V72]=9第二次函｝=3第三次[V3]=2,即对72只需进行3次操作后变

为2.类比上述操作：对36只需进行3次操作后变为2.

【答案】3.

【解答】解：根据定义进行运算得，将36按照题目的定义进行运算求解.36第一次｛倔｝

=6第二次｛粕｝=3第三次｛、巧｝=2,

.•.对36只需进行次操作后变为3,

故答案为：3.

8.如图，面积为a（a>l）的正方形A8CD的边48在数轴上，点2表示的数为1.将正方

形A8CD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为AECD,点A、B、C、。的对应点分

别为A、B\C、D',移动后的正方形ABC。与原正方形ABC。重叠部分图形的面积记

为S.当S=«时，数轴上点8表示的数是J7或2-J；（用含。的代数式表示）.

【答案】或2-Va-

【解答】解：因为正方形面积为。，

所以边长AB=Va>

当向右平移时，如图1,

因为重叠部分的面积为S=AB'-AD=yj-a>

AB'X

所以A8=l,

所以平移距离BB三AB-AB'=Va-h

所以OB,=OB+BB,=1+Va-l=Va-

则2'表示的数是

当向左平移时，如图2,

因为重叠部分的面积为S=A'B'A'D'=^,

A'BXVa=Va>

所以A3=l,

所以平移距离BB'=AB-A8=«-1,

所以OB'=OB-B'B=1-（4-1）=2-4，

则8表示的数是2-

9.定义区为不大于x的最大整数，如⑵=2,[V3]=L[4.1]=4,则满足[«]=5,贝”

的最大整数为35.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由题意得：

百<6,

；.25W“<36,

•••〃的最大整数为35.

故答案为：35.

三.解答题(共6小题)

10.阅读理解

1•*V4<V5<V9>即2<遥<3.

...遥的整数部分为2,小数部分为市-2

.•.1<V5-1<2

:.娓-1的整数部分为1.

:.代-1的小数部分为-2

解决问题：已知：a是-3的整数部分，b是-3的小数部分，

求：(1)a,b的值；

(2)(-a)3+。+4)2的平方根.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)vVT6<Vi7<V25-

.\4<V17<5,

.\1<V17-3<2,

.,.a=l,ZJ=VT7~4,

(2)(-a)3+(6+4)2

=(-1)3+(V17-4+4)2

=-1+17

=16,

故(-a)3+(6+4)2的平方根是：±4.

11.已知2a+4的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是4,J石的整数部分是c,求3a-b+c

的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•；2a+4的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是4.

.•.2。+4=8,3a+b-1=16,

：・a=2,b=ll,

•••c是后的整数部分，

，c=3,

：.3a-b+c=3X2-11+3=-2

12.已知5〃+2的立方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,c是的整数部分.

(1