小升初典型应用题：最优化问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学

最优化问题

【知识精讲+典型例题+高频真题1

第一部分1知识精讲

知识清单方法技巧

【知识点归纳】

最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获

得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排

序不等式等内容.下面我们就最优化问题做出汇总分析.

最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力

很有益处.但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举.

第二部分典型例题

例1.某景点门票的售价有以下两种方案:

A方案B方案

成人:160元/人团体(5AJ15人以)

儿童:40元/人100元/人

(1)如果有5个成人、5个小孩,那么怎样购票最合算？

(2)如果有3个成人、5个小孩,那么怎样购票最合算?

【答案】(1)5个成人买团体票，5个小孩买儿童票最合算

(2)按方案二购票合算

【详解】(1)因为5个成人正好能买团体票，所以5个成人买团体票，5个小孩买儿童票最合

算.100x5+40x5=700（元）

(2)方案一：按A方案购买.160x3+5x40=680(元)

方案二：3个成人与2个小孩合起来购买团体票，剩下3个小孩购买儿童票.（3+2）X100+（5-2）x40=620

（元）所以按方案二购票合算.

例2.道路沿线有一些垃圾回收站点，现需要将每个回收站点的垃圾都运送到一个处理场（处理场也可以设

在站点上），希望所有站点到处理场的距离总和最短。

（1）若有2个回收站点，请在下面线上用回标出这个处理场的位置。

.----------------■

站点|站点、2

（2）若有3个回收站点，请在下面线上用回标出这个处理场的位置。

站点1站点2站点3

（3）若有4个回收站点，请在下面线上用回标出这个处理场的位置。

站点站点2||站点3||站占4

（4）若有5个回收站点，请在下面线上用回标出这个处理场的位置。

•二-------------.------■---------------------.

站点山站点2||站点3||站点N|站点5

（5）若有59个回收站点，请说明这个处理场应设的位置。

【答案】（1）站点1与站点2间的任意一点

（2）站点2

（3）站点2与站点3间的任意一点

（4）站点3

（5）站点30

【分析】我们可以先通过前面几个站点比较少的情况来寻找规律，然后再根据总结的规律求解站点比较多

时的情况。

【详解】（1）处理场不论设在站点1还是站点2,还是两个站点之间的任何一个位置，2个回收站点到处理

厂的距离之和始终是站点1和站点2之间的距离。

下面给出一种方法：

•-----------------•

站点1站点2

（2）如果不考虑站点2,那么设在任何位置，对于站点1和站点3,距离和是一样的，加上站点2,还要使

得距离之和最小，那就把处理厂设在站点2处，这样距离增加0；

如图所示：

站点1站点21区占点3

（3）同理，不考虑站点2和站点3,那么设在任何位置，对于站点1和站点4,距离和是一样的，加上站

点2和站点3,相当于是第一种情况，要使得增加的距离最小，把处理厂设在站点2和站点3之间的任何一

点是一样的，当然包括站点2和站点3；

下面给出一种方法：

・♦----▲—.---------------------------.

站点1||站点2||站点3||站点4

（4）和第（2）种情况是一样的，设在中间站点，也就是站点3,距离之和是最小的；

如图所示：

・，，•，---▲---.-----------：——•

站点1||站点2||站点3]|站点5||站点5

（5）可以总结出这样的规律，如果是奇数个站点，就把处理厂设在最中间一个站点，如果是偶数个站点，

就把处理厂设在最中间两个站点之间的任意位置；

若有59个回收站点，应该设在第30个站点处。

【点睛】本题考查的是位置统筹优化的问题，与随后学习的数轴联系紧密，关键是总结出相应的规律来求

解问题。

例3.有150个人要赶到90千米外的某地去执行任务.现有一辆中乘50人，时速为70千米的卡车.若这

些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150个人全部到达目的地所用的时间最少

（上下车时间忽略不计）.

【答案】步行30千米，乘车60千米所用时间最少，为3T小时

【分析】由于卡车只能运送50个人，若将这50个人从起点送到终点，其他人步行到终点，这和150个人

步行到终点所用的时间相同（全部到达时间）汽车没有起到省时间的作用.因此汽车应该把50个人送至某

一点后，返回去接另外50个人，如此往返.另外不乘车的人也应步行前进.总之：车要不停地开，人要不

停地走，最大限度地利用人力和物力.为了省时间，应该同时出发同时到达.由于卡车车座的限制，应将

150个人平均分成3组，每组50个人.同时为了保证同时到达，每组乘车走的路程必须相同，步行也必须

相同.所以一题的关键是每组要乘车走多少路，步行走多少路.

【详解】将150个人平均分成三组，每组50个人，为了使这三组人数到达目的地所用的时间最少，必须使

每一组人都步行相同的路程，乘车相同的路.

如图所示，设每组步行x千米，则乘车（90-x）千米.卡车送完第一组走完（90-xO）千米后返回来接第二

组，与第二组相遇时第二组走了g千米，此时汽车走了由于他们所用

5x

的时间相等，根据时间=路程+速度，可列方程得2，2-解得x=30（千米），即最省时间的方案是

―7010

步行30千米，乘车60千米.所用的时间为玲・3^仆时）.

第三部分［高频真题

1.用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）.那么

煎三只饼至少要几分钟？煎n（n>2）只饼至少要几分钟？

2.如图5所示，一长方体木板，它的长、宽和高分别为6厘米，1厘米和6厘米.有一只小蚂蚁从这块木

板的A点出发爬到B点（其中A点、B点均为这块板长与高的中点），请问，它要如何选择爬行路线，使所

经过的路程最短?

图5

3.有一家五口人要在夜晚过一座独木桥。他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的

父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，

过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟。当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，

连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指。所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥。

但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？

4.车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、10分钟.每台

机器停产一分钟都将造成10元的经济损失.如何安排修复顺序，使经济损失最少？最少要损失多少元？

5.有3个人同时到一个水龙头前接水，甲要用7分钟，乙要用5分钟，丙要用3分钟，你怎样安排接水的

先后顺序，才能使3人等待时间的总和最少.

6.40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗。这40名学生可分为甲、乙、丙三类，每类学

生的劳动效率如右表所示。如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么应如何安排人员才能既完

成挖树坑的任务，又使树苗运得最多？

挖树坑运树苗人数

（个/人）（棵/人）（名）

甲类22015

乙类121015

丙类0.8710

7.有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥。此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌。过桥

的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空。只有一个手电筒。4个人的行走速度不同：小强用1分钟就可以

过桥，中强要2分钟，大强要5分钟，最慢的太强需要10分钟。17分钟后桥就要倒塌了。请问：4个人要

用什么方法才能全部安全过桥？

8.车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每

台车床停产一分钟造成经济损失5元.现有两名工作效率相同的修理工，

⑴怎样安排才能使得经济损失最少？

(2)怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？

9.贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧

饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？

10.有十个村庄，坐落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水。可以用粗、细

两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元。粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村

用水，各村与县城间距离如下图所示(图中单位是千米)，现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？

30524232225

县城彳［^2^3^4^5/|(|

n.小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟

才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问：小明最

快用多长时间能贴完所有的奖状？

12.旅行社有甲、乙两种面包车.甲车可乘坐12人，每辆租金为120元；乙车可乘坐18人，每辆租金160

元.旅行团有58人，怎样租车最便宜，需要多少钱？

13.社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤.制造1公斤乙种产品要

花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤.假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600

元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产

多少公斤时，才能使社办厂获利最大？

14.北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、西安9台，每台机器的运费如表,

如何调运能使总运费最省？

4”站

耍不

杭^H、l西安

北京8001000

洛阳700600

15.一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品。每个车间装卸货物所需工人

数为25、18、27、10、20、15、30.若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工,

所用总人数最合理？

16.如下图，有10个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米.现

在要安装水管，从县城送自来水供给各村.可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能

供一个村用水.粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元.把粗管和细管适当搭配，互相连接，

可以降低工程的总费用.按你认为最节约的办法，费用应是多少元?

17.国庆节期间，华夏旅行社推出以下两种优惠方案.

A方案：团体10人以上（含10人）每位100元.

B方案：成人每位130元，儿童每位70元.

（1）如果4个家长带6个孩子去旅游，那么选哪种方案合算？

（2）如果8个家长带2个孩子去旅游，那么选哪种方案合算？优惠多少钱?

18.在一个漆黑的晚上，有甲、乙、丙、丁四人要经过一座桥，而他们只有一只手电筒，一次同时最多可

以有两人一起过桥，而过桥的时候必须有手电，所以就要有人把手电筒带来带去，来回于桥的两端.手电

筒不能用丢的方式来传递.四人步行的速度不同，若两人同行，则以较慢者的速度为准.已知甲、乙、丙、

丁四人过桥的时间分别是2分钟，3分钟，7分钟，十分钟，你怎样安排他们在最短的时间内全部过桥？这

个最短时间是多少分钟？

19.有5位探险家计划横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米

的汽油.显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠.于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点

的前提下，让一辆车穿越沙漠.当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油（但不允许将汽油放在途中）.问:

穿越沙漠的那辆车最多能穿越多远的沙漠？

20.某天多多需要完成的作业：上网查资料（10分钟）、打印资料（5分钟）、读英语故事（4分钟）、练口

算（3分钟），她应该如何合理安排完成各项作业呢？最少需要多长时间？

21.北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器，准备给武汉11台，西安5台，每台机器的运费如表,

如何调运能使总运费最省？

武汉西安

北京500600

上海7001000

22.小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木

桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人

拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥.…直到4人都通过小木桥。已

知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要L5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟。

那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？

23.（广州）甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行36

千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米.求三人同时到达的最短时间为多

少小时？

24.一个小型物流公司有6个货站A、B、C、D、E、F,每个货站需要的装卸工人数分别为6、4、8、5、3、

4人.公司有4辆汽车在这6个货站间进行循环运输，为了节省人力，装卸工人可以随车到各货站去，也可

以固定在各站.公司应如何安排工作，才能使装卸工最少？装卸工最少需多少人？

25.有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合,

可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？

26.六一儿童节，四一班44名同学和李老师到游乐园去欢庆节日.买票时他们看到游乐园对团体票有优惠，

原来每人每张票2元，现在购买一张15元的团体票就可以让10人进去.如果请你去买票，那么你认为怎

样买票最合算？

27.妈妈下班回家做饭，淘米要2分钟，煮饭要30分钟，洗菜要9分钟，切菜要8分钟，炒菜要12分钟.如

果煮饭和炒菜要用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用多长时间？

28.某加油站每次只能对一辆车进行加油.加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5

分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟.现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站

加油.问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最

省？

29.早餐店炸油饼，油锅一次最多能炸2张饼，炸熟一张饼要4分钟（正反面各2分钟）.如果一个客人要

9张饼，早餐店老板最快多少分钟可以把油饼给他？

30.烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的

锅来烙2007块饼，至少需要多少分钟？

31.理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40

分钟.请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间是多

少？

32.如下图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在想设立

一个公交站，使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？

A---------B~~5---------5----------------E----------------F

33.国际象棋比赛的奖金总数为10000元，发给前五名。每一名次的奖金都不一样，名次在前的钱数是比

名次在后的钱数多，每份奖金钱数都是100元的整数倍。现在规定，第一名的钱数是第二、三名两人之和，

第二名的钱数是第四、五名两人之和，那么第三名最多能得多少元？

34.如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交

站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？

♦♦♦♦・

Anrnf

35.用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼.如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问

煎1993个饼至少需要几分钟？问煎1994个饼至少需要几分钟？

36.王林有很好的生活习惯.下面是他每天早上上学之前要做的一些事情.

穿衣叠被刷牙洗脸整理房间收听广播整理书包吃早餐

5分钟5分钟8分钟30分钟2分钟6分钟

王林要做完这些事情至少需要多少分钟？如果他和好朋友约好7时30分一起去上学，他最迟要什么时候起

床？

37.有大、中、小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通

过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水.

38.某人从金坛出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛.已知各城市之间的路费如下表所

示，请为他设计一条路费最省的路线.（表中单位：元）

金坛常州扬州苏州杭州

金坛030405060

常州300152530

扬州401501525

苏州502515015

杭州603025150

39.少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发，跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B

点.接着从B点再次跑到墙边用手触摸墙壁后，跑回C点，问如何选择最短路线以节省时间，请在图中标

出来.

40.如图，有一只轮船停在M点，现需要从OA岸运货物到OB岸，最后停在N点，这只船应如何行走才

能使路线最短？

B

41.用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几

根？怎么截法最合算？

42.一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1,2,3,4,5,相邻两楼的距离都是50米。第1号楼有1名

职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班......，第5号楼有5名职工在A厂上班。A厂计划在直街

上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在

距1号楼多少米处？

43.设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二

个人的桶需要2分钟，……。如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费

时时间最少？最少的时间是多少？

44.学校举行乒乓球团体比赛，每班派出了3名运动员参赛.规定三场比赛至少两场获胜方为最终胜者.四

⑴班按运动员的成绩好坏派出前三名甲、乙、丙，四(2)班按成绩好坏派出前3名A、B、C.两个班同一层次

的同学水平比较接近.四⑵班想赢下这次比赛，应该怎样排兵布阵呢？

45.在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。

现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓

库运费最少？

噌现唾2隼呼6Q.

ARCnK

46.暑假到了，一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游.甲旅行社的收费标准是：如果买4张

全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠.这两家旅

行社的原价是大人小孩均为全票，每人100元.如果你是这个家庭的一员，从所花费用的多少考虑，你建

议选择哪家旅行社？为什么？

47.育红小学要组织春游，共有30名教师和400名学生.下面有两种可以租用的车型.

大车：限乘45人，每辆每天租金800元.

小车：限乘25人，每辆每天租金500元.

怎样租车最省钱呢？需要多少钱？

48.U2合唱团在17分钟内得赶到演唱会场，途中必需跨过一座桥，四个人从桥的同一端出发，你得帮助

他们到达另一端，天色很暗，而他们只有一只手电筒.一次同时最多可以有两人一起过桥，而过桥的时候

必须持有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端.手电筒是不能用丢的方式来传递的.四

个人的步行速度各不同，若两人同行则以较慢者的速度为准.Bon。需花1分钟过桥，Edge需花2分钟过

桥，Adam需花5分钟过桥，Larry需花10分钟过桥.他们要如何在17分钟内过桥呢？

49.一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。问：煎2009张

饼需几分钟？

50.北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地10台，上海可以支持

外地4台。现决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如表，上海和北京制造的机器完全相同，

应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？

汉口重庆

北京io。800

上海300500

51.成都青年旅行社“五一”推出甲、乙两种优惠方案：

甲：成都一日游，大人每位全票80元，小朋友四折

乙：成都一日游，团体5人以上（含5人）每位六折

（1）李老师带5名小朋友游览，选哪种方案省钱？

（2）李老师和王老师带4名小朋友游览，选哪种方案省钱？

（3）张三、王五两位小朋友及各自的父母6人游览，选哪种方案省钱?

52.将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管（加工损耗忽略不计）.问剩余部

分的铝管至少是多少厘米？

53.烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的

锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？

54.小红应如何合理安排下表中的几件事，请你排出顺序.

要做的事大约要用的时间做事的次序

找杯子倒开水1分钟

等开水变温6分钟

找感冒药1分钟

量体温5分钟

小红做完这几件事最少需要_分钟.

我感冒了，吃

完药后要赶

快休息。

,3

55.甲，乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的

食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，那么其中一人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后二人返

回出发点）？

56.小超、小勇、小栋三人各拿一个水桶在自来水龙头前面等候打水.

姓名打水时间

小超2分钟

小勇3分钟

小栋5分钟

如何安排这3人的打水顺序,

才能使三人等待的总时间最

少？最少是多少分钟？

57.有几位同学计划暑假期间结伴到武汉归元寺旅游.春蕾旅行社退出武汉归元寺一日游A、B两种方案.

A方案B方案

团体10人或10人大人每位120元,

以上，每位100元.小法每位60元.

（1）有5位家长，带10名小朋友去旅游，按哪种方案买票优惠？优惠多少元?

（2）有12位家长，带3名小朋友去旅游，按哪种方案买票优惠，优惠多少元?

参考答案：

1.煎三只饼至少要3分钟，煎n（n>2）只饼至少要n分钟

【分析】煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种饼，现煎第

三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略.

【详解】煎三只饼至少需要三分钟.因为，第一次煎两个饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此时将第二只

取出，第一只翻个面，再放入第三只.又煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻个面，再将第二只放入，

再煎一分钟，全部煎熟了。煎n只饼，需要n分钟.因为，当n是偶数时，每煎两个需要2分钟，可以两

只两只地煎；当n是奇数时，也可以两只两只地煎，直到最后剩下三只饼时采用上面的方法就可以了.

2.从A点出发，经前面和右面到达B点，将这两个面摊开在平面上，这时A、B间的最短路程就是连接A、

B两点的直线段.最短距离是5厘米.

【分析】由于小蚂蚁是在长方体的表面上爬行，所以要求立体图形上的最短路线，必须把立体图形的两个

面展开在平面上.而在同一平面上，A、B间的最短路线是连接这两点的直线段.不过，在本题中，小蚂蚁

可以通过前面和右面到达B点，也可以通过下面和右面到达B点，必须比较这两条直线段，取其中最短的

直线段.

【详解】从A点出发，经前面和右面到达B点，将这两个面摊开在平面上，这时A、B间的最短路程就是连

接A、B两点的直线段（如图6a所示）.从A点出发，经下面和右面到达B点，将这两个面摊开在平面上,

连接A、B两点（如图6b所示）.比较这两条直线段的长度.

分析可得，图6a的线段要比图6b的线段稍短些，所以小蚂蚁应选择这条路线，此时路程的长度由勾股定

理可得:AB=VAC2+BC2="16+9=岳=5国米）

3.最少需要29分钟；见详解

【分析】要保证30分钟内安全过桥，那么姐姐和弟弟就要来回跑，送油灯，并且安排所需时间较长的爷爷

和爸爸一起过桥，这样节约时间。

【详解】首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟；

老爷爷跟爸爸一起过河，用时12分钟，弟弟将灯送回去，用时1分钟；

弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送灯过河，用时1分钟；

最后与姐姐一起过河，用时3分钟；

一共用时：3+3+12+1+6+1+3=29（分钟），最后能够安全全部过河。

答：最少需要29分钟。

【点睛】对于此类"安全过桥"的问题，安排所需时间最少的两人送灯，且所需时间最少的一人往返的次数多，

所需时间第二少的人只往返一次，并且要安排所需时间最多的两人一起过。

4.先修复修复时间短的.最少的经济损失为1560元

【分析】如果先修所需修复时间长的机器，而让修复时间短的机器等待无疑将造成较大的经济损失.

【详解】最佳方案是先修复修复时间短的，让其尽快投入生产，减少经济损失.这样总的修复时间为

7x5+8x4+10x3+15x2+29=35+32+30+30+29=156（分），而最少的经济损失为10x156=1560（元）.

5.要使3人等待的时间最短，就要安排用时最短的先接水，所以先后顺序为：霁,iZa.T期.

【详解】此类问题，一般用时最短的在最前面，本题中等待的时间总和最少为3x3+5x2+7=26（分钟）.

6.甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有2人、15人、10人时，可完成挖树坑的任务，且使树苗运得最

多，最多为260棵

【分析】分别设甲、乙、丙三类学生中挖树坑的学生数量为未知数，表示出甲、乙、丙三类学生中运树苗

的人数，按照挖树坑30个，运树苗不限的基本要求，列出等式，表示出运树苗的数量，然后分析求出能完

成挖树坑的任务，且使树苗运得最多时甲、乙、丙三类学生中挖树坑的学生数量。

【详解】解：设甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有x人、y人、z人，其中04XW15,0<y<15,0<z<10,

则甲、乙、丙三类学生中运树苗的分别有（15—x）人、（15—y）人、（10—z）人；

要完成挖树坑的任务，应有2x+1.2y+0.8z=30,即20x2300—12y—8z,在完成挖树坑任务的同时，运树苗

的数量为P=20（15-x）+10（15-y）+7（10-2）=520—20x—10y—7z；

将式子整理解得P=520-300+12y+8z-10y-7z=220+2y+z；

当y=15,z=10时，P有最大值，Pmax=220+2x15+10=260（棵）；

将y=15,z=10代入①，解得x=2,符合题意；

因此，当甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有2人、15人、10人时，可完成挖树坑的任务，且使树苗运

得最多，最多为260棵；

答：甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有2人、15人、10人。

【点睛】不定方程是求解统筹优化问题常用的方法，不仅要能够准确列出方程，还要准确求解不定方程。

7.见详解

【分析】由于这4个人要尽快过桥，但是每次最多过2人，那么来回跑，送手电筒这个任务必须是小强和

中强的，并且要让大强跟太强一起过桥，这样节约时间。

【详解】小强和中强先过桥，用2分钟；

再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟；

过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟；

他们一起用时间：2+1+10+2+2=17(分钟)，正好在桥倒塌的时候全部过河。

【点睛】时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过，这样保证总的时间是最短的。

8.(1)一人修17、20、30,另一人修18、25；最少的经济损失为：910元

(2)一人修需18,17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短为55分钟.

【分析】怎样安排才能使经济损失最少，必须等待的时间少，那么我们应该把时间短的放在前面，并且使

两名修理工的工作时间尽量接近.

【详解】(1)一人修17、20、30,另一人修18、25；最少的经济损失为：5x(17x3+20x2+30+18x2+25)

=910(元).

(2)因为(18+30+17+25+20)+2=55(分)，一人修需18,17和20分钟的三台，另一人修需30和25

分钟的两台，修复时间最短为55分钟.

9.8分钟

【分析】在架子上同时放两个烧饼，烘3分钟后，把第一个翻过来，拿下第二个，再放上去第三个，过2

分钟去下第一个，再过1分钟，把第三个翻过来，再把第二个放上去，过2分钟全部取下，把所用时间加

起来即可。

【详解】3+2+14-2=8(分钟)

答：至少需要8分钟。

【点睛】根据"烙三张饼的最佳方法"解答。

10.366000元

【分析】由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管，那么从县城到Ai。村要铺设10

根细管，Ai村到A2村要铺设9根细管，依此类推；因为粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4

根细管的价钱将大于1根粗管的价钱，这样一来，凡是超过3根细管的路段，都应改铺粗管。

【详解】从县城铺设粗管到A7,然后从A7用细管连接A8、A9、Al。；

7000x(30+5+2+4+2+3+2)+2000x(6+4+5)

=7000x48+2000x15

=336000+30000

=366000(元)

答：总费用最少是366000兀。

【点睛】本题考查的是统筹优化的问题，虽然细管单价更低，但长度更长，所以要综合单价和长度的影响。

11.96分钟

【分析】如果不想浪费时间，那就需要充分利用时间，如果涂一张，等2分钟，再往墙上贴，再涂，再等

待，再贴在墙上，这样肯定是浪费时间的；我们完全可以在涂完胶水后的2分钟时间里继续涂，但不能超

过6分钟，注意可以等于6分钟。

【详解】先涂第一张A然后涂8,然后涂C,这时候A等待了4分钟马上贴上；

再涂一张。马上贴上已经等待了5分钟的B；

再涂一张E贴上已经等待6分钟的C；

这样一直下去，会使每一张奖状花费的时间就只有涂的2分钟和贴的1分钟，也就是完成一张需要3分钟；

32x3=96

那么总时间是96分钟；

答：小明最快用96分钟能贴完所有的奖状。

【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，要使得所用时间最短，首先就要保证不能浪费时间。

12.解：根据题干分析，先尽量多租乙车，所有租车情况列入下表：

方案乙车/辆甲车/辆租金/元

①40640

②31600

③22560

④14640

⑤05600

560<600<640

答：总合上述，租2辆乙车，2辆甲车费用最省钱.

【详解】最优化问题

4

甲车每人次成本为：120+12=10（元），乙车每人次成本为160+18=9§（元），所以尽量租用乙车所花成本较

低，假设全租乙车，需要：58+18=3辆...4人，这里还要考虑座不满的情况，所以这里可以将租车情况进行

列举，从中找出花费最少的方案即可解决问题.

13.甲生产120公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是114000元.

【详解】假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必

定生产;x（750-5x）公斤.由于劳动日为220天，从而有lxx+2xgx（750-5x）・220,解这个方程可得

X=120（公斤），从而;x（750-5x120）=50侬斤）；即甲产品要生产120公斤，乙产品要生产50公斤时，

获得的利润最大，最大的利润是700x120+600x50=84000+3000=114000（元）.

14.北京调运杭州7台，调运西安4台，洛阳调运杭州0台，调运西安5台；最低运费12600元

【分析】由表中看出，北京到杭州的运费比到西安便宜，而洛阳正相反，到西安的运费比到杭州便宜；所

以，北京的机器应尽量运往杭州，洛阳的机器应尽量运往西安。

【详解】最佳的调运方案为：北京发往杭州7台，发往西安4台，洛阳发往西安5台；

总运费：

800x7+1000x4+600x5

=5600+4000+3000

=12600（元）

答：最低运费12600兀。

【点睛】本题考查的是地点的统筹优化问题，由于16台机器都运走了，可以设北京运往杭州的数量是未知

数，这样可以表示出运往其它几个地方的数量，然后表示出总的运费，再计算运费的最小值。

15.82人

【分析】如果车上不跟人，各车间所需人数和即为总人数；可以求出每列车上跟1人、2人、3人等，所需

要的总人数的变化规律，然后找出每列车上跟多少人时所需的总人数最少。

【详解】如果车上不跟人，各车间所需人数和为：10+15+18+20+25+27+30=147（人）

如果每列车上跟1人，共多3人；每个车间可少1人，共少7人，多3少7,可减少4人；

每列车上跟10人，总人数可减少40人；

从U至15,列车上每增加1人，总人数可减少3人；

从16至18,列车上每增加1人，总人数可减少2人；

从19至20,列车上每增加1人，总人数可减少1人；

21增3减3无意义；

总人数为20x3+5+7+10=82（人）最少；

答：安排82名装卸工，所用总人数最合理，其中60人跟车。

【点睛】本题考查的调运中的统筹优化问题，可以用逐步调整的思想求解。

16.414000元

【详解】将这个村子依离县城从近到远记为Ai,A2,A3,Aio,

在A7之和，粗管可以换成3根或更少的细管，费用将减少.

在A6和A7之间，无论按粗管还是四条细管，花的钱一样多，在A6以前不安粗管按细管，需要5条以上的

细管，费用将增加.

因此，工程的设计是：从县城到A7（或A6）安一条粗管；Al、A8之间安三条细管：As,A9之间安两条细管；

A9、Aio之间安一条细管.这样做，工程总费用最少.

（30+5+2+4+2+3+2）x800+（6+4+5）x2000=414000元.

17.（1）选B方案合算

（2）选A方案合算，优惠180元

【详解】（1）A方案：（4+6）x100=1000（元）

B方案：130x4+70x6=940（元）

940<1000

选B方案合算.

⑵A方案：（8+2）x100=1000（元）

B方案：130x8+70x2=1180（元）

1180-1000=180（元）

1000<1180

选A方案合算，优惠180元.

18.甲和乙先过桥，乙留下，甲回来；丙丁一起过桥，让乙把手电送回；甲乙一起过桥，这样最短时间是

21分钟.

【详解】试题分析：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们

往返送手电筒会节省时间，进而分别分析得出即可.

解：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送灯会节省

时间，

故：（1）2分钟的和3分钟的先过桥（此时耗时3分钟）.

（2）2分钟的回来，（此时共耗时5分钟）.

（3）7分钟的和10分钟的过桥（共耗时2+1+10=13分钟）.

（4）3分钟的回来（共耗时3+2+10+3=18分钟）.

（5）2分钟的和3分钟的过桥

共耗时：

3+2+10+3+3=21分钟）.

此时全部过桥，共耗时21分钟.

答：甲和乙先过桥，乙留下，甲回来；丙丁一起过桥，让乙把手电送回；甲乙一起过桥，这个最短时间是

21分钟.

【点评】此题主要考查了应用类问题，结合实际发现用时最少的两人先过桥往返送灯会节省时间是解题关

键.

19.525千米

【详解】如下图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽

油全部转给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油；剩下的4辆车继续前

进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽

油；剩下的3辆车继续前进......到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车.此时，

第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米.

ABCDE

5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶

315千米的汽油分成6份,2份供自己往返AB,4份给另外4辆车每辆加1份,刚好使这4辆车都加满汽油.AB

长为：315+6=52.5（千米）；

ABCD

4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C经B返回A,

所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC,

也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C,再从C返回A,3份给另外3辆车加满汽油，

由此知BC长也是52.5千米.

同理,CD=DE=52.5（千米）.

所以第5辆车最远能行驶52.5x4+315=525（千米）.

20.在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算，然后再用2分钟练口算；

最短需要17分钟.

【分析】由于打印资料（5分钟），读英语故事（4分钟），练口算（3分钟），所以在打印资料的这段时间内，

可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算，然后再用2分钟练口算.所以最短需要10+5+（3-1）分钟.

【详解】5=4+1

在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算.

所以最短需要：

10+5+（3-1）

=15+2

=17（分钟）

答：在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算，然后再用2分钟练口算；

最短需要17分钟.

21.北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉；运费最少9700元

【分析】北京、上海的16台机器要全部发往武汉、西安，从北京给西安多发1台机器要多付运费100元,

而从上海给西安多发1台机器要多付运费300元，所以应尽量把北京的产品运往西安，而西安只要5台，

于是可知北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉。

【详解】北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉；

总运费：

600x5+500x5+700x6

3000+2500+4200

=9700（元）

答：最少需要运费9700元。

【点睛】本题考查的是调运统筹优化问题，也可以设北京发往武汉的数量为未知数，表示出发往其它各地

的数量，表示出总费用，然后求出总费用的最小值。

22.8分钟

【分析】要想用最少的时间，4人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就

能保证时间最短了。

【详解】第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.5+1=25（分钟）；

第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了2+1=3（分钟）；

第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了2.5分钟；

所以，4个人都通过小木桥，最少用2.5+3+25=8（分钟）

答：最少要8分钟。

【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，对于这种需要一个人往返接送的问题，这个人尽量选消耗时

间短的一个人。

23.三人同时到达的最短时间为2小时

【详解